2020-2021学年焦作市高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年焦作市高一上学期期末数学试卷

一、单选题(本大题共12小题，共36.0分)

1.已知集合4={(x,y)|y=丫2,x>0],B-(y\y—2x,x>0],则4nB=()

A.0B.(l,4-oo)

C.(2,4)D.{(2,4),(4,16))

2.如图，已知正方体ABC。一力道16。1棱长为4,点”在棱公月上,且%41=1.点E,F分别为棱BQ,

GC的中点，P是侧面BCC窗i内一动点，且满足PE1PF则当点P运动时，|HP|2的最小值是()

A.7-V2B.27-6V2C.51-14V2D.14-2企

3.过点PK-1,3),P2(2,5)的直线的斜率为()

A.B.|C.-|D.；

3322

4.在区间(0,+8)为增函数的是()

A./(x)=-xB./(x)=InxC./(x)D./(x)=(1)%

D.90°

6.命题“V%>0,产+2%一3>0”的否定是()

A.3%>0,%2+2%—3<0B.V%>0,%2+2%—3<0

C.2%<0,%24-2%—3<0D.V%<0,%24-2%—3<0

7.下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体是

(正方体)

A.AB.BC.CD.D

8.当x为实数时，trancQ:)表示不超过x的最大整数，如trimc(3.1)=3.已知函数/(x)=truncQx］'),

函数g(x)满足g(x)=g(6-x),g(l+x)=g(l-x),且xe［0,3］时，g(x)=\x2-2x\,则方

程/(x)=g(x)的所有根的个数为()

A.3B.4C.5D.6

9.若圆C：/+y2+2刀一4y+3=o关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a,b)向圆C所作切

线长的最小值是()

A.2B.3C.4D.6

10.若偶函数/Q)在区间［一1,0］上是增函数，a,£是锐角三角形的两个内角，且aKS，则下列不等

式中正确的是()

A.f(cosa)>/'(cos/?)B.f(sina)>f(cosB)

C./(sina)>/(sin/?)D.f{cosa)>f(sin0)

11.直线，经过点P(-3,4)且与圆/+y2=25相切，则直线1的方程是()

A.y-4=-1(x+3)B.y-4=：(x+3)

42

c.y+4=--(x-3)D.y4-4=-(%—3)

12.若数列｛即｝,｛%｝的通项公式分别是册=(—1)*2013•a,bn=2+(T)；°”,且即＜垢对任意

n6N*恒成立，则常数a的取值范围是()

A.(-2,1)B.[-2,1)C.(-2,1]D.[-2,1]

二、单空题(本大题共4小题，共12.0分)

13.计算近•那•每+lg白-8。方2的值为

14.若方程/+-2ax+4y=5a表示圆，则实数a的取值范围是

15.如图,正方体ABCD-4'B'C'D'的棱长为a,连接4'C'、/TD、AB、BD、

BC'、C'D得到一个三棱锥，则三棱锥4'—BCD的高是.

16.若函数/。)=《1^3/了00且/(a)=i,贝必=

三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)

17.已知集合，A={x\^-<2X<16].B={x\3a-2<x<2a+1}.

(1)当a=0时，求4CB：

(2)若ACS=0,求a的取值范围.

18.已知直线，1：2刀+3丫-1=0与直线。：3¥—2丫—8=0的交点为「，点(2是圆％2+,2-2尤-

4y+3=0上的动点.

(1)求点P的坐标；

(2)求直线PQ的斜率的取值范围.

19.如图，四棱锥P—4BCD中，底面48CD为矩形，P4_L平面ABC。，E为PD的中点.

(1)证明：P8〃平面4EC

(2)已知4P=1,AD=®AB=2,求二面角。一4E-C的余弦值.

20.如图，矩形力MND所在的平面与直角梯形MBCN所在的平面互相垂直

MB//NC,MN1MB,且MCJ.CB,BC=2,MB=4,DN=3

MB

(I)求证：AB〃平面DNC；

(口)求二面角。-8。-2的余弦值.

21.如图所示，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边融为半圆的直径，神为半圆的圆心,

盅邸,=：!，康窗=①，现要将此铁皮剪出一个三角形,翅鲫，使得,图?=.掇・，辎_L构.

(1)设立殿遮=口叶，求三角形铁皮,尊鳞的面积;

(2)求剪下的铁皮三角形，侬鳞的面积的最大值.

22.已知点P是圆C：%2+、2=4上的动点.

(1)求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值;

(2)若直线I与圆C相切，且I与x,y轴的正半轴分别相交于4,B两点，求△ABC的面积最小时直线I的

方程.

参考答案及解析

1.答案：A

解析：

考查描述法表示集合的定义及形式，清楚点集的表示方法，交集的定义及运算，属于基础题.

容易看出集合4,B的元素不相同，从而便可得出AnB=0.

解：集合4是点集，集合B是数集，没有公共元素；

AC\B=0.

故选A.

2.答案：B

解析：解：以EF为直径在平面8CGa内做圆，该圆的半径为r=?但用=夜，

再过H引SB1的垂线，垂足为G,连接GP,

则HP?=HG2+GP2,其中HG为棱长4,

因此当GP〃&G时，0G=3,此时GP取得最小值为3-鱼，从而HP取得最小值；二HP2=(3-

V2)2+42=9-6V2+2+16=27-6立；

即HP?的最小值为27-6立；如图所示，

故选：B

根据题意，画出图形，结合图形，知GP最小时，HP取得最小值，求出此时HP2的值即可.

本题考查了空间位置关系与距离的求法问题，解题的关键是得出GP最小值，是易错题目.

3.答案：B

解析：解：过点A(-L3),「2(2,5)的直线的斜率为：1^=|.

故选：B.

直接利用最新的斜率公式求解即可.

本题考查直线的斜率公式的应用，基本知识的考查.

4.答案：B

解析:

本题考查基本初等函数的单调性，根据题意逐项进行判断即可得到结果.

解：4/Q)=-x是减函数，所以错误；

=Inx是在区间(0,+8)为增函数，所以正确；

C/Q)=:是(0,+8)上减函数，所以错误；

D.f(x)=是减函数，所以错误.

故选B.

5.答案：C

解析：解：连接治。，由正方体的几何特征可得：A[D〃B[C,

则4BaD即为异面直线与&C所成的角，

连接B。，易得:

BD=ArD=ArB

故4841。=60°

故选：C.

连接4D，根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义，我们可得NB&O即为异面直线与BiC

所成的角，连接BC后，解三角形8公。即可得到异面直线与Bit：所成的角.

本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中根据正方体的几何特征及异面直线夹角的定义判

断出/BA1。即为异面直线与&C所成的角，是解答本题的关键.

6.答案：A

解析：解：根据全称命题的否定是特称命题即可得到：

-p：3x>0,%2+2%-3<0,

故选：A.

根据全称命题的否定是特称命题，即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础.

7.答案：D

解析：试题分析：根据三视图的作法，判断正方体、圆锥、圆柱、球的三视图中，满足题意的几何

体即可：(D)的三视图中正视图、左视图、俯视图都是正方形，满足题意；(B)(C)的左视图、正视图

是相同的，俯视图与之不同；(4)的三视图都是圆，满足题意；故选。

考点：三视图

点评：本题是基础题，考查三视图的作法，注意简单几何体的三视图的特征，常考题型.

8.答案：C

解析：解：由g(x)=g(6-x),g(l+x)=g(l-x),

可得函数g(x)的图象关于直线x=1)及x=3对称，

且g(x)=g(6-x)=g(2-x),

令t=2—x,则g(t)=g(t+4),即g(x)为周期函数，且一个周期为4,

结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数f(x)及g(x)的图象，如图：

由图可知，函数y=/(x)与函数y=g(x)的图象共有5个交点，即方程/(x)=g(x)的所有根的个数为

5.

故选：C.

由题意可得函数g(x)的图象关于直线x=l及x=3对称，令t=2—x,则g(t)=g(t+4),即g(x)为

周期函数，且一个周期为4,结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数/(x)及g(x)的图象，由图

即可得解方程/(x)=g(x)的所有根的个数.

本题主要考查了函数的对称性及其应用，考查了数形结合思想，属于中档题.

9.答案:C

解析：

由题意可知直线经过圆的圆心，推出a,b的关系，利用(a,b)与圆心的距离，半径，求出切线长的表

达式，然后求出最小值.

本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力，属于中档题.

解：圆C：x2+y2+2%-4y+3=0,圆的圆心坐标为(—1,2)半径为企.

圆C：/+y2+2x—4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以(一1,2)在直线上，可得一2a+

26+6=0,

即a=b+3.

点(a,b)与圆心的距离，J(a+l)2+(b_2)2,

所以点(a,b)向圆C所作切线长：

7(a+I)2+-2)2-2

=［(b+4)2+(b-2)2-2

=<2(6+1)2+1624,当且仅当6=-1时弦长最小，为4.

故选：C.

10.答案：D

解析：解：・•・偶函数/'(X)在区间上是增函数，

f(x)在区间［0,1］上为减函数.

又由a、£是锐角三角形的两个内角，

.,・a+0>］,］>a>］一夕>0,

则cosa<cos(］_<,即。<cosa<sin。<1.

・•・f(cosa)>/(sin/?).

故选：D.

利用偶函数的对称性可得函数在［0,1］单调递增，由a、。为锐角三角形的内角可得，a+0〉g=a>

3—B，结合函数的单调性可得结论.

本题主要考查三角函数值的大小比较，结合锐角三角函数判断角的大小关系以及利用函数奇偶性和

单调性的性质进行转化求解即可.

11.答案：B

解析：

此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线的点斜式方程，点到直线的距离公式以及直线

的一般式方程，若直线与圆相切，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关

键.

显然已知点在圆上，设过已知点与圆相切的直线方程的斜率为k,利用点到直线的距离公式，由直线

与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，由k的

值及已知点的坐标写出切线方程即可.

解：显然点(-3,4)在圆/+y2=25上，

当直线l的斜率不存在时，

直线，的方程为x=-3不满足题意，

当直线1的斜率存在时，设切线方程的斜率为k,

则切线方程为y—4=k(x+3),即kx—y+3k+4=0,

•・・圆心(0,0)到直线的距离d==5,

解得k=

4

则切线方程为y-4=；(x+3).

故选：B.

12.答案：B

解析：

本题考查数列的应用，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题.

讨论n取奇数和偶数时，利用不等式恒成立，即可确定a的取值范围.

解：•.•ari=(—l)n+2°i3-a,%=2+旦.:竺,且即<%对任意neN*恒成立，

(l、n+2014

.(_1)n+2O13,a<2+(ZlL__,

若n为偶数，则不等式等价为一a<2+；,即—a<2,即a2-2；

若n为奇数，则不等式等价为a<2-2，即a<l,

n

综上：-2Sa<1,

即常数a的取值范围是

故选：B.

13.答案：0

解析：解：V2-V4-V32+lg^-3,0^2

125

=22-23-26—2—2

=0.

故答案为：0.

利用指数式、对数式的性质及运算法则直接求解.

本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考

查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题.

]4.答案：(—oo,-4)U(-1,4-00)

解析：解：方程/+V-2a%+4y=5a,BP(x-a)2+(y+2)2=a2+5a+4,它若表示圆，则

M+5@+4>0,

解得a<—4,或Q>-1,

故实数a的取值范围是(一8,-4)U(-l1+oo),

故答案为：(一8,-4)U(―L+8).

把圆的一般方程化为标准方程，根据半径大于零，求得Q的范围.

本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题.

15.答案：公a

3

解析：解：•••正方体4BCD-A'B'C'D'的棱长为a,

连接AC'、A'D.A'B,BD、BC'、C'D得到一个三棱锥,

BD=C'B=CD=Va2+a2=&a，

•••SABDC,=|x>/2ax>/2axsin60°=

•••三棱锥4'-ABD,C-BCD,D-A'D'C,B-A'B'C'完全一样,

二三棱锥4-BCD的体积：

^Ai-BC'D=V正方体—^A'-ABD

o.ll2a，

=aJ-4x-x-xazxa=—.

323

设三棱锥4'—BC'D的高是九，

则KA，-BC，D=:XS〉BDCiXhf即m=；X手Xhf

3332

解得力=逆/

3

.••三棱锥A'—BC'D的高是型.

3

故答案为：在a.

3

求出BD=C'B=C'D=国，SABDC，=引2,由三棱锥4’一ABD,C-BCD,D-A'D'C,B-A'B'C

3

正方体一

完全一样，得到三棱锥4一BCD的体积：VAl_BClD=V4VA，-ABD=合设三棱锥A-BC'D的

高是九，则％.BC，D=[xS»BDC，xh,由此能求出三棱锥4一BCD的高.

本题考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求

解能力，考查函数与方程思想，是中档题.

16.答案：3

解析：解：根据题意，函数/(X)=

若/(a)=1,

当aWO时，/(a)=2a-3=l,解可得a=2,不符合题意；

当a>0时，/(a)=a—2=1,解可得a=3,符合题意；

综合可得：a=3；

故答案为：3

根据题意，结合函数的解析式，分2种情况讨论：当a<0时，/(a)=2。-3=1,当a>0时，/(a)=

a—2=1,分别求出a的值，综合即可得答案.

本题考查分段函数的应用，注意分段函数要分段分析，属于基础题.

Q

17.答案：解：(1)71={%|-|<%<4},=0时，B=[X\-2<X<1}9

A/InF={%|-^<%<1]；

(2)•・,4nB=。，

・••①当B=0时，3a—232a+l,B|Ja>3,符合题意；

(a<33

②当B#°时，(2a+1W或3a-224'解得a式-]或2Sa<3

综上，a的取值范围为(一8,-习u[2,+8).

解析：(1)可以求出4={川-2<“<4},。=0时得出8={加-2<%<1},然后进行交集的运算

即可;

(2)根据4nB=0,可讨论B是否为空集：8=0时，3a-2N2a+l；B#0时，

(3d-2V2Q+1

[2a+1<或3a-2>4,解出。的疝围即可.

考查描述法、区间的定义，指数函数的单调性，以及交集的定义及运算，空集的定义.

18.答案:解:⑴由｛第乳；：;，解瞰；H

•••P点的坐标为(2,-1)；

(2)由久2+y2_2%_4y+3=0,得(x-l)2+(y-2)2=2.

二圆的圆心坐标为(1,2),半径为VL

设直线PQ的斜率为k,

则直线PQ的方程为kx-y-2fc-l=0.

由题意可知，直线PQ与圆有公共点，

I"凝<V2,解得k<一1或k>7.

y/k2+l

••・直线PQ的斜率的取值范围是(一8,-1]u[7,+8).

解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的求法，是基础题.

(1)联立方程组求解P点坐标；

(2)由圆的方程求得圆心坐标与半径，设出直线PQ的方程，利用圆心到直线的距离小于等于半径列

式求得k的取值范围.

19.答案：解：(1)证明：连接BD交4c于点0,连接OE,

•••E为P。中点，0为BD中点,

：.PB//OE,

•••PB不在平面4EC内，OE在平面4EC内，

尸8〃平面4EC；

(2)以点4为坐标原点，AB,AD,”所在直线分别为x轴，y轴,

z轴建立

如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则4(0,0,0),。(0,8,0),以0,?,》。(2,6,0)，则荏=(0,今》同=(0,75,0)函=(2,V3,0).

设平面AEC的一个法向量为而二(x,y,z),贝Ijfd=%+1=0,可取沅=(_俱2,-2场,

(布•4C=2x+V3y=0

易知平面D4E的一个法向量为通=(2,0,0),

m-AB-2\/3V57

设二面角。一AE-C的平面角为。，则cos。

|m||3B|-2x73+4+12—19

显然二面角D-AE-C的平面角为锐角,

故二面角。一4E-C的余弦值为名.

19

解析：(1)连接8D交4C于点0,连接0E,由中位线性质可得PB〃0E,由此可证PB〃平面4EC；

(2)建立空间直角坐标系，求出平面ZME及平面ZEC的法向量，利用向量的夹角公式即可得解.

本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能

力，属于常规题目.

20.答案:解：(I)：MB//NC,MB仁平面DNC,NCu平面DNC,:.MB//

平面。NC.

•••四边形4MND为矩形，MA//DN.

又：MAC平面DNC,DNu平面DNC,二MA〃平面DNC.

•••MA.MB是平面4MB内的相交直线，

平面AMB〃平面DNC.

XvABu平面4MB,二4B〃平面DNC.

(II)•.•平面4MN。_L平面MBCN,且平面4MNDCl平面MBCN=MN,DN1MN,

：.DN_L平面MBCN,

而MNINC,故以点N为坐标原点，NM、NC、ND分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如

图.

由已知得MC=2K，NMCN=30。，易得MN=也,NC=3.

则。(0,0,3),C(0,3,0),B(V3,4,0).

•••DC=(0,3,-3).CB=(A/3,1,0).

设平面DBC的法向量用=(%y,z),则

(m^-DC=0即［y—3z=°

l西-CB=0'tV3x+y=0

令x=-l,则y=z=b，可得而7=(-1,8,6).

又•:而=(0,0,1)是平面NBC的一个法向量，

—.—>mV-TnJV21

・•・cos<mi，m>==—.

122IrnillmJl7

故所求二面角D-BC-N的余弦值为且

7

解析：（I）由线面平行判定定理，可分别证出MB〃平面DNC且M4//平面DNC,结合面面平行判定

定理，得到平面4MB〃平面DNC,结合48u平面AMB可得4B〃平面DNC；

（II）根据面面垂直的性质定理，证出DN1平面MBCN,从而得到NM、NC、ND两两互相垂直，因此

以点N为坐标原点，建立空间直角坐标系如图.分别得到B、C、。的坐标，从而得到向量反、0的

坐标，利用垂直向量数量积为零建立方程组，解出平面CBC的法向量可=（-1,但V5）,结合祖=

（0,0,1）是平面NBC的一个法向量，运用空间向量的夹角公式算出现、沆;夹角的余弦值为吁，即得

二面角。一8C—N的余弦值.

本题给出特殊的多面体，求证线面平行并求二面角。-BC-N的余弦值.着重考查了空间平行位置

关系的证明和利用向量求面面所成角的方法等知识，属于中档题.

21.答案：（1）三角形铁皮,嶷翻的面积为红色看；（2）,尊鳞的面积的最大值为生蛭.

图4

解析：试题分析：（1）先根据题中条件得出=—/感=3=逢椒?幽呗膏璃遴麒芝第二二，

鬟罢

普凝南岸豳遮疆3.外坐，最后根据三角形的面积计算公式,强^期W

即可得到所求的三角形的面积；（2）先引入角度作为变量，即设警巡的库，进而根据（1）中思路

求出“裁都=晶.瓶融融=最能血居昔醺。*£,普怎二:胡版富泰统常书遥蒯卖书包解,君书珈到此

翳整

用同角三角函数的基本关系式，进行换元，令武=A,*.'TF蝴^雷=\^蝴触尤笈,号与，先确定诡的取

年

值范围，进而得到或H耳磔酹M=----»从而

兽

球=病外4=?解外缭*矍=为甘阴根据求出的优的取值范围，结合二次

通取监3.■S4,4

函数的图像与性质即可确定黑且例的最大值.

（1）由题意知超独=2.剑：=工豁=士节售3.

售雪驾

谶=部也种精麟物孔嫩凝：U3口由笔励=

%