苏教版选择性8.2.2离散型随机变量的数字特征(2)课件（22张）

离散型随机变量的数字特征(2)——离散型随机变量的方差与标准差1、离散型随机变量的均值(数学期望)一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2···xnPp1p2···pn其中pi≥0，i＝1，2，···，n，p1＋p2＋···

＋pn＝1，我们将p1x1＋p2x2＋···＋pnxn称为随机变量X的均值或数学期望，记为E(X)或μ，即2、离散型随机变量的均值(数学期望)的性质(1)E(c)＝c；(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b。复习回顾3、两点分布的均值(数学期望)一般地，如果随机变量X

服从两点分布，那么

E(X)＝1×p＋0×(1－p)=p即：若X

服从两点分布，则E(X)=p。复习回顾问题情境情境：根据两名同学以往参加射击比赛的成绩记录，下面

是他们各自中靶环数X

的分布列，第一位同学中靶环数X1的分布列:第二位同学中靶环数X2的分布列:他们的成绩一样吗？如果要选派其中一人去参加比赛，

应该派谁较恰当？E(X1)=5

=8E(X2)=5=8平均成绩相同，从平均成绩无法选派，怎么办？稳定性：与平均数的偏移程度问题情境个|5-8|个|6-8|个|7-8|个|8-8|个|9-8|个|10-8|0与平均值的偏移程度+++++个|5-8|个|6-8|个|7-8|个|8-8|个|9-8|0与平均值的偏移程度++++=X2

与均值的偏移程度要小些,较集中于均值附近。为了去掉绝对值符号，

改用平方：数学建构1、离散型随机变量的方差与标准差一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2···xnPp1p2···pn其中pi≥0，i＝1，2，···，n，p1＋p2＋···

＋pn＝1，则(xi－μ)2

(μ＝E(X))描述了xi(i＝1，2，···，n)

相对于均值μ的偏离程度，故(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋···＋(xn－μ)2pn

(其中pi≥0，i＝1，2，···，n，p1＋p2＋···

＋pn＝1)刻画随机变量X与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X的方差，记为D(X)或σ2，即随机变量X的方差也称为X的概率分布的方差，X的方差D(X)的算术平方根称为X的标准差，即数学建构2、离散型随机变量的方差的变形公式★随机变量的方差与标准差都反映了随机变量的取值

偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，随机

变量偏离于均值的平均程度就越小。数学应用例1、已知随机变量X的概率分布如下表所示，求X的方差

D(X)和标准差σ。类型一离散型随机变量的方差(标准差)的求解X01P1－pp解：因为μ＝0×(1－p)＋1×p＝p所以D(X)＝(0－p)2(1－p)＋(1－p)2p＝p(1－p)数学建构3、两点分布的方差和标准差一般地，如果随机变量X

服从两点分布，那么(1)方差：(2)标准差：数学练习

已知随机变量X

的分布列为X－213P0.160.440.40解：E(X)＝(－2)×＋＋＝D(X)＝(－2－1.32)2＋(1－1.32)2＋(3－1.32)2＝≈1.7139求E(X)，D(X)，。变式拓展

已知随机变量X

的分布列为X－213P0.160.440.40求E(2X＋5)，D(2X＋5)。法二：E(2X＋5)=2E(X)＋5＝2＋5＝D(2X＋5)＝22D(X)＝＝11.75040.400.440.16P11712X+5解：已知随机变量2X+5的分布列为D(2X＋5)＝(1－7.64)2＋(7－7.64)2＋(11－7.64)2＝11.7504E(2X＋5)＝1×＋＋＝数学建构4、离散型随机变量的均值(数学期望)与方差(标准差)的性质(1)E(Y)=E(aX＋b)=aE(X)＋b；(2)D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)。一般地,若X

是随机变量，

Y=aX+b(a，b是常数)也是随机变量，则数学应用例2、设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示，类型二离散型随机变量方差和标准差的应用X252423222120P0.10.20.30.10.10.2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1解：两批原棉纤维长度的均值分别为E(X)＝＋＋＋＋＋＝试问：这两批原棉的质量哪一批较好？E(Y)＝＋＋＋＋＋＝这两批原棉的纤维平均长度相等。数学应用例2、设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的概率分布如下表所示，类型二离散型随机变量方差和标准差的应用X252423222120P0.10.20.30.10.10.2Y252423222120P0.050.20.250.30.10.1两批原棉纤维长度的方差分别为D(X)＝(25－22.5)2＋(24－22.5)2＋(23－22.5)2＋(22－22.5)2＋(21－22.5)2＋(20－22.5)2＝试问：这两批原棉的质量哪一批较好？这说明乙地原棉纤维更加齐整，故乙地原棉的质量比甲地原棉的要好一些。D(Y)＝(25－22.5)2＋(24－22.5)2＋(23－22.5)2＋(22－22.5)2＋(21－22.5)2＋(20－22.5)2＝数学练习

有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？解：求各单位的均值与方差，E(X1)=1200=1400D(X1)=(1200-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1600-1400)20.2+(1800-1400)2=40000数学练习

有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X1/元1200140016001800获得相应职位的概率P10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X2/元1000140018002200获得相应职位的概率P20.40.30.20.1根据工资待遇的冲差异情况，你愿意选择哪家单位？解：求各单位的均值与方差，E(X2)=1000=1400D(X2)=(1000-1400)20.4+(1400-1400)20.3+(1800-1400)20.2+(2200-1400)2=160000E(X1)=E(X2)，平均工资相等，D(X1)<D(X2)，第一家工资级差小于第二家，如果希望工资差距小一些,就选择第一家。数学应用例3、请计算两名同学射击环数的方差D(X)，X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.33解：∵E(X1)=E(X2)=8，∴D(X1)=(5-8)20.03+(6-8)20.09+···+(10-8)2D(X2)=(5-8)20.01+(6-8)20.05+···+(9-8)2D(X2)<D(X1)，第二名较稳定。数学练习甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1，X2

的分布列为0.180.10.420.140.16P109876X10.170.280.120.240.19P109876X2根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平。解：E(X1)=6=8D(X1)=(6-8)20.16+(7-8)20.14+(8-8)20.42+(9-8)20.1+(10-8)2数学练习甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X1，X2

的分布列为0.180.10.420.140.16P109876X10.170.280.120.240.19P109876X2根据环数的均值和方差比较这两名射手的射击水平。E(X2)=6=8D(X2)=(6-8)20.19+(7-8)20.24+(8-8)20.12+(9-8)20.28+(10-8)2两名射手的平均成绩相同，第一名射手相对较为稳定，获得8环左右的把握性要大一些。E(X1)=E(X2)，D(X1)<D(X2)，课堂检测

课本第113页练习第1、2题。1、离散型随机变量的方差与标准差一般地，随机变量X的概率分布如下表所示，Xx1x2···xnPp1p2···pn其中pi≥0，i＝1，2，···，n，p1＋p2＋···

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