第3讲导数在研究函数中的作用（导数与单最值极值）（解析版）

第3讲导数在研究函数中的作用（导数与单最值、极值）(重点题型方法与技巧)目录类型一：函数图象与极值（点）的关系类型二：求已知函数的极值（点）类型三：根据函数的极值（点）求参数类型四：求函数的最值（不含参）类型五：根据函数的最值求参数类型六：过点可做函数三条（两条）切线类型一：函数图象与极值（点）的关系典型例题例题1．（2022·广东佛山·高二期末）已知函数的导函数图象如图所示，则（

）A．在上单调递增 B．在处取得最大值C．在上单调递减 D．在处取得最小值【答案】C【详解】由导函数的图象知，时，，当时，故函数在和上单调递减，故A错误，C正确；在处取得极大值，不确定是最大值，故C错误；在处取得极小值，不确定是最小值，故D错误.故选：C例题2．（2022·广东清远·高二期末）函数的导函数是，下图所示的是函数的图像，下列说法正确的是（

）A．是的零点B．是的极大值点C．在区间上单调递增D．在区间上不存在极小值【答案】B【详解】当时，，而，故；当时，，而，故；当时，，而，故；所以上递减；上递增，则、分别是的极小值点、极大值点.故A、C、D错误，B正确.故选：B例题3．（多选）（2022·湖南衡阳·高二期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则（

）A．在上单调递增B．有4个极值点C．在上单调递减D．【答案】AC【详解】观察图象知，当时，，当时，，函数在上单调递增，而，则在上单调递增，A正确；在上单调递减，而，在上单调递减，C正确；函数在处都取得极小值，在0处取得极大值，有3个极值点，B不正确；因当时，，当且仅当时取“=”，即在上单调递减，而，则有，D不正确.故选：AC例题4．（2022·全国·高二单元测试）函数的图像如图所示，则的取值范围是______．【答案】【详解】，由题图可知，，，，则，…①，…②，②-①得，即．①+②得，则，所以，则．则，所以的取值范围为：故答案为：．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数（）的导函数是（），导函数的图象如图所示，则函数在内有（

）A．3个驻点 B．4个极值点 C．1个极小值点 D．1个极大值点【答案】C【详解】由题图知：从左到右依次分为5个区间，区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4个零点，即有4个驻点，综上，对于中的4个驻点有2个极大值点，1个极小值点，且为拐点.所以C正确，A、B、D错误.故选：C2．（2022·陕西·咸阳市教育局高二期末（文））若函数的图像如图所示，且，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【详解】由图可知，分别是函数的极小值点和极大值点，且，则，又，则是的两个实数根，则，；又函数的单增区间是，则的解集为，则，则A正确.故选：A.3．（2022·江西赣州·高二阶段练习（理））如图是函数的大致图象，则（

）A． B． C． D．10【答案】C【详解】由图象可得，所以，解得，所以，则因为为函数的极值点，所以的两个根为，所以，所以.故选：C4．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（文））

设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（

）A．有两个极值点 B．为函数的极大值C．有两个极小值 D．为的极小值【答案】C【详解】解：，并结合其图像，可得到如下情况，当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；当时，，在单调递增∴在和处取得极小值，故B，D错，C正确；在处取得极大值.所以有3个极值点，故A错.故选:C.类型二：求已知函数的极值（点）典型例题例题1．（2022·全国·高三阶段练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则的极小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意，，令，即，若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，即的两个根互为相反数，不妨设两个根为，则，解得：，故，令或；令，即函数在单调递增；在单调递减.故函数在取得极小值.故选：B例题2．（2022·陕西·长安一中高二期末（文））若是函数的极值点，则的极大值为____________．【答案】##【详解】由，得，因为为函数的极值点，所以，解得，经检验当满足题意所以，，令，得或，当或时，，当，，所以在和上递增，在上递减，所以当时，取得极大值，所以的极大值为，故答案为：例题3．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数在点处的切线斜率为．(1)求；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)极小值为，无极大值【详解】（1）函数的定义域为，，依题意有，解得．（2）因为，函数定义域为，由，列表如下，-0+单调递减极小值单调递增故的极小值为，无极大值．例题4．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高三阶段练习）已知函数．(1)求曲线在处的切线方程；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)极小值，无极大值（1）因为，所以，当时，，所以切线方程为，即；（2）由题可得的定义域为．令，即，得或（舍去），令，得，令，得，故在上单调递减，在上单调递增，所以存在极小值，无极大值．同类题型归类练1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）已知函数(1)求的值；(2)求函数的极值.【答案】(1)(2)极小值为，无极大值（1）解：依题意，，令，则，解得（2）解：由（1）可知，，令，则，解得，当x变化时，，变化情况如下表：x-0+单调递减单调递增故的极小值为，无极大值，2．（2022·广东珠海·高三阶段练习）已知函数．(1)若是的极大值点，求a的值；【答案】(1)3；（1），由解得或，当时，，由得或，由得，即在，上单调递增，在上单调递减，则函数在处取得极小值，不符合题意，舍去，当时，，由得或，由得，即函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，所以.3．（2022·安徽·高三阶段练习）已知函数．(1)当，时，求的极值；【答案】(1)极小值为，无极大值当时，，∴，，解得，∴，，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，当时，函数有极小值，无极大值；4．（2022·江西吉安·高二期末（理））已知函数.(1)求的极值；【答案】(1)极大值，无极小值(1)解：因为，所以定义域为，所以.由，解得.随着的变化，，的变化如下表所示1+0单调递增极大值单调递减，无极小值.类型三：根据函数的极值（点）求参数典型例题例题1．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）函数在处有极值为7，则___________.【答案】3【详解】，∴，解得或，，时，，当时，，当时，，是极小值点；当，时，，不是极值点．∴．故答案为：3.例题2．（2022·福建漳州·高二期末）若函数在处取得极大值，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】由题意得：函数的定义域为，且，，当时，即时，令，可得；令，可得，所以函数在上单调递增，在单调递减，此时函数在取得极大值，满足题意；当时，即时，可得恒成立，可得函数在上单调递增，函数不存在极值，不满足题意；当时，即时，令，可得，令，可得，所以函数在上单调递增，在单调递减，此时函数在处取得极小值，不满足题意，综上可得，实数的取值范围是．故答案为：例题3．（2022·云南·高三阶段练习）已知函数，．(1)当时，求的单调区间；(2)设函数，若在上存在极值，求的取值范围．【答案】(1)减区间为，增区间为(2)（1）当a＝4时，，其定义域为，可得．当时，，f（x）单调递减；当时，，f（x）单调递增．所以f（x）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为．（2）由，，可得．设，则，令，即，解得．当时，；当时，．所以h（x）在区间（1，e）上单调递增，在区间上单调递减，且，，，显然，若g（x）在上存在极值，则满足解得，所以实数a的取值范围为（0，e）．例题4．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二阶段练习）已知函数．(1)当时，证明：当时，；(2)若，函数在区间上存在极大值，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)(1)由题意得，则，当时，，在上是减函数，∴，设，在上是增函数，∴，∴当时，．(2)，且，令，得或a，①当时，则，单调递减，函数没有极值；②当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在取得极大值，在取得极小值，则；③当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在取得极大值，在取得极小值，由得：，综上，函数在区间上存在极大值时，a的取值范围为．同类题型归类练1．（2022·江苏·宝应县教育局教研室高三开学考试）若函数没有极值，则实数的取值范围为_____________.【答案】【详解】因为函数没有极值，所以在上没有变号的零点，令（1）当，即时，由解得，所以；（2）当，即时，由解得，所以此时；由（1）、（2）得.故答案为：.2．（2022·江苏南京·高三阶段练习）已知，函数，.(1)当与都存在极小值，且极小值之和为时，求实数的值；【答案】(1)1（1），定义域均为，，

当时，则，在单调递增，无极值，与题不符；当时，令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；

又，当时：，在单调递减，无极值，与题不符；当时：令，解得：，所以在单调递减，在单调递增，在取极小值，且；

由题：，解得：.3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数既存在极大值又存在极小值，求实数a的取值范围.【答案】【详解】解：由可得，∵既存在极大值又存在极小值，∴方程在区间上有两个不相等的实数根，需满足，解得，故所求实数a的取值范围为.4．（2022·福建漳州·高二期末）已知函数为奇函数.(1)求的值；(2)若的极大值小于2，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)（1）由题意可知，.因为为奇函数，所以，即对任意的恒成立，所以.（2）由（1）可得，则，当时，恒成立，则在上单调递增.则不存在极大值，与题意不符合.当时，由得或由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以为的极大值点，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.类型四：求函数的最值（不含参）典型例题例题1．（2022·山东聊城一中高三阶段练习）已知，则在上的最大值为（

）A． B． C． D．0【答案】B【详解】，且，，令，（负舍），，，，，所以在上单调递减，在到上单调递增，又，所以在上的最大值是.故选：B.例题2．（2022·浙江·杭州四中高二期中）设函数，，若函数只有1个零点，则函数在上的最大值为（

）A．0 B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，因为，所以，令，则，令，解得，故当，，当，，所以，故，则，故函数在上是增函数，所以，故A，B，D错误.故选：C.例题3．（2022·湖南永州·一模）函数的最大值是___________.【答案】【详解】，设，令为增函数，且，则，令得；令得，即在上递增，上递减，可见取得最大值.故答案为：.例题4．（2022·湖南省临澧县第一中学高三阶段练习）已知函数，若在点处的切线方程为.(1)求的值；(2)求的最值.【答案】(1)(2)，（1）将代入得，所以，解得.（2）由（1）得，所以为奇函数且，所以只需研究即可，因为，由得，即时单调递增，由得，即时单调递减，所以当时，，又因为为奇函数，所以.例题5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，为自然对数的底数，＝2.71…．(1)若在内为减函数，求的取值范围；(2)若，，求的极大值．【答案】(1)a≤2；(2).（1）依题意，，因在内为减函数，则，，即，令，，当时，，当时，，则在内为减函数，在内为增函数，有，因此a≤2，所以a的取值范围是a≤2．（2）当时，，，则，令，则，由得，由得，于是在上为增函数，在上为减函数，，而，，因此在内，在内，则在内，为增函数，在内，为减函数，所以的极大值为．同类题型归类练1．（2022·山东·招远市第二中学高三阶段练习）已知函数，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：函数；显然，，函数值才取最小；由．令，可得：或．当，可得；当，，时，函数取得最小值为．故选：A．2．（2022·安徽·高三阶段练习）函数在上的最大值为______.【答案】【详解】.又，故令，.，，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减..故答案为：.3．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））函数的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题设且，令，则，由，在上，则递减；在上，则递增；所以，易知：，又，令，则，上，即递减；上，即递增；所以.故选：A4．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知是函数的极大值点．(1)求实数的值；(2)求函数在上的最大值．【答案】(1)(2)（1）由题知，且，解得．所以，令，解得或．当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，所以是函数的极大值点，故．（2）由（1）知，且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以在上的最大值为．5．（2022·湖北·公安县第三中学高三阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线方程为．(1)求，的值；(2)求函数在上的最值．【答案】(1)；(2)最大值为3，最小值为（1）解：因为曲线在处的切线方程为所以．又，所以，所以.（2）解：由（1）可知，，令，解得或，，解得，所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，，所以函数在上的最小值为，最大值.类型五：根据函数的最值求参数典型例题例题1．（2022·湖南·高三阶段练习）已知，函数在上的最大值为，则（

）A．2或 B．或 C．2 D．【答案】C【详解】令，则，函数在上的最大值为且，即转化为的最小值为.，（负值舍去），，即时，在上单调递增，，解得；当，即时，时，，递减，时，，递增，，解得，舍去．故故选：C．例题2．（2022·山东烟台·高二期末）若函数在区间[1，2]上的最小值为0，则实数的值为（

）A．－2 B．－1 C．2 D．【答案】C【详解】由，得，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，由，得或，当时，在上恒成立，所以在上递增，所以，解得（舍去），当时，当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以当时，取得最小值，所以，解得（舍去），当时，当时，，所以在上递减，所以，解得，综上，，故选：C例题3．（2022·全国·高二单元测试）设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．【答案】【详解】解：当时，，函数单调递增，且无最大值，当时，，，当时，，当时，，当时，取得极大值也是最大值为，要使有最大值，则，，故答案为：．例题4．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知函数，定义域为，实数，(1)若，求函数的极值点与极值；(2)若函数在区间上的最大值为20，求实数的值．【答案】(1)－1是函数的极大值点，极大值为；1是函数的极小值点，极大值为(2)（1），，单调递增；，，单调递减；，，单调递增，所以－1是函数的极大值点，极大值为；1是函数的极小值点，极大值为（2）①若，，，单调递增，，单调递减，，单调递增若，得（舍去）若，得（舍去）②若，，，单调递增，，单调递减若，得（舍去）③若，，，单调递减若，得（满足）综上所述：例题5．（2022·河南·舞阳县第一高级中学高二阶段练习（文））已知函数．(1)若在上不单调，求的取值范围；(2)若的最小值为，求．【答案】(1)(2)-2(1)．若在上单调，则在上恒成立，所以在上恒成立，所以，即．

因为在上不单调，所以a的取值范围是．(2)．①若，则，在上单调递增，此时无最值．②若，令，得．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．所以的最小值是，则．令，则，所以在上单调递增，在上单调递减．因为，所以方程只有一个根．由，得，即a的值为．同类题型归类练1．（2022·重庆十八中高二期末）若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数，所以，当或时，，当时，，所以当时，取得最小值，因为在区间上有最小值，且所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：，，若函数在上有最小值，即在先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得，令，，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点是，，则切线方程是：，将代入切线方程得：，故切点是，切线的斜率是1，只需即可，解得，即，故选：D．3．（2022·河南开封·高二期末（理））已知函数(1)若在处的切线与y轴垂直，求a的值；(2)若的最小值为b，求的最大值.【答案】(1)(2)(1)解：函数的定义域为，，因为在处的切线与y轴垂直，所有，所以；(2)解：，，，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，所以，设，则，由，，知在上递增，在上递减，所以，所以的最大值是.4．（2022·浙江宁波·高二期中）已知函数，．(1)若函数在上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当时，函数在上的最小值为2，求实数a的值．【答案】(1)(2)(1)∵，∴∵在上是增函数，∴在上恒成立，即在上恒成立.∴.(2)由（1）得，.①若，在上恒成立，此时在上是增函数.所以，解得（舍去）.②若时，在上是减函数，在上是增函数.所以，解得综上，5．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期中）已知函数，.(1)若函数在区间上的最小值为3，求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(1)因为，，，所以当时，则在上单调递增，的最小值为不符合，舍去；当时，则在上单调递减，在上单调递增，在的最小值为，则不符合，舍去；当时，在上单调递减，的最小值为，则．(2)在上恒成立，即在上恒成立，设，，，设，在上恒为正，则在上单调递增，，则在上单调递增，.所以，即实数的取值范围为.类型六：过点可做函数三条（两条）切线典型例题例题1．（2022·辽宁·朝阳市第一高级中学高三阶段练习）已知过点可以作函数的三条切线，如果，则和应该满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设切点，由可得切线方程为，将代入得，整理得，设，，令，解得或，因为，所以在，单调递减，在单调递增，由题意得有3个不相等的实数根，则有，即.故选:D.例题2．（2022