八年级数学复习总结提纲加练习题

八年级数学复习提纲加练习题

第17章分式

1.分式

形如4(A、B是整式，且B中含有字母，B/o)的式子，

B

叫做分式。其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。

【注】分式中。分母不能为零，否则分式无意义。

2.有理式

整式和分式统称为有理式。

例题：

(1)下列各有理式中，哪些是分式？那些值整式？

(2)当x取何值时，下列分式有意义？

①_L,②③,土+2..®-_.

2xx+24x4-13x-5

练习：

(1)一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成,则

甲、乙两人合作完成需要()小时。

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A.l+iB」C.，D.旦

ababa+ba+b

(2)当a时，分式口有意义。

-----------2a+3

作业：

把下列有理式中是分式的代号填在横线上

①一3X；②三；③，2y_7冲2;④一)％;⑤；⑦

y38y+3x-l

-nlzl.⑧3m+2.

71().5

3.分式的基本性质

分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,

分式的值不变。

4.最简分式

分子与分母没有公因式的分式称为最简分式。

5.最简公分母

各分母所有因式的最高次塞的积

例题：

(1)约分

①2a②—2a(a+b)(g)(a-%)2④%2-4

3^73仇。+勿(7^7町+2y

(2)通分

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①3擀②上，4

3x12xyx+xx-x

练习：

2cx—5y

（1）不改变分式为上的值，把分子、分母中各项系数化为

—x+y

3

整数，结果是（）

A2x-15yB4x—5yC6x-15y012x-15y

4x+y*2x+3y4x+2y•4尤+6y

（2）分式:①?4,②R③岛*④一中，最简分

a-+3a--b-1l\a-b）x-2

式有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.分式的运算

（1）分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作

为积的分母，如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行

化简。

（2）分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与

被除式相除。

（3）分式的乘方等于分子分母分别乘方。

（4）分式的符号法则：

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_a_a_a-a_a—a

(1)~T=^b=~~b.(2)W=(3)

例题：

(1)计算

①变2生2②为2。垄2

by2b2xb2z2-b2x2

③(上T④(士丫

k-2x；kcJ

(2)水果店有两种苹果，甲种苹果每箱净重m千克。售a

元，乙种苹果每箱净重n千克，售b元，请问，甲种苹果的

单价是乙种苹果的多少倍？

练习：

(1)若分式上工的值为零,则x的值是()

x-x-2

A.2或-2B.2C.-2D.4

(2)计算用:8卷.雪

7y-3x3

(4)同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然

后再加减。

例题：

(1)计算

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①2+2②々a③二——3一

aaaabx-4x-16

（2）琳琳家距离学校a千米，骑自行车需要b分钟。若有

一天她从家出发迟到了c分钟，则她每分钟应多骑多少千米,

才能使到达时间和往常一样？

练习：

（1）化简，---L等于（）

a-ba+b

Aa2+b2R（a+0）2「a2-b20（a+b）2

3

（2）计算f±+l-±L

<XXX）

（3）某农场原计划用m天完成a公顷的播种任务,如果要提

前b天结束,那么平均每天比原计划要多播种公

顷.

作业：

计算

①上上—x4y,x2②(x+y)•仁+上

x-yx+yX4-/,/+y2

7.分式方程

（1）分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解分式方程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式,

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约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通

常取方程中出现的各分式的最简公分母。

（3）增根是指不适合原分式方程的解（或根），因此，解分

式方程必须进行检验。

（4）解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的

根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了方便起

见，可将它代入最简公分母中，看它的值是否为零,若为零，

则为增根。

例题：

（1）解方程

①4至②」-一--4

xx-\x+33-xx2-9

（2）列方程解应用题

2640名学生的成绩由两位程序操作员各向计算机输入,

已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2个小时输

完。问这两个操作员呢每分钟各输入多少名学生的成绩？

练习：

（1）当m=时，方程f=2-4会产生增根。

（2）若关于x的方程ax=3x-5有负数解,则a的取值范围是

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A.a<3B.a>3C.a'3D.a

W3

(3)解分式方程2+3=岛，分以下四步,其中,错误的一

x+1x-1X-1

步是()

A.方程两边分式的最简公分母是(xT)(x+1)

B.方程两边都乘以(x-1)(x+1),得整式方程

2(x-l)+3(x+l)=6

C.解这个整式方程，得x=l

D.原方程的解为x=l

作业：

(1)当X___________时，分式3T的值为负数。

2-x

(2)甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做1

天，再由两队合作2天就完成全部工程，已知甲队与乙队

的工作效率之比是3:2,求甲、乙两队单独完成此项工程

各需多少天？

8.零指数募与负整指数塞

(1)任何不等于零的数的零次幕都等于1。

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【注】0的零次嘉没有意义。

(2)任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幕，等于这个

数的n次塞的倒数。

a~"=--^(aw0,〃是正整数)

例题：

(1)计算

(2)计算下列各式，并把结果化成只含有正整指数累的形

式

①(a7)2卜后尸②仁3”-2)2

(3)用小数表示下列各数

①1CT4②2.1x10-5

练习：

(1)计算(―l)2+(g)—5+(2004-/)。的结果是o

(2)若x=V2-l,则x+x-.

作业：

计算

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①5W②卜J③(2m2/)3(f2)-2

9.利用10的负整指数幕，用科学记数法表示一些绝对值较

小的数，即将它们表示成axl(T"的形式，其中n是正整数，

l<|a|<10o

例题：

(1)用科学记数法表示

①0.00003②-0.0000064③

(2)一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？

练习：

(1)用10的负整指数幕填空

①1毫克=千克②1平方厘米=平方

米

③］纳米=微米二毫米二厘米二

分米二米

(2)把下列各数用科学记数法表示

①1000000②0.0000001③④-0.00000112

作业：

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自然界隐含着许多规律，一定质量的理想气体，当温度

保持不变时，它的压强P与体积V的乘积也保持不变。现在

它的压强Pi=L01xl（）5帕时，体积匕=2立方米，若这些气体加

压到“2:3.03x10s帕时，求这些气体的体积匕。（已知p”h，p2M满

足心=正）

匕匕

第18章函数及其图像

1.变量与函数

（1）变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫

做变量。

（2）一般的，如果在一变化过程中，有两个变量，例如x

和y,对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们

就说X是自变量，y是因变量。此时也称y是X函数。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（D有两个变量；（2）

一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自

变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对

应。

3表示函数关系的方法

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1）解析法（关系式法）：两个变量之间的关系，有时可以

用一个含有这两个变量的等式表示，这种方法叫解析式法。

2）列表法

3）图像法

（4）在问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保

持不变，我们称之为常量。

例题：

写出下列各问题中的函数关系式，并指出常量与变量。

①圆的周长C与半径r的函数关系式。

②火车以60km/时的速度行驶，它驶过的路程s与所

用时间的函数关系式。

③n边形的内角和的度数S与边数n的函数关系式。

（5）求函数自变量的取值范围

1.实际问题中的自变量取值范围

按照实际问题是否有意义的要求来求。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围

（1）解析式为整式的，x取全体实数；（2）解析式为分式的，

分母必须不等于0式子才有意义；（3）解析式的是二次根式

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的被开方数必须是非负数式子才有意义；(4)解析式是三次

方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3.函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，

称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。

例题：

(1)求下列函数自变量x的取值范围

①y=3x+l②y^2x2+1

③y=④y=y/x-2

x+2

(2)已知等腰三角形的面积是20而，设它的底边长是x(米),

求底边上的高y(米)关于x的函数关系式，并写出自变量

的取值范围。

练习：

(1)求下列函数自变量x的取值范围

①y=-2x-5x2②y=③y=J2x-1

x+3

(2)分别写出下列问题中的函数关系式，指出自变量和因

变量，以及自变量的取值范围。

①寄一封重量为20克以内的市内平信，需邮资0.60元,

求寄n封这样的信所需邮资y(元)与n间的函数关系式。

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②如果一个直角三角形中一个锐角是a,那么求另一个

锐角的度数B与a之间的函数关系式。

2.函数的图像

（1）直角坐标系

1）在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位

长度的数轴，这就建立了平面直角坐标系。通常把其中水平

的一条数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴

叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两数轴的交点0叫做坐

标原点。

2）在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实

数来表示。例如点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为

M和N。这时，点M在x轴上对应的数字是m,称为点P的横

坐标；点N在y轴上的坐标为n,称为点P的纵坐标，得到

一对有序实数（m,n）,称为点P的坐标，可记为P（m,n）。

3）在平面直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成I、II、

III、IV四个区域，分别称为第一、二、三、四象限，坐标轴

上的点不属于任何一个象限。

4）在平面直角坐标系中的点和有序实数对是---对应的。

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III

miv

i.平面直角坐标系

⑴坐标平面内的点与

⑵根据点所在位置填图

⑶x轴上的点坐标为0,y轴上的点坐标为0.

⑷P(x,y)关于X轴对称的点坐标为,关于y轴对

称的点坐标为,

关于原点对称的点坐标为.

例题:

在直角坐标系中描出点A(2,3),分别找出它与x轴、y

轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标，说出这些点分别

在第几象限？

练习：

在如图所示的国际象棋棋盘中，双方四只马的位置分别

是A(b,3)、B(d,5)、C(f,7)、D(h,2)，请在图中描

出它们的位置

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abodegh

(2)函数的图像

1)一般来说，函数的图像是由直角坐标系中的一系列点

组成。图像上的每一点的坐标

(x,y)代表函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量

的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值。

2)画函数图像的方法：描点法。即列表、描点、连线三

步。

例题：

(1)画出y=0.5x的图像

X-3-2-10123

y

(2)爷爷和小强去爬山，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷，

两人都爬上了上顶，图中两条线段分别表示小强和爷爷离开

山脚的距离(米)与爬山所用的时间(分)的关系看图回答

问题：

①小强让爷爷先上了多少米？②山顶离山脚的距离有

(1)画出下列函数图像，并判断大括号里的点是否在该图

像上。

①y=3x-1,{(0,-1),(-2,-7)(1,-2),(2.5,6.5)}

②y=击(北0)，卜，2),(用,(3,1)}

(2)周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16

时回到家里，他离家的距离s(千米)与时间t(时)的关

八S(千米)

系可以用图中的曲线表示，根据这个图像胤答下列问题。

①小李到达离家最远的地方是什么时仆算Izziz/n\

②小李何时第一次休息？m/；\

③10时到13时，小李骑了多少千米？4/...........\)

°8910111213141516f(时)

④返回时，小李的平均车速是多少？

3.一次函数

(1)函数的解析式都是用自变量的一次整式表示，我们称

它们为一次函数。

一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b

是常数，k^Oo

特别的，当b=0时，一次函数丫=1«(常数心0),也叫

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做正比例函数。

(2)一次函数的图像

一次函数y=kx+b(k、b是常数，kwO)的图像是一条

直线，通常也称为直线y=kx+bo特别的，正比例函数y=kx

(k/0)的图像是经过原点(0,0)o

对于直线丫=10^43(k^b是常数，kwO),k表示直线的

倾斜程度。b是直线与y轴交点的纵坐标。

(3)一次函数的图象：函数y=kx+b(k、b是常数，kWO)

的图象是一条直线.过点(0,6)且与直线丫=1«平行

例题：

(1)在同一个坐标系内画出下列函数图像，并说出它们有

什么关系？

①y二-2x②y=-2x-4

(2)①将直线y=-2x+3向下平移5个单位，得到直

线.

②直线y=-5x+7可以看作是由直线y=-5x—1向

平移一个单位得到的。

(3)求函数y=与X轴、y轴的交点坐标，并求这条直

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线与两坐标轴围成的三角形的面积。

(4)写出一条与直线y=2x-3平行的直线

练习：

(1)①直线y二一x+2与x轴的交点坐标是,与y

轴的交点坐标是

②直线y=*2与x轴的交点坐标是,与y轴

的交点坐标是

(2)直线尸2x-3可以由直线y=2x经过单位而得

到;直线y=-3x+2可以由直线y=-3x经过而得到；

直线y=x+2可以由直线y=x-3经过而得到.

(3)写出一条与直线y=2x-3平行，且经过点(2,7)的直

线

作业：

(1)直线y=4x—3过点(,0)、(0,)；直线

y=」x+2过点(，0)、(0,).

3---------------------

(2)一次函数y=3x+b的图象与两坐标轴围成的三角形面

积是24,求b0

(3)一次函数的性质

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设y=kx+b(kWO),则

当k>0时，y随x的增大而增大；当kVO,y随x

的增大而减小.

当b>0时，直线交y轴于正半轴；当bVO时，直线交

y轴于负半轴；当b=0时，直线过原点

正比例函数的图象：函数y=kx(k是常数，kWO)的图象

是过原点及点(1,k)的一条直线.

当k>0时，图象过原点及第一、第三象限；当k<0

时，图象过原点及第二、第四象限.

正比例函数的性质：设y二kx(kWO),则当k>0时，y随

x的增大而增大；当kVO时，y随x的增大而减小.

(2)、求一次函数丁=丘+。与x轴、y轴的交点坐标

①与x轴的交点坐标：令y=0,求x；②与丁轴的交

点坐标：令x=0,求y

当k>0时，y随x的增大而增大，这时函数的图像从左

到右上升。

当k<0时，y随x的增大而减小，这时函数的图像从左

到右下降。

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当k>o,b>o时，函数经过i、n、ni象限。

当k>o,b<o时，函数经过I、m、w象限。

当k<0,b>0时，函数经过i、n、w象限。

当k<o,b<o时，函数经过n、m、iv象限。

例题:

(1)画出函数片-2户2的图象，结合图象回答下列问题。

①随着x的增大，p将(填“增大”或“减小”)

②它的图象从左到右(填“上升”或“下

降”)

③图象与x轴的交点坐标是,与y轴的交点

坐标是________

④这个函数中，随着x的增大,y将增大还是减小?它的图

象从左到右怎样变化？

⑤当x取何值时,尸0?当x取何值时,y>0?

(2)某个一次函数的图象位置大致如下图所示，试分别确

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当m取何值时,y随x的增大而增大？

当m取何值时,y随x的增大而减小？

练习：

(1)已知一次函数y=(l-2m)x+ni-l,若函数y随x的增大

而减小，并且函数的图象经过二、三、四象限，求m的取值

范围O

(2)若a是非零实数，则直线y=ax-a一定()

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

(3)如图，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y二mnx(m,n

为常数，且nrn

A.y=2xB.y=3x-6C.y=-2x+5D.y=3x+7

(2)已知一次函数y=卮+h的图象不经过第三象限，也不经过

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原点，那么鼠b的取值范围是（）

A.%＞o且〃＜oB.女＞o且〃＜o

C.々＜o且匕＞oD.左＜0且力＜0

（3）直线y=+鹿如图所不，化简：\＞n-n\-y/n^=.

（4）如图所示，已知正比例函数k8心0）的函数值y随x的

增簟增大，则一笨数尸--的性象大致是（t）

司*次函螭探式，T4—\l/z\

A.R.C.D.

待定系数法：先设待求函数关系式（其中含有未知数的系数）,

再根据条件列出方程或方程组，求出未知系数，从而得出所

求结果的方法，叫做待定系数法。

一设y=kx+b二代（将点的坐标代入解析式，构

造待定系数的方程或方程组，）

（用已知等量关系或几何条件，构造待定系数

的方程或方程组）

三解（解方程或方程组）四还原（将解出来的系

数代入所设的函数解析式）

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例题：

已知函数y=kx+b的图像经过点（-1,1）和点（1,-5）

求这个一次函数的关系式，并求当x=5时，函数y的值。

练习：

（1）根据下列条件写出相应的函数关系式。

直线y=kx+5经过点（-2,Do

（2）小李暑假去旅游，当地山区海拔每增加100米，气温

下降0.6C,小李在山脚看了一下随身带着的温度计，气温

为34℃,乘缆车到山顶发现温度为32.2℃,求山高。

作业：

酒精的体积随温度的升高而增大，在一定范围内近似于

一次函数关系。现测得一定量的酒精在0℃时的体积为5.250

升，在40℃时的体积是5.481升，求这些酒精在10℃,30℃

时的体积各是多少？

一次函数的图象

正比例函数和一次函数的图象都是一条直线，所以对于其解

析式也称为“直线y=kx+b,直线y=kx”。因为一次函数的图

象是一条直线，所以在画一次函数的图象时，只要描出两个

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点，在通过两点作直线即可。

1、画正比例函数y=kx（kWO的常数）的图象时，只需要这两

个特殊点：（0,0）和（1,k）两点；

2、画一次函数y=kx+b（k、b为常数，kWO）的图象时，只需

要找出它与坐标轴的两个交点即可。一次函数与x轴的交点

_b_

坐标是：（0,b）,与y轴的交点坐标是：（工，0）

4.反比例函数

（1）一般的，形如广々心。水是常数）的函数叫做反比例函

X

数。

例题：

（1）已知矩形的面积为15平方厘米，设它的长为x厘米,

宽为y厘米,那么y与x之间的函数关系式是

（1）已知型-6=0,则y是x的（）

2o

（A）正比例函数（B）反比例函数

（C）一次函数（D）不成函数关系

（3）若函数y=*+（/一的是y关于x的反比例函数，则

3x

练习：

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(1)一台抽水机每小时灌田10公顷，用若干台抽水机灌田

300公顷，用解析法表示抽水机的台数n和完成任务所需的

时间t(时)之间的函数关系为O

(2)在下列各式中，不是反比例函数关系的是()

(A)4xy=l(B)-=2

y

(C)y=mxT(mWO)(D)

作业：

(1)若丫与z成正比例，z与X成正比例，贝!Jy与X成；

若y与z成反比例，z与x成正比例,则y与x成；若

y与z成反比例，z与x也成反比例,则y与x成.

(2)反比例函数的图像是双曲线。

(3)反比例函数的性质

D当k>o时，函数的图像在第I、ni象限，在每个象限

内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随X的增大

而减小。

2)当k<o时，函数的图像在第n、w象限，在每个象限内，

曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增大而增

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大。

5.反比例|函数

(1)反比例函数的图象：函数y=±(4#0)是双曲线.

X

当k>0时，图象在第一、第三象限;当A<0时，图

象在第二、第四象限.

⑵反比例函数的性质：设y」(20),

X

则

当4>0时，在每个象限中,

增大而减小;

当〃V0时，在每个象限中，p随x的增大而增大.

⑶反比例函数y二七中k的意义：

X

如图，过反比例函数y0)图象上任一点「作了轴、y

X

轴的垂线PM、PN,则所得的矩形PMON的面积

5=尸“呐=计凶=的二网.

例题:

(1)如图:反比例函数y二七的图象经过点A,则k的值是()

X

(A)2(B)1.5(C)-3(D)

2

2

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(2)若反比例函数产。的图象位于第二、四象限，则k

X

的取值范围是.

(3)在同一直角坐标系中，函数y二3x与y二」的图象大致

X

是()

(4)在函数广交的图象上有三点(-1,%)、(△,y2)、(Ly3),

x42

则函数值山、y2>y3的大小关系是().

(A)y2<y3<yi(B)y3<y2<yi

(C)yi<y3<y2(D)yi<y2<y3

练习:

(1)已知反比例函数的图象经过点(1,2),则它的图象也

一定经过()

(A)(-1,-2)(B)(-1,2)(C)(1,-2)(D)

(-2,1)

(2)在函数y二」的图象上有三点A、B、C,过这三点分别向

X

X轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与X轴、y

轴围成的矩形的面积分别为,、S2、S3,则()

(A)S〉S2〉S3(B)S,<S2<S3

(C)S1<S3<S2(D)Si6=S3

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作业：

已知y是x的反比例函数，且当x=3时，y=8.①求y

是x的函数关系式。②求当x=2：时，y的值。③当x取何值

时，y=l.5。

5.二元一次方程组的图像解法

画出方程组对应的两个一次函数的图像，找出它们的交点,

这个交点的坐标就是二元一次方程组的解，这种解方程的方

法叫做二元一次方程组的图像解法。

例题：

利用图像解下列方程组

=一2%-1z-xf2A:-v-2

①i)②y

y=-x+4[x+y=-5

6.一次函数与一元一次不等式

使一次函数y=kx+b(k.O)的函数值y>0的自变量的所

有的值，就是一元一次不等式kx+b>0的解集。

例题：

(1)画出函数y=1.5x+3的图像，指出

①x取何值时，y>0?②x取何值时，y<0?

第28页共54页

(2)学校准备去春游，甲乙两家旅行社原价为每人60元,

且都表示对学生优惠，甲旅行社表示：全部8折收费；乙旅

行社表示：若人数不超过30人则全部9折收费，超过30人

全部按7折收费。

①试分别写出甲乙两家旅行社实际收取的总费用y关于春游

学生人数x的函数关系式。

②讨论选择哪家旅行社较优惠；

③在同一坐标系中画出题①的函数的图像，并根据图像解释

题②讨论的结果。

第19章全等三角形

1.命题

判断它是正确的或是错误的句子叫做命题。正确的命题叫

做真命题，错误的命题叫假命题。

命题可以写成“如果……，那么……”的形式。

例题：

(1)把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并

指出它的题设和结论。

①全等三角形的对应边相等。

第29页共54页

②平行四边形的对应边相等。

(2)指出下列命题中的真命题和假命题。

①同位角相等，两直线平行。

②多边形的内角和等于180°。

2.公理

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出

来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的

真命题叫做公理。

3.定理

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑

推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其

他命题真假的依据，这样的真命题叫做定公理。

例题：

(1)把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并

指出它的题设和结论。并用逻辑推理的办法证明题①

①同旁内角互补，两直线平行。

②三角形的外角和等于360。。

(2)判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，举

第30页共54页

一个反例加以证明。

①两个锐角的和是直角。

②两条直线被第三条直线所截，同位角相等。

练习：

试证明“如果两条直线呢垂直于同一条直线，那么这两

条直线平行。”即，已知：如图，AB，MN,CD，MN,垂足分别

是E,F求证:AB〃CD。

4.全等三角形的判定

一般三角形SSSSASASAAAS

直角三角形SSSSASASAAASHL

例题1：

如图：点0是平行四边形ABCD的对角线的交点，^AOB

绕点0旋转180°,可以与△重合，这说明AAOB0

△，这两个三角形的对应边是A0与,0B

与,BA与,对应角是NAOB与,ZOBA

与,ZBAO与o

练习L

如图：AE是平行四边形ABCD的高，将4ABE沿AD方向

第31页共54页

平移，使点A与点D重合，点E和点F重合，则4ABE

g,NF=o

作业1：

如图：点D是等腰直角三角形ABC内的一点，AB二AC,

将aABD绕点A逆时针旋转90°,点D与点E重合，则4ABD

义,AD二,BD=o

(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么

这两个三角形全等。(SAS)

例题2：

(1)点M是等腰梯形ABCD底边AB的中点，求证△AMD04

BMCo

(2)AB=AC,AD=AE,AB±AC,AD±AE0求证：(1)ZB-ZC,

(2)BD=CE

练习2：

已知DF=CE,AD=BC,ND=NC。求证：ZkAED且△BFC。

作业2：

已知：AC/7EF,AC=EF,AE=BD,求证：AABC^AEDFo

(3)如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那

第32页共54页

么这两个三角形全等。（ASA）

例题3：

已知：A、B、C、D四点在同一直线上，AC=DB,BE〃CF,

AE〃DF。求证：△ABE0ZXDCF。

作业3

在AABC和△DBC中，Z1=Z2,Z3-Z4,P是BC上任

一点。求证：PA=PDo

（4）如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对

应相等，那么这两个三角形全等。（AAS）

例题4

已知：AE、BC交于点M,F点在AM上，BE〃CF,BE二CF。

求证：AM是4ABC的中线。

练习4

已知：NBAC:NDAE,NABD=NACE,BD=CE。求证：AB=AC。

作业4：

第33页共54页

已知AB与CD相交于0,NA=ND,C0=B0,求证AAOC

ADOBo

（5）如果两个三角形的三边对应相等，那么这两个三角形

全等。

例题5：

已知：AB=DC,BE=CF,AF=DEO求证:

练习5

已知：AB=CD,AE=DF,CE=FB,求证：AF二DE。

（6）如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相

等，那么这两个直角三角形全等。（HL）。

例题6：

在4ABC中，BD=CD,DE±AB,DF±AC,E、F为垂足,DE=DF,

求证△BEDgZiCFD。

练习6：

如图：AD=BC,DELAC于E,BF_LAC于F,DE二BF。求证:

(1)AF=CE,(2)AB〃CD。

作业6：

如图：AB=AC,BD=CEo求证：0A平分NBAC。

第34页共54页

5,尺规作图

只有使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何

A

图形的方法称为尺规作图。

(1)作一条线段等于已知线段

(2)作一个角等于已知角Bc

(3)作已知角的平分线

(4)经过一已知点(直线上、直线外)作已知直线的垂线

(5)作已经线段的垂直的平分线

例题：

(1)任意画出两条线段AB,CD,在作一条线段，使它等于

AB+2BD.

(2)任意画出两个角N1,和N2,使NDN2,再做一个角,

使它等于Nl—N2

(3)如图，已知NA,试作NB、NA

2

(4)如图，过点P作NO两边的垂线。

(5)四等分已知线段AB.

6.逆命题

(1)对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另

第35页共54页

外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题,

其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命

题。

(2)原命题为真，它的逆命题不一定为真。

例题：

(1)写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假.

①如果/a与NB是邻补角，那么/a+NB=180°；

②如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所

对的边相等.

(2)举例说明下列命题的逆命题是假命题：

①如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5

整除；

②如果两个角都是直角，那么这两个角相等。

7.等腰三角形的判定

(1)利用定义：两条边相等的三角形叫等腰三角形。

(2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的

边也相等。(等角对等边)。

例题:

第36页共54页

如图，已知P、Q是4ABC的边BC上购两点，并且

(1)已知：如图，在五边形ABCDE中，N%NE=90。D,BC=ED,

ZACD=ZADC.求证：AB=AE.

(2)已知等腰4ABC的底边BC=8cm,且|AC-BC|=2cm,则腰

AC的长为()

A.10cm或6cmB.10cmC.6cm

D.8cm或6cm

作业：

如图所示，已知△ABC中,AB=AC,BD=BC,AD=DE=EB,

求NA的度数.

8.勾股定理的逆定理

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的和，那么这

个三角形是直角三角形。

例题：

(1)判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形.

①a二7,b=24,c=25；

第37页共54页

②a=l.5,b=2.5；

③a=-,b=l,c--o

43

练习：

已知a>b、c是直角三角形的三条边，c是斜边，且a、

b、c都是正整数.当a=5时，b、c只能是12,13；当a=7时,

b,c只能是24,25；当a=9时，b,c可以是40,41,也可

以是12,15.你能求出当a=15时，b,c可能取的值吗？

作业：

在AABC中，AC=2a,BC=a2+l,AB=a2T,其中a>1,

△ABC是不是直角三角形？如果是，那么哪一个角是直角？

9.角平分线

到一个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

例题：

如图：已知aABC的外角/CBD和NBCE的平分线相交于

点F,求证:湾磁gDAE的平分线。

练习：］/"

--------------*BD

如图：在直线19找出一点P,使得点P至UNA0B的两

边0A、0B的多离赢7

/嘉38页共54页

IA

作业：

如下图，AM是aABC的角平分线，N为BM的中点，NE

〃AM,交AB于D,交CA的延长线于E,下列结论正确的是

()

A.BM=MCEB.AE=BDC.AM=DED.DN=BN

离相等的点，在这条线段的垂

BNM

直平分线上。

例题:

如图所示，在AABC中，BC的垂直平分线交AC于E,垂

足为D,ZiABE的周长是15cm,BD=6cm,求AABC的周长。

练习：

在aABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于D,交AC

于E,NEBC=30°,求NA的度数。

作业：

如下图，Rt^ABC中，NC=90°,斜边AB的垂直平分线

交AB于点D,交BC于点E,AE平分NBAC,那么下列关系不

成立的是（）

第39页共54页

A.ZB=ZCAEB.ZDEA=ZCEAC.ZB-ZBAE

D.AC=2EC

第20章平行四边形的判定

1.平行四边形的判定

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

例题1：

(1)BD是平行四边形ABCD的对角线，点E、F在BD上，要

使四边形AECF是平行四边形，还需要添加的一个条件是

练习1：

如图,在aABC中，BD平分NABC,DE〃BC交AB于点E,

A

EF〃AC质BF,那么BE=CF,请你说明理由。

(?边分别相等的四边形是平行四边形。

C

F

例题2：

如图，平行四边形ABCD中，AF=CH,DE=BG。求证:

EG和HF互相平分。

练习2：

第40页共54页

如图，已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上

的两点，若AE=CF,求证：四边形BFDE是平行四边形。

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例题3：

如图：A、B、E在一条直线上，AB=CD,NC=NCBE,试

证明AD=BC。

练习3：

在平行四边形ABCD中，E,F分别是对边BC和AD上的两

点，且AF=CE,求证：四边形AECF为平行四边形。

作业3

如图，已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上

A

的两点，若BE〃DF.求证：四边形BEDF为平行四多咯白=

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边专

例题4：

(1)下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是

().

A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等，

一组邻角互补;

第41页共54页

B、一组对边平行，一组对角互补；D、一组对角互补，

另一组对角相等。

（2）如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是N

DAB、BCD的角平分线，证明四边形AFCE是四火形^一——/

（5）对角线互相平分的四边形是平行四藁\\/

BEC

例题5：

（1）下面几组条件中，能判定一个四边形是平行四边形的

是（）.

A.一组对边相等；B.两条对角线互相平分

C.一组对边平行；D.两条对角线互相垂直

（2）已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD

A

相交于点0,EF经过点0并且分别和AB、CD相交于制N，

又知G、H分别为0A、0C的中点.求证：啰方餐，漫,

行四边形。B口c

练习5：

如图，已知：E、F是平行四边形ABCD对角线AC上

的两点，若BEJ_AC于E,DF_1_AC于F.求证：四边形BEDF为

平行四边形

第42页共54页

作业5：

如图，在QBCD中，已知两条对角线相交于点0,E、F、

G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点,

尽可能多地画出平行四边形。

2.矩形的判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例题：

(1)平行四边形内角平分线能够围成的四边形是()

A梯形B矩形C正方形D

不是平行四边形

(2)已知：如图，BC是等腰ABED底边ED上的高，四边形

ABEC是平行四边形.求证:

练习：

下列说法错误的是(

A.有一个内角是直角的平行四边形是矩形

B矩形的四个角都是直角，并且对角线相等

C对角线相等的平行四边形是矩形

D有两个角是直角的四边形是矩形

第页共页

4354BC

（2）对角线相等的平行四边形是矩形。

例题：

如图，矩形ABCD的对角线AC与BD的交点是点0,E、F、

G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF二CG二DH。

求证：四边形ABCD是矩形。

练习：

已知平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点0,AA0B

是等边三角形，AB=4cm.

①平行四边形是矩形吗？说明你的理由，

②求这个平行四边形的面积。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

例题：

如图，B0是RtZSABC斜边上的中线，延长B0至点D,

使B0=D0,连结AD,CD,则四边形ABCD是矩形吗？请说明

理由.

练习:

如图，在aABC中，AB=AC,AD、AE分别是NA与NA的

外角的平分线，BE±AE,求证：AB二DE。

第44页共54页

3.菱形的判定

（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

例题:

如图：AD是AABC的一条角平分线，DE〃AC交AB与点

E,DF〃AB交AC与点F。求证四边形AEDF是菱形。

练习：

如图：ZkABC中，AB=AC,点D是BC的中点，DE_LAC于

A

E,DG±ABVG,EKLAB于K,GH_LAC于H,EK和GH相交于

点F,快理J个边形DEFG是菱形。

（登垂直的平行四边形是菱形。

BDC

例题：

（1）如图，平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于

AB=V5,AO=1,0B=2,则AC、BD的位置

系是,四边形ABCD

菱形的道理是

(2)按图示的虚线折纸，然后连接ABCD

可得菱形，由此可以得到

第45页共54页

的四边形是菱形。

练习:

已知矩形ABCD的对角线AC啊垂直平分线与吗AD、BC

分别交与点E、F,求证四边形AFCE：

作业:

BFC

如图，^ABC中，AB=AC,AD是角平分线，E为AD延长

线上一点，CF〃BE交AD于F,连接BF、CE,求证：四边形

BECF是菱形。

(3)四条边都相等的四边形是菱形。

例题：

在平行四边形ABCD中,AB=2BC,点E在DA的延长线上，

AE=AD,点F在AD的延长线上，DF=AD,CE交AB于点G,BF

交CD于点M,CE与BF交于点H,求证：四边形GBCM是菱形。

(4)每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

例题：

如图，在菱形ABCD中，NBAD=2NB,是说明AABC等边

三角形。

练习:

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如图，DE是。ABCD中NADC的平分线，EF//AD交DC于

Fo①求证：四边形AEFD是菱形。②如果NA=60°,AD=5,

求菱形AEFD的面积。

4.正方形的判定

(1)有一组邻边相等的矩形是正方形。

例题:

在4ABC中，NACB=90°,CD平分NACB”DE_LBC,DF

±AC,垂足分别为E,Fo求证：四边形CFDE是距形。

(2)有一个角是直角的菱形是正方形。

例题:

已知，点1，B'、C'、D'分别是正方形ABCD四条

边上的点，并且AA'=BB'=CC'=DD'。求证：四边形A'B'

C'D'是正方形。

(3)有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正

方形。

例题:

如图：在aABC中，NC=90°,NA、ZB的平分线交

于点D,DE_LBC于点E,DF_LAC于点F,求证：四边形CFDE

第47页共54页

是正方形。

5.等腰梯形的判定

（1）两腰相等的梯形是等腰梯形。

例题：

如图：矩形ABCD中，点E、F在边AD上，AE=FD,求证：

四边形EBCF是等腰梯形。

练习：

在梯形ABCD中,AD〃BC.若再加上一个条件：

则可得到梯形ABCD是等腰梯形。

（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

例题：

如图：在aABC中，AB=AC,DE〃BC,求证：四边形DBCE

是等腰梯形。

练习：

已知：在梯形ABCD中，AD〃BC,BD±DC,且BD平分N

ABG/ZC^^T^：梯形ABCD是等腰梯形。

应珠条对角线相输梯形是等腰梯形。

例题:

第48页共54页

如图：梯形ABCD中，AD〃BC,Z1=Z2O求证：四边形

ABCD是等腰梯形。

练习:

如图