压轴第24题30道-二次函数综合问题（二）（解析版）-2021学年上海初三数学一模（期末）压轴题模拟汇编

压轴第24题精选30道-二次函数综合问题(二)(解析版)

学校:姓名班级：考号：

一、单选题

1.如图，抛物线y="2+法+。与x轴正半轴交于A,B两点，与y轴负半轴交于点C.若

点3(4,0),则下列结论中：①Hc>0；②4a+b>0；③河(4%)与N(%,%)是抛物线

上两点，若。<玉<々，则%>%；④若抛物线的对称轴是直线x=3,m为任意实数，

则°(〃2-3)(〃2+3),,仅3-m)；⑤若AB23,则4Z?+3c>0,正确的个数是()

【答案】B

【分析】

根据图像得出a<0,c<0,b>0,可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，

b

可得-=>2,可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物

线对称轴为直线x=3,得出人=-6a,再利用作差法判断④；最后根据ABZ3,则点A的

横坐标大于。且小于等于1,得出a+b+cK),再由当x=4时，得出16a+4b+c=0,变形为

a==4,代入，可得4b+5R0,结合c的符号可判断⑤.

—16

【详解】

解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，

b八

•・a<0,c<0,------〉0,

2a

Ab>0,

Aabc>0,故①正确；

如图，•・•抛物线过点B(4,0),点A在x轴正半轴，

b

・••对称轴在直线x=2右侧，即———>2,

2a

.•.2+2="<0,又a<0,

2ala

A4a+b>0,故②正确;

,/与是抛物线上两点，。<玉<%,

b

可得：抛物线y=ox2+bx+c在。<x<------上，y随x的增大而增大，

2a

b

在x>-丁上，y随x的增大而减小，

2a

・,・%>上不一定成立，故③错误；

b

若抛物线对称轴为直线x=3,则-==3,即人=-6即

2a

则a(m—3)(根+3)—b(3—m)

=6Z(m-3)(m+3)+6<2(3—m)

=^(m-3)(m+3-6)

=tz(m-3)2<0,

aim-3)0+3)<b(3-m),故④正确；

VAB>3,则点A的横坐标大于0且小于等于1,

当x=l时，代入，y=a+b+c>0,

当x=4时，16a+4b+c=0,

.4Z?+c

••a二f

-16

47?+c

则-----+b+c>0,整理得：4b+5c>0,

-16

则4b+3cN-2c,又cVO,

-2c>0,

；.4b+3c>0,故⑤正确，

故正确的有4个.

故选B.

【点睛】

本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系

数的符号.

2.如图，在四边形A5CD中，AD//BC,ZA=45°,ZC=90°,AD=4cm,8=3cm.动

点M,N同时从点A出发，点M以缶m/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s

的速度沿折线AD-DC向终点C运动.设点N的运动时间为/s,的面积为Sen?,

则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是()

【答案】B

【分析】

先求出AB=37icm,可知M由A到B需3秒,N由A到D需2秒，到C需3.5秒.分三

种情况讨论:⑴当N在AD上时，即0<饪2,画出图形求解;（2）当N在CD上且M没到达

B时，即2<t<3,画出图形求解;（3）当N在CD上且M与B重合时，即3<t<3.5,画出图

形求解.即可选出正确答案.

【详解】

解：ZA=45°,CD=3cm,

AB="+3?=3亚cm,

AM由A到B需3秒,N由A到D需2秒，到C需3.5秒,

下面分三种情况讨论:

⑴当N在AD上时，即0<£2,如图1,

作ME±AD于E,

可知AN=2t,AM=0z,

；.EM=t,

11,

s=—AN-ME=—x2t-t=

22

故此段图像是一条开口向上的抛物线；

⑵当N在CD上且M没到达B吐即2ct<3,如图2,

作MF±CD于F,延长AB与DC的延长线交于O,

可知DN=2t-4,AM=,0D=4,0A=472，

.\ON=4-DN=8-2t,OM=4衣-衣，

；.MF=4-1,

SAOAD=^OD-AD=^x4x4=8,

SA^=gN»AD=gx(2"4)x4=4f-8,

11

29

sAOMN=-ON^MF=-x(8-2t)-(4-t)=(4-t),

s=8-(4t-8)-(4-t)2=-t2+4t,

故此段图像是一条开口向下的抛物线；

⑶当N在CD上且M与B重合时，即3MW3.5,如图3,

可知BC=l,DN=2t-4,

ACN=3-DN=7-2t,

；•WD=1(5C+AZ))-CD=lx5x3=y,

^=1^-^=1X(2?-4)X4=4Z-8,

117

s^CN=-BC-CN=-xlxO-2t)=--t,

157

5=y-(4f-8)-(--r)=12-3r,

故此段图像是一条呈下降趋势的线段；

综上所述,答案是B.

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通

过看图获取信息、，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的

能力.解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出S与t的函数关系式.

3.如图，在平面直角坐标系中，Q是直线y=-gx+2上的一个动点，将Q绕点P(l,

0)顺时针旋转90。，得到点。'，连接OQ',则OQ'的最小值为()

A.逑B.75C.迫D.述

535

【答案】B

【分析】

利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后Q'的坐标，然后根据勾股定理并利

用二次函数的性质即可解决问题.

【详解】

解：作QM_Lx轴于点M,QNLx轴于N,

设Q(相，一;加+2),则PM二机T,QM=—1m+2,

*.•ZPMQ=ZPNQr=ZQPQf=90°,

NQPM+NNPQ，=NPQN+NNPQ，，

・・・NQPM=NPQN,

在^PQM和^QTN中，

ZPMQ=ZPNQ,=90°

<ZQPM=ZPQ'N,

PQ=Q'P

：.APQM^AQTN(AAS),

PN=QM=-1m+2,Q?4=PM=m-\,

.".ON=1+PN=3--7W,

2

机,1-m),

‘0Q'2=(3-；%1-机)2=：m?-5m+10=1-(m-2)2+5,

当m=2时，OQ，2有最小值为5,

•••OQ'的最小值为石，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等的判定和性质,

坐标与图形的变换-旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键.

4.已知抛物线y=(x-m)(x-〃)，其中m<n,若a,b是方程(X-M)(X-〃)-X=0的两

根，且a<b,则当(a-m)S-w)>0时，mn的值()

A.小于零

B.等于零

C.大于零

D.与零的大小关系无法确定

【答案】A

【分析】

由己知可得y=(x-m)(x-n)与x轴的交点为(m,0),(n,0),y=(x-m)(x-ri')

与丫=尤的两个交点为(a,a),(6,b)；分三种情况分析，当函数y=(x-m)(x-〃)

与x轴交点在无轴正半轴时；当函数>=(x-m)(x-n)与x轴交点分别在x轴正半轴

和负半轴时；当函数y=(x-m)(x-n)与％轴交点在x轴负半轴时.结合图像进行

分析可得答案.

【详解】

解：y=(x-m)(x-H)与x轴的交点为(m,0),(n,0),

由(x-zn)(x-〃)-x=0,

:.^x-m)^x-ri)=x,

厂•方程的两个根为：再=。,工2="

则y=(x-m)(x-n)与y=x的两个交点为(ma),Qb,b),

如图1：当函数y=(x-m)(x-n)与x轴交点在x轴正半轴时，(m,0),(n,0)在

(a,a),(b,0)点的下方，

：•aVmVnVb,

如图2：当函数y=(x-m)(x-n)与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时,

此时m<.a<.n<.b9

(a-m)(。-n)>0,

此时m<a<b<n,

；.(a-m)(b-n)<0,不符合题意;

综上所述：当(a-m)(b-n)>0时，mn<Q,

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，二次函数与％轴的交点坐标，二次函数与一次函数的交

点坐标，掌握利用数学结合的方法解题是解题的关键.

5.如图，C是线段AB上一动点，△ACD,△CBE都是等边三角形，M,N分别是CD,

BE的中点，若AB=6,则线段MN的最小值为（）

B.|如C.272D.3

【答案】B

【分析】

如图（见解析）,连接CN,先根据角的和差、等边三角形的性质可得/MQV=90。，再

设AC=a,则3C=6-。，利用勾股定理可得MN的长，然后利用二次函数的性质即可

解决问题.

【详解】

如图，连接CN,

,/AACD和△CBE都是等边三角形，

AC=CD,BC=BE,ZACD=ZBCE=ZB=60°,

ZDCE=180°-ZACD-ZBCE=60°,

：N是BE的中点，

CN±BE,ZECN=-ZBCE=30°,

2

ZMCN=ZDCE+ZECN=90°,

设AC=a,贝iJCD=a,

AB^6,

BC=AB-AC=6-a,CN=—BC=—(6-a),

22

・•・M是CD的中点，

:.CM=—CD=—a,

22

由勾股定理得：MN^^ICM2+CN2七(6一4=皿”1+不

设y=(a-1)+小

・•・C是线段AB上一动点，AB=6,

.­.0<a<6,

927

由二次函数的性质可知，在0<。<6内，兰1〃=5时，y取最小值，最小值为丁，

则MN的最小值为样,

故选：B.

AA

ACB

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识点，通过作辅助线,

构造直角三角形是解题关键.

6.如图所示，已知二次函数y=ax?+bx+c的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于

点C,OA=OC,对称轴为直线x=l,则下列结论：①abc<0；②a+；b+1c>0；③ac+b+1

=0；④2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】

根据抛物线开口，对称轴，与y轴交点判断a、b、c符号，即可判断①正确；根据对称

轴，得到a、b关系，结合c即可判断②正确；用c表示A坐标，代入化简即可判断③

错误；根据A坐标和对称轴，求出B坐标，即可判断④正确.

【详解】

解：•••抛物线开口向下，

•\a<0f

b

・・,抛物线的对称轴为直线x=~=l,

2a

:・b=-2〃>0,

;抛物线与y轴的交点在x轴上方，

：.abc<Of所以①正确；

■:b=-2a,

•・•〃1+b7ci~ci。八，

Vc>0,

di+^-Z?+—c>0,所以②正确；

24

VC(0,c),0A=OC,

/.A(-c,0),

把A(-c,0)代入得一A+。=0,

.\ac-b+l=0,所以③错误；

VA(-c,0),对称轴为直线x=L

:・B(2+c,0),

，2+c是关于x的一元二次方程以^Zzx+cuO的一个根，所以④正确.

故选：C.

【点睛】

本题考查了根据二次函数图象判断结论，难度较大，理解抛物线形状与a、b、c关系，

灵活运用对称轴特点是解题关键.

7.如图，四边形A3CD是菱形，AB=2,ZABC=60°,点P从。点出发，沿D4f-3C

运动，过点P作直线CD的垂线，垂足为Q,设点P运动的路程为x,VDPQ的面积为y,

则下列图象能正确反映>与x之间的函数关系的是（）.

【答案】D

【分析】

根据点P的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出DQ和

PQ,即可求出y与x的函数关系式，即可判断出各种情况下的图象.

【详解】

解：：四边形ABCO是菱形，AB=2,ZABC=6Q°,

；.AD=AB=DC=BC=2,ZD=ZABC=60°

，当点P到点A时，x=2；当P到点B时，x=4；当P到点C时，x=6

①当点P在AD上，即0<xW2时，如下图所示

此时PD=x

PQ=PD-sinZD=x,DQ=PDcosND=gx

•••y=|DQPQ=^x2(0<x<2),此时图象为开口上的抛物线的一部分；

N8

②当点P在AB上，即2<x"时，如下图所示，过点A作AELDC于E

此时PA=x-AD=x-2

在RtAADE中，AE=ADsinZD=V3,DE=ADcosZD=l

易证四边形AEQP为矩形

；.AP=EQ=x—2,PQ=AE=73

；.DQ=DE+EQ=1+x-2=x-l

•••y=：DQ-PQ=；x班(x-1)=1尤一正(2<x<4),此时图象为逐渐上升的一条线

2222

段；

③当点P在BC上，即4<xW6时，如下图所示，

此时CP=AD+AB+BC—x=6—x

VAD/7BC

ZBCQ=ZADC=60°

/?1

・・・PQ=CPsinNBCQ二4(6-司，CQ=CPcosZBCQ=-(6-x)

22

DQ—DC+CQ—2+.(6-x)—5——x

；.y=；DQ-PQ=，i^2-26x+"Yi(4<x<6),此时图象为开口上的抛物线的一部分;

282

综上：符合题意的图象为D

故选D.

【点睛】

此题考查的是函数的图象，掌握锐角三角函数、函数图象的判断和分类讨论的数学思想

是解决此题的关键.

2

8.已知抛物线y=ax+bx+c(0<2a<b)的顶点为P(x0,yo),点A(1,yA),B(0,

yB),C(-1,yc)在该抛物线上，当yo>O恒成立时，逑汴的最大值为()

A.1B.gC.—D.—

243

【答案】D

【分析】

利用点A(l,%)、3(。，力)、。(一1，汽)在抛物线,=奴2+"+。上得%=。+人+。，yB=c,

y—yb—a

y=a-b+c,y=a^+bx+c,-----=-----,再禾(J用4a_2〃+cN0得至!J

cElQ-iDH"C

a+b+c>3(b-a),所以从而得到也』的最小值.

【详解】

解：点41,为)、3(。,为)、在抛物线>=以2+云+。上，

^yA=a+b+c,yB=c,yc=a-b+c,,

为一先二b-a

f

yAa+b+c

••.%2°恒成立，0<2a<b,

b1

-xo=一丁<一1，

2a

.'.4a—2b+c>0,

即〃+b+c23(b-a),

而b-a>a>0,

b-a,1

-----<-,

a+b+c3

即」^的最大值为二.

YB-Yc3

故选：D.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，利用二次函数图像上的点，以及各系数的符号判断式子的

符号是解题的关键.

9.二次函数丫=2*2+5*+。的部分图象如图，则下列说法正确的有()

①abc>0；②2a-b=0；®a-b+c>am2+bm+c；④当x<l时，y>0；⑤9a-3b+c=0

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【分析】

①根据抛物线开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；②根据抛物线的对称轴方程

即可判断；③根据A-1时函数有最大值可以得到判断；④根据抛物线与x轴的交点可

以得出判断.⑤根据抛物线广加+bx+c经过点（1,0）,且对称轴为直线x=-l可得抛物

线与x轴的另一个交点坐标为（-3,0）,即可判断；

【详解】

解：①观察图象可知：由图象可知抛物线对称轴为直线X=-1,即-三=-1，得b

<0,由图象与y轴的交点可得c>0,

：.abc>0,所以①正确；

②由图象可知抛物线对称轴为直线X=-1,即-==-1，解得6=2。，即2a-b=0,所以②正

2a

确；

③由图象可知产-1时函数有最大值，因为x=-l时y=a-6+c,'pfsVXa-b+c^anr+bm+c,③

正确；

⑤：由图象可知抛物线LO^+fcv+c经过点（1,0）,且对称轴为直线广-1,

.,.抛物线与x轴的另一个交点为（-3,0）,

即当x=-3时，y=0,即9a-3b+c=0,所以⑤正确；

④由⑤知抛物线与x轴的两个交点为（1,0）、（-3,0）,

所以当-3<x<l时，y>0；当后-3或后1时，y>0,所以④错误；

所以①②③⑤正确，

故选C.

【点睛】

本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.

10.对于函数y=x2-2因-3,下列说法正确的有（）个

①图象关于y轴对称；

②有最小值-4；

③当方程x?-2|x|-3=m有两个不相等的实数根时，m>-3；

-13

④直线y=x+b与y=x2-2|x|-3的图象有三个交点时，--<b<-3.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】

①根据片—2时-3=(-a)?--3进行判断；

②化为顶点式y=2国—3=(|,—1)2-4,进而判断；

③用反例法，如当=T时，解方程得出解的情况，再进行判断；

④由方程》2-2恸-3=%+6,即尤2—2忖一左一3-人=0有3个解，求出b的取值.

【详解】

①•；/_2同_3=(-a)?-2岗|-3,

•*-y=(-2|R-3的图象关于y轴对称,故①正确；

②•.•尸X2-2田-3=也|-1)2-4,

当I尤1=1即A-+1时,y有最小值为-4,故②正确；

③当m=-4时，方程x2-2|x|-3=m为x2-2\x\-3=-4,

可化为也I-1六0,

解得产±1,有两个不相等的实数根，

此时/"=-4<-3,故③错误；

④•直线>=尤+4>与y=x2-2\x\-3的图象有三个交点，

/.方程x2-2|x|-3=x+b,即x2-2|x|-x-3-b=0有3个解，

/.方程x2-3%-3-6=0(xK))与方程-3-b=0(尤<0)一共有3个解，

当方程N-3%-3-6=0(后0)有两个不相等的非负数根，

则方程尤2+x-3-6=0(x<0)有两个相等的负数根；

或当方程尤2-3%-3-6=0(史0)有两个不相等的非负数根，

则方程尤2+x-3-6=0(x<0)有一个负数根；

或方程尤2-3%-3-匕=0(启0)有一个非负数根或两个相等的非负数根，

则方程尤2+x-3-6=0(x<0)有两个不相等的负数根.

白=9+12+4。>0今=9+12+4。>0白=9+12+4820

x9x=-3-b>0x•=—3-Z?>0x1*x=-3—b<0

l2或<12或J2

勺=1+12+40=0勺=l+12+4"0勺=1+12+4020

x3•x4=—3-b>0x3•x4=—3—b<0x3*x4=—3-b>0

解得，b=-—,或6=-3,

4

13

，当6=-1或6=-3时，直线y=x+6与y=/-2|R-3的图象有三个交点，故④错误;

故选：B.

【点睛】

本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数图象与一次函数图象的交

点问题，二次函数的最值的应用，一元二次方程的根的判别式的应用，关键是灵活运用

二次函数的知识进行解答.

二、填空题

11.我们用符号国表示不大于天的最大整数.例如：[L5]=l,[-1.5]=-2.那么：

(1)当-1<[%]V2时，x的取值范围是；

(2)当-lVx<2时，函数丁=尤2-24司+3的图象始终在函数丁=国+3的图象下方.则

实数。的范围是.

3

【答案】0Vx<3a<-l^a>-

【分析】

(1)首先利用[目的整数定义根据不等式确定其整数取值范围，继而利用取整函数定义

精确求解X取值范围.

(2)本题可根据题意构造新函数，采取自变量分类讨论的方式判别新函数的正负，继

而根据函数性质反求参数.

【详解】

(1)因为国表示整数，故当-1<国42时，区的可能取值为0,1,2.

当国取0时，OWrQ；当国取1时，lW_r<2；当国=2时，2Wx<3.

故综上当T<[x]<2时，x的取值范围为：0W_r<3.

(2)令-2dxi+3,y2=[x]+3,%=

由题意可知：%>。，y3=—x~+(2a+1)[x].

①当-lWx<0时，国=一1,%=-/-（2。+1）,在该区间函数单调递增，故当％=-1时,

/n=—2。-2>0，得qVT.

②当0WX<1时，［%］=0,必=一/<。不符合题意.

2

③当l〈x<2时，［司=1,y3=-x+2a+l,在该区间内函数单调递减，故当不取值趋

3

近于2时，3>0,得〃>,,

3

2

当a=弓时，y3=-x+4,因为,故为片。，符合题意.

3

故综上：a<-1或

【点睛】

本题考查函数的新定义取整函数，需要有较强的题意理解能力，分类讨论方法在此类型

题目极为常见，根据不同区间函数单调性求解参数为常规题型，需要利用转化思想将非

常规题型转化为常见题型.

12.如图，点。是等边AASC的边上的一个动点，连结AD,将射线ZM绕点。顺时

针旋转60。交AC于点E,若AB=4,则CE的最大值是.

【分析】

由等边三角形的性质可知/B=/C,利用外角的性质证得NBAD=/EDC,可得出

AABD^ADCE,设BD的长为x,由相似的性质表示出CE的长，利用二次函数的性

质可求出CE的最大值.

【详解】

解：：△ABC为等边三角形，

；./B=NC=60。，AB=BC=AC=4,

ZB+ZBAD=ZADC=ZADE+ZEDC,ZADE=60°,

ZBAD=ZEDC,

AAABD^ADCE,

,ABBD

"'7^D~~CE

设BD=x,贝I]CD=4-x,

•4x

"4-x-CE

1,1,

:.CE=——_?+尤=——（X-2）2+1,

44

由二次函数的性质可知，当x的值为2时，CE有最大值，最大值为1,

故答案为：1.

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，相似的判定与性质以及二次函数的性质等，解题的关键

是能够用字母将所求线段的长表示出来，用函数的性质求极值.

13.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E是边2C上一动点（不与点B,C

重合），ZAEF=90°,且所交正方形外角的平分线CT于点F,交8于点G,连接AF,

有下列结论：

①AABESAECG；

②AE=EF;

③NDAF=NCFE；

@ACEF的面积的最大值为1.

其中正确结论的序号是.（把正确结论的序号都填上）

【答案】①②③

【分析】

证明/BAE=/CEG,结合/B=/BCD可证明△ABEs^ECG,可判断①；在BA上截

取BM=BE,证明AAME也AECF,可判断②；可得△AEF为等腰直角三角形，证明

ZBAE+ZDAF=45°,结合/BAE=NCEF,ZFCH=45°=ZCFE+ZCEF,可判断③；设

BE=x,则BM=x,AM=AB-BM=2-x,根据△AME经△ECF,求出AAME面积的最大值

即可判断④.

【详解】

解：：四边形ABCD为正方形，

ZB=ZBCD=90°,

,?ZAEF=90°,

・•・ZAEB+ZCEG=90°,又NAEB+NBAE=90。,

・・・ZBAE=ZCEG,

AAABE^AECG,故①正确；

在BA上截取BM=BE,

・・•四边形ABCD为正方形，

AZB=90°,BA=BC,

・・・ABEM为等腰直角三角形，

JNBME=45。，

・•・NAME=135。，

VBA-BM=BC-BE,

AAM=CE,

・・・CF为正方形外角平分线，

:.ZDCF=45°,

・•・ZECF=135°=ZAME,

NBAE二NFEC,

AAAME^AECF(ASA),

・・・AE=EF,故②正确；

・・・AAEF为等腰直角三角形，

NEAF=NEFA=45。，

ZBAE+ZDAF=45°,

而NBAE=NCEF,ZFCH=45°=ZCFE+ZCEF,

：.ZDAF=ZCFE,故③正确；

设BE二x,则BM二x,AM=AB-BM=2-x,

SAAME=^*X*(2-X)=——X2+X,

当x=l时，SAAME有最大值，

而^AME^AECF,

••SAAME=SACEF,

•••SACEF有最大值《，所以④错误；

综上：正确结论的序号是：①②③.

故答案为：①②③.

AD

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性

质，正方形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形

的知识解决线段的问题.

14.二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab>0；②a+b-l=O；③a

>1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为1,另一个根为-工.其中正确

a

结论的序号是.

【答案】②③④

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与。的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据

抛物线与x轴交点的个数及x=l时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进

行判断.

【详解】

解：①由二次函数的图象开口向上可得a>0,对称轴在y轴的右侧，b<0,

.'.ab<0,故①错误；

②由图象可知抛物线与x轴的交点为（1,0）,与y轴的交点为（0,-1）,

，c=-1,

a+b-1=0,故②正确；

（3）*.*a+b-1=0,

.*.a-1=-b,

Vb<0,

.*.a-l>0,

；.a>l,故③正确；

④：抛物线与y轴的交点为(0,-1),

.••抛物线为y=ax2+bx-1,

:抛物线与x轴的交点为(1,0),

.•.ax2+bx-1=0的一个根为1,根据根与系数的关系，另一个根为-！，故④正确；

a

故答案为②③④.

【点评】

主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换.会利用特殊值

代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c,然后根据图象判断其值.

15.已知当—iWaWl时，二次函数y=d+(a-4)x+4-2a的值总大于0,则x的取值范

围是.

【答案】或%>3.

【分析】

把二次函数的恒成立问题转化为y=f+(a-4)x+4-2a=a(x-2)+x2—4x+4>0在

TWaWl上恒成立，再利用一次函数函数值恒大于0所满足的条件，即可求出x的取值

范围.

【详解】

解：原题可转化为关于a的——次函数y=d+(a-4)x+4—2a=a(x-2)+d-4x+4>0

在-IWaWl上恒成立，

当q=Ta=l者B有,>0，

.•.(-1)(*-2)+/-4彳+4>(^且无一2+炉-4》+4>(^

由①得：f_5x+6>0,

令％=--5》+6,则函数图像如下：

当％=x2-5x+6>0,由图形可得：x<2或x>3,

由②得：尤2一3元+2>0,

令%=丁-3X+2,则函数图像如下：

综上：x的取值范围是：％<1或%>3,

【点睛】

本题的做题方法的好处在于避免了讨论二次函数的对称轴和变量间的大小关系，而一次

函数在确定范围内的最值一定在端点处取得，所以就把解题过程简单化了，同时考查了

利用图像法解一元二次不等式，难点是对x的范围的确定，掌握以上知识是解题的关键.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=5,点D是边BC上一动点（不与B,C重合），ZADE

3

=NB=a,DE交AC于点E,Msina=-.下列结论：

©AADE^AACD；

②当BD=2时，AABD与ADCE全等；

③4DCE为直角三角形时，BD的长一定为4：

@0<CE<3.2.

其中正确的结论是.（把你认为正确结论的序号都填上）

【答案】①④.

【分析】

①根据有两组对应角相等的三角形相似即可证明；②由BD=2,则DC=5,证得对应边

不相等，△ABD与ADCE不全等；③分两种情况讨论，通过三角形相似即可求得；④

作AGJ_BC于G,如图，根据等腰三角形的性质得BG=CG,再利用余弦的定义计算出

BG=8,则BC=2BG=16,设BD=x,则CD=16-x,证明AABDSADCE,利用相似比可

1Q

表示出CE=-MY+M%,然后利用二次函数的性质求CE的最大值，于是得到结论.

【详解】

解:①AB=AC,

・・・ZB=ZC,

又・.・NADE二NB,

:.ZADE=ZC,

NDAE=NCAD,

AAADE^AACD,

故①正确.

②作AG±BC于G,

3

「AB=AC=5,NADE=NB=a,sina=—,

BG=ABxcosB,

4

BC=2BG=2xABxcosB=2x5x—=8,

VBD=2,

・・・DC=6,

・・・ABWDC,

・・・AABD与^DCE不全等，故②错误.

③当NAED=90。吐由①可知:△ADE^AACD,

・・・NADC二NAED,

ZAED=90°,

JZADC=90°,

JZADC=90°,

即AD±BC,

VAB=AC,

ABD=CD,

4

ZADE=ZB=a且cosa=y,AB=5,

・・・BD=4,

当NCDE=90。时，易△CDE^ABAD,

NCDE=90。，

・・・ZBAD=90°,

..4

VZB=a,cosa=y,AB=5,

・□A34

..cosB=——=-,

BD5

••DLJ—j

4

故③错误.

・・・AG，BC于G,如图，

VAB=AC,

ABG=CG,

VZADE=ZB=a,

「BG4

cosB=cosa=----二一,

AB5

4

・・・BG=彳x5=4,

・・・BC=2BG=8,

设BD=x，则CD=8-x,

VZADC=ZB+ZBAD,即

a+ZCDE=ZB+ZBAD,

JZCDE=ZBAD,

而NB=NC,

・・・AABD^ADCE,

.ABBD

^~CD~~CE'

181

・・.CE=—f9+—%=__（X—4）92+3.2,

555

当x=4时，CE最大，最大值为3.2.

・・・0vCEW3.2.故④正确.

故答案为:①④.

BD

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，二次函数的

最大值问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

17.在平面直角坐标系xOy中，设点P的坐标为(n—1,3n+2),点Q是抛物线y=一

x2+x+l上一点，则P,Q两点间距离的最小值为.

【答案】^VTo

【分析】

先求出点P所在直线的解析式，再求出与点P所在直线平行的直线解析式，然后求出这

两条直线间的距离，即可求解.

【详解】

•.•点尸的坐标为(n-1,3"+2),

设x=n—1,y=3n+2,

y=3x+5,即：点P在直线y=3x+5上,

设与直线y=3x+5平行的直线为：y=3x+b,

当直线y=3x+b与抛物线x2+x+1相切时，

则3x+b=—x2+x+l,即：x2+2x+b-l=0,

・・・A=22—4xlx(b—1)=0,解得：b=2,

・・・与直线y=3x+5平行且和抛物线相切的直线为：y=3x+2,此时，直线y=3x+5与直线

y=3x+2的距离就是P,。两点间距离的最小值.

设直线y=3x+5与y轴的交点为C,直线y=3x+2与x,y轴的交点分别为F,E,如图所

2

示，则C(0,5),E(0,2),F(-y,0),

・・.CE=3,OE=2,OF=-,EF=y/OE2+OF2=-V10,

33

过点C作CDLEF于点D,

VZCDE=ZFOE=90°,NCED=NFEO,

・・・ACDE〜AFOE,

CD3

•・喘噬，即:河，解得:CD$M,

••.P,。两点间距离的最小值为三师.

本题主要考查一次函数图像和二次函数图像的综合，以及相似三角形的判定和性质，把

两点间的最小距离化为两直线间的距离，是解题的关键.

18.如图，正方形Q4BC的一个顶点与原点。重合，0C与丁轴的正半轴的夹角为15。，

【答案】母

【分析】

连接08,根据正方形的对角线平分一组对角线可得NBOC=45。，过点8作BOLy轴

于。，然后求出/80。=60。，根据直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得

OD=^OB,设OD=x,再利用勾股定理列式求出B。，从而表示点8的坐标，再把点B

的坐标代入抛物线解析式求解即可.

【详解】

解：如图，连接OB,

:四边形0A2C是正方形,

：.ZBOC=45°,

过点B作BDLy轴于D,

：OC与y轴正半轴的夹角为15°,

.,.ZBOD=45°+15°=60°,

.,.ZOBD=30°,

：.OD=\OB,设OD=x,

•*-BD=JOB。-o»=岛，

.••点3的坐标为（石X,X）,

・・,点B在抛物线y=的图象上,

解得x=l.

.•.OB=2,设AO=AB=a,

2a2=4,

a>0,解得a=C，

故答案为：V2.

【点睛】

本题是二次函数综合题型，主要利用了正方形的性质，直角三角形30。角所对的直角

边等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征，熟记

正方形性质并求出OB与x轴的夹角为30°,然后表示点B的坐标是解题的关键.

19.如图，二次函数y=§Y-j尤-2的图像与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），

与y轴交于点C,连接BC,在线段BC上有一动点P,过点P作y轴的平行线交二次

函数的图像于点N,交x轴于点M,若ACPN与ABPM相似，则点P的坐标为.

y\

【答案】§，」)或吟，得)

【分析】

分两种情形：当CN//AB时，NPBM=NPCN,此时△PCNs/^PBM,当NCXBC时,

ZPCN=ZPMB=90°,此时△PCNs^PMB,分别求解即可.

【详解】

4in

解：对于抛物线一~—x-2,令x=0,得到y=-2,可得C(0,-2),

令y=0,可得0=?%2一半％_2,解得x=3或

33/

AA(-1,0),B(3,0),

设直线BC的解析式为y=kx+b,

3k+b=0

b=-2

解得

k=-

<3,

b=-2

2

・・・直线BC的解析式为y=§x-2,

设P(m,ym-2),

•:ZBPM=ZCPN,

当CN//AB时，ZPBM=ZPCN,此时△PCN^APBM,

4in

把y=-2代入一11_2,得

410…

一x2-----x-2--2,

33

解得

Xl=-|,X2=0(舍去)，

-2）,

57

把x=1代入y=]x-2,得

当NC_LBC时，ZPCN=ZPMB=90°,此时△PCNs^PMB,

VZOCB+ZNCH=90°,ZOCB+ZOBC=90°,

・・・NOBC=NNCH,

tanZNCH=tanNOBC,

.NHPC_2

n2

：・042,1。「二§，

-2——nHn+2

33

•*«ni=--,n2=0（舍去），

o

综上所述，满足条件的点p的坐标为0或(?,-2,

23o12

故答案为：§厂()或

【点睛】

本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的知识，二次函数与坐标轴的交点问

题，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类

讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

20.若直线/:y=-gx+a与抛物线y=Y+2x-3交于M、N两点，则当ZMON<90。时,

a的取值范围为.

【分析】

方法一：根据直线/：y=-gx+。与抛物线丁=尤2+2尤-3交于M、N两点，可列出关于

x的一元二次方程并求解，可得到x的值；过点M和点N作MGLNG交于G,通过直

角三角形勾股定理，MG2+NG2=OM-+ON2,将A/、N两点坐标代入，通过

代入一元二次方程的解和一次函数解析式，得到关于a的方程并求解，结合a不同取值

和函数图像性质，通过列不等式并求解即可得到答案.

方法二：由方法一可得M、N的坐标，求出MN的中点坐标，根据中点到原点。的距

离大于MN的一半，并结合直线与抛物线有两个交点的条件，即可求出a的取值范围.

【详解】

解：方法一：二,直线=与抛物线y=V+2x-3交于Al、N两点

•*.M>N两点坐标分别为：”（芝,％）,N（x2,y2）,且-（犬+。=%2+2x-3

,,2%2+5x—6—2a=0

_-5±073+16。

一4

5

百+九2=一3

%％=_3―Q

如图，过点M和点N作MGLNG交于G

■'-MG2+NG2^MN2

当NMON=90°时

OM-+ON2=MN2

/•MG-+NG2=OM2+ON2

22222②二%之+女？

'：MG=(yl-y2),NG=-x2),OM=,0M

=x++x+

；•(%-%)+(%-工2)\y\iy-i

•-一玉%=%%

_i=iX+a

•必=一万项+〃，？2~~2

・，・一玉/二（一]玉+]+@

々(玉+〃

5XXX2—29)+4=0

如图，当〃>0时，随着a的增大，NMON逐渐减小

；.a〉叵,ZMON＜90°；

2

如图，当。＜0时，随着a的减小，/MON逐渐减小

结合上图，随着a的减小，当一次函数曲线和二次函数曲线不存在两个交点时，不构成

△OMN

/•2f+5x-6-2a=0的A>0

即A=25—8(-6—2a)=73+16a>0

73

・〃>-----

16

故答案为：正或-73V15

——<a<-------

2162

—5+，73+16〃一5-(73+16〃

X、—