随机变量及其概率分布

随机变量及其概率分布实例

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掷一个硬币,观察出现的结果,共有两种情况:若用X表示掷一个硬币出现正面的次数,则有即X(e)是一个随机变量.第2页,共74页，2024年2月25日，星期天1.定义一、随机变量的概念2.随机变量的分类离散型随机变量连续型第3页,共74页，2024年2月25日，星期天

观察掷一个骰子出现的点数.随机变量X

的可能值是:实例11,2,3,4,5,6.（1）离散型实例2

若随机变量X记为“连续射击,直至命中时的射击次数”,则X

的可能值是:第4页,共74页，2024年2月25日，星期天(2)连续型实例1

随机变量X为“灯泡的寿命”.实例2

随机变量X为“测量某零件尺寸时的测误差”.则X的取值范围为(a,b)内的任一值.随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.则X的取值范围为第5页,共74页，2024年2月25日，星期天性质二、离散型随机变量的分布律定义分布律也可表示为第6页,共74页，2024年2月25日，星期天例1解:由分布律的性质知:例2解:第7页,共74页，2024年2月25日，星期天例3解:第8页,共74页，2024年2月25日，星期天例4已知一批零件共10个,其中有3个不合格,现任取一件使用，若取到不合格零件就丢弃,再重新抽取一个，如此下去,试求取到合格零件之前取出的不合格零件个数X的分布律.解:第9页,共74页，2024年2月25日，星期天对于任意的实数a<b,由概率的可列可加性如第10页,共74页，2024年2月25日，星期天三、常见离散型随机变量的概率分布

1.两点分布(0-1分布)实例1“抛硬币”试验,观察正、反两面情况.

分布律为第11页,共74页，2024年2月25日，星期天

两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象,比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等,都属于两点分布.说明第12页,共74页，2024年2月25日，星期天2.二项分布二项分布两点分布且分布律为:n重贝氏试验中事件A发生的次数X,即服从二项分布.说明第13页,共74页，2024年2月25日，星期天在相同条件下相互独立地进行5次射击,每次射击时击中目标的概率为p,则击中目标的次数X的概率,并求出分布律.解:分布律或为例5第14页,共74页，2024年2月25日，星期天例6解:第15页,共74页，2024年2月25日，星期天例7解:第16页,共74页，2024年2月25日，星期天4.泊松分布(Poisson)

例8解:第17页,共74页，2024年2月25日，星期天地震

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.火山爆发特大洪水第18页,共74页，2024年2月25日，星期天电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数

在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中

,泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等,都服从泊松分布.第19页,共74页，2024年2月25日，星期天6.几何分布

若随机变量X的分布律为则称X服从几何分布.实例

设某批产品的次品率为p,对该批产品做有放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的产品数目X

是一个随机变量,求X

的分布律.第20页,共74页，2024年2月25日，星期天所以

X服从几何分布.说明

几何分布可作为描述某个试验“首次成功”的概率模型.解第21页,共74页，2024年2月25日，星期天两点分布二项分布泊松分布几何分布二项分布两点分布三、小结离散随机变量定义分布列作业：34页第2题、第6题第22页,共74页，2024年2月25日，星期天例从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.备份题第23页,共74页，2024年2月25日，星期天故X的分布律为解(1)X所取的可能值是第24页,共74页，2024年2月25日，星期天(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,故X的分布律为X所取的可能值是第25页,共74页，2024年2月25日，星期天(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.故X的分布律为X所取的可能值是第26页,共74页，2024年2月25日，星期天JacobBernoulliBorn:27Dec1654inBasel,Switzerland

Died:16Aug1705inBasel,Switzerland伯努利资料第27页,共74页，2024年2月25日，星期天普哇松资料Born:21June1781inPithiviers,France

Died:25April1840inSceaux(nearParis),FranceSiméonPoisson第28页,共74页，2024年2月25日，星期天

第二章

第二节随机变量的分布函数

主讲人：赵洪欣第29页,共74页，2024年2月25日，星期天一.分布函数的概念1.定义:第30页,共74页，2024年2月25日，星期天离散型随机变量的分布函数第31页,共74页，2024年2月25日，星期天例1解:第32页,共74页，2024年2月25日，星期天第33页,共74页，2024年2月25日，星期天练习：第34页,共74页，2024年2月25日，星期天二.分布函数的性质注：连续型随机变量不仅右连续，在R内任何一点都连续第35页,共74页，2024年2月25日，星期天例2解:第36页,共74页，2024年2月25日，星期天练习：第37页,共74页，2024年2月25日，星期天例3解:第38页,共74页，2024年2月25日，星期天小结一.掌握分布函数的概念二.掌握分布函数的性质三.会求离散型随机变量的分布函数作业：第38页第5、6题第39页,共74页，2024年2月25日，星期天

第二章

第三节连续型随机变量及其概率密度主讲人：赵洪欣第40页,共74页，2024年2月25日，星期天一.连续型随机变量及其概率密度1.定义第41页,共74页，2024年2月25日，星期天2.性质1x第42页,共74页，2024年2月25日，星期天例1解:第43页,共74页，2024年2月25日，星期天第44页,共74页，2024年2月25日，星期天练习：解：第45页,共74页，2024年2月25日，星期天或者第46页,共74页，2024年2月25日，星期天例2解:第47页,共74页，2024年2月25日，星期天例3解:第48页,共74页，2024年2月25日，星期天二.常用连续型随机变量1.均匀分布(Uniformdistribution)分布函数第49页,共74页，2024年2月25日，星期天

分布密度函数为解：例4设Y表示3次独立观测中观测值大于3的次数,第50页,共74页，2024年2月25日，星期天2.指数分布(Exponentialdistribution)

分布函数

某些元件或设备的寿命服从指数分布.例如无线电元件的寿命,电力设备的寿命,动物的寿命等都服从指数分布.设随机变量的概率密度为则称服从参数为的指数分布第51页,共74页，2024年2月25日，星期天例5解：（1）分布密度函数为（2）设Y表示3次故障中在一小时内修好的次数第52页,共74页，2024年2月25日，星期天3.正态分布(Normaldistribution

)正态分布的分布函数第53页,共74页，2024年2月25日，星期天第54页,共74页，2024年2月25日，星期天正态分布下的概率计算原函数不是初等函数第55页,共74页，2024年2月25日，星期天标准正态分布的概率密度表示为标准正态分布标准正态分布的分布函数表示为第56页,共74页，2024年2月25日，星期天标准正态分布的图形性质：第57页,共74页，2024年2月25日，星期天定义：称为标准正态分布的上侧分位数.第58页,共74页，2024年2月25日，星期天标准化第59页,共74页，2024年2月25日，星期天例6解：第60页,共74页，2024年2月25日，星期天例7解：由题意可得：第61页,共74页，2024年2月25日，星期天练习：解：第62页,共74页，2024年2月25日，星期天

正态分布是最常见最重要的一种分布,例如测量误差;人的生理特征尺寸如身高、体重等;正常情况下生产的产品尺寸:直径、长度、重量高度等都近似服从正态分布.正态分布的应用与背景

第63页,共74页，2024年2月25日，星期天小结一.定义二.性质三.常用连续型随机变量1.均匀分布2.指数分布3.正态分布标准化第64页,共74页，2024年2月25日，星期天

第二章

第四节随机变量函数的概率分布主讲人：赵洪欣第65页,共74页，2024年2月25日，星期天一.离散型随机变量函数的概率分布例1解：第66页,共74页，2024年2月25日，星期天第67页,共74页，2024年2月25日，星期天例2解：第68页,共