上海市闵行三中高三（上）9月月考数学试卷

一、填空题：

1.若(x+1)n=xn+...+ax3+bx2+cx+l(nGN*),且a：b=3：1,那么n=.

2.从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号

之和为奇数的概率是.

3.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个

球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为.

4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻的概率

为(用分数表示)

5.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为.

6.棱锥的高为16cm,底面积为512cm2,平行于底面的截面积为50cm2,则截面与底面的

距离为.

7.如果球的内接正方体的表面积为24,那么球的体积等于.

8.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2：3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面

角的度数为.

9.在棱长为1的正方体ABCD--AiBiCiDi中，若G、E分别为BBi,C1D1的中点，点F是

正方形ADDiAi的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值

为.

10.给出下列命题：①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等

的棱锥是正棱锥：③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的

棱锥是正棱锥，其中正确命题的是.

11.如图，点A在锐二面角a-MN-B的棱MN上，在面a内引射线AP,使AP与MN所

成的NPAM为45。，与面B所成的角为30。，求二面角a-MN-B的大小

12.如图，正四面体S-ABC的边长为a,D是SA的中点，E是BC的中点，则SDE绕SE旋

转一周所得旋转体的体积为

二、选择题：

13.已知(1-3x)9=ao+aix+a2X2+...+agx9,则|ao|+|a-+az+...+忆91等于()

A.29B.49C.39D.1

14.(2x+4)4的展开式中x3的系数是()

A.6B.12C.24D.48

15.如图，0A是圆锥底面中心。到母线的垂线，0A绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体

16.平行六面体的棱长都是a,从一个顶点出发的三条棱两两都成60。角，则该平行六面体

的体积为()

33

A.aB.—aC.亚a，D.返a?

2a2a2a

17.如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球。的同一个大圆上，点P

在球面上，如果％_娅6弯，则求。的表面积为()

A.4nB.8nC.12nD.16R

18.已知(x-且)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的

X

和是()

A.28B.38C.1或38D.1或28

19.W1,2，…,9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都可以成等差数列的概率为()

A.---B.---C.---D.---

5670336420

20.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是()

5c25-31c91

A.0.c.u.

216-------216-------216--------216

三、解答题：

21.A={x|3x2+x-220,xGR},8=&|生?〉0,xER},

x-3

(1)用区间表示集合A、B；

(2)求ACB.

22.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱,

(1)求此圆柱的侧面积表达式；

(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

R

23.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的

等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函

24.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90。，且

NADC=arcsi渣-又PAJ_平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a,

5

(I)求二面角P-CD-A的正切值；

(II)求点A到平面PBC的距离.

25.在三棱锥S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5泥.

(I)证明：SC1BC；

(II)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；

(田)求二棱锥的体积Vs-ABC.

fl

26.如图，在直四棱柱ABCD-AiBiCiDi中，AB=AD=2,DC=2«,AAi=/,AD±DC,AC±

BD垂足为E.

(I)求证BDlAiC；

(n)求二面角Ai-BD-Ci的大小；

(DI)求异面直线AD与BJ所成角的大小.

B

四、备用题.

27.如图，ABCD-AiBiCiDi是正四棱柱，侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点.

(1)求三棱锥Di-DBC的体积；

(2)证明BDi〃平面CiDE；

(3)求面CiDE与面CDE所成二面角的正切值.

28.如图，正四棱柱ABCD-AiBiGDi中，底面边长为2加，侧棱长为4.E,F分别为梭AB,

BC的中点，EFCBD=G.

(I)求证：平面BiEFJ_平面BDDiBi；

(n)求点Di到平面BiEF的距离d；

(m)求三棱锥Bl-EFD1的体积V.

29.如果在(4+是'

)n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.

30.袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率：

(1)摸出2个或3个白球；

(2)至少摸出1个白球；

(3)至少摸出1个黑球.

31.把1,2,3,4,5各数分别写在5张卡片上，随机地取出3张排成自左向右的顺序，

组成三位数，

求：(1)所得三位数是偶数的概率；(2)所得三位数小于350的概率；(3)所得三位数

是5的倍数的概率.

X

32.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f()=.31

x9X+12,

(1)判断并证明y=f(x)在(-8,o)上的单调性；

(2)求y=f(x)的值域;

(3)求不等式f(x)>得的解集.

33.如图，正三棱柱ABC-AiBiCi中，D是BC的中点，AB=a.

(I)求证：直线AiD_LBKi；

(口)求点D到平面ACCi的距离；

(III)判断AiB与平面ADCi的位置关系，并证明你的结论.

2008-2009学年上海市闵行三中高三(上)9月月考数学

试卷

参考答案

一、填空题：

1.若(x+1)n=xn+...+ax3+bx2+cx+l(n£N*),且a：b=3：1,那么n=11.

【分析】根据条件中所给的二项式定理的展开式，写出a和b的值，根据这两个数字的比值,

写出关于n的等式，即方程，解方程就可以求出n的值.

解：(x+1)n=xn+...+ax3+bx2+cx+l(n《N*),

••8=Cn^,b=Cn?,

Va：b=3：1,

/.a：b=Cn3：Cn2=3:1,

,n(n-l)(n-2)n(n-l).

3X22

.\n=ll.

故答案为：11

【点评】本题是考查二项式定理应用，考查二项式定理的二项式系数，是一个基础题，解题

的关键是写正确要用的a和b的值.

2.从编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的十个球中，任取5个球，则这5个球编号

之和为奇数的概率是5.

【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验发生的总事件是任取5个球有加。5种结果，满

足条件的编号之和为奇数的结果数为C51c54+C53c52+Cs5=126,根据公式得到结果.

解：由题意知本题是一个古典概型，

•••试验发生的总事件是任取5个球有C105种结果，

满足条件的编号之和为奇数的结果数为CJB+C53c52+C55=126,

由古典概型公式得到，

126i

概率为祠-=高.

C102

【点评】本题考查古典概型，条件中包含的组合数的应用有点难度，容易出错，解题时要看

清数字的特点，这个题目把这5个球编号之和为奇数变为这2个球编号之和为奇数，也能体

现解题方法.

3.一个口袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个

球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为圣.

【分析】由题意知本题是一个古典概型，用组合数表示出试验发生所包含的所有事件数，满

足条件的事件分为两种情况①先摸出白球，再摸出黑球，②先摸出黑球，再摸出白球，根据

古典概型公式得到结果.

解：由题意知本题是一个古典概型，

•.•试验发生所包含的所有事件数是C51c5】，

满足条件的事件分为两种情况

①先摸出白球，P曰=C21,再摸出黑球，P白靠=C21c31；

②先摸出黑球，P2c人再摸出白球，P黑白91c2】，

.„_C2C3,C3C2_12

-

••।z「十z丁一.

clciclcl25

【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，实际上本题可以列举出所有

事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另

一个知识点.

4.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻的概率

为g（用分数表示）

一7-

【分析】本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件是7个人全排列，共有A:，

种结果，2位老人相邻，把两位老人看成一个元素和另外5个元素进行排列，两个老人之间

还有一个排列，共有A66A22种结果，得到概率.

解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生所包含的事件是7个人全排列，共有A77种结果，

满足条件的事件是，2位老人相邻，把两位老人看成一个元素，

和另外5个元素进行排列，两个老人之间还有一个排列，共有A66A22种结果，

，2位老人相邻的概率是p=_y=j,

A；7

故答案为：Y

【点评】本题考查等可能事件的概率，本题解题的关键是理解两个老人相邻的处理方式，利

用捆绑法，注意不要漏掉俩个老人之间还有一个排列，本题是一个基础题.

5.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，则从中任取2把能将该锁打开的概率为”.

一45一

【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从10个元素中任取2个

112

元素，满足条件的事件数C2C8+C2,得到10把钥匙中有2把能打开某锁的概率.

【解答】解法一：

解：由题意知，本题是一个古典概型，事件是从10个元素中任取2个元素

•.•试验发生的事重件数Cio2,

.•.若10把钥匙中只有2把能打开某锁，

112

满足条件的事件数C2C9+C2

112

CC+C17

则从中任取2把能将该锁打开的概率为二9_§_£9=整.

45

1-io

故答案为：~~-

45

解法二:

取出的两把钥匙都不能打开锁的概率是:

所以能打开门的概率是:

17

P=1-P=—.

o45

【点评】本题考查古典概型和计数原理，试验发生包含的事件数需要通过排列组合数来表示,

是一个易错题，在概率问题中开锁问题是比较困难的.

6.棱锥的高为16cm,底面积为512cm2,平行于底面的截面积为50cm2,则截面与底面的

距离为11cm.

【分析】利用面积之比是相似比的平方，求出截取棱锥的高，然后求出截面与底面的距离.

解：设截取棱锥的高为：h,则山）=里，./=5,所以截面与底面的距离：16-5=llcm

'16，512

故答案为：11cm

【点评】本题是基础题，考查面积之比是选上比的平方，考查计算能力，空间想象能力.

7.如果球的内接正方体的表面积为24,那么球的体积等于_4向兀

【分析】先求球的内接正方体的棱长，再求正方体的对角线的长，就是球的直径，然后求其

体积.

解：球的内接正方体的表面积为24,所以正方体的棱长是：2

正方体的对角线2«,所以球的半径是

所以球的体积：4我兀

【点评】本题考查球的内接体问题，球的体积，考查学生空间想象能力，是基础题.

8.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2：3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面

角的度数为60。.

【分析】在三棱锥中，一个侧面在底面上射影的面积为地面面积的有三角形的面积公式,

加由匕田而■-而岳也amua侧面在底面上射影的面积rn.iHT-e^

侧面与底面所成一面角为e,则cose=-----------侧面的面'枳-------'则可求解.

解：设一个侧面面积为S,底面面积为S1,则这个侧面在底面上射影的面积为看,

S9

由题设得丁二件，设侧面与底面所成二面角为4

—ss1

则cos0=^_=Q=一,

V3scl2

Ae=60°.

故答案为：60°

【点评】本题考查空间二面角的计算和应用，考查运算能力.

9.在棱长为1的正方体ABCD--AiBiGDi中，若G、E分别为BBi,C1D1的中点，点F是

正方形ADDxAi的中心，则四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值为

1

2-'

【分析】欲求四边形BGEF在正方体六个面上的射影图形面积的最大值，只须找出四边形

BGEF在正方体在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射影，这三种不同的

情况下射影的面积即可，这三种情形只有在前后面上的射影正好占到一个面的一半，从而得

到结果.

解：BGEF在正方体的六个面上的射影有三种情况，

即在前后面上的射影，在左右面上的射影，在上下面上的射影，

这三种不同的情况下，只有在前后面上的射影正好占到一个面的一半，

...射影到面积的最大值是4

故答案为：-T--

【点评】本题考查平行投影即平行投影作图法等基础知识，考查空间想象力，属于基础题.

10.给出下列命题：①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；②侧棱都相等

的棱锥是正棱锥；③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥；④侧面和底面所成二面角都相等的

棱锥是正棱锥，其中正确命题的是①.

【分析】从正棱锥的定义逐一判断，即可.对于①顶点在底面的射影不一定是底面正多边形

的中心；对于②侧棱都相等的棱锥底面不一定是正多边形；③侧棱和底面成等角的棱锥底面

不一定是正多边形；对于④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥底面不一定是正多边形，从

而得出正确命题.

解：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.

可以判断①底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥；故

正确.

②侧棱都相等的棱锥是正棱锥不正确；因为底面不一定是正多边形.故错误.

③侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥不正确；底面不一定是正多边形.故错误.

④侧面和底面所成二面角都相等的棱锥是正棱锥；底面不一定是正多边形.错误.

其中正确命题的是①

故答案为：①.

【点评】本题考查正棱锥的定义、棱锥的结构特征等基础知识，考查空间想象力.属于基础

题.

11.如图，点A在锐二面角a-MN-B的棱MN上，在面a内引射线AP,使AP与MN所

成的NPAM为45。，与面B所成的角为30。，求二面角a-MN-B的大小45。.

【分析】求二面角平面角的大小，关键是找（作出）出二面角的平面角，本题可以利用定义

法寻找.过点P作平面B的垂线PB,垂足为B,过点B作BC垂直于MN,连接PC,根据条

件可以证得NPCB为二面角a-MN-B的平面角，再分别在^PBA,APCA,Z\PCB中，可

求二面角a-MN-B的平面角.

解：过点P作平面B的垂线PB,垂足为B,过点B作BC垂直于MN,连接PC

VPB1P，MNU0,.\PB±MN

：MNJ_BC,；.NPCB为二面角a-MN-B的平面角

设PB=1,在4PBA中，NPAB=30°,；.PA=2

在4PCA中，NPAC=45°,:-PC:近

在4PCB中，PB=1,PC=&,...NPCB=45。

故答案为45°

【点评】本题的考点是二面角的平面角及求法，主要考查利用定义找（作出）出二面角的平

面角，关键是找（作出）出二面角的平面角，同时也考查学生计算能力.一般地，二面角的

平面角的求法，遵循一作、二证、三求的步骤，定义法事最基本的寻找方法.

12.如图，正四面体S-ABC的边长为a,D是SA的中点，E是BC的中点，则SDE绕SE旋

3

转一周所得旋转体的体积为—虐■兀a_.

【分析】连接AE,先证EDLSA,作DFJ_SE,交SE于点F,从而可知所求的旋转体的体积

是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，然后求出DF,SE,即可

求出所求.

解：连接AE,因为4SDE和AABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中

线,

所以SE=AE,从而4SDE为等腰三角形，由于D是SA的中点,

所以EDLSA.作DFLSE,交SE于点F.考虑直角4SDE的面积，得到^-SE-DF=ySD'DE-

所以，2SD・DE由a'DE曰i-j--2_I2，

DF-~-,易知，SE-^SB-BEa-2~~2~Q

_____________________亚a

DE：WsE2-SD2=^-1-a2-(-|-),所以‘口「号-=-y-a-

Ta

所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即

1

11r/V6、2CHJ.1-TT诉\217T7^6S2ntr-TT^33

万冗,(7~a)・SF+w冗・EF=：7冗•(ka)-SE=v71Ka

36363636236

故答案为：坐■冗

36

【点评】本题主要考查了旋转题的体积，解题的关键是弄清旋转体的形状，本题旋转体是以

DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥，属于中档题.

二、选择题:

13.已知(1-3x)9=ao+aix+a2X2+...+a9X9,则|ao|+|ai|+a?；+..・+1391等于()

A.29B.49C.39D.1

【分析】根据二项式定理，可得(1-3X)9的展开式为Tr1=C9r(-3x)r,由绝对值的意义

可得，aol+|ai|+la2l+...+|a9l=ao-ai+a?-as+...as-as.

令x=l,代入(l-3x)9可得答案.

解：由二项式定理,(1-3X)9的展开式为Tr，l=C9r(-3x)r,

则X的奇数次方的系数都是负值，

!aoI+1ai|+32+...+1agI=ao-ai+a2-33+...-ag.

根据题意，只需赋值x=-l,即可得Iao,+ai|+|a2|+...+|a9=49

故选：B.

【点评】本题考查二项式定理的运用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，进行赋值，

可以简便的求出答案.

14.(2X+7G)4的展开式中x3的系数是()

A.6B.12C.24D.48

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第r+1项，令x的指数为3,求出展开式

中x3的系数.

解：(2X+4)4展开式的通项为％+1=%(2乂)4-「(4)「=4'产

令44=3解得r=2

故展开式中X3的系数是4XC42=24

故选：C.

【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.

15.如图，OA是圆锥底面中心。到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体

积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为()

1111

A•版万C“D.朝

【分析】设OB=1,求出OD,AC,利用0A绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两

部分，求得关系式，从而求得答案.

解：如图，设OB=1,则OD=cote,AC=AD・sin9,OD»cos0sin0=cos29,

椎DBB，01V图锥ODAA，=1i)0-nAC2^-cot8•兀cos"8'

由题意知cos's""，故知COS8=^M.

故选：D.

【点评】本题考查旋转体的体积，三角函数等有关知识，是中档题.

16.平行六面体的棱长都是a,从一个顶点出发的三条棱两两都成60。角，则该平行六面体

的体积为()

33

A.aB.—aC.返a?D.返a?

2a2a2a

【分析】由题意通过三面角公式，求出侧棱与底面所成的角，求出平行六面体的高，底面面

积，即可求出平行六面体的体积.

解：由题意侧棱与底面所成的角为。，所以8$60。=8$30。85。，所以cosO=Ya,

3

所以平行六面体的高为：asin0=^-,平行六面体的底面面积为：a2sin6(r=返&2,

32

所以平行六面体的体积为：里•返&2=亚3.

32a2a

故选：C.

【点评】本题是中档题，考查平行六面体的体积的求法，考查计算能力，注意三面角公式的

应用.

17.如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球。的同一个大圆上，点P

在球面上，如果％则求。的表面积为（）

JrAJDkzD3

12nD.16n

【分析】由题意可知，PO_L平面ABCD,并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面

积.

解：如图，正四棱锥P-ABCD底面的四个顶点A,B,C,D在球。的同一个大圆上，点P

I£

在球面上，PO_L底面ABCD,PO=R,SABCD=2R2,y__

所以92R2・R=2,

o

球。的表面积是16兀,

故选：D.

【点评】本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题.

18.已知（x-且）8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数，则展开式中各项系数的

X

和是（）

A.28B.38C.1或38D.1或28

【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项列出方程求出

a,给二项式中的x赋值求出展开式中各项系数的和.

r8r1rrre82r

解：Tr.i=C8*x«（-ax）=（-a）Csx.

令8-2r=0,

/.r=4.

，(-a)4c84=1120,

a=±2.

当a=2时,令x=l,则（1-2）8=1.

当a=-2时，令x=l,则（1+2）8=38.

故选：C.

【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具；赋值法是

求展开式的系数和的重要方法.

19.将1,2,...,9这9个数平均分成三组,则每组的三个数都可以成等差数列的概率为（）

A.---B.---C.---D.---

5670336420

【分析】先把9个数分成3组，根据排列组合的性质可求得所有的组的数，然后把三个数成

等差数列的组，分别枚举出来，可知共有5组，然后利用概率的性质求得答案.

广

3r.3r.3

三组,

解：9个数分成三组，共有其中每组的三个数均成等差数列，有｛（1,2,3）,

3

A3

(4,5,6),(7,8,9)}、{(1,2,3),(4,6,8),(5,7,9)}、{(1,3,5),

(2,4,6),(7,8,9)}、{(1,4,7),(2,5,8),(3,6,9)}、{(1,5,9),

(2,3,4),(6,7,8)),共5组.

所求概率为51

8X7X556

故选：A.

【点评】本题主要考查了等差关系的确定和概率的性质.对于数量比较小的问题中，可以用

枚举的方法解决问题直接.

20.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是（）

A“.---5----Bc.----2--5--C-.----3---1-cD.--9--1---

216216216216

【分析】事件"至少出现一次6点向上"的对立事件是"出现0次6点向上的概率”，由此借助

对立事件的概率进行求解.

解：•..事件"至少出现一次6点向上”的对立事件是"出现0次6点向上的概率"，

至少出现一次6点向上的概率p=l-或（工）°（1」-）Ji.罩=焉.

3g6216216

故选：D.

【点评】本题考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，解题时要注意对立事件概率的

合理运用.

三、解答题：

2

21.A={x3x+x-2^0,xGR},[xx6R}.

x-3

(1)用区间表示集合A、B；

(2)求ACB.

【分析】(1)解一元二次不等式求得集合A,解分式不等式求得集合B,再用区间表示这

两个集合.

(2)利用两个集合的交集的定义求出ACB.

解：(1)A={X|3X2+X-2>0,乂5}=仅%>|或*4-1}，斤&卜>3或*<1},

所以，A=(-8,-UU[-1，+8),B=(-8,A)J(3,+oo)....

34

(2)AnB={x|x《-l%《x〈1^x>3}一“

【点评】本题主要考查集合的表示方法，一元二次不等式和分式不等式的解法，两个集合的

交集的定义和求法，属于基础题.

22.已知一个圆锥的底面半径为R,高为H,在其中有一个高为x的内接圆柱,

(1)求此圆柱的侧面积表达式：

(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？

R

【分析】(1)由题意，圆柱的高已知为X,故求出圆柱底面的半径r关于X的表达式，再由

公式求出侧面积的表达式，由图知，求底面半径可利用过轴的截面建立比例关系12^,

从中解出底面半径表达式;

（2）由（1）S圆柱侧面=2兀Rx-咛Kx2，此是一个关于圆柱高的二次函数，由二次函数

的知识判断出函数的最值，即可得到圆柱侧面积的最大值，同时求出此时的x的值

解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：

因为^~=Hj,所以r=R-^"X'

i\nn

从而5圆柱侧面=2冗rx=2兀

（2）由（1）5圆柱侧面二2兀RX」^X2

因为耳尽《0，

H

b_2HR_H

所以当X-'2a=4冗R=5时，SfM最大，

H

从而当x］，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.

【点评】本题是一个旋转体中的最值问题，解题的关键是建立起圆柱侧面积的函数关系，利

用函数的最值求侧面积的最值，本题的难点是作出旋转体的轴截面，由此截面上的比例关系

将底面半径用高表示出来，从而由公式建立起侧面积关于高x的函数关系，这也是本题的重

点，本题考查了数形结合的思想，函数的思想，利用函数求最值是函数的一个重要运用，

23.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的

等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V与x的函数关系式，并求出函

数的定义域.

【分析】设出所截等腰三角形的底边边长为xcm,在直角三角形中根据两条边长利用勾股定

理做出四棱锥的高，表示出四棱锥的体积，根据实际意义写出定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm,

在RtZXEOF中，EF=5cm,0F=yxcir>

依题意函数的定义域为仅0<x<10)

【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择

合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围.

24.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD〃BC,ZABC=90。，且

又PA_L平面ABCD,AD=3AB=3PA=3a,

(I)求二面角P-CD-A的正切值;

(II)求点A到平面PBC的距离.

【分析】(1)在底面ABCD内，过A作AEJ_CD,垂足为E,连接PE,易得NPEA是二面角

P-CD-A的平面角，在RtZ\PAE中求出此角的正切值；

(2)在平面APB中，过A作AH_LPB,垂足为H,可证得AH的长即为点A到平面PBC的距

离,在等腰直角三角形PAB中解出AH即可.

解：(1)在底面ABCD内，过A作AEJLCD,垂足为E,连接PE,

PAJ_平面ABCD,易证PEJ_CD,

VZPEA是二面角P-CD-A的平面角，

在RtZ\AED中，AD=3a,/ADE=arcsin近，

5

AE=AD»sinZADE=-^^-

5_

在RSPAE中，tanNPEA笔工，

AILJ

二面角P-CD-A的正切值为逅；

3

(II)在平面APB中，过A作AH_LPB,垂足为H

PAJ_平面ABCD,

，PA±BC,

又AB_LBC,；.BCJ_平面PAB,

平面PBC_L平面PAB,

.•.AH,平面PBC,

故AH的长即为点A到平面PBC的距离，

在等腰直角三角形PAB中，AH岑"a，

所以点A到平面PBC的距离为返小

2

【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理

论证能力，属于基础题.

25.在三棱锥S-ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,且AC=BC=5,SB=5娓.

（I）证明：SC1BC；

（n）求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小;

（m）求三棱锥的体积Vs-ABC.

【分析】（I）利用SA，平面ABC,根据三垂线定理，可得SC_LBC.

（D）由于BC_LAC,SC±BC,可知NSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.在

RtZ\SCB中，求得SC=10,在RtZXSAC中，可求侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小.

（IU）先计算SAABC）再求Vs-ABC=-^-,SAACB,SA.

解：（I）证明：•.•/SAB=NSAC=90°,ASA±AB,SA1AC.

又ABCAC=A,，SA_L平面ABC.

由于NACB=90°,即BC_LAC,

由三垂线定理，得SCJ_BC.

（n）解：：BC_LAC,SC±BC

ZSCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角.

在RtZ^SCB中，BC=5,SB=5娓.

得SC=7SB2-BC2=1°

ACRI

在Rt/XSAC中AC=5,SC=10,cosSCA=x

SC102

.\ZSCA=60o,即侧面SBC与底面ABC所成的二面角的大小为60°.

（ID）解：在RtASAC中，

SA=VSC2-AC2=7102-52=V75-

1125

SaABd・AC・BC=±X5X5=—.

222

，VS-ABC±SAACB・SA=；x与

JoZb

【点评】本题以三棱锥为载体，考查线线垂直，考查线面角，考查几何体的体积，关键是作

出二面角的平面角.

26.如图，在直四棱柱ABCD-AiBiJDi中，AB=AD=2,DC=2«,AAi=C，AD1DC,AC±

BD垂足为E.

(I)求证BDlAiC；

(n)求二面角Ai-BD-Ci的大小；

(m)求异面直线AD与BC1所成角的大小.

【分析】解法一：

(1)在直四棱柱ABCD-AB1C1D1中，由AAi_L底面ABCD可知：AC是AiC在平面ABCD上

的射影.因为BD_LAC,所以BD_LAC

(2)二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理.连接AiE,CiE,

AiCi.与(I)同理可证BDJ_AiE,BD±CiE,所以NA1EC1为二面角ALBD-Ci的平面角；

(3)求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是"异面化共

面，认定再计算"，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余

弦定理来求.还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法

求解.本题采用的是"几何法J过B作BF〃AD交AC于F,连接FJ,则/GBF就是AD与

BCi所成的角.

解法二：

(1)同解法一；

(2)以D为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴，v轴，z轴，建立空间直角坐标

系.连接AiE,CiE,AiCi,与(1)同理可证，BDlAiE,BD±CiE,所以NAIEJ为二面角

Ai-ED-Ci的平面角.因为证J前;所以EAilECi.则二面角Ai-ED-Ci的大小为90°.

解法三：

(1)同解法一；

（2）建立空间直角坐标系，坐标原点为E.连接AiE,CiE,AiCi.与（I）同理可证BD_L

AiE,BD±CiE,所以NA1EC1为二面角Ai-BD-Ci的平面角.由E（0,0,0）Ai（0,-1,

M）,Ci（0,3,如）.因为血小前；所以EAilECi.则二面角Ai-ED-Ci的大小

为90°.

解法二、三都是用的"向量法"，只是空间直角坐标系建立的位置不同，这样各个点的坐标也

会随之改变.这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、

线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决.（2）即使立体感稍差一些的

学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可.

解：法一：

（I）在直四棱柱ABCD-ABCD1中,

；AAi_L底面ABCD.AAC是AiC在平面ABCD上的射影.

VBD1AC..\BDlAiC；

（II）连接AiE,CiE,AiCi.

与（I）同理可证BD_LAiE,BD±CiE,

ZA1EC1为二面角Ai-BD-Ci的平面角.

AD1DC,ZAiDiCi=NADC=90°,

又AiD产AD=2,DICI=DC=273-AA尸内且ACJ_BD,

；.AICI=4,AE=1,EC=3,；.AiE=2,（：正=2遂，

在△AiECi中，AiCi2=AiE2+CiE2,AZAiECi=90",

即二面角Ai-BD-Ci的大小为90°.

（川）过B作BF〃AD交AC于F,连接FJ,

则/CiBF就是AD与BCi所成的角.

：AB=AD=2,BD±AC,AE=1,

，BF=2,EF=1,FC=2,BC=DC,:.FgR,BCI=715-

在△BFCi中，cos/CiBF=NCiBF=arccosYI5.

J1-W2-V1555

即异面直线AD与BCi所成角的大小为arccosYIE.

5

法二：

(I)同解法一

(口)如图，以D为坐标原点，DA,DC,DDi所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间

直角坐标系.

连接AiE,CiE,AxCi.

与（1）同理可证，BD±AiE,BD1C1E,

B

AZAtECi为二面角Ai-ED-Ci的平面角.

由Ai（2,0,如）J（0,2«,遂）E得,也0）

22

得氤「一字代），西=（旧平,遂）

•.39

EAi・ECi=-》m3=0,

1144

AEAilECp即EAilECi.

...二面角Al-ED-C1的大小为90°

（田）如图，由D（0,0,0）,A（2,0,0）,Cl（0,273-F），B（3,如,0）,

得标=（-2,0,0）,BC]=（-3,,

,"1AD,BC|=61AD*BC|=6.AD=2，BC।=VT5

,血Eg_6血

/.cos（BCp

IAD||BC7|-2V15~~5~

•.•异面直线AD与BJ所成角的大小为arccos逗.

5

法三：

(I)同解法一.

(H)如图，建立空间直角坐标系，坐标原点为E.连接A1E,C1E,A1C1.

与(I)同理可证BD_LAiE,BD±CiE,

AZA1EC1为二面角Ai-BD-Ci的平面角.

由E(0,0,0)Ai(0,-1,5/3),Ci(0,3,F).

得西(0,-1,«),西=(0,3,y).

:西•西=-3+3=0,

前^即EAilECi,

二面角Ai-BD-Ci的大小为90°.

【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想

象能力和推理、运算能力.

四、备用题.

27.如图，ABCD-AiBKiDi是正四棱柱，侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点.

(1)求三棱锥Di-DBC的体积；

(2)证明BDi〃平面CiDE；

(3)求面GDE与面CDE所成二面角的正切值.

【分析】(1)分别求出高DD1和底面面积Sz^BCD,最后由三棱锥的体积公式求其体积.

(2)根据线面平行的判定理，只要证明EF〃BDi即可.

(3)先过C作CG_LDE交DE于G,连接则DE_LCiG作出二面角的平面角来，然后在RtzVDE

9ICCI

中，CD=2,CE=1,DE=J^,求得CG=--,再由CCI=1,通过tan/CiGCulL^求解.

、近|CG|

解：(1)VBC=CD=2.,.=—X2X2=2

2

又「DDE

i1o

三棱锥Di-DBC的体积=±S4BCDDDI=±X2X1==

333

(2)设CiDACDi=F

连接EFVE为BC的中点F为CDi的中点

AEF是ABCDi的中位线，EF〃BDi

又BDi在平面CiDE外，EF在平面GDE内

；.BDi〃平面CiDE

(3)过C作CG_LDE交DE于G,连接

则DE_LCiG；.NCiGC是二面角Ci-DE-C的一个平面角

在RsCDE中，CD=2,CE=1,DE=^

9

.",CG=-$-XVCCi=lACCiG是直角三角形

V5

IC1CI=-^-_遍

/.tanZCiGC=

ICGl-五2

【点评】本题主