时间序列分析

时间序列模型2024/5/11时间序列模型一、随机过程、时间序列二、时间序列模型的分类三、自相关函数四、偏自相关函数五、时间序列模型的建立与预测

用什么方法去分析我国外商直接投资的变化趋势和国内生产总值的变化趋势.

大部分同学都使用了时间变量或者虚拟变量作为被解释变量来分析外商直接投资的变化趋势。也就是说采用回归分析的方法来分析外商直接投资和国内生产总值的变化趋势.

2024/5/13回归分析方法主要是以经济理论为基础,根据几个变量之间的因果关系,建立回归模型来分析变量之间的关系,以达到分析的目的.

回归分析方法既可以分析横截面数据,也可以分析时间序列数据.2024/5/14

时间序列分析方法由美国学者博克思Box-Jenkins和英国学者詹金斯(G.M.JENKINS)

首先提出。它适用于各种领域的时间序列分析。时间序列模型不同于一般的经济计量模型的两个特点是：⑴这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。⑵明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。一、随机过程、时间序列

为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？时间序列不是无源之水。它是由相应随机过程产生的。只有从随机过程的角度认识了它的一般规律,对时间序列的分析才会有指导意义,对时间序列的认识才会更深刻。自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是确定型过程，一类是非确定型过程。确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。2024/5/17非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。

例如，对河流水位的测量。其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。如果以一年的水位纪录作为实验结果，便得到一个水位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先不可确知的。只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。2024/5/18

随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，用{x，t

T}表示，随机过程简记为

{xt}或xt

。随机过程也常简称为过程。随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的。如果一个随机过程{xt}对任意的t

T

都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。如果一个随机过程{xt}对任意的t

T

都是一个离散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过程。91）均值E(Xt)=

是与时间t无关的常数；

2）方差Var(Xt)=

2是与时间t无关的常数；

3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=

k

是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数；

符合三个条件的过程称为平稳的随机过程.非平稳序列有趋势的序列：线性的，非线性的有趋势、季节性和周期性的复合型序列10一类特殊的平稳序列

——白噪声序列随机序列{xt}对任何xt和xt+k都与t不相关，且均值为零，方差为有限常数正态白噪声序列：白噪声序列，且服从正态分布例如，要记录某市日电力消耗量，则每日的电力消耗量就是一个随机变量，于是得到一个日电力消耗量关于天数t的函数。而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程

{xt},t=1,2,…365。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程。而一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。14自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳.如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等。153.差分：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。首先给出差分符号。对于时间序列xt

，一阶差分可表示为

xt

-

xt-1=

xt=(1-L)xt

=xt

-Lxt

其中

称为一阶差分算子。L

称为滞后算子，其定义是Lnxt

=xt-n

。16二次一阶差分表示为，

xt

=

xt-

xt

-1

=(xt-xt

-1)–(xt-1-xt

-2)=xt-2

xt

-1+xt

–2，或

xt

=(1-L

)2

xt

=(1–2L+L2)xt

=xt

–2xt-1+xt–2k阶差分可表示为

xt

-

xt-k=

k

xt=(1-Lk

)xt

=xt

–Lk

xtk阶差分常用于季节性数据的差分171920二、时间序列模型的分类与自回归模型常联系在一起的是平稳性问题。对于自回归过程AR(p)，如果其特征方程L)=1-

1L-

2L2-…-

pLp

=(1–G1L)(1–G2L)...(1–Gp

L)=0的所有根的绝对值都大于1，则称AR(p)是一个平稳的随机过程。2024/5/122AR(p)过程中最常用的是AR(1)、AR(2)过程，

xt=

1xt-1

+ut保持其平稳性的条件是特征方程(1-

1L)=0根的绝对值必须大于1，满足|1/

1|

1，也就是：

|

1|<12024/5/123注意：（1）由定义知任何一个q阶移动平均过程都是由q+1个白噪声变量的加权和组成，所以任何一个移动平均过程都是平稳的。（2）与移动平均过程相联系的一个重要概念是可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特征方程。

L)=(1+

1L+

2L2+…+

qLq)=0的全部根的绝对值必须大于1。254、单整自回归移动平均过程

以上介绍了三种平稳的随机过程。对于ARMA过程（包括AR过程），如果特征方程

(L)=0的全部根取值在单位圆之外，则该过程是平稳的；如果若干个或全部根取值在单位圆之内，则该过程是强非平稳的。除此之外还有第三种情形，即特征方程的若干根取值恰好在单位圆上(根的值等于1)。这种根称为单位根，这种过程也是非平稳的。下面介绍这种重要的非平稳随机过程。28随机过程yt

经过d

次差分之后可变换为一个以(L)为p阶自回归算子，

(L)为q阶移动平均算子的平稳、可逆的随机过程，则称yt

为（p,d,q）阶单整(单积)自回归移动平均过程，记为ARIMA(p,d,q)。ARIMA过程也称为综合自回归移动平均过程。其中

(L)

d称为广义自回归算子。30当p

0,d=0,q

0时，

ARIMA(p,d,q)变成ARMA(p,q)过程;d=0,p=0,q

0时，ARIMA过程变成MA(q)过程；当d=q=0时,ARIMA过程变成AR(p)过程;而当p=d=q=0时，ARIMA过程变成白噪声过程;31（1）

自相关函数定义由第一节知随机过程{xt}中的每一个元素xt，t=1,2,…都是随机变量。对于平稳的随机过程，其期望为常数，用

表示，即

E(xt)=

,t=1,2,…随机过程的取值将以

为中心上下变动。平稳随机过程的方差也是一个常量

Var(xt)=E[(xt

-E(xt))2]=E[(xt-

)2]=

x2,t=1,2,…

x2用来度量随机过程取值对其均值

的离散程度。2024/5/132相隔k期的两个随机变量xt

与xt

-k

的协方差即滞后k期的自协方差，定义为

k=Cov(xt

,xt-k)=E[(xt-

)(xt-k-

)]自协方差序列

k

,k=0,1,…,K,称为随机过程

{xt}的自协方差函数。当k=0时,

0=Var(xt)=

x22024/5/133自相关系数定义:

k=

因为对于一个平稳过程有

Var(xt)=Var(xt-k)=

x2

所以自相关系数可以改写为

k===当k=0时，有

0=1。2024/5/134以滞后期k为变量的自相关系数列

k,k=0,1,…,K称为自相关函数。2024/5/1352.自回归过程的自相关函数(1)平稳AR(1)过程的自相关函数

xt=

xt-1+ut,

1其自相关函数为

k=

1k,（k

0）2024/5/136（2）AR(p)过程的自相关函数对于p阶自回归过程自相关函数有两种不同的表现:1.当特征方程的根为实数时,自相关函数将随着k的增加几何衰减至零,称为指数衰减.2.当特征方程的根中含有一对共扼复根时,自相关函数将按正弦振荡形式衰减.383.移动平均过程的自相关函数(1)MA(1)过程的自相关函数对于MA(1)过程xt

=ut

+

1ut-140(2)MA(q)过程的自相关函数MA(q)过程的自相关函数是

当k

q

时，

k=0，说明

k,k=0,1,…具有截尾特征。424.ARMA(1,1)过程的自相关函数ARMA(1,1)过程的自相关函数

k从

1开始指数衰减。

1的大小取决于

1和

1,

1的符号取决于(

1-

1)。若

1>0，指数衰减是平滑的，或正或负。若

1<0，相关函数为正负交替式指数衰减。对于ARMA(p,q)过程，p,q

2时，自相关函数是指数衰减或正弦衰减的。43四、偏自相关函数偏自相关函数是描述随机过程结构特征的另一种方法。用

kj

表示k阶自回归式中第j个回归系数，则k阶自回归模型表示为

xt

=

k1xt-1+

k2xt-2+…+

kk

xt-k+ut其中

kk

是最后一个回归系数。2024/5/147若把k=1,2…的一系列回归式

kk看作是滞后期k的函数，则称

kk,k=1,2…为偏自相关函数。它由下式中的红项组成。

xt

=

11xt-1+ut

xt

=

21xt-1+

22xt-2+ut。。。

xt

=

k1xt-1+

k2xt-2+…+

kk

xt-k+ut2024/5/148对于AR(2)过程，当k

2时，

kk

0，当k>2时，

kk

=0。偏自相关函数在滞后期2以后有截尾特性。对于AR(p)过程，当k

p时，

kk

0，当k>p时，

kk

=0。偏自相关函数在滞后期p以后有截尾特性，因此可用此特征识别AR(p)过程的阶数。

MA(1)过程的偏自相关函数呈指数衰减特征。若

1>0,偏自相关函数呈交替改变符号式指数衰减；若

1

0，偏自相关函数呈负数的指数衰减50五、时间序列模型的建立与预测建立时间序列模型通常包括三个步骤:（1）模型的识别;（2）模型参数的估计;（3）诊断与检验。模型的识别就是通过对相关图的分析，初步确定适合于给定样本的ARIMA模型形式，即确定d,p,q的取值。2024/5/1531.模型的识别

模型的识别主要依赖于对相关图与偏相关图的分析。在对经济时间序列进行分析之前，首先应对样本数据取对数，目的是消除数据中可能存在的异方差，然后分析其相关图。识别的第1步是判断随机过程是否平稳2024/5/155由前面分析可知，如果一个随机过程是平稳的，其特征方程的根都应在单位圆之外。如果(L)=0的根接近单位圆，自相关函数将衰减的很慢。所以在分析相关图时，如果发现其衰减很慢，即可认为该时间序列是非平稳的。这时应对该时间序列进行差分，同时分析差分序列的相关图以判断差分序列的平稳性，直至得到一个平稳的序列。对于经济时间序列，差分次数，即模型ARIMA中的参数d通常只取0，1或22024/5/1562模型参数的估计AR(P)模型的估计采用OLS法.MA(q)和ARMA(q)模型的估计比较复杂.2024/5/163AR(p)的最小二乘估计普通最小二乘法ARMA(p,q)的最小二乘估计非线性最小二乘估计3诊断与检验完成模型的识别与参数估计后，应对估计结果进行诊断与检验，以求发现所选用的模型是否合适。若不合适，应该知道下一步作何种修改。这一阶段主要检验拟合的模型是否合理。一是检验模型参数的估计值是否具有显著性；二是检验模型的残差序列是否为白噪声。参数估计值的显著性检验是通过t检验完成的2024/5/166Q检验的零假设是

H0：

1=

2=…=

K即模型的误差项是一个白噪声过程。Q统计量定义为

Q=T(T+2)近似服从

2(K-p-q)分布，其中T表示样本容量，rk

表示用残差序列计算的自相关系数值，K表示自相关系数的个数，p

表示模型自回归部分的最大滞后值，q表示移动平均部分的最大滞后值。2024/5/167用残差序列计算Q统计量的值。显然若残差序列不是白噪声，残差序列中必含有其他成