近似求解方法

近似求解方法第1节

定态微扰理论——非简并情况等式两边λ幂级数的相应系数相等得到一系列方程如下因此第2页,共15页，2024年2月25日，星期天第1节

定态微扰理论——非简并情况最后结果其中是微小扰动的确切含义例题1带电q的线性谐振子处于均匀弱外电场中，求体系的近似能量和波函数该题可精确求解第3页,共15页，2024年2月25日，星期天第1节

定态微扰理论——非简并情况最后结果例题2(p1725.3题)体系的哈密顿量如下，求体系的近似能量和能量本征矢该题可精确求解其中第4页,共15页，2024年2月25日，星期天第2节

定态微扰理论——简并情况同前面一样，我们有变化了的条件是需要求解的方程还是k度简并得到再利用因此其中矩阵元1）系数行列式为零得到能量一级修正2）代入能量一级修正求相应的系数——决定了相应的零级能量本征矢第5页,共15页，2024年2月25日，星期天第3节

氢原子的一级斯塔克效应——简并定态微扰理论的应用氢原子的哈密顿量氢原子处于均匀z方向外电场中考虑n=2情况——4度简并能量一级修正E’和零级波函数的系数由下式决定微扰非零矩阵元只有为方便，记能量到一级修正的结果矩阵元第6页,共15页，2024年2月25日，星期天第4节

变分法微扰理论需要哈密顿量可写成精确可解+微扰形式变分法概要需要变分法近似求解的方程变分法没有这种限制不失一般，可适当编号使得能量本征矢满足正交归一完全性条件能量平均值近似求基态能量和本征矢的步骤1）适当选择归一化尝试波函数（态矢）—其中含若干参数2）用归一化尝试波函数（态矢）计算平均值3）计算该平均值的最小值，得到近似基态能量和本征矢多参数情况口述推广到激发态情况，例如第一激发态情况然后重复上述2-3步骤得到第一激发态近似结果第7页,共15页，2024年2月25日，星期天第5节

氦原子基态(用变分法计算)氦原子=核（Z=2）+2电子忽略另外一个电子，电子加核可看成是类氢原子（Z=2）1）适当选择归一化尝试波函数2）用尝试波函数计算能量平均值3）计算最小值，得到近似基态能量和本征函数其中Z是变分参数。由于第2个电子的存在，类氢原子动能平均值类氢原子势能平均值乘(2/Z)利用公式第8页,共15页，2024年2月25日，星期天第6节

含时微扰理论哈密顿量含时微小扰动其本征值问题可精确求解矩阵元在表象时，状态是含时薛定谔方程的分量形式令含时薛定谔方程变成设t=0时，系统处于态到微扰的一阶含时薛定谔方程为（见第4章表象理论）跃迁概率单位时间的跃迁概率跃迁速率第9页,共15页，2024年2月25日，星期天第7节（计算2种常见情况的）跃迁速率跃迁速率跃迁概率1）t>0时，微扰与时间无关跃迁概率公式若末态是或接近连续分布的状态跃迁速率——费米黄金规则第10页,共15页，2024年2月25日，星期天第7节（计算2种常见情况的）跃迁速率2）简谐式微扰跃迁概率公式跃迁速率在共振或近共振时，2项中分母接近零的一项远比另外一项重要只保留最重要的一项略去（书p158-160）从跃迁概率表达式讨论时间-能量测不准关系只保留其中一项——共振或近共振项第11页,共15页，2024年2月25日，星期天第8节光的发射与吸收三种过程自发辐射过程受激辐射过程受激吸收过程初等量子理论框架内不易理解1）爱因斯坦发射和吸收系数自发辐射系数受激辐射系数受激吸收系数爱因斯坦引入这三个系数并利用热力学平衡条件得到的它们的联系热平衡时，应该有与黑体辐射公式比较第12页,共15页，2024年2月25日，星期天第8节光的发射与吸收2）微扰论计算发射和吸收系数受激吸收过程偶极近似对平面电磁波从力的角度i)忽略光的磁场对原子的作用由第7节简谐式微扰的跃迁速率表达式因此从能量角度ii)忽略波数相关效应跃迁速率加了对入射光的频率求积分若入射光是自然光或大量原子第13页,共15页，2024年2月25日，星期天第8节光的发射与吸收2）微扰论计算发射和吸收系数受激吸收过程热平衡时自发辐射与受激辐射之比实际上，实现受激辐射器件需破坏热平衡条件。例如3）（自发）辐射强度与能态寿命总（自发）辐射强度所有原子单位时间自发辐射能量能态寿命能级宽度(自然线宽)4）激光和微波量子放大器（脉塞）——应用受激发射的器件可见光和红外区比值相等热平衡时波长越长，自发辐射（与受激辐射比较）越小=>表明在微波区更易实现低噪声的受激辐射器件1）粒子数反转—否则受激辐射小于受激吸收2）用谐振腔产生强辐射场（远大于热平衡辐射强度）=>自发辐射<<受激辐射第14页,共15页，2024年2月25日，星期天第9节(偶极近似下的)选择定则前面在偶极近似条件下用微扰论计算得到发射和吸收系数受激吸收过程因此两态之间能够跃迁的条件是：原子状态量子数是3个（加上以后要讲的自旋量子数后为4个）由此可得到(偶极近似下的)选择定则波函数偶极跃迁条件现在是