新人教版高中数学必修第一册课时跟踪检测（二十一） 指数函数及其性质的应用（习题课）

课时跟踪检测(二十一)指数函数及其性质的应用(习题课)

A级——学考合格性考试达标练

1.下列判断正确的是()

A.2.52-s>2.53B.0.82<0.83

35

C.n2Vli也D.0.9°->0.9°-

解析：选D是减函数，且0.5>0.3,

.，.0.9°-3>0.9°-5.

2.若函数/(x)=(l-2a尸在实数集R上是减函数，则实数。的取值范围是()

A.Q,+8)B.(0,3

aSI)D.(V，§

解析：选B由已知，得0V1—2aVl,解得OVaV；,即实数a的取值范围是(0,£).

3.函数*的单调递减区间为()

A.(一8,0]B.[0,+~)

C.(-8,y[j,]D.框+8)

解析：选B函数y=Q)”在R上为减函数，欲求函数的单调递减区间，只

需求函数u=x2-2的单调递增区间，而函数u=x2-2的单调递增区间为[0,+8),故所

求单调递减区间为[0,+8).

4.设函数八%)=/阳3>0,且。。1),若42)=4,贝！)()

A.71-2)>A-DB.

C.11)>八2)D.

解析：选A/(2)=a-2=4,a/,/(x)=Q)=2M,则八一2)>,/(-1).

2X—2~x

5.函数,/(x)=2是()

A.偶函数，在(0,+8)是增函数

B.奇函数，在(0,+8)是增函数

C.偶函数，在(0,+8)是减函数

D.奇函数，在(0,+8)是减函数

解析：选B因为八一x)=-/U),

所以1x)为奇函数，

又因为y=2*是增函数，/=2一*为减函数，

2X—2~x

故式x)=-2—为增函数.

故选B.

6.不等式5〃2>5*+1的解集是.

解析：由52x2>5x+i得2*2>*+1,

解得x<一；或X>1.

答案：(一8,一§u(L+°°)

7.已知指数函数y=3•^在S，2]上的最大值与最小值的和为6,则。=.

解析：由指数函数定义知，b=l.

故0+。2=6.解得a=2,或a——3,

又人>(),：.a=l.

答案：2

8.春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一

天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已

生长了天.

解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1,则荷叶覆盖水面面积y与生长时间的函数关

系为^=2广1,因为荷叶20天可以完全长满池塘水面，故当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，

]x22『i=2Li,解得X=19,所以生长19天时，荷叶布满水面一半.

答案：19

9.(2019・度门高一检测)已知一IWXWL求函数y=4・3,一2寸的最大值.

解：因为¥=4・3，-2・夕=4・3*—2・(3*)2

令t=y,则y=4t-2t2=-2(t-l)2+2,

因为一IWxWl,

所以;W3*W3,即/，3.

-1-

又因为对称轴3J,

所以当f=l,即x=0时，ymax=2.

10.已知指数函数八x)的图象过点(2,1).

⑴求函数兀0的解析式；

⑵已知/(|x|)>/U),求X的取值范围.

解：⑴设而0=/(0>0,且aWl).

将点(2,3代入得3=°2.

解得”=；.故於)=0).

(2)由(1)知犬用=住)，显然Ax)在R上是减函数，又八M)»U),所以仅|<1,解得一

即x的取值范围为(一1,1).

B级——面向全国卷高考高分练

1.已知/(*)=/*3>0,且aKl),且/(-2)>八一3),则a的取值范围是()

A.a>0B.a>l

C.a<lD.0<a<l

解析：选DV—2>—3,/(—2)>/(—3),

・,JU)为增函数.

又於)=“-*=(£),

.-n>1,1AO<a<l.

2.函数y=a，在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则函数7=2女一1在［0,1］上的

最大值是（）

A.6B.1

C.3D.1

解析：选C函数丁=砂在［0,1］上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有

0。+〃1=3,解得〃=2,因此函数y=2or—l=4x—1在［0,1］上是单调递增函数，当x=l

时，ymar=3.

3.若函数於尸产图他〉。，且狂1）满足大1得，则大幻的单调递减区间是（）

A.（-8,2］B.［2,+8）

C.［-2,+8）D.（-oo,-2］

解析：选B由式1）=/，得。2=/，于是

因此加矿.

令f=|2x—4|,.•./?«）=《）为减函数.

因为g（x）=|2x-4|在［2,+8）上单调递增，所以4x）的单调递减区间是［2,+~）.故

选B.

—x+3a,x<0,

4.函数（a>0,且aWl）是R上的减函数，则。的取值范围是

个，xNO

AC.(Go

解析：选B由单调性定义，人》）为减函数应满足:

0<«<1,1

,、0即彳W〃V1,故选B.

[3心即3

ri

：x<0,

5.若函数/u）=〈八”则不等式的解集为______.

1（3…

'Q0,卜<0,

解析：或...o<xWi,

⑸为\?y

故不等式/（X）》：的解集是｛x|0WxWl｝・

答案：｛x|0WxWl｝

6.若函数y=|2*—1|在（一8,词上单调递减，则，”的取值范围是.

解析：在平面直角坐标系中作出y=2'的图象，把图象沿y轴向下平移1个单位得到y

=2'—1的图象，再把y=2*—1的图象在x轴下方的部分关于x轴翻折，其余部分不变.如

图，得到y=|2，一1|的图象，由图可知>=0—1|在（一8,0]上单调递减，.•.,”£（一8,0].

答案：（一8,0]

7.若函数Ax）=（A+3）a*+3一伙a>0,且"W1）是指数函数.

⑴求A,匕的值；

⑵求解不等式式2*—7）寸4*-3）.

解：（1）：人工）=（«+39+3一伏”>0,且aWl）是指数函数，

.,.*+3=1JL3-6=0,解得《=-2且8=3.

（2）由⑴得且“W1）,因为小2^—7）次4*-3）,所以田丁摘射卫

①当”>1时，兀0=砂单调递增，则不等式等价于2*—7>4x—3,解得x<—2;

②当0<a<l时，<单调递减，则不等式等价于2x—7<4x—3,解得x>一2.

综上，当a>l时，原不等式的解集为｛x|x<-2｝;当0<。<1时，原不等式的解集为｛x|x>

-2}.

8.某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状

态，经抢修后恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64ppm（ppm为浓度单

位，1ppm表示百万分之一），再过4分钟又测得浓度为32ppm.经检验知，该地下车库一

氧化碳浓度y（PPm）与排气时间”分钟）之间存在函数关系j=cQ）m/（c,m为常数）.

（1）求c,，〃的值；

（2）若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm为正常，问至少排气多少分钟才能使这个地

下车库中一氧化碳含量达到正常状态？

f期=64,尸28,

解：⑴由题意可得〈八、8,“解得《1

1<=32,上r

故c,机的值分别为128,彳.

（2）由⑴知尸128><0）4',令128X0）/4，即解得/，32,即至少

排气32分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态.

C级——拓展探索性题目应用练

2

对于函数兀r）=a-m（xGR）.

（1）判断并证明函数的单调性;

⑵是否存在实数a,使函数_/U）为奇函数