【新人教版高中数学选择性必修第一册课时作业】空间向量与空间角

空间向量与空间角

（45分钟100分）

一、选择题（每小题6分，共30分）

1.在空间中，已知二面角aT-B的大小为生,m,112分别是平面a,B的法向量,则

3

ii2＞的大小为（）

A.-B.-C.空或二D.-

33336

2.二面角的棱上有A,B两点，直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内，且

都垂直于AB,已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=2V17,则该二面角的大小为（）

A.150°B,45°C,60°D,120°

3.如图所示,正方体ABCD-ABCD中,M是棱DDi的中

点，点0为底面ABCD的中点,P为棱AB上任一点，

则异面直线OP与AM所成的角的大小为（）

A.-B.-

43

C.-D.与点P的位置有关

2

4.直三棱柱ABC-AiBiCi中，ZACB=90°,AC=1,CB=y/2,

侧棱AAkl,侧面AABB的两条对角线交点为D,则平面B】BD与平面CBD所成角的

余弦值等于（）

A.-老B.渔C.—D.--

NN2N

5.在矩形ABCD中,AB=1,BC=V2,PAL平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成角

是（）

A.30°B,45°C.60°D.90°

二、填空题（每小题8分，共24分）

6.（2013•东莞高二检测）正方体ABCD-ABCD中，直线BQ与平面A】BD所成角的

余弦值为.

7.（2013•金华高二检测）如图,在正方体ABCD-ABCD中,M,N分别是CD,CG的中

点，则异面直线AM与DN所成的角的大小是.

8.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PAJ_平面ABCD,PA=AD=AC,点F为

PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为.

三、解答题（9题,10题14分,11题18分）

9.（2013•厦门高二检测）如图，在正方体ABCD-ABCD中,E为AB的中点.

⑴求异面直线BDi与CE所成角的余弦值.

（2）求二面角A-EC-A的余弦值.

10.（2013•秦皇岛高二检测）如图，AABC是以NC为直角的等腰直角三角形,直

角边长为8,DE〃BC,AE：EC=5:3,沿DE将4ADE折起使得点A在平面BCED上的

射影是点C,MC=-AC.

3

⑴在BD上确定点N的位置，使得MN〃平面ADE.

（2）在（1）的条件下,求CN与平面ABD所成角的正弦值.

11.（能力挑战题）（2013•北京高考）如图，在三棱柱

ABC-AiBC中,AACC是边长为4的正方形.平面ABC,平面

AAxCiC,AB=3,BC=5.

(1)求证:AAi，平面ABC.

⑵求二面角A-BC-B1的余弦值.

(3)证明:在线段BG存在点D,使得ADXAiB,并求吧的值.

BCt

答案解析

1.【解析】选C.当为锐角时，巴=三；当为钝角

33

时,<nn>=—.故选C.

b23

2.【解析】选C.由条件知CA•AB=O,AB•BD=O,CD=CA+AB+BD,

A|CD|-(CA+AB+BD)2=62+42+82+2X6X8Xcos<CA,BD>,

得COS〈EA,而>=T...所求二面角的大小为60°.

【变式备选】如图，在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD

中，ZABC=90°,SA_L平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=-,则平

面SCD与平面SAB所成二面角的余弦值为()

A.立B.逅C.老D.立

2342

【解析】选B.建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,0,0),D(i0,0),C(1,1,0),

S(0,0,1),平面SAB的一个法向量是0,0),并求

得平面SCD的一个法向量n=(1,--,cos<AD,n>=

"二丑，结合图形知所求二面角的余弦值为三.

\AD\\n\33

3.【解题指南】本题可通过解立体几何的方法求解，或者建立空间直角坐标系用

向量法来解.

【解析】选C.方法一：取AD的中点E,连接AiE,则△AiAEgaADM,ZAA1E=ZDAM,

NAA|E+NAiAM=m，.\AM_LAE

2

又P0在平面ADDA内的射影为A|E,

.•・异面直线OP与AM所成的角的大小为:

方法二:建立如图所示的空间直角坐标系，设正方

体棱长为1,则A(0,0,0),M(0,1,i),0(ii0),

设P(m,0,1).

.\AM=(0,1,i),OP=(m-S--,1),

222

一AM-OPlX(--)+-Xl

.,.cos<AM,0P>=?Y=3z、=0,

|AM|-|OP||AM|-|OP|

.-.AM±OP,异面直线OP与AM所成的角的大小为工

2

4.【解析】选D.建立如图所示的坐标系，由题意可

知，B0,0),A(0,1,0),0,1),0(0,0,0),

D(4),

797

...cb=(三,,CB=(V2,0,0),BA=(-72,1,0)^^=

(0,0,1),设平面CBD和平面BED的一个法向量分别为

111,U2,求得Ill=(0,1,—1),

112=(1,V2,0),所以cos<nbm>=JU结合图形判断得平面&BD与平面

\ny|\n21*

CBD所成角的余弦值为

5.【解析】选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则人

P(0,0,1),。(1,\20),反=(1,\，2-1),平面ABCD的一个\V\

C

X

法向量为n=(0,0,1),

一PC•n一

所以cos<PC,n>==^——所以〈PC,n>=120°,

IPCIIni7

所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°,

所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.

6•【解析】如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长

为1,则D(0,0,0),Al(1,0,1),B(1,1,0),C1(0,1,1),

.•.次1=(1,0,1),品二(1,1,0),B?F(-1,0,1),

设n=(x,y,z)为平面AiBD的法向量,则

=0,

n•I)Ai:z=g取设直线

n•~DB=0,+y=o,

〃,2

BG与平面ABD所成角为6,贝Usin9=|cos<n,BC]>|二•BG|

VixVaa

n\|BG|

••cos9—.

答案w

7.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz,设

AB=1,则0),N(0,1,-),

cos〈A；M,而>二4产自=上二o,Rj7A；M_Llik,贝|A】M

lAiMHDNI

与DN所成角的大小是90°.

答案:90°

8.［解析］如图所示，令ACABD=O,连接OF.以0为原

点，OB,OC,OF所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.设PA=AD=AC=1,则

BD=V3.所以B(J,0,0),

F(O,O「)，C(O二,0).

结合图形可知，OC=(0,0)且&为平面BOF的一个法向量，由*二(-立二,0),

FB=(-,0,--),可求得平面BCF的一个法向量n=(1,V3,V3).

所以cos<n,0C>=—,sin<n,0C>=—,

77

所以tan<n,0C>=-V3.

3

答案

3

【误区警示】在本题中，由于空间几何体形状不是非常规则，故合理建系是关键,

否则会加大运算量，并易导致失误.

9.【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz,设

AB=1,则B(1,1,0),D1(0,0,1),0(0,1,0),E(1,i0),

⑴m二(7,7,1),&0),故

/c工厂BD-CE

cos〈BDi,CE>=X--

IBDillCEl

二八-二-四，所以异面直线B»与CE所成角的余弦值

氏述15

2

(2)D»J_平面AEC,所以Di)］为平面AEC的一个法向量，DE)产(0,0,1),设平面AEC

的法向量为n=(x,y,z),又A；E=(0,A；C=(7,1,7),

n,A,E=0,

即J—z=0,

取n=(1,2,1),

n•AiC=0，l-x+y-z=0,

所以cos<DD,n>=—.

1£

结合图形知二面角ALEC-A的余弦值为上

10.【解析】(1)由已知，点A在平面BCED上的射影是

点C,则可知AC_L平面BCED,而BC_LCE,如图建立空间

直角坐标系，则可知各点的坐标为0(0,0,0),

A(0,0,4),B(0,8,0),D(3,5,0),E(3,0,0),

由MC=?AC,可知点M的坐标为(0,0,色)，设点N的坐标为

33

(a,b,0),则可知b=8-a,即点N的坐标为(a,8-a,0),则

一Q

MN=(a,8-a,—).

3

/Hi,I)E=0,

设平面ADE的法向量为nF(x,y,z),由题意可知|.而

|Hi,AE=Q,

DE=(0,-5,0),

AE二(3,0,-4),

可得曰=°；c取x=4,则z=3,

(3x—4z=0,

可得n尸(4,0,3).

要使MN〃平面ADE等价于m•MN=0,即4a+0X(8-a)-3X-=0,

3

解之可得a=2,即可知点N的坐标为(2,6,0),点N为BD的靠近D点的三等分点.

(2)由(1)可知小二(2,6,0),设平面ADB的法向量为n2=(x',y',z'),由题意可知

fn2*I)B=Q,一一(一3x'+3v'=0

一.而DB=(-3,3,0),AB=(0,8,-4)可得0,二?二'取x=1,则

%・A/3=0,l8y-4z=0,

y=l,z=2,

可得m=(1,1,2).

设CN与平面ABD所成角为9,则sin9="'「.

15

In2I\CN\

【拓展提升】线面角的求解策略

(1)利用直线与平面夹角的定义，找到线面角，转化为求解三角形问题.

⑵利用最小角定理，即直线与平面内任一条直线所成的角中线面角最小，代入

公式cos9=cos91•cos32求解,

⑶建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量求解.

11.【解析】⑴因为四边形AAGC是正方形，所以AAJAC.

又因为平面ABCJ■平面AAGC,交线为AC,所以AAJ平面ABC.

(2)因为AC=4,BC=5,AB=3,所以AC±AB.分另4以AC,AB,AA,为x

轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则AM0,0,4),B(0,