逻辑代数基础知识

逻辑代数基础知识课时安排总课时：56/8:理论48实验：8课时

5-6周：8-13周周4课时8*4=32课时16-17周：周8课时：2*8=16课时第2页,共46页，2024年2月25日，星期天主要内容：第1章：逻辑代数基础知识6课时第2章：集成门电路6第3章：组合逻辑电路6第四章触发器6第5章:时序逻辑电路6第6章脉冲产生与整型电路6第7章：数模与模数转换电路4第8章：半导体存储器4第10章：数学电路应用4第3页,共46页，2024年2月25日，星期天本课程地位前续课程：电工基础，模拟电路后续课程：计算机、自动控制，等电子技术及应用。电子技术国民经济、国防技术、日常生活学习方法：理论、实验、作业。互邦互学联系：方法顾伟东304办公室

第4页,共46页，2024年2月25日，星期天主要内容：1.1数字电路概述1.2数制与码制1.3逻辑代数基础1.4逻辑代数中的基本公式1.5逻辑代数化简1.6逻辑代数表示方法及其相互之间的转换第5页,共46页，2024年2月25日，星期天内容提要：逻辑代数是分析和设计数字电路的重要工具。本章主要介绍数字信号和数字电路的基本概念和基本知识.逻辑代数和逻辑函数的化简及其表示方法。其主要内容概念，数字电路中常用的各种进制数的表示方法及其转换和编码的概念，最后重点讲解逻辑代数的基本运算、公式和定理及其逻辑函数的化简方法和常用的表示方法。第6页,共46页，2024年2月25日，星期天1.1数字电路概述模拟信号：在时间和幅值上都连续变化的信号。数字信号：在时间和幅值上都离散变化的（即间断的）信号。图1.1.1模拟信号和数字信号

1.1.1数字信号与数字电路第7页,共46页，2024年2月25日，星期天模拟电路：对模拟信号进行传输、加工和处理的电子电路。数字电路：对数字信号进行传输、加工和处理的电子电路。1.1.2数字电路的特点（1）工作信号是二进制的数字信号，反映在电路上就是低电平和高电平两种状态（即0和1两个逻辑值）。（2）数字信号中的0和1没有任何数量上的含义，只是代表两种不同的状态。（3）电路中的电子器件工作在开关状态。（4）研究的主要问题是电路的逻辑功能，即输入信号的状态和输出信号的状态之间的逻辑关系。（5）分析的主要工具是逻辑代数，表达电路的功能主要是真值表、逻辑表达式及波形图等。第8页,共46页，2024年2月25日，星期天1.1.3数字电路的优点（1）抗干扰能力强，工作准确可靠，精度高。（2）结构简单，便于集成化、系列化生产，成本低廉，使用方便。（3）主要应用：数值运算；逻辑运算与判断。（4）数字信号便于存储、加密、压缩、传输和再现。（5）可编程数字电路可以根据用户需要方便地实现各种运算，具有很大的灵活性。第9页,共46页，2024年2月25日，星期天1.1.4数字电路的分类（1）按集成度分小规模（SSI)、中规模(MSI)、大规模(LSI)、超大规模(VLSI)、甚大规模（ULSI）（2）按所用器件制作工艺的不同双极型（TTL）、单极型（MOS）（3）按照电路的结构和工作原理的不同组合逻辑电路、时序逻辑电路第10页,共46页，2024年2月25日，星期天1.2数制与编码1.2.1数制

其中，J为进位制的基数，对于J进制计数制，可供选用的数码有J个；i为数字符号所处位置的序号，Ki为第i位的系数；Ji为第i位的位权，简称权，计数规律为“逢J进1”。（1.2.1）

第11页,共46页，2024年2月25日，星期天1.2.2不同进制数之间的相互转换1．二进制、八进制、十六进制数转换为十进制数

若将J进制数转化为等值的十进制数，只要根据式1.2.1写出J进制数的按权展开式，然后按照十进制数的运算规律，求出该多项式的和数即可得到等值的十进制数。

2．十进制数转换为二进制数、八进制、十六进制数将十进制数转换为二进制、八进制、十六进制数，其整数部分采用“除基取余”法，小数部分采用“乘基取整”法。

第12页,共46页，2024年2月25日，星期天【例1.2.2】将(106.375)10转换成二进制数。

第13页,共46页，2024年2月25日，星期天由此可得(106.375)10＝(1101010.011)2第14页,共46页，2024年2月25日，星期天3．二进制数与八进制数、十六进制数间的相互转换

（1）二进制数与八进制数的相互转换

整数部分从低位往高位进行，三位二进制数换一位八进制数，不足三位高位补零。小数部分从高位往低位进行，三位二进制数换一位八进制数，不足三位低位补零。【例1.2.4】

将二进制数(11011001.01101)2转换为八进制数。解：二进制数

011

011

001.011

010八进制数

3

3

1.3

2所以(11011001.01101)2＝(331.32)8

第15页,共46页，2024年2月25日，星期天（2）二进制数与十六进制数的相互转换

整数部分从低位往高位进行，四位二进制数换一位十六进制数，不足四位高位补零。小数部分从高位往低位进行，四位二进制数换一位十六进制数，不足四位低位补零。

【例1.2.6】

将二进制数(1011011001.101101)2转换为十六进制数。解：二进制数

0010

1101

1001.1011

0100十六进制数

2D

9.B4第16页,共46页，2024年2月25日，星期天1.2.3编码

将若干位二进制数码组合起来，表示数字、文字符号以及其他不同的信息，称这种二进制数码为代码；赋予每个代码以固定的信息，称为编码。

1．二—十进制码（BCD码）

所谓二—十进制码，指的是用4位二进制数来表示1位十进制数的编码方式，称为二进制编码的十进制数（BinaryCodedDecimal），简称BCD码。表1.2.2列出了几种常见的BCD码，

2．可靠性编码

目前，常采用的代码有格雷码、奇偶校验码等。

第17页,共46页，2024年2月25日，星期天

（1）格雷码格雷（Gray）码有多种编码形式，但所有的格雷码都有一个共同的特点，就是任意两组相邻的代码之间只有一位不同。表1.2.3列出的是一种典型的格雷码与四位二进制数码的对照表。（2）奇偶检验码在信息码组中增加1位奇偶校验位，使得增加校验位后的整个码组具有奇数个1（奇校验码）或偶数个1（偶校验码）。表1.2.4列出了8421BCD码的奇校验和偶校验码。

3．字符编码

ASCII码是美国信息交换标准代码的简称，是目前国际上最通用的一种字符编码，如表1.2.5所示。它采用7位二进制编码表示十进制符号、英文大小写字母、运算符、控制符以及特殊符号等27=128种编码，高三位表示列，低四位表示行，使用时加第8位作为奇偶校验位。

第18页,共46页，2024年2月25日，星期天常用的BCD码第19页,共46页，2024年2月25日，星期天1.3逻辑代数基础1.3.1逻辑代数的基本概念与基本运算1．逻辑代数的基本概念

（1）逻辑变量

决定事物的原因的称为逻辑自变量，也称为输入变量。被决定的事物的结果称为逻辑应变量，也称为输出变量。（2）逻辑函数

Y=F(A,B,C…)

逻辑变量和逻辑函数只有1和0两种取值，这里的1和0并不表示数值的大小，而是分别用来表示客观世界中存在的既完全对立又相互依存的两种逻辑状态。第20页,共46页，2024年2月25日，星期天2．逻辑代数的3种基本运算

（1）与逻辑关系及与运算

ABY=A·B

或Y=AB

图1.3.1与逻辑符号（2）或逻辑关系及或运算

ABY=A+B图1.3.2或逻辑符号

第21页,共46页，2024年2月25日，星期天非门电路

A函数表达式

Y=A

逻辑符号

（3）非逻辑关系及非运算当条件不成立时，事件就会发生，条件成立时，事件反而不会发生，将这种因果关系称为非逻辑关系，简称非逻辑。非逻辑关系用表达式表示为

Y=A

第22页,共46页，2024年2月25日，星期天4，与或非逻辑符号第23页,共46页，2024年2月25日，星期天与、或、非、门真值表1、真值表：描述逻辑函数全部真值的表与门真值表或门真值表非门真值表ABYABYAY0000000101001110100101111111Y=A*BY=A+BY=A第24页,共46页，2024年2月25日，星期天

1.3.2几种常用的复合逻辑运算

除了与、或、非这三种基本逻辑关系外，还可以把它们组合起来，形成关系比较复杂的复合逻辑关系，相应地运算称为复合逻辑运算。常用的复合运算有下面几种：（1）与非运算（2）或非运算（3）与或非运算（4）异或逻辑（5）同或逻辑第25页,共46页，2024年2月25日，星期天5．复合逻辑运算：与非、或非、与或非、异或、同或与非的逻辑运算符号：z=

与非真值表与非逻辑符号z=A*B第26页,共46页，2024年2月25日，星期天或非的逻辑运算符号：

图:或非的逻辑符号或非的真值表z=第27页,共46页，2024年2月25日，星期天与或非的逻辑运算符号是：图:与或非的逻辑符号

与或非的真值表Y=第28页,共46页，2024年2月25日，星期天异或运算定义是输入相异，输出为1；输入相同输出为0。

其逻辑运算符号是异或真值表图:异或的逻辑符号YY=AB=AB+AB第29页,共46页，2024年2月25日，星期天同或运算的定义是输入相同，输出为1；输入相异，输出为0。其逻辑运算符号是⊙Y=A⊙B=AB+AB同或真值表

图:同或的逻辑符号Y第30页,共46页，2024年2月25日，星期天1.4逻辑代数中的基本公式、定理和规则1.4.1基本公式1.常量和常量的公式①与运算

②或运算

③非运算

（1.4.3）

（1.4.1）

（1.4.2）2.常量和变量的公式①0、1律

（1.4.4）

（1.4.5）

（1.4.6）②互补律

第31页,共46页，2024年2月25日，星期天3.变量和变量的公式①交换律

（1.4.7）

（1.4.8）

（1.4.9）

（1.4.10）

（1.4.11）

（1.4.12）⑥反演律

(摩根定律)

⑤非非律

(还原律)④重叠律

③分配律

②结合律

第32页,共46页，2024年2月25日，星期天4．若干常用公式

（1）并项公式

AB+AB=A(A+B)(A+B)=A

（2）吸收公式

（1.4.13）

A+AB=AA(A+B)=A（1.4.14）

（3）消去公式

A+AB=A+BA(A+B)=AB（1.4.15）

（4）多余项公式

（1.4.16）

【例1.4.1】

利用逻辑代数的基本定律证明多余项公式。证：第33页,共46页，2024年2月25日，星期天3．逻辑函数的最简表达式最简表达式归纳起来，可以分为以下5种形式。（1）最简与或式

（2）最简与非-与非式（3）最简与或非式（4）最简或与式（5）最简或非-或非式

【例1.5.1】

求其它几种形式的最简表达式。第34页,共46页，2024年2月25日，星期天1.5.2逻辑函数的公式化简法

公式法化简就是利用逻辑代数的基本公式、基本规则和常用公式来简化逻辑函数的。常见的方法有

1.并项法2.吸收法3.消去法4.配项法5.取消法

【例1.5.2】

利用代数法化简并将结果变换为与非-与非式。解：

第35页,共46页，2024年2月25日，星期天1.5.3逻辑函数的图形化简法1．用卡诺图表示逻辑函数（1）卡诺图的构成及其特点卡诺图是逻辑函数的另一种表示方法，是真值表的一种特定的图示形式。将真值表中的每一行，在卡诺图中都用一个小方格来代替，也就是卡诺图中的每一个小方格都对应一个最小项。所以卡诺图又称最小项方格图。

第36页,共46页，2024年2月25日，星期天图1.5.1卡诺图的构成

第37页,共46页，2024年2月25日，星期天【例1.5.3】

利用卡诺图求

的最简与或式和反函数的最简与或式。

第38页,共46页，2024年2月25日，星期天1.5.4具有约束的逻辑函数的化简1．约束、约束项和有约束的逻辑函数

约束指的是逻辑函数的各个变量之间所具有的相互制约的关系。我们把这样的变量称为具有约束的逻辑变量，而这些不允许出现，或不可能出现的取值组合所对应的最小项统称为约束项。由有约束的变量所决定的逻辑函数，叫做有约束的逻辑函数。约束项可以用di表示，其中下标i=0～（2n−1）为最小项的编号，在列真值表或填卡诺图时，将约束项所对应的函数值记作“×”、或。

2．约束条件和具有约束的逻辑函数的表示方法将所有约束项相加所构成的函数值恒为零的逻辑表达式叫做“约束条件”，记做。

第39页,共46页，2024年2月25日，星期天3．具有约束的逻辑函数的化简方法

约束项的逻辑函数参与化简，用X表示，既可以取0，也可以取1，视需要而定。

【例1.5.16】

利用图形法化简下列具有约束的逻辑函数。第40页,共46页，2024年2月25日，星期天1.6逻辑函数的表示方法及其相互之间的转换1.6.1逻辑函数的几种表示方法1.真值表2.逻辑函数表达式3.逻辑图4.卡诺图5.波形图1.6.25种表示方法的转换

逻辑函数的5种表示方法，是完全一一对应的关系，只要知道其中的任意一种表示形式，都可以方便地得到其他4种表示形式。

第41页,共46页，2024年2月25日，星期天

逻辑函数的表示方法逻辑函数：输出变量和输入变量之间是一种函数关系。当输入变量取值确定之后，输出变量取值便随之而定.逻辑函数的表示方法：逻辑函数式、逻辑真值表、逻辑电路图和卡诺图,波形图。如:1、逻辑函数式:Y=A+B+C

2、真值表3电路图4卡诺图ABCY00000011010101111001101111011111≧&&&ABYCABC

000111100011111111ABCY5波形图第42页,共46页，2024年2月25日，星期天【例1.6.1】

某逻辑函数的逻辑图如图所示，试用其他4种方法表示该逻辑函数。

解：（1）逻辑表达式由逻辑图逐级写出输出端函数表达式,最后得到函数Y的表达式为

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