2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级（上）期末数学试卷（解析版）

2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级(上)期末数学试卷

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30,分.在每个小题给出的四个选项中，有一项

符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑.

1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4,则另

一个一元一次方程是()

A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4

2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()

A.X2+3=0B.X2+2X=0C.(X+1)2=0D.(x+3)(x-1)=0

3.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

()

A.y=-2(x+1)2+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2

4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，

小明与小红同车的概率是()

A.。B.1C.AD.1

9632

5.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为()

ABc

-T-T竽D.华

6.如图，直线11U12U13,直线AC分别交11,12,13于点A,B,C；直线DF分别交h,12,13于点

D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则座的值为（）

EF

A.1B.2C.2D.金

255

7.如图，四边形ABCD内接于OO,若四边形ABCO是平行四边形，则NADC的大小为（）

8.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,AC=3旄米，坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B

点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）

A.5米B.6米C.8米D.（3+返）米

9.如图，正比例函数yi=kix的图象与反比例函数y22吆的图象相交于A,B两点，其中点A的横

坐标为2,当yi>y2时，x的取值范围是（）

10.如图，已知QABCD中，AE_LBC于点E,以点B为中心，取旋转角等于NABC,把△BAE顺

时针旋转，得到ABAE,连接DA，.若NADC=60。，NADA，=50。，则NDA，E，的大小为（）

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.方程3(x-5)2=2(x-5)的根是

12.二次-函数y=xz-2x-3的图象如图所示.当y<。时，自变量x的取值范围是

13.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一

颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子

可能有颗.

14.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液,

这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是L.

15.如图，在△ABC中，ZA=30",NB=45。，AC=2圾,则AB的长为.

16.如图，RtAAOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=K(X>Q)经过斜边OA的中点C,

x

与另一直角边交于点D.若SAOCD=9,则SAOBD的值为.

三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)计算：^|2+21-4cos30°+|~cos60°|

(2)用配方法解方程:4x2-8x-5=0.

18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(项点是网格

线的交点).

(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△AiBiCi,请画出△AiBiCi；

(2)将△A1B1C1绕Bi点顺时针旋转90。，得AA2B1C2,请画出AA2B1C2;

(3)线段BiCi变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为.

19.如图，在RtABAD中，延长斜边BD到点C,使DC=1BD，连接AC,若tanB义，求tanNCAD

23

的值.

20.为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另

一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次.

(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；

(3)三次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大？

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yi=ax+b(a,b为常数，且axO)与反比例函数y24

(m为常数，且mxO)的图象交于点A(-2,1)、B(1,n).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)连结OA、OB,求AAOB的面积；

(3)直接写出当yi<y2<0时，自变量x的取值范围.

22.如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上

的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60。方向上

的C处.若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时,

离观测点A的距离最近？(计算结果用根号表示，不取近似值).

北

23.操作与证明：

如图1,已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点(P与B、C两点不重合)，过点P作射线PEJ_AP,

在射线PE上截取线段PF,使得PF=AP.

(1)过点F作FGLBC交射线BC点G.(尺规作图，保留痕迹，不写作法)

(2)求证：FG=BP.

探究与计算：

(3)如图2,若AB=BC,连接CF,求NFCG的度数；

24.综合与探究：如图，抛物线y=-1x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，过点B

4

作线段BC_Lx轴，交直线y=-2x于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点B关于直线y=-2x的对称点B，的坐标，判定点B，是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段B，C于点D,是否存在这样的点P,

使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2017-2018学年山西省阳泉市平定县九年级(上)期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，有一项

符合题目要求的，请选出并在答题卡，上将该项涂黑.

1.一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4,则另

一个一元一次方程是()

A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4

【考点】解一元二次方程-直接开平方法.

【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案.

【解答】解：(x+6)2=16,

两边直接开平方得：x+6=±4,

则:x+6=4,x+6=-4,

故选：D.

【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已知数，

根据法则：要把方程化为"左平方，右常数，先把系数化为1,再开平方取正负，分开求得方程解"

来求解.

2.下列一元二次方程有两个相等实数根的是()

A.X2+3=0B.X2+2X=0C.(X+1)2=0D.(x+3)(x-1)=0

【考点】根的判别式.

【专题】计算题.

【分析】根据计算根的判别式，根据判别式的意义可对A、B、C进行判断；由于D的两根可直接

得到，则可对D进行判断.

【解答】解：A、△=0-4x3=-12<0,则方程没有实数根，所以A选项错误；

B、△=4-4x0=4>0,则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；

C、X2+2X+1=0,A=4-4x1=0,则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；

D、xi=-3,X2=l,则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误.

故选C.

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(axO)的根的判别式△=b?-4ac：当△>0,方程有

两个不相等的实数根；当△=()，方程有两个相等的实数根；当△<(),方程没有实数根.

3.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为

()

A.y=-2(x+1)~+2B.y=-2(x+1)2-2C.y=-2(x-1)2+2D.y=-2(x-1)2-2

【考点】二次函数图象与几何变换.

【专题】几何变换.

【分析】根据图象右移减，上移加，可得答案.

【解答】解：把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数

的表达式为y=-2(x-1)~+2,

故选：c.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减.

4.学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘,

小明与小红同车的概率是（）

1111

c

----

A.9B.63D.2

【考点】列表法与树状图法.

【分析】首先用A,B,C分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所

有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：用A,B,C分别表示给九年级的三辆车，

国树状图得：

小明ABC

/4\/4\/4\

小红ABCABCABC

共有9种等可能的结果，小明与小红同车的有3种情况，

,小明与小红同车的概率是：a=1.

93

故选C.

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

5.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）

【考点】锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【专题】网格型.

【分析】过B点作BDLAC,得AB的长，AD的长，利用锐角三角函数得结果.

【解答】解：过B点作BDLAC,如图，

由勾股定理得，

AB=^|2+22=5/10,

AD=^22+22=2^2

cosA©毕二迤

ABVlQ5

故选：D.

【点评】本题主要考查了锐角三角函数和勾股定理，作出适当的辅助.线构建直角三角形是解答此题

的关键.

6.如图，直线1W12U13,直线AC分别交11,12,13于点A,B,C；直线DF分别交h,12,13于点

D,E,F.AC与DF相交于点H,且AH=2,HB=1,BC=5,则返的值为（）

EF

A.1B.2C.?D.e

255

【考点】平行线分线段成比例.

【分析】根据AH=2,HB=1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到经库，计算得到答

EFBC

案.

【解答】解：AH=2,HB=1,

AB=3,

hll12ll13,

.DE=AB_3

"而花元'

故选：D.

【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的

关键.

7.如图，四边形ABCD内接于OO,若四边形ABCO是平行四边形，则NADC的大小为（）

【考点】圆内接四边形的性质；平行四边形的性质；圆周角定理.

'a+B=i80°

【分析】设NADC的度数=a,NABC的度数邛，由题意可得|1。，求出（3即可解决问

题.

【解答】解：设NADC的度数=a,NABC的度数=0；

四边形ABCO是平行四边形，

ZADC=ZAOC；

•••ZADC=lp,ZAOC=a；而a+B=180°,

（a+P=180°

解得：p=120°,a=60°,ZADC=60°,

故选C.

【点评】该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用.

8.如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2,AC=3代米，坡顶有旗杆BC,旗杆顶端B

点与A点有一条彩带相连.若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）

A.5米B.6米C.8米D.（3+辰）米

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.

【分析】设CD=x,则AD=2x,根据勾股定理求出AC的长，从而求出CD、AC的长，然后根据勾

股定理求出BD的长，即可求出BC的长.

【解答】解：设CD=x,贝|AD=2x,

2=

由勾股定理可得，AC=-JX2+（2x）V5x,

AC=3代米，

V5X=3-75>

x=3米，

CD=3米，

AD=2x3=6米，

在RSABD中，BD=J1Q2_g2=8

BC=8-3=5米.

故选A.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--坡度坡角问题，找到合适的直角三角形，熟练运用勾

股定理是解题的关键.

9.如图，正比例函数yi=kix的图象与反比例函数y2—的图象相交于A,B两点，其中点A的横

坐标为2,当yi>y2时，x的取值范围是（）

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【专题】压轴题.

【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论.

【解答】解：•.•反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，

二A、B两点关于原点对称，

••,点A的横坐标为2

.•.点B的横坐标为-2,

ko

•••由函数图象可知，当-2<x<0或x>2时函数yi=kix的图象在y2=—K的上方，

x

,当yi>y2时，x的取值范围是-2<x<0或x>2.

故选D.

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出yi>y2时x的取值

范围是解答此题的关键.

10.如图，已知口ABCD中，AE_LBC于点E,以点B为中心，取旋转角等于NABC,把△BAE顺

时针旋转，得到ABAE,连接DA，.若NADC=60。，NADA，=50。，则NDAE的大小为（）

A.130°B.150°C.160°D.170°

【考点】旋转的性质；平行四边形的性质.

【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得NABC=60。，NDCB=120。，再由NAT）C=10。，可

运用三角形外角求出NDA，B=130。，再根据旋转的性质得到NBAE=NBAE=30°,从而得到答案.

【解答】解：•四边形ABCD是平行四边形，NADC=60。，

ZABC=60°,ZDCB=120°,

•••ZADA'=50°,

ZAT)C=10。，

ZDAZB=13O°,

AE±BC于点E,

ZBAE=30°,

•••△BAE顺时针旋转，得到△BAE,

ZBA'E'=NBAE=30°,

ZDA'E'=NDA'B+NBA'E'=160°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理及推论，旋转的性质，此题难度不

大，关键是能综合运用以上知识点求出NDAB和NBAT".

二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.

11.方程3(x-5)2=2(x-5)的根是xi=5,X2=—.

3一

【考点】解一元二次方程-因式分解法.

【专题】计算题.

【分析】方程移项变形后，利用因式分解法求出解即可.

【解答】解:方程变形得：3(x-5)2-2(x-5)=0,

分解因式得：(x-5)[3(x-5)-2]=0,

可得x-5=0或3x-17=0,

解得：Xl=5,X2=—.

3

故答案为：Xl=5,X2」^

3

【点评】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

12.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时，自变量x的取值范围是-l<x<3

【分析】根据二次函数的性质得出，y<0,即是图象在x轴下方部分，进而得出x的取值范围.

【解答】解：・：二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.

图象与x轴交在(-1,0),(3,0),

.•.当y<0时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：

故答案为：

【点评】此题主要考查了二次函数的性质，利用数形结合得出图象在X轴下方部分y<0是解题关键.

13.一个不透明的盒子里装有除颜色外无其他差别的白珠子6颗和黑珠子若干颗，每次随机摸出一

颗珠子，放回摇匀后再摸，通过多次试验发现摸到白珠子的频率稳定在0.3左右，则盒子中黑珠子

可能有14颗.

【考点】利用频率估计概率.

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例

关系入手，列出方程求解.

【解答】解：由题意可得，一项03，

6+n

解得n=14.

故估计盒子中黑珠子大约有14个.

故答案为：14.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概

率.关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.

」4.一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，

这时容器里只剩下纯药液10L,则每次倒出的液体是20L.

【考点】一元二次方程的应用.

【分析】设每次倒出液体xL,第一次倒出后还有纯药液（40-x）,药液的浓度为"二色，再倒出xL

40

后，倒出纯药液”二・x,利用40-X-史二・x就是剩下的纯药液10L,进而可得方程.

4040

【解.答】解：设每次倒出液体xL,由题意得：

40-x，八

40-x------------x=10,

40

解得：x=60（舍去）或x=2O.

答：每次倒出20升.

故答案为：20.

【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列

出方程.

15.如图，在△ABC中，ZA=30°,NB=45。，AC=2、巧，则AB的长为3+«.

30。45°

B

【考点】解直角三角形.

【专题】几何图形问题.

【分析】过C作CDLAB于D,求出NBCD=NB,推出BD=CD,根据含30度角的直角三角形求

出CD,根据勾股定理求出AD,相加即可求出答案.

【解答】解：过C作CD_LAB于D,

ZADC=ZBDC=90°,

ZB=45",

ZBCD=ZB=45",

CD=BD,

ZA=30°,AC=2«,

CD=V5，

BD=CD=V3>

由勾股定理得：AD=A/AC2-CD2=31

AB=AD+BD=3+V5.

故答案为：3+V3.

【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形性质等知识点的

应用，关键是构造直角三角形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目.

16.如图，RSAOB的一条直角边在x轴上，双曲线y=K（x〉0）经过斜边OA的中点C,

x

与另一直角边交于点D.若SAOCD=9,则SAOBD的值为6.

【考点】反比例函数系数k的几何意义.

【专题】计算题.

【分析】过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面

积S是个定值，即S=』k|.

2

【解答】解：如图，过C点作CE^x轴，垂足为E.

1,R3OAB中，ZOBA=90°,

CEIIAB,

*/C为RtAOAB斜边OA的中点C,

CE为RtAOAB的中位线,

,/△OEd△OBA,

.OC_1

■OA2'

•••双曲线的解析式是y=K,即xy=k

X

SABOD=SACOE=—|k|,

2

SAAOB=4SAcOE=2|k|,

由SAAOB-SABOD=SAAOD=2SADOC=18,得2k-—k=18,

2

k=12,

SABOD=SACOE=—k.=6,

2

【点评】本题考查了反比函数k的几何意义，过图象上的任意一点作X轴、y轴的垂线，所得三角

形的面积是工k|,是经常考查的知识点，也体现了数形结合的思想.

2

三、解答题：本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(1)计算：^|2+21-4cos30°+|~cos60°|

(2)用配方法解方程：4x2-8x-5=0.

【考点】实数的运算；负整数指数累；解一元二次方程-配方法；特殊角的三角函数值.

【专题】计算题；实数.

【分析】(1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用负整数指数塞法则计算，第三项利用特殊

角的三角函数值计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果；

(2)方程利用完全平方公式变形，开方即可求出解.

【解答】解：(1)原式=2«+5-4x2^+1=273+1-273+—1;

22222

(2)方程两边同除以4,变形得X2-2X=2

4

配方，得X2-2X+1=2即(X-1)2=2

44

开方得：X-1=±旦

2

解得：xi=2.5,X2=-0.5.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(项点是网格

线的交点).

(1)先将△ABC竖直向上平移6个单位,再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1；

(2)将△A1B1C1绕Bi点顺时针旋转90。，得AA2B1C2,请画出△A2B1C2；

(3)线段B1C1变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为_旦」.

【专题】作图题.

【分析】(1)根据图形平移的性质画出△A1B1C1；

(2)根据旋转的性质画出△A2B1C2；

二线段BiCi变换到B1C2的过程中扫过区域的面积为：9cmXS?3

3604

故答案为：2上

4

【点评】此题主要考查了扇形面积公式以及图形的平移、旋转变换等知识，熟练掌握扇形面积公式

是解题关键.

19.如图，在RtABAD中，延长斜边BD到点C,使DC=1BD，连接AC,若tanB义，求tanZCAD

23

的值.

【分析】过点C作CE_LAD,垂足为E,根据tanB=里设AD=5x,AB=3x,证△CDE-△BDA,得

3

出比例式，求出CE^x,DE至x,求出AE=KX,解直角三角形得出即可.

222

【解答】解：过点C作CELAD,

,：tanB=2即期=2

3AB3

设AD=5x,则AB=3x,

•••ZCDE=ZBDA,ZCED=ZBAD=90°,

「.△CDE~△BDA,

-/BD=2CD,

.CE_DE_DC_1

一ABAD-BD

：.CE=^x,DE=2,

22

AE=KX,

2

3

77X

EC2

/.tanZCAD=±^=—1.

AE三5

2

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，能构造直角三角形是解此题

的关键.

20.为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三位同学进行足球传球训练，球从一个人脚下随机传到另

一个人脚下，且每位传球人传给其余两人的机会是均等的，由甲开始传球，共传球三次.

(1)请利用树状图列举出三次传球的所有可能情况；

(2)求三次传球后，球回到甲脚下的概率；

（3）三，次传球后，球回到甲脚下的概率大还是传到乙脚下的概率大?

【考点】列表法与树状图法.

【分析】（1）画出树状图,

（2）根据（1）的树形图，利用概率公式列式进行计算即可得解;

（3）分别求出球回到甲脚下的概率和传到乙脚下的概率，比较大小即可.

【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下:

日

由树形图可知三次传球有8种等可能结果;

（2）由（1）可知三次传球后，球回到甲脚下的概率=2二；

84

（3）由（1）可知球回到甲脚下的概率=1，传到乙脚下的概率=',

48

所以球回到乙脚下的概率大.

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结

果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.

21.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yi=ax+b（a,b为常数，且axO）与反比例函数y24

（m为常数，且HIKO）的图象交于点A（-2,1）、B（1,n）.

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连结OA、OB,求AAOB的面积；

（3）直接写出当yi<y2<0时，自变量x的取值范围.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.

【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B

坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a

与b的值，即可确定出一次函数解析式；

（2）设直线AB与y轴交于点C,求得点C坐标，SAAOB=SAAOC+SACOB,计算即可；

（3）由图象直接可得自变量x的取值范围.

【解答】解:（1）•••A（-2,1）,

•••将A坐标代入反比例函数解析式y2』中，得m=-2,

二反比例函数解析式为y=-2；

X

将B坐标代入y=-2,得n=-2,

X

••.B坐标（1,-2）,

-2a+b=1

将A与B坐标代入一次函数解析式中，得

a+b=-2

解得a=-1,b二一1,

」•一次函数解析式为yi=-x-1；

(2)设直线AB与y轴交于点C,

令x=0,得y=-1,

「•点C坐标(0,-1),

113

••SAA0B=SAAOC+SACOB="xlx2+—x1x1-；

222

（3）由图象可得，当yi<y2<0时，自变量x的取值范围x>l.

【点评】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，

三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是.解本题的关

键.

22.如图，海中一小岛上有一个观测点A,某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上

的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60。方向上

的C处.若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时,

离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）.

北

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题“

【分析】首先根据题意可得PC±AB,然后设PC=x海里，分别在RtAAPC中与RtAAPB中，利用

正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30x°,即可得方程，解此方程求得x的值，再计算

2

出BP,然后根据时间=路程+速度即可求解.

【解答】解：过点A作AP_LBC,垂足为P,设AP=x海里.

在RtAAPC中，ZAPC=90°,ZPAC=30°,

tanZPAC=-^,

AP

CP=AP»tanZPAclx.

3

在RtAAPB中，ZAPB=90°,ZPAB=45。，

BP=AP=x.

•••PC+BP=BC=30xl,

2

Y^X+X=15,

3

铲俎15(3-a)

解得X=------------——，

2

・PB-X-15小-e)

2

航行时间:15(3-6)3-V3

:30=(小时).

24

答：该渔船从B处开始航行之二更小时，离观测点A的距离最近.

4

B

【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构

造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用.

23.操作与证明：

如图1,已知P是矩形ABCD的边BC上的一个点(P与B、C两点不重合)，过点P作射线PE±AP,

在射线PE上截取线段PF,使得PF=AP.

(1)过点F作FG_LBC交射线BC点G.(尺规作图，保留痕迹，不写作法)

(2)求证：FG=BP.

探究与计算：

(3)如图2,若AB=BC,连接CF,求NFCG的度数；

【考点】四边形综合题.

【分析】(1)利用作一个角等于已知角的方法，即可作出所求直线；

(2)易求得NBAP=NGPF,ZABP=ZPGF=90°,又由AP=PF,即可证得△ABP2△PGF,继而证

得结论；

(3)首先证得FG=CG,即可得AFCG是等腰直角三角形，继而求得答案；

(4)首先作CHLPF于H,易证得△PHO△PGF,由相似三角形的对应边成比例，可得理二,

BC4

然后设BP=3a,贝i]PC=a,PG=4a,FG=CG=3a,分别求得FC,HC,继而求得答案.

【解答】(1)解：如图1所示：

(2)证明：PE±AP,

ZAPE=90°.

ZAPB+ZGPF=90°,

又：ZAPB+ZBAP=90°,

ZBAP=ZGPF,

又FG±BC,

ZABP=NPGF=90°,

在4ABP^APGF中，

'NABP=/PGF

<ZBAP=ZGPF，

.AP=PF

AABP2APGF(AAS).

FG=BP；

(3)解：由(2)矢口AB=PG,

AB=BC,

/.BC=PG.

・•.BC-PC=PG-PC.

..BP=CG,

又FG=BP,

/.FG=CG.

又：ZCGF=90°,

ZFCG=45°；

(4)解：如图2,作CH_LPF于H,

・•,ZHPONGPF,ZCHP=ZFGP=90°,

△PHO△PGF.

.HC_PC

根据史

BC4

设BP=3a,贝！jPC=a,PG=4a,FG=CG=3a,

PF=22=5

VPG+FGA'CF=JCG2+FG2=3%a,

.HCa

,无工

HcW,

5

【点评】此题属于四边形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的

判定与性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识.注意准确作出辅助线是解此题的关键.

24.综合与探究：如图，抛物线y=-1x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(5,0)两点，过点B

4

作线段BC_Lx轴，交直线y=-2x于点C.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)求点B关于直线y=-2x的对称点B，的坐标，判定点B，是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段BC于点D,是否存在这样的点P,

使四边形PBCD是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】二次函数综合题.

【分析】(1)将点A、B的坐标代入抛物线的解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，从而可解

得b、c的值；

(2)过点B，作B，E，x轴于E,BB，与OC交于点F.由平行于y轴的直线上各点横坐标相同可知点

C的横坐标为2,将x=2代入直线y=-2x的解析式可求得点C的坐标1•点B和B，关于直线y=-2x

对称，在