2022-2023学年甘肃省酒泉市成考专升本数学(理)自考真题(含答案)

2022-2023学年甘肃省酒泉市成考专升本数

学（理）自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.已知角a的顶点与直角坐标系的原点重合始边在X正半轴上，终边

经过点（；，一1）,则sina的值是（）

A.A.-1/2

B.f

C.1/2

后

D.

任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是（）

A,0.3

2.

已知一个等差数列的第5项等于10,前3项的和等于3,那么这个等差数列的公

差为（）

（A）3（B）l

3（0-1（D）-3

4.

第3题函数y=e|x|是(

A.奇函数，且在区间(0,+8)上单调递增

B.偶函数，且在区间(-*0)上单调递增

C.偶函数，且在区间(-*0)上单凋递减

D.偶函数，且在区间(-*+与上单调递增

一位a5球运动员投凝两次.若两投全中得2分,若两投一中得।分,若两投全

不中得0分.已知该运动员两投全中的概率为0375.两技一中的概率为0$W

他投强两次得分的期缺值足

5.fA)1625<B)IS<C)1.325(D)1.25

⑴设集合"=I国力/+/<"，集合”=山,)噂“V】i,则集合V与集合N

的关系是

(A)MU、=盟(B)AfnJY=0

(C)W⑺MW/Y

7.设集合人=区因52},B={X|X>-1},则AnB=()

A.{XB.C.XD.<1}E.{XF.G.XH.<2}I.{J.-l<<2}K.{

8.已知f(x)是偶函数，定义域为(-8,+s),且在［0,+◎上是减函数,

设P=a2-a+l(a£R),贝！|()

A—尸)

B.

仆IN"

Dd)w”

在0到21r之间满足8inx=-4■的x值是

(A)竽或红(B)竽

以3后

511IT

9.⑹得(D)M或工

^6O

曲线p-2?+3在点(-1.5)处切线的斜率是

<A>4B<2<C)-2'D>4

_LU・

11.

第4题函数y=yiog^(4x-3)的定义域是()

A.3/4<x<lB.x<lC.x>3/4D.x>3/4

12.函数y=sinx+cosx的导数是()

A.A.sinx-cosxB.cosX-sinxC.sinx+cosxD.-sinx-cosx

若△斯(：的面积是64,边48和4c的等比中项是12,那么siM等于()

(A)亨(B)|

(C)*(D)|

13.59

14.函数y=sin(x+3)+sin(x-3)的最大值为()

A.-2sin3B.2sin3C.-2cos3D.2cos3

15.小।的解集是

A.A.•--1-2

CXI2>2或XW；3

D.

16.已知直线il：x+y=5与直线i2：y=k（x+l）-2的交点在第一象限内，

则k的取值范围是（）

A.J<*<7B.-3<*<—C.-7<*<jD.-1<*<7

17.下列四个命题中为真命题的一个是（）

A.A.如果两个不重合的平面有两个不同的公共点A,B,那么这两个平

面有无数个公共点，并且这些公共点都在直线AB上

B.如果一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行

C.如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个

平面

D.过平面外一点，有无数条直线与这个平面垂直

18.从2、3、5三个数中，任取两个数，可组成（）个真分数

A.2B.3C.4D.5

19.峨数人口=』+9'+3*-9,已知〃*）在*=-3时取得横值,则。=A.2B.3C.4D.5

20.设角a的终边经过点(4,・3),则cos(a+n/3)=()

A4+3)

A.A.'

21.

设0<a<b<l，则()

A.loga2<logb2

B.log2a>log2b

C.al/2>6bl/2

D.(打>(3

22.若a<b<0,则下列不等式中不成立的是

A.R工C.Ial>l6ID.“2>加

aba-bQ

23.设函数f(x)=(m-l)xA2+2mx+3满足f(-l)=2,则它在()

A.区间［0,+◎是增函数B.区间(-co,0］是减函数C.区间(-8,+◎是奇函

数D.区间(-8,+◎是偶函数

24已知三-I的焦点在y,上，则m的取值ISIS是

A・c<2或B,2<m<3

C.・>3D.m>3或?-<m<2

25.设A、B、C是三个随机事件，用A、BsC的运算关系()表示事件：

B、C都发生，而A不发生.

A.AUBUC

B.ABC

C.AUBUC

D.A市

26.f(x)为偶函数，在(0,+oo)上为减函数，若

/(V3)=/(-V3X0,,则方程f(x)=0的根的个数是

A.2B.2或C.3D.2或3

已知直线/1：2*-叼=0.4：3工-2"5=0,过人与乙的交点且与人垂直的直线方

程是()

(A)8x-4y+25=0(B)8x+4y+25=0

28.(C)8x-4y-25=0(D)8x+4y-25=0

29.设sina=l/2,a为第二象限角，则cosa=()

A.A.-Y3/2B.-Y2/2C.l/2D.43/2

已知Ial=3,1Bl=6,且a与b的夹角为90。,则(a+»尸=()

(A)81(B)60

(C)-10(1))45

二、填空题（20题）

31.从-个正方体中截去四个三棱锥，得-正三棱锥ABCD,正三棱锥的体

积是正方体体积的.

直线3*+4y-12=0与彳轴，轴分别交于4,8两点为坐标原点，则△048的

32.冏长为

33K

34.化荷布+〃+加-而=_

已知随机变量f的分布列是:

f012345

P0.10.20.30.20.10.1

则殳=.

35.

己知球的一个小圆的面枳为K,球心到小圆所在平面的即离为五，则这个球的

36.表面枳为-----------

37.

已知随机变量g的分布列是：

012345

2

P0.10.20.3L0.2L0.1L0.1L

贝！IEg=__________

抛物线V=2"的准线过双曲呜〜一1的左焦点，则

39........................................

不等式3三,＞。的解集为

40.

41.tAABC中，若a»A=^-^，/C=150*.BC=1.则AB

42.方程

A/+Ay?+Dz+Ey+F=0(A#0)满足条件(方)，(2A)A

它的图像是

43.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

44.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的

余弦值等于

45.如果二次函数的图像经过原点和点（-4,0）,则该第二次函数图像的

对称轴方程为.

46.设离散型随机变量x的分布列为

X-2-102

P0.20I0.40.3

则期望值E（X尸

-7181+--------------------------,

47.3、2°

48.已知ij,k为单位向量且互相垂直，向量a=i+j,b=-i+j-k则a*b=

49.正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是

某射手有3发子弹，射击一次,命中率是0.8,如果命中就停止射击，否则一直射到

50.子弹用完为止，那么这个射手用子弹数的期望值是_____--

三、简答题（10题）

51.（本小题满分12分）

为正喂数）.

设数列2.1满足5=2rtl3a.-2（n

⑴求生；

（2）求数列的通项.

52.（本小题满分12分）

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

（1）过这些点的切线与x轴平行;

（2）过这些点的切线与直线y=x平行.

53.

（本小题满分13分）

2sinffcos6♦—

设函数/⑻=旺［。4

⑴求/（即

（2）求/“）的最小值.

54.

（本小题满分12分）

已知椭WI的离心率为号，且该椭圆与双曲蜡-八1焦点相同•求椭圆的标准

和庭线方程.

55.（本小题满分13分）

从地面上A点处测山顶的仰角为明沿A至山底直线前行a米到B点

处，又测得山顶的仰角为0,求山高.

56.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

57.（本小题满分12分）

已知既，吊是椭网急+乙=1的两个焦点,尸为椭圆上一点,且乙F、PF>=30。,求

△PFR的面积.

58.

（本小题满分13分）

如图,已知楠圈G：g+/=i与双曲线G：4-r,=*（o>>）.

aa

（I）设A分别是G£的离心率,证明e,e3<1;

（2）设44是G长轴的两个端点,尸（%,无）（1*。1>a）在G上,直线P4与G的

另一个交点为Q,直线「名与a的另一个交点为/?.证明QK平行于了轴.

59.（本小题满分12分）

巳知点4(与，；)在曲线，=X+j-上.

(1)求1的值；

(2)求该曲线在点A处的切线方程.

(25)(本小题满分13分)

已知抛物线/=上，0为坐标原点J为抛物线的焦点.

(I)求10月的值；

(n)求抛物线上点P的坐标,使的面积为系

60.

四、解答题(10题)

61.

设椭闽+g-l(a>6>0)的左、右焦点分别为Fi和F：,直线/过F1且斜率为总‘

ab

A(x0.y.)(y.>0)为/和E的交点.AR_LFR.

(I)求E的离心率；

(II)若E的焦距为2,求其方程.

62.

已知圆的方程为+ax+2y+/=0'一定点为4(1,2).要使其过定点4(1,2)

作圆的切线有两条，求a的取值范围.

63.已知正六边形ABCDEF的边长为a,PA为过点A而垂直于正六边

形所在平面M的垂线，且PA=a求：

(I)点P到AB、BC、CD各边的距离；

(II)PD与平面M所成的角.

D

GBC

64.

巳知-3,4)为■♦£・l(・2>0)上的一个点,且p与两焦点的连

纹垂直,求此■■方程.

65.设函数f(x)=ex-x-l.

(I)求f(x)的单调区间；

(11)求他)的极值.

66.设双曲线£一号=1的焦点分别为R£，离心率为2.

⑴求此双曲线的渐近线11,12的方程;<br>

(H)设A,B分别为il,12上的动点，K2|AB|=5|F1F2|,求线段AB

中点M的轨迹方程.并说明是什么曲线.

67.设函数f(x)=x3+x-l.

(I)求f(x)的单调区间；

(II)求出一个区间(a,b),使得f(x)在区间(a,b)存在零点，且b-aV

0.5.

设南敷

nintf.CCM0

什)求/

(2)求人6)的最小值.

68.

两条直线X+2ay-1=0与(3a-1)工-ay-1=0平行的充要条件是什么?

69.

若是定义在(0.♦«>)上的增函畋，且人工)・，*)

(I)求〃1)的值;

70"匕/"I,解f、等式小+1一八：)<2

五、单选题(2题)

71.已知f(x)是偶函数，且其图像与x轴有四个交点，则方程f(x)=O的

所有根之和为

A.4B.2C.lD.0

刀等差数列｛4｝中，若m=2,田=6,则%=

/1・()0

A.10B.12C.14D.8

六、单选题(1题)

一箱子中装有5个相同的球，分别标以号内1.2,3,4,5,从中一次任取2个

球，则这2个球的号码都大于2的概率为工

(A)-(B)一(C)?

73.2

参考答案

1.A

2.B

X公式p⑷u，试验中竽临出现的结栗

”=G•事件A包含的站果，“一心

所以P0=色丁等「小

【分析】本题考查等可能事件电率的求法.是历

年考试的内容.

3.A

4.C

5.D

6.D

7.C

8.C

9.D

10.D

11.A

12.B

13.D

14.Dy=sinxcos3+cosxsin3+sinxcos3-cosxsin3=2sinxcos3,sinx的最大值为

1,故原函数的最大值为2cos3.

15.A

16.A

解法一：求直线11与12的交点坐标，即求解方程组

•r+y=。.①

IkAQ+D-2.②

将②代人①♦得工+人1+1)-2=5.

笛理得S+】Kr=7-A所以JT=W

将箕代人①中,得,=黜

因为两面线的交点在第一象限,所以

所以《OV7.

解法二：直线12是过点P(-L-2),斜率为七的直线，而11与x轴和y

轴的交点分别为A(5,0)和B(0,5).若il与i2的交点在第一象限，

则有MVAV5《如图).而A删二沿二冬一4.

【考点指要】本题主要考查直线方程、两条直线的交点坐标及数形结

合的解题思想，考查考生的综合解题能力.

17.A

18.B

从2、3、5中任取两个数，大数做分母，小数做分子，两个数组成的

分数是真分数形式只有一种，所以所求真分数的个数为°=3种

19.D

D■析:如“门*)7/+2»+3.用*―

20.A

lq\OP\=3)'=5.sim0—=,cosa

=il•(答案为A)

21.D

22.B

因为a<b<0,l/a>l/b选项A成立。讨论B是否成立时，可用做差比

较法。

・・]1「.Tai)—b

*a—^(a—b)aaaQ-b''

a<0

•••«y。,•••肃而R

a一6V0

即」FC1-,故选项B不成立.

a-ba

23.D

D【解析】由/(彳)=(析-1)/+2机1十3

满足/(—1)=2,即(m—1)—2m+3=2,〃?=0.

函数的解析式为八幻=一/+3,是顶点在(0.3)

开口向下的抛物线.

当zVO时,/(z)单调递增，

当£>0时,f(i)单调递减.

又/'(一/)=—(—工/+3=—f+Bn/Xz)是偶函

数.故选D.

24.D

D解析:由制用性质可知衣厂+6>°=…或冬<w<2.

15m-6>05

25.B选项A,表示A或B发生或C不发生.选项C,表示A不发生或

B、C不发生.选项D,表示A发生且B、C不发生.

26.A

由已知f(x)为偶函数，所以f(x)关于y轴对称

得/(；)=八一｝>>°，

L**

/（伍）=/（-6）V0.

由法数连续性如，工由一W变化到一•，品数值

由负变为正由十变化到6•晶数值由正变为

负.故方程/(x)=o的根的个数是2(周田表示・

如下国).

27.D

本题属于读图题型，在寻求答案时，要着重讨论方程的表达式。

28.B

29.A

30.D

31.1/3截去的四个三棱锥的体积相等，其中任一个三棱雉都是底面为直角

三角形，且直角边长与这个三棱锥的高相等，都等于正方体的棱长.设正

方体的棱长为a,则截去的一个三棱锥的体积为l/3xl/2axaxa=l/6a3,^(a3-

4xl/6a3)/a3=l/3

32.12

33.

0MVf：t2/I!；•>'•1।sit-=Vt1-1■fam"[-

…3/-13M1*-i

34.

2.3

35.

36.

37.

2.3

38.

39.

4

【解析】该小题主要考查的知识点为圆锥曲线的性质.

【考试指导】

由题意如，;>>0.抛物线y=2他的

2

准线为工=。，双曲线方1y=1的左焦点为

乙«5

（-ym,o）,即（一2.0）,由题意知.一号一

—2»/>=4.

40.

X>-2,且Xr-l

41.

△ABC中,0<A<180,.sinA>0.sinA-/FEs仄=J1一（=噌，

X

士TH—mreAnBCsinC1Xsinl50-2_\/10（处4%4^\

由正弦定理可知AB=F------丁.（答案为今）

42.

【答案】点（-枭-白）

AM+"+。工+Ey+F=0.①

将①的左边配方.得

（才+余）+G+若）？

=（%+（/$

，,•（/）'+（/）：£=。，

D

工=一源

方程①只有实数解1.

Vs3——E

r2A

即它的图像是以（一/，一曷）为圆心0

的8B.

所以表.示一个点（一3•一/）,也称为点园

43.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作8点关于工轴对•称的点B'(2.-6).连接

Mi'.AB'即为入射无线所在直线,由两点式知

鬲工+3=号丫―45+、+2=0.

44.

(20)【参考答案】4

n

设三棱锥为P-ABC,0为底面正三角形ABC的中心,则。/，，面AHC.LPCO即为倒校与底

面所成角.

设A8=l,则PC=2,OC=¥，所以

—zPm0CR

cosZ.rC0=—=—.

【解题指要】本题考查三棱锥的知识及线面角的求法.

正三棱锥的底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面正三角形的中

心，这是解题中应使

用的条件.

求线面角通常的方法是利用线面角的定义，求斜线和斜线在平面内的射

影所成角的大小.

45.

46.

47.

2A/2

±718i+-|V8i=1x3V2i+yX2#L卷X5Ai=2&i.

48.答案：0解析：由向量是内积坐标式，坐标向量的性质得：

；'―产=公=］，i•j=J•k~i-Jt=o

«=i+j,b=_i+j_k,得:

a・b=(i+j)(_i+jT)

=一?+尸

=~i+1

=0.

49.

设正方体的校长为z,6/=a：,工=g,因为正方体的大对角线为球体的直径.右2r=j3j

V6

=胃，即r=g.所以这个球的表面积是S=4-•怜")’=#.(答案为浮)

50.126

51.fi?

⑴4“=3°.-2

o..t-1=3a.-3=3(a.-1)

(2)|a.-H的公比为Q=3,为等比数列

/.a,-1=(a,-1)<?**'=9-*=3-*

a.=3**'+1

52.

（1）设所求点为（q.九）.

y'=-6x+2,y'=-6x©+1

由于工轴所在直线的斜率为。,则-6%+2=0.R=/.

因此为=-3♦+2•；+4=*

又点（",号）不在x轴上，故为所求.

（2）设所求为点（与.九），

由（I），=-6%+2.

•・"

由于y=N的斜率为I,则-6工"+2=1,Xf>=

因此,o=-3•2+2•]+4=1.

703664

又点（看吊不在直线y=x上.故为所求.

53.

3

I+2mntfc<»^+—

由整已知小。）

sin。+costf

(sinfi-t-cosd)2

______________/

sin。♦co函

令4:♦cosd.得

M「义二%稔=1石一得】、24.第

由此可求得J（£）=%4。）最小值为南

54.

由已知可得椭圆焦点为K（-6,0）,吊（6.。）,……3分

设椭圆的标准方程为3+疥1（。>6>0）,则

°，=V+5,

,也总解得｛：：…5分

,o3

所以椭圆的标准方程为:+£=1.；……9分

桶08的准线方程为X=土36……12分

55.解

设山高CD=x则RtAADC中,AP=xco<a.

Rt△BDC中.BD=xco(^v

^(5^48=AD-RD.所以a=xcota-xcotfl所以x=-------------

cola-co.

答:山离为h」—次

cola-©olp

56.解

设点B的坐标为(士,力).则

1,

im=y(x,+5)+y1(D

因为点B在椭圆上,所以2x,s+y/=98

y「=98-2x/②

将②代人①，得

JJ

1481=/(xt+5)+98-2x,

i

=v/-(x,-lOxl+25)+148

=7-(*,-5)5+148

因为―)'W0,

所以当±=5时，的值锻大，

故M8I也最大

当与=5时.由②.得力=±45

所以点8的坐标为(5.4万)或(5.-44)时以81最大

57.

由已知,桶圈的长轴长2a=20

设1阳1由椭圆的定义知,m+n=20①

又J=l00-64=36,c=6,所以K（-6.0）.吊（6,0）且1"吊|=12

在△。工心中,由余弦定理得/♦斯-2mc<M3（r=12'

m，+/-Qmn=144②

w*42mn+n2=400,③

③-②♦得（2♦万）mn=256,nm=256（2-场）

因此・△P£F’的面积为:mm*in30°=64（2一百）

58.证明：（1）由已知得

由（2X3）分别得竟-/）.y?=1（。’~<i）.

aa

代人④整理得

同理可得Y

所以孙二4/。,所以o/r平行于，轴.

59.

（1）因为;=一二.所以方=L

（2）y，=一:k",="J

曲线y=工'在其上一点（1./）处的切线方程为

即X+4-3ao.

（）解：（）由已知得（：）

25IFo,0,

所以IOFI=：.

o

（n）设P点的横坐标为明（x>o）

则p点的纵坐标为第或一片,

△。尸。的面积为

解得》=32,

60.故P点坐标为（32,4）或（32.-4）.

61.

《I）由题设知△AFiH为直角三角形，且

tanZAF,F.=—.设焦距|F|B|=2c,则

*AF?I=4-c.IAT,|

4i

2a—IAF]|H-JAF2\=4c.

所以离心率

0=2=京=9・（7分）

（H）若2r=2■则r=1,且以=2.

b2=»a2-c2=3,

椭圆方程为9十号=1.（13分）

qu

解方程X1+y2+ax+2y+a2=0表示网的充要条件是:/+4-4a2>0.

即■'所以-°<亨"

A（l,2）在圆外，应满足：1+22+a+4+a2>0

即a?+a+9>0,所以aeR.

综上,。的取值范围是（-苧,竽）.

62.

63.

(I》加图所示.

•；PA_L平面M..,.PA1BC.

点P到AB的距■为明

过A作8c的重线交CB的0长线于G,逢站

:.BC1平面APG.WPG^AH,

。:AG—号a*PA-。.

：.ftRvAAPG中，P(A/PA,十入'"a,因此P到BC的*离为,

VPAlTilM,

...AC厘PC在平面M上的射影.

又TAD是正六边形ABCDEF外接Pi的直航・

.,•ZACD-90*.

因此ACLCD.所以CD_L平面ACP.WPC是0到CD的电育•

VAC-=V3«.PA-«.

.,.PC-v/3?TZ-2a.RttP到CD的阴离为2a.

DAa1

《D)设PD与DA所失的角为。•在RtZ\PAD中一《・=而・心・彳•

•••L.rctanJ为PD与平面M所灾的缸

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•M内触意&HHI网除，u*际F,(Y.O,八”.m.

；PF」PF1、

•/E♦%一分划为PF,PF：的察为.

44

.一»,=

-3*°-3-，

V以-3.4，•4・Q1IK4♦摄

又

由®②，江，存/-45看-20.?-M

*.■皿方ft!为a♦工*L

65.

（I）承故的定义域为（-8-+8）・

/（1）«=（《*―Z一］）'./-1，

令人工〉-0.1-1-0•得”=0，

当iW（一8・0）时./（xXO.

1rs（0,+8）时,人工）〉。・

：./《力在（.8.0）内隼调减少，在（0,十°°）单调增加.

又•••义工）在x=0左他单调减少，在x-0右禽单徜增）《♦

・・.1-0为极小值点,且/（工）的极小值为°，

66.

【♦寿答案】（I）因为马中=2.解得a：=l,

所以双曲线方程为

其渐近线/）th方程为&y-工=0或/卜+彳=0.

（U）因为IF1F/-4,且21ABi=51FiHl.BJ得

I