2020年新高考数题型详解：8.4正态分布

8.4正态分布

1

函数一,/M=/——£,比（-8,+8）,其中实数〃，O（<7>0）

定义4勺2适

为参数，称例,的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线

曲线位于X轴上方，与X轴不相交;

曲线是单愎的，它关于直线x=R对称

1

曲线在*=做达到峰值—

"2n

性质

(l)P(p-a<X<p+a)=0.6826;

4(2)P(p-2a<X<p+2a)=0.9544;

Q(3)P(M-3o<XSM+3a)=0.9974

题型一正态分布的对称性

【例11(1)(2019•吉林省实验高二期末(理))已知随机变量J服从正态分布N(2,a2),P(JW4)=O.84,

则PCWO)=()

A.0.16B.0.32C.0.68D.0.84

(2)(2020•全国高三专题练习)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,3?),从中随

机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()

(附：若随机变量€服从正态分布N(〃,b?),则p(〃—b<。<〃+b)=68.26%,

P(〃—2b<J<4+2b)=95.44%.)

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

【答案】(1)A(2)B

【解析】⑴由正态分布的特征得P©«0)=1-<4)=1-0.84=0.16,选A.

⑵由题意R-3VJ<3)=68.26%,K-6<J<6)=95.44%,z.P(3<J<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选B.

【举一反三】

1.(2020•全国高三专题练习)已知随机变量J服从正态分布N(2,〃)，且p(j<4)=0.8,贝ij

P(0<J<4)=()

A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2

【答案】A

［解析】由题意,随机变量服从正态分布N(2,cr?)，所以〃=2,即图象的对称轴为x=2,

又由尸(看<4)=0.8,则/((24)=1—0.8=0.2,

则尸(0<』<4)=1一尸(自24)=0.6,故选A.

2.(2020•全国高三专题练习)已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：克)服从正态分布N(100,4),

现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在［98,104］内的产品估计有()

(附：若X服从N(〃,cr2),则p(〃-b<X<〃+b)=0.6827,PQi-2。<X<〃+2cr)=0.9545)

A.4093件B.4772件

C.6827件D.8186件

【答案】D

［解析】山题意可得,该正态分布的对称轴为x=100,且b=2,

则质量在［96,104］内的产品的概率为尸(〃-2。<X<〃+2b)=0.9545),而质量在［98,102］内的产品的

概率为P(〃—cr<X<〃+。)=0.6827,结合对称性可知,质量在［98,104］内的产品的概率为

0.6827+吧竺产据此估计质量在［98J04］内的产品的数量为

10000x0.8186=8186(件).

故选：D

3.(2020•全国高三专题练习)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X>1)=0.5,P(X>2)=0.3,

P(X<0)等于()

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

【答案】B

【解析】

随机变量J服从正态分布N(a,4),

•••曲线关于x=a对称,且P(X>a)=0.5,

由尸(X>1)=0.5,可知〃=a=l,故选B.

题型二正态分布应用

【例2】(2020•江西高安中学高二期末(理))

从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直

方图：

(I)求这500件产品质量指标值的样本平均值亍和样本方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表);

(II)由直方图可以认为,这种产品的质量指标Z服从正态分布其中〃近似为样本平均数下，

b?近似为样本方差52.

(i)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；

(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间

(187.8,212.2)的产品件数.利用(i)的结果，求EX.

附：V150®12.2

若2~则P(〃-cr<Z<〃+cr)=0.6826,P(〃-2cr<Z<//+2a)-0.9544.

【答案】(I)200,150；(ID(i)0.6826；(ii)68.26.

【解析】(I)抽取产品的质量指标值的样本平均值亍和样本方差52分别为

£=170x0.02+180x0.09+190x0.22+200x0.33+210x0.24+220x0.08+230x0.02=200,

52=(-30)2x0.02+(-20)2x0.09+(-10)2x0.22+0x0.33+102x0.24+202x0.08+302x0.02=150.

(n)⑴由(I)知，Z服从正态分布N(200,150),从而p(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200

+12.2)=0.6826.

（ii）由（i）可知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826,依题意知

X〜B（100,0.6826），所以EX=100x0.6826=68.26.

【举一反三】

1.（2019•夏津第一中学高三月考）2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请

全国人大常委会审议，草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾

分类制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识，某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问

卷调查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）

数据,统计结果如表所示：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频数2515020025022510050

（1）由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（/z,210）,〃近似为这1000人得分的

平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于“的可以获赠2次随机话费,得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

获赠的随机话费（单位：元）2040

2

概率

33

现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数

学期望.

附：①V^lUal4.5；②若XN（〃,b2）』i]P（〃-cr<X<〃+cr）=（）.6826,

尸（〃-2cr<X<〃+2cr）=0.9545,P（jU-3a<X<ju+3a）=0.9974,

【答案】（1）0.8186（2）分布列见解析，40

【解析】（1）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件，可以求得

〃=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5=65：

乂36v65—27^15,79.5=65+7^15，

所以P(36<Z<79.5)=-x0.9545+-x0.6826=0.8186.

22

(2)根据题意可以得出所得话费的可能值有20,40,60.80元，

得20元的情况为低于平均值,概率尸=,x2=!_,

233

111227

得40元的情况有一次机会获得40元,两次机会获得2个20元,概率「二二乂彳+^^^彳、彳二二,

2323318

得60元的情况为两次机会，一次40元，-次20元,概率尸=LX2X2X'=2,

2339

得80元的情况为两次机会,都是40元，概率P=2,

23318

所以变量X的分布列为:

X20406080

]_721

P

318918

1721

所以其期望为£(乂)=20乂§+40'木+60'§+80乂讴=40.

2.(2019•河南高三月考(理))每个国家身高正常的标准是不一样的，不同年龄、不同种族、不同地区身

高都是有差异的,我们国家会定期进行0~18岁孩子身高体重全国性调查,然后根据这个调查结果制定出相

应的各个年龄段的身高标准.一般测量出一个孩子的身高,对照一下身高体重表,如果在平均值标准差以内

的就说明你的孩子身高是正常的，否则说明你的孩子可能身高偏矮或偏高了.根据科学研究0〜18岁的孩子

的身高服从正态分布.在某城市随机抽取100名18岁男大学生得到其身高(的)的数据.

(1)记X表示随机抽取的100名18岁男大学生身高的数据在(〃—2b,〃+2b)之内的人数,求P(XW99)

及X的数学期望.

(2)若18岁男大学生身高的数据在(〃-2b,〃+2b)之内，则说明孩子的身高是正常的.

(2)请用统计学的知识分析该市18岁男大学生身高的情况；

(ii)下面是抽取的100名18岁男大学生中20名大学生身高(cm)的数据:

1.651.621.741.821.681.721.751.661.731.67

1.861.811.741.691.761.771.691.781.631.68

_120Fj20"

经计算得户与学"72*加沙一可-

0.06,其中匕为抽取的第i

个学生的身高，i=L2,3,,20.用样本平均数［作为〃的估计值,用样本标准差s作为o■的估计，剔除

（〃一2。,〃+2。）之外的数据,用剩下的数据估计4和a的值.（精确到0.01）

附:若随机变量Z服从正态分布N,则尸（〃-2。<Z<刈+2cr）=0.9544,O.9544100«0.0094.

【答案】（1）概率为0.9906,期望为95.44（2）（/）在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为95.44%.

（J2）4的估计值为1.71,cr的估计值为0.1.

【解析】（1）抽取的1名18岁男大学生身高的数据在（4一2b,〃+2b）之内的概率为0.9544

在（4—2。,〃+坊）之外的概率为：1—0.9544=0.0456,故X〜3（1（X）,（）.9544）

.-.P（X<99）=l-P（X=100）=1-O.9544100=0.9906,E（X）=100x0.9544=95.44

（2）（7）由（1）知，18岁男大学生的身高是正常的概率为0.9544

在该市中，18岁男大学生的身高是正常的比例为95.44%

（2J）当〃=1.72,<7=0.06时，区间（"一2cr,〃+2cr）为（1.6,1.84）,故除去的数据为1.86

剩下数据的平均数为：20x1；-1.86、］,I二〃的估计值为1.71

20

又£X；=20x0.062+20xl.722«59.24，剔除1.86

/=1

剩下数据的样本方差为：,（59.24—1.862—19X1.7F卜0.01;•其标准差为0.1

的估计值为0.1

强化练习

1.（2019•全国高三专题练习（理））设随机变量J服从正态分布N（2,/），若2（4<-2）=0.1,则函数

/。）=§/+2尤2+二光有极值点的概率为（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【答案】C

【解析】函数/（x）=；V+2/+$X有极值点，

二/，（%）=X2+4%+。2=0有解，

.•.A=16-4^2>0,

随机变量官服从正态分布N（2。2）,若<—2）=0.1,

P（-2必<2）=0.5-0.1=0.4.

故选：C.

2.（2020•黑龙江哈尔滨三中高二期末（理））已知随机变量X服从正态分布N（3,/）,且P（X<4）=0.84,

则P（2<X<4）=（）

A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16

【答案】B

【解析】由题可知,P（X>4）=1-P（X<4）=1-0.84=0.16,

由于X~N（3,cr，，所以，P（X<2）=P（X>4）=0.16,

因此，P（2<X<4）=1—P（X<2）—尸（X>4）=1—0.16—0.16=0.68,故选：B.

3.（2020•重庆南开中学高三月考（理））已知随机变量XN（2,b9（b>0）,若尸（X<4）=0.7,则

P（X<（））=（）

A.0.2B.0.3

C.0.5D.0.7

【答案】B

【解析】随机变量XNR,/）。〉。）

当尸(X<4)=0.7

又P(X<2)=0.5,可得尸(2<X<4)=0.2

根据正态分布的对称性可得：P(0<X<2)=0.2

P(X<())=().5—().2=0.3

故选:B.

4.(2019•重庆高二月考(理))已知随机变量J服从正态分布N(3,/),P(J<4)=0.68,则P(J»2)=

()

A.0.84B.0.68C.0.32D.0.16

【答案】B

【解析】根据随机变量J服从正态分布N(3,(T2),所以密度曲线关于直线x=3对称，

由于尸(J<4)=0.68,所以P(J24)=1-0.68=0.32,

所以42)=0.32,

则尸(2WJW4)=1—().32-0.32=0.36,

所以P(J22)=().36+0.32=0.68.

故选:B.

5.(2019•湖南高二月考)若随机变量J服从正态分布则p(〃一b<J<〃+b)=68.26%,

P(〃-2b<』<〃+2b)=95.44%.己知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N((),32),从中

随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为()

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

【答案】B

【解析】由题意得：〃=0,。=3

「(3<*6)=+b<。<〃+2b)=「2b++

=95.44%-68.26Q/O=1359%

2

故选：B

6.(2019・江西白鹭洲中学高三月考(理))已知随机变量4服从正态分布凡202),若尸(一1<。<4)=0.85,

则P(0<J<5)=()

A.0.15B.0.30C.0.70D.0.85

【答案】D

【解析】尸(O<•<5)=3(0<彳<4)+尸(4W)<5)=尸(0<><4)+?(-1<,/0)

=P(—1<。<4)=0.85.

故选:D.

7.(2020•全国高三专题练习)已知随机变量X服从正态分布M0,8°),若PQ>2)=0.023,则户(一2(启2)

【答案】0.954

【解析】因为〃=0,所以正态分布密度曲线关于y轴对称，...P(X>2)=P(X<-2)=0.023,

.-.P(-2<X<2)=1-P(X>2)-P(X<-2)=1-2x0.023=0.954.

故答案为：0.954

8.(2020•云南师大附中高三月考(理))已知某学校高三年级1500名学生参加某次考试的成绩X(单位：

分)服从正态分布N(80,202),估计成绩在120分以上的学生人数有.附：若X〜N("),则

尸(〃一bvX<4+b)=0.6826,P(/i-2(y<X<〃+2cr)=0.9544.

【答案】34或35

【解析】由随机变量X服从正态分布N(80,2()2),得〃=80,6=20,则120=〃+2b,

P(〃—2cr<X<〃+2b)=0.9544,

...则P(X>120)=P(X>〃+2cr)=1一P(M+2b<X<〃+2b)=0.0228,

2

则成绩在120分以上的人数有1500x0.0228=34.2，所以34或35均可.

故答案为：34或35.

9.(2019•山东高三月考)己知随机变量X服从正态分布N(4,l),且P(x>5)=0.1587,则尸(3<x<4)

【答案】0.3413

［解析］因为随机变量X服从正态分布mi）,且P（X>5）=0.1587,

所以P（3<%<4）=0.5—P（x<3）=0.5-P（x>5）=0.5-0.1587=0.3413.

故答案为：0.3413.

10.（2019•四川高三（理））已知随机变量？服从正态分布N（2»2）,则尸（？<2）=.

【答案】-

2

【解析】因为随机变量7服从正态分布N（2,3?）,

所以正态曲线关于二=2对称,所以尸<2）=g.

故答案为：?.

2

11.（2020•湖北高三期末（理））黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅

游公司推出的一项惠民工程,持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游

消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成

如表所示的频数分布表：

组别[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数1039040018812

（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；

（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45,152）,若该市总人口为750万人,

试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上;

（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年

内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意

愿相互独立,记总得分为随机变量尤求才的分布列与数学期望.

（参考数据：P（"—<y<X+0.6827,P（R-2b<X<//+2cr）«0.9545；

尸(〃一3bvXv〃+3b)。0.9973)

【答案】（1）45（百元）；（2）17.1万；（3）分布列见解析，E（X）=g.

【解析】⑴设样本的中位数为题则怒+蒜+怒

=0.5,

解得x=45,所得样本中位数为45（百元）；

(2)"=45,cr=15,〃+2cr=75,

旅游费用支出在7500元以上的概率为

P（x2〃+2b）=+=1一0；544=Q022g00228x750=17.1,估计有17.1

万市民旅游费用支出在7500元以上；

3

（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为M，才可能取值为3,4,5,6.

7

故其分布列为:

X3456

8365427

P125芮125125

x且+4x至+5x受+6x生24

E（X）=3

125125125125y

12.（2019•全国高三专题练习（理））近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪

供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极

性的作用正在逐步显现.

现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场,均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表.

猪生长的三个阶段

阶段幼年期成长期成年期

重量(Kg)[2,18)[18,82)[82,98]

根据以往经验,两个养猪场内猪的体重X均近似服从正态分布X~N(5(),162).

由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度,高度重视其质量保证，为了养出

健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式.已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪

43

能通过质检合格的概率分别为一，一.

54

(1)试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

(2)已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪,则亏损

200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪,则亏损100

元.记Y为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y的分布列,假设两养猪场均能把

成年期猪售完,求两养猪场的总利润期望值.

(参考数据：若Z:N(D,CT2),则P(〃一er<Z<〃+cr)=0.6826,—Z<〃+2cr)=0.9544,

—3cr<Z<〃+3cr)=0.9974)

【答案】(1)甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头：(2)分布列见解

析，135450元.

【解析】(1)由于猪的体重X近似服从正态分布N(50,16?),设各阶段猪的数量分别为小,々,4

09974-09544

二尸(2Wx<18)=尸(50—3—164x<50—2x16)==0.0215,

=10000x0.0215=215(头):

同理，P(18<x<82)=P(50-2x16<x<50+2x16)=0.9544,

.-.^=10000x0.9544=9544(头)；

nQQ74_o9544

P(82<x<98)=P(50+2xl6<x<50+3xl6)=-------:-----=0.0215,

.-.^=10000x0.0215=215（头）.

所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头。

43

（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为一，一，随机变量Y可能取值

54

为900,300,-300.

P（Y=900）=-x-=-,P（Y=300）=-xl+lx-=—,P（Y=-300）=-xi=—,

’7545V7545420V75420

所以Y的分布列为:

n900300-300

022

371

所以E（Y）=900x二+300x——300x—=630（元），

\）52020

由于各养猪场均有215头成年猪,一头猪出售的利润总和的期望为630元,则总利润期望为

630x215=135450（元）.

13.（2019•辽宁实验中学高三月考）对同学们而言，冬日的早晨离开暖融融的被窝，总是一个巨大的挑战，

而咬牙起床的唯一动力,就是上学能够不迟到.己知学校要求每天早晨7:15之前到校,7:15之后到校记为迟

到.小明每天6:15会被妈妈叫醒起味,吃早餐、洗漱等晨间活动需要半个小时,故每天6:45小明就可以出

门去上学.从家到学校的路上,若小明选择步行到校,则路上所花费的时间相对准确,若以随机变量X（分钟）

表示步行到校的时间，可以认为X~N（22,4）.若小明选择骑共享单车上学,虽然骑行速度快于步行,不过

由于车况、路况等不确定因素，路上所需时间的随机性增加,若以随机变量丫（分钟）描述骑车到校的时间，

可以认为丫〜N（16,16）.若小明选择坐公交车上学，速度很快,但是由于等车时间、路况等不确定因素，路

上所需时间的随机性进一步增加,若以随机变量Z（分钟）描述坐公交车到校所需的时间，则可以认为

Z〜N（10,64）.

（1）若某天小明妈妈出差没在家，小明一觉醒来己经是6:40了，他抓紧时间洗漱更衣,没吃早饭就出发了,

出门时候是6:50.请问，小明是否有某种出行方案,能够保证上学不迟到？小明此时的最优选择是什么？

(2)已知共享单车每20分钟收费一元，若小明本周五天都骑共享单车上学，以随机变量4表示这五天小明

上学骑车的费用，求4的期望与方差(此小题结果均保留三位有效数字)

已知若随机变量7]〜N(O』)，则p(-l<77<1)=68.26%,P(-2<〃<2)=95.44%,

尸(—3<”3)=99.74%.

【答案】(1)，三种方案都无法满足3o■原则，不能保证上学不迟到.相对而言，骑车到校不迟到的概率最高,

是最优选择(2)£(^)«5.79(元),。偌)*0.668(元？)

【解析】(1)依题意，小明需要在25分钟内到达学校.

若他选择步行到校,则不迟到的概率记为片(X<25),取M=22,历=2,

则“+必=24,从+2b]=26,

144%

々(X<25)<《(X<26)=1————=97.72%.

若骑车到校,则不迟到的概率记为鸟(X<25),取〃2=16,%=4,

贝ij外+%=20,4+2%=24,外+3<72=28,

则£(X<24)=1-(1—95.44%)/2=97.72%,

《(X<28)=1—(1—99.74%)/2=99.87%,

g(X<25)«g(X<24),g(X<28))=(97.72%,99.87%)

若坐公交车到校,则不迟到的概率记为《(X<25)，取〃,=10,%=8,

则以+q=18,总+24-26,A(X<25)<鸟”<26)=97.72%.

综上,三种方案都无法满足3b原则,不能保证上学不迟到.相对而言,骑车到校不迟到的概率最高,是最优选

择.

(2)取随机变量。表示五天里骑车上学时间单程超过20分钟的天数.

依题意,每天骑车上学时间超过20分钟的概率为g(X>20)=6；26%)=%,

。-1587

*3（5,15.87%）,E（《）=5x15.87%=0.7935,

£>（<）=5x15.87%x（l-15.87%卜0.668.

又•..4=茗+（5—。）=5+4，

E（J）=5+E信卜5.79（元），D（^）=0（4；）«0.668（元力

14.（2019•湖北高三期中（理））2019年6月25日，《固体废物污染环境防治法（修订草案）》初次提请全

国人大常委会审议,草案对“生活垃圾污染环境的防治”进行了专章规定.草案提出，国家推行生活垃圾分类

制度.为了了解人民群众对垃圾分类的认识,某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类网络知识问卷调

查,每一位市民仅有一次参加机会,通过随机抽样,得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据,

统计结果如下表所示：

得分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1(X)]

频数2515020025022510050

（1）由频数分布表可以认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布N（〃,210）,〃近似为这1000人得分的

平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表），请利用正态分布的知识求P（36<Z<79.5）；

（2）在（1）的条件下，市环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费,得分低于"的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

获赠的随机话费（单位：元）2040

2£

概率

33

现市民小王要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列及数

学期望.

附：①a14.5；

②若X~N(〃,cr2),则P(〃一cT<X<〃+b)=0.6827,-2cr<X<4+2cr)=0.9545,

P(〃一3cr<X<〃+3cr)=0.9974.

【答案】（1）0.8186；

⑵分布列见解析，E（X）=40.

【解析】（1）根据题中所给的统计表,结合题中所给的条件，可以求得

//=35x0.025+45x0.15+55x0.2+65x0.25+75x0.225+85x0.1+95x0.05

=0.875+6.75+11+16.25+16.875+8.5+4.75=65.

又36。65-2夜而，79.5^65+夜访，

所以P(36<Z479.5)=-x0.9545+-X0.6827=0.8186.

22

（2）根据题意，可以得出所得话费的可能值有20,40,60,80元,

得20元的情况为低于平均值,概率尸=?x2=?,

233

111?27

得40元的情况有一次机会获40元,2次机会2个20元,概率P=+二x彳x彳,

2323318

1212

得60元的情况为两次机会,一次40元一次20元，概率P=Zx;x：=装，

2339

得80元的其概况为两次机会,都是40元,概率为P=4x：*：=白.

23318

所以变量X的分布列为:

X20406080

j_721

P

318918

1721

所以其期望为E(X)=20x—+40x—+60x-+80x—=40.

')318918

15.（2018•安徽高二期末（理））2019年某地初中毕业升学体育考试规定：考生必须参加长跑、掷实心球、

1分钟跳绳三项测试,三项测试各项20分,满分60分.某学校在初三上学期开始时，为掌握全年级学生1分

钟跳绳情况,按照男女比例利用分层抽样抽取了100名学生进行测试,其中女生54人,得到下面的频率分布

直方图，计分规则如表1：

每分钟跳绳个数[155,165)[165,175)[175,185)[185,-fw)

得分17181920

(1)规定：学生1分钟跳绳得分20分为优秀,在抽取的100名学生中，男生跳绳个数大于等于185个的有

28人,根据已知条件完成表2,并根据这100名学生测试成绩,能否有99%的把握认为学生1分钟跳绳成绩优

秀与性别有关？

表2

跳绳个数>185<185合计

男生28

女生54

合计100

n^ad-bcy

附：参考公式：K?=

(a+/?)(c+d)(a+c)(0+4)

临界值表:

P(K2"。)0.0500.0100.001

3.8416.63510.828

(2)根据往年经验,该校初三年级学生经过一年的训练,正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步.假

设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个,全年级恰有2000名学生,所有

学生的跳绳个数X服从正态分布N(〃,b2)(用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差,各组数据

用中点值代替).

①估计正式测试时，1分钟跳182个以上的人数(结果四舍五入到整数)；

②若在全年级所有学生中任意选取3人，正式测试时1分钟跳195个以上的人数为久求J的分布列及期望.

附：若随机变量X服从正态分布则P(〃_cr<X<〃+cr)=().6826,

P"-2(y<X<4+2b)=0.9544,

P(4-3(r<X<〃+3b)=0.9974.xO.14+152xO.22+52x().64«13-

【答案】(1)不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；(2)①约为1683人,②见解

析

【解析】(1)在抽取的100人中，满分的总人数为100X(0.03+0.01+0.008)X10=48人，

男生满分的有28人，所以女生满分的有20人，

男生共有46人，女生54人，所以男生跳绳个数不足185个的有46-28=18人，女生跳绳个数不

足185的有54-20=34人，

完成表2如下图所示：

跳绳个数>185<185合计

男生281846

女生203451

合计485210()

由公式可得K2=，0°（2”七1丝20）a5653，因为5.653<6.635.

48x52x46x54

所以不能有99%的把握认为认为学生1分钟跳绳成绩优秀与性别有关；

（2）①根据频率分布直方图可得初三上学期跳绳个数的平均数：

1=160x0.06+170x0.12+180x0.34+190x0.3+200x0.1+210x0.08=185,

而。。13,所以正式测试时，4=185+10=195,故X服从正态分布N（195,132）,

且〃-b=182，则尸（X>182）=1——尸（182<4,，208）］=0.8413,

所以2000x0.8413=1682.6。1683,故正式测试时，1分钟跳182个以上的人数约为1683人;

②P（X>195）=g,*服从

]31|,P©=2)=C；x

・•.PC=O)=2抵，&K守

(17

PC=3)=C；-

~8

7

则4的分布列为:

40123

33

P

8888

E（4）=3x/=|.

16.（2019•广东高三（理））某种规格的矩形瓷砖（600〃"〃*600〃”〃）根据长期检测结果，各厂生产的每片瓷

砖质量M依）都服从正态分布,并把质量在（“-3b,“+3b）之外的瓷砖作为废品直接回炉处理，剩

下的称为正品.

（I）从甲陶瓷厂生产的该规格瓷砖中抽取10片进行检查,求至少有1片是废品的概率；

（II）若规定该规格的每片正品瓷砖的“尺寸误差”计算方式为：设矩形瓷砖的长与宽分别为“（〃?〃，）、匕（〃"，?），

则“尺寸误差"Q"附为|4-600|+|/，-600|,按行业生产标准，其中“优等”、“一级”、“合格”瓷砖的“尺

寸误差”范围分别是［0,02］、［0.2,。5］、［0.5,1.0］（正品瓷砖中没有“尺寸误差”大于1.0机，〃的瓷砖），

每片价格分别为7.5元、6.5元、5.0元.现分别从甲、乙两厂生产的该规格的正品瓷砖中随机抽取100片

瓷砖,相应的“尺寸误差”组成的样本数据如下：

尺寸误差00.10.20.30.40.50.6

频数103030510510

（甲厂瓷砖的“尺寸误差”频数表）用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.

）频数

（乙厂姿转的“尺寸误差”柱状图）

（i）记甲厂该种规格的2片正品瓷砖卖出的钱数为J（元），求J的分布列及数学期望£修）.

（ii）由如图可知，乙厂生产的该规格的正品瓷病只有“优等”、“一级”两种,求5片该规格的正品瓷砖卖

出的钱数不少于36元的概率.

附：若随机变量Z服从正态分布N（〃,4）,则同〃-3O-<Z</Z+3CT）=0.9974；O.997410«0.9743,

0.84=0.4096,85=0.32768.

【答案】（I）0.0257（H）（i）详见解析（ii）0.73728

【解析】（I）由正态分布可知，抽取的一片瓷砖的质量任3-3b,“+3b）之内的概率为0.9974,则这10片质

量全都在（"-30'力+30'）之内（即没有废品）的概率为0.9974°q0.9743;

则这10片中至少有1片是废品的概率为1-Q9743=0.0257；

（II）（i）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，

得该厂生产的一片正品瓷砖为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7、0.2、0.1；

则J的可能取值为15,14,12.5,13,11.5,10元;

计算PC=15)=0.7x0.7=0.49,

尸©=14)=0.7x0.2x2=0.28,

P(4=12.5)=0.7x0.1x2=0.14,

P(^=13)=0.2X0.2=0.04,

=11.5)=0.2x0.1x2=0.04,

p(^=10)=0.1x0.1=0.01,

得到J的分布列如下:

415141312.511.510

P0.490.280.040.140.040.01

数学期望为

阳）=15x0.49+14x0.28+13x0.04+12.5x0.14+11.5x0.04+10x0.01

=7.35+3.92+0.52+1.75+0.46+0.1

=14.1（元）；

（ii）设乙陶瓷厂5片该规格的正品瓷砖中有〃片“优等”品，则有5-〃片“一级”品，

由已知7.5〃+6.5（5.36,解得儿.3.5,则〃取4或5；

故所求的概率为

P=C^X0.84X0.2+0.85

=0.4096+0.32768

=0.73728.

17.（2019•山东省烟台第一中学高三月考）某科技公司新研制生产一种特殊疫苗，为确保疫苗质量,定期进

行质量检验.某次