随机过程的功率谱密度

随机过程的功率谱密度§3.1功率谱密度函数3.1.1确定信号的频谱和能量谱密度

第2页,共63页，2024年2月25日，星期天§3.1功率谱密度函数3.1.1确定信号的频谱和能量谱密度确定信号是在的非周期实函数，的傅立叶变换存在的充要条件是：(1).满足狄利赫利条件(2).总能量有限，即第3页,共63页，2024年2月25日，星期天则信号的傅立叶变换为傅立叶反变换为根据巴塞伐(Parseval)定理(总能量的谱表达式)

称为信号的能量谱密度。第4页,共63页，2024年2月25日，星期天3.1.2随机过程的功率谱密度随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件，傅立叶不存在。图3-1样本函数第5页,共63页，2024年2月25日，星期天采取截断函数规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件。截断函数定义为：图3-2及截断函数

保留有限区间的数据置其它区间为0第6页,共63页，2024年2月25日，星期天

当T为有限值时，截断函数满足傅立叶变换条件，傅立叶变换为傅立叶反变换为由巴塞伐定理得对上式两边除2T第7页,共63页，2024年2月25日，星期天第8页,共63页，2024年2月25日，星期天样本函数在时间区间的平均功率。由于样本函数是随机过程的任何一个样本函数，取决于随机试验，平均功率具有随机性。可采用集合平均消除样本函数的随机性，即两边取极限第9页,共63页，2024年2月25日，星期天若设上式表示为

称为随机过程的功率谱密度。如随机过程是宽平稳过程时，则第10页,共63页，2024年2月25日，星期天§3.2功率谱密度与自相关函数之间的关系及其性质自相关函数是从时间域上描述随机过程统计特性的重要特征。功率谱密度是从频率域上描述随机过程统计特性的重要特征。自相关函数功率谱密度？自相关函数功率谱密度随机过程?timefrequency图3-3功率谱密度与自相关函数第11页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2.1维纳—辛钦定理平稳各态历经随机过程的自相关函数和功率谱密度有如下关系：证明：由功率谱密度函数定义功率谱密度与自相关函数是傅立叶变换对第12页,共63页，2024年2月25日，星期天在区间定义则有令则

得证。功率谱密度与自相关函数时间平均值是傅立叶变换对第13页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2.2功率谱密度的性质1.功率谱密度为非负实函数，即证明:根据功率谱密度定义2.功率谱密度函数为的偶函数,即第14页,共63页，2024年2月25日，星期天

证明:由功率谱与自相关函数的关系同理

第15页,共63页，2024年2月25日，星期天平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即证明:对于平稳随机过程有平稳随机过程的均方值有限平稳随机过程的功率谱密度可积,即第16页,共63页，2024年2月25日，星期天4.功率谱与相关函数随机过程平稳随机过程平稳各经历态过程第17页,共63页，2024年2月25日，星期天图3-4随机过程及其功率谱密度函数非负实数可积偶函数第18页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2.3功率谱与平均功率平均功率是功率谱在频率空间的积分证明：平稳各态历经第19页,共63页，2024年2月25日，星期天2.特定频率上平均功率3.单边谱密度与双边谱密度物理谱密度函数第20页,共63页，2024年2月25日，星期天

－函数功率谱密度指单位带宽上平均功率；直流与周期平稳随机过程在频率轴有离散谱线；图3-5周期平稳随机过程及其功率谱密度零带宽上有限功率无限的功率谱密度第21页,共63页，2024年2月25日，星期天随机过程的功率谱密度不一定可积，即－函数图3-6－函数第22页,共63页，2024年2月25日，星期天利用－函数，含有直流分量或周期分量的平稳随机过程的功率谱密度可表示为图3-7直流分量图3-8周期分量第23页,共63页，2024年2月25日，星期天若功率谱密度函数为常数，则自相关函数为—函数。图3-9常功率谱函数图3-10自相关函数第24页,共63页，2024年2月25日，星期天例3-1平稳随机过程的自相关函数为求该随机过程的功率谱密度函数。解：由维纳－辛钦定理，有第25页,共63页，2024年2月25日，星期天图3-11例3-1第26页,共63页，2024年2月25日，星期天3.2.4几种常见的与

第27页,共63页，2024年2月25日，星期天例3-2已知平稳随机过程，具有功率谱密度为求该过程的自相关函数。解：由上例可知，若自相关函数具有的形式，则功率谱密度为，本题中则自相关函数具有如下形式第28页,共63页，2024年2月25日，星期天显然因此所以自相关函数为第29页,共63页，2024年2月25日，星期天§3.3平稳随机过程的自相关函数时间和等效功率谱带宽自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度。功率谱密度函数描述随机过程的平均功率沿频率轴的分布。自相关时间从数量上直观描述随机过程的在时间上关联范围。等效功率带宽从数量上直观描述随机过程在频率上分布范围。第30页,共63页，2024年2月25日，星期天3.3.1自相关时间相同的数学期望相同的方差(a)(b)图3-12和的样本函数曲线(b)图3-13和的自相关函数(a)第31页,共63页，2024年2月25日，星期天因为，有由于扩展比要大一些，因此

能描述相关程度(b)(a)图3-14自相关时间第32页,共63页，2024年2月25日，星期天自相关时间定义：通常，当时，可认为与的相关性已经很弱，实际上已经不相关了。第33页,共63页，2024年2月25日，星期天3.3.2等效功率谱带宽(a)(b)图3-15和的样本函数曲线相同的数学期望相同的方差(a)(b)图3-15功率谱第34页,共63页，2024年2月25日，星期天因为，且所以

能描述出随机过程起伏程度图3-15等效功率带宽第35页,共63页，2024年2月25日，星期天等效功率带宽定义：通常，说明了中起伏的最高频率。第36页,共63页，2024年2月25日，星期天3.3.3时间带宽乘积

变化缓慢，变化快，；起伏频繁程度低，变化起伏频繁程度高，。时间带宽乘积：(a)(b)图3-16和的样本函数曲线相同的数学期望相同的方差常数第37页,共63页，2024年2月25日，星期天例3-3设随机过程的自相关函数为试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱带宽。解：由自相关函数定义第38页,共63页，2024年2月25日，星期天等效功率谱带宽第39页,共63页，2024年2月25日，星期天例3-4已知平稳过程的谱密度为求的自相关函数，自相关时间和等效带宽。解：由自相关函数与功率谱关系有第40页,共63页，2024年2月25日，星期天第41页,共63页，2024年2月25日，星期天图3-17例3-4第42页,共63页，2024年2月25日，星期天§3.4联合平稳过程的互功率谱密度自相关函数反映随机过程在不同时刻的关联程度。互相关函数反映多个随机过程在不同时刻的关联程度。功率谱密度函数互功率谱密度函数第43页,共63页，2024年2月25日，星期天3.4.1互功率谱随机过程的样本函数不满足傅立叶存在的绝对可积和能量可积条件。采取截断函数规范化随机信号，使之满足傅立叶变换条件。第44页,共63页，2024年2月25日，星期天

保留有限区间的数据置其它区间为0图3-18样本函数及截断函数

保留有限区间的数据置其它区间为0第45页,共63页，2024年2月25日，星期天

截断函数和满足傅立叶变换的绝对可积和能量有限条件，即傅立叶变换分别为第46页,共63页，2024年2月25日，星期天在时间范围内，和的互功率为据巴塞伐定理用代换，则有互功率也可表示为第47页,共63页，2024年2月25日，星期天由于和具有随机性，、和也具有随机性；为消除单一样本的随机性，采取样本的统计平均来得到随机过程和的互功率。将时间范围扩展至，即

设则

互功率谱密度第48页,共63页，2024年2月25日，星期天3.4.2互功率谱的物理意义设实随机过程，它由两随机过程和相加：自相关函数为第49页,共63页，2024年2月25日，星期天

对自相关函数取时间平均则的功率谱密度为是和绞联、耦合部分在频率空间上的表现。第50页,共63页，2024年2月25日，星期天3.4.3互功率谱与互相关函数的关系1.两个随机过程和的互相关函数和互功率谱之间满足其中第51页,共63页，2024年2月25日，星期天证明：根据互功率谱定义有由傅立叶变换第52页,共63页，2024年2月25日，星期天2.若随机过程和联合平稳，互相关函数和互功率谱之间满足证明：据联合平稳过程的性质，有将其带入一般关系式，就可得此关系。第53页,共63页，2024年2月25日，星期天3.4.4互功率谱性质1.2.3.若随机过程和正交，则4.若随机过程和不相关，且的均值为常数，则第54页,共63页，2024年2月25日，星期天§3.5白噪声和色噪声按功率谱密度函数的形状，可分为白噪声和有色噪声；白噪声可分为理想白噪声和带限白噪声。功率谱函数形状理想白噪声带限白噪声第55页,共63页，2024年2月25日，星期天(a)(b)图3-19色噪声(a)和白噪声(b)第56页,共63页，2024年2月25日，星期天(a)(b)图3-20理想白噪声(a)和带限白噪声(b)第57页,共63页，2024年2月25日，星期天3.5.1理想白噪声定义：若为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在的整个区间，即其中