2020-2021学年太原市高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年太原市高二上学期期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）

1.命题“若%>2,则％>1”的否命题是（）

A.若x<2,则x<lB.若xW2,则xSl

C.若x<1,则x<2D.若无<1,则x<2

2.设抛物线C：y2=4x的焦点为F,直线，过尸且与C交于4B两点，若［4尸|=3田口，则|48|等于

（）

A.-B.C.3D.

232

3.点（1,一2,3）关于x轴的对称点坐标为（）

A.（1,2,-3）B.（-1,-2,3）C.（-1,2,-3）D.（-1,2,3）

4.设X6R,则“1<%<2”是<4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.设双曲线0：W一，=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为Fi，F2,。上存在关于丁轴对称的两点

P,Q（P在。的右支上），使得|PQ|+2|PF2|=2|PFJ,0为坐标原点，且APOQ为正三角形，则。

的离心率为（）

A.在B.更C.V6D.V5

22

6.若直线/的方向向量五=（1,0,1）,平面3的法向量记=（1。-1），则（）

A.luBB./1/?C.l//pD.lu0或1/传

7.命题“VxeR,x2-x+l=0”的否定为（）

A.VxeR,%2—X+IHOB.BXER,x2—x+1=0

C.mx€R,%2—%+i丁oD.mx任R,久2-x+i。o

8.空间向量五=（1,0,—2）,6=（2,-1,1）>则不与石的夹角为（）

A.0°B,30°C.60°D.90°

9.已知实数m是2,8的等比中项，则圆锥曲线/+”=1的离心率为（）

m

A.在B.V5C.6与更D.以上都不对

22

10.若直线Z〃平面a,直线I的方向向量为式平面a的法向量为元，则下列结论可能正确的是（）

A.s=(—1,0,2),n=(1,0,-1)B.s=(-1,0,1),n—(1,2,—1)

C.s=(-1,1,1),元=(1,2,—1)D.s=(-1,1,1),记=(—2,2,2)

11.已知双曲线马-¥=15>0/>0）的左焦点为尸，以。尸为直径的圆M与双曲线的两条渐近线交

于4,B两点，若NAMB=120°,则双曲线的离心率为（）

A.2或遮B.8或管C.2或誓D.8或言

12.如图，在长方体ABCD-&B1GD1中，力。=441=2,AB=3,E为AB中

点，则点名到平面AEC的距离为（）

A15.

B8同

•31

Q18百

*61

D.四

31

二、单空题（本大题共4小题，共16.0分）

13.若命题：“mxWR,使％2+Q%—2a<0”为假命题，则实数a的取值范围是

14.有下列命题：

①双曲线三-2二=1与椭圆:L+J1=1有相同的焦点;

2S95

②"一工<X<0"是“2x2-5x-3<0”必要不充分条件；

2

③“若xy=0,则％、y中至少有一个为0”的否命题是真命题.；

④小3«-4丫+；±0・

其中是真命题的有：.（把你认为正确命题的序号都填上）

15.已知抛物线C：y2=2px（p>0）上一动点M,设M到抛物线C外一定点4（6,12）的距离为刈，M到

定直线/：x=-p的距离为d2,若di+d2的最小值为14,则抛物线。的方程为.

16.若三个平面a、B、y两两垂直，直线/与平面a、0、y所成的角都等于九cosA=.

三、解答题(本大题共7小题，共72.0分)

17.设p：%2-8%-20<0,q：(x+m-l)(x-m-1)<0(m>0),且p是q的充分不必要条件,

求实数m的取值范围.

18.已知平面向量落方满足|砧=3,且2b)•位+2^)=5.

⑴求|孙

(2)当心3=手时，求向量五与万的夹角。的值.

19.己知斜率为1的直线［经过抛物线y2=4x的焦点F,且与抛物线交于4,B两点

(1)求线段48的长：

(□)已知点”(4,0),证明：直线4M与直线BM不垂直

20.如图，已知四棱锥P-ABC。的底面4BCD是边长为2的正方形，尔、

PDJL底面/BCD,PD=1./：

(1)求直线PB与平面PCD所成的角的大小；

B

(2)求四棱锥P-4BCD的侧面积.

21.如图，在四棱锥P-4BCD中，侧面PAD是等边三角形，且平面

PADL^^ABCD,E为PD的中点，AD//BC,CD1AD,BC=

CD=2,AD=4.

(I)求证:CE〃平面P4B；

(n)求二面角E-AC-。的余弦值：

(HI)直线4B上是否存在点Q,使得PQ〃平面4CE?若存在，求出售的

值；若不存在，说明理由.

22.已知椭圆捺+5=l(a>b>0)右顶点与右焦点的距离为8一1,短轴长为2vl.

(I)求椭圆的方程；

(口)过左焦点F的直线与椭圆分别交于4、B两点,若△048(。为直角坐标原点)的面积为越，求直线

4

4B的方程.

23.一动圆截直线3x-y=0和直线3x+y=0所得弦长分别为8,6,求动圆圆心的轨迹方程.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：命题“若x>2,则x>l”的否命题是“若XW2,则xSl”，

故选：B.

根据已知中的原命题，结合四种命题的定义，可得答案.

本题考查的知识点是四种命题，难度不大，属于基础题.

2.答案：B

解析：解：••・抛物线C方程为必=4x,可得它的焦点为尸(1,0),丫,

二设直线，方程为y=k(x-1)2

代入抛物线方程消去x,得：y2一y一女=0.

设4Q1，%)，8。2必)，仪X

/4-2/4-\

可得力+丫2=工，%为=-4...(*)7

V\AF\=3|BF|,

•.•%+3y2=°，可得力=一3y2，代入(*)得-2y2=*且一3羽=-4,

消去为得/=3,解之得k=土百

\AB\=Jl+1X栏+16=y.

故选：B.

根据题意，可得抛物线焦点为尸(1,0),由此设直线I方程为y=k(x-1),与抛物线方程联解消去x,

设4(xi，乃)，B(x2,y2),由根与系数的关系和［4F|=3|BF|,建立关于y?和左的方程组，解之可

得k值，即可求出|AB|.

本题给出抛物线的焦点弦AB被焦点尸分成1：3的两部分，求|AB|,着重考查了抛物线的标准方程、

简单几何性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题.

3.答案：A

解析：解：点(1,—2,3)关于x轴的对称点坐标为(1,2,—3).

故选：A.

关于x轴的对称点坐标的性质：横坐标不变，纵坐标变为相反数，竖坐标变为相反数.

本题考查空间中点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对称的性质的合理运用.

4.答案:A

解析：解：解"M<4"可得一2<%<2,

X&R,则“1<%<2"能推出“/<记，

X&R,则<4"不能推出"1<x<2"，

根据充分条件和必要条件的定义可得％6R,则“1<久<2"是<4”的充分而不必要条件，

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属

于基础题.

5.答案：D

解析：

本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，属于中档题，

根据双曲线的定义可得4a=|PQ|,再根据APOQ为正三角形，求出点P的坐标，代入双曲线的方程

可得b2=4a2,即可得到c2=5a2,离心率即可求出.

解:由|PQ|+2|PF2|=2|PF/,则2(|PF/-IPF2I)=|PQ|,

­-4a=\PQ\,

•••△POQ为正三角形，0上存在关于y轴对称的两点P,Q(P在0的右支上)

故选：D.

6.答案：D

解析：解：：直线I的方向向量丘=(1,0,1),

平面口的法向量元=(1,0,—1),

左•元=1+0—1=0,

•••/U0或”/0.

故选：D.

由及•元=0,得到/10.

本题考查线面位置关系的判断，考查直线的方向向量、平面的法向量等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

7.答案：C

解析：

根据含有量词的命题的否定即可得到结论.

本题主要考查含有量词的命题的否定，是基础题.

解：命题为全称量词命题，则命题的否定为：3xGR,x2-x+10,

故选：C.

8.答案：D

解析:

本题考查两个向量的夹角的求法，考查空间向量夹角公式等基础知识，是基础题.

利用空间向量夹角公式直接求解.

解：•.•空间向量伺=(1,0,-2),6=(2,-1,1),

.••日与方的夹角为90。.

故选：D.

9.答案：C

解析：

本题考查圆锥曲线的离心率的求法，等比数列的性质，考查计算能力，属于基础题.

根据等比数列的性质，求出小值，然后利用椭圆、双曲线的性质求解离心率即可.

解：实数m是2,8的等比中项，

可得771=4或-4,

当m=4时，圆锥曲线/+”=1化为：/+乃=i,

m4

是焦点在y轴上的椭圆，

离心率为：三！=夜.

22

当m=—4时，圆锥曲线/+^=1化为：/一g=1,

m4

是焦点在X轴上的双曲线，

离心率为：等出=遍.

故选：C.

10.答案:c

解析：

本题考查直线的方向向量，平面的法向量，考查学生的理解能力，属于基础题.

直线1〃平面a,直线，的方向向量为8，平面a的法向量为汇则3元=0,对选项进行验证可得结论.

解：•••直线〃/平面a,直线/的方向向量为8,平面a的法向量为汇

•••s•n=0,

对于A,s-n=-1—2=—3；

对于B,s-n=-1—1=—2；

对于C,s-n=-1+2—1=0；

对于。，3•元=2+2+2=6.

故选：C.

11.答案：c

解析：

本题考查双曲线的简单几何性质及圆的性质，分类讨论求解即可.

解：①若M在直线4B的右侧，则由乙4MB=120。及圆的性质得乙4OB=60。，

由双曲线的对称性知双曲线的一条渐近线的倾斜角为30。，

所以2=血,

a3

即庐=c2—a2=1a2,

所以离心率e=-=—;

a3

②若M在直线48的左侧，则由乙4MB=120。及圆的性质得乙40B=120°,

由双曲线的对称性知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60。，

所以2=遍，

a

即匕2=c2—a2=3a2,

所以离心率e=£=2.

a

故选c.

12.答案:C

解析：

本题考查点到平面的距离的求法，是中档题.

以。为原点建立空间直角坐标系，由此能求出点名到平面D1EC的距离.

解：以。为原点，面,方乙西的方向为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

•••在长方体4BC0—4避1。也中，AD=M=2,AB=3,E为4B中点,

3

•••81(2,3,2),Di(0,0,2),F(2,-,0),C(0,3,0),

CE=(2,-|,0),CD1=(0,-3,2),南=(2,0,2)，

设平面DiEC的法向量元=(%,y,z),

n-CE=2x--v——0

2

则_,，取y=4,得完=(3,4,6),

n-CDT=-3y+2z=0

点2到平面DiEC的距离为：

d_|两'•褶_18_18历

同一V9+16+36-61'

故选：C.

13.答案：[—8,0]

解析：解：・•・命题："Hxe/?,使/+ax—2a<o”为假命题，

a2+8a<0,

解得一8<a<0.

.•・实数a的取值范围是[-8,0].

故答案为[-8,0].

由命题：'勺x€R,使/+a%-2a<0”为假命题，得△=a2+8a<0,由此能求出实数a的取值

范围.

本题考查实数参数的取值范围的求法，考查全称命题的真假判断及性质等基础知识，考查运算求解

能力，是基础题.

14.答案：①③④

解析：解：双曲线(一卷=1的焦点坐标为(土V34.0)点，椭圆3+y?=1的焦点坐标也为(土V34,

0)点，故①正确；

解2--5%-3<0得一3cx<3,0)S(-p3),故“一gcxCO”是“2--5%-3<0”

充分不必要条件，故②错误；

“若xy=0,则x、y中至少有一个为0”的否命题是“xy力0,则x,y都不等于0"，是真命题，故

③正确；

因为方程——3%+3=0的△=—3<0,故方程久2—3x+3=0无实根，故④正确，

所以答案为①③④.

15.答案：y2=4x

解析：

离,

又由于M到定直线心x=—p的距离为M到准线：x=-1p的距离与々的和,

则d2=|MQ|=|MF|+£,

故虑+d2=\MA\+\MF\+奥勺最小值为14,

由图知，当M与P'重合时，取最小值14,

则14=\AF\+：=J(6*)2+122+3,解得p=2,

则抛物线C的方程为y2=4x.

故答案为：y2=4x.

16.答案：渔

3

解析：解：由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，

其中ABCD—4BiG5是棱长为1的正方体，直线/为SD,

平面a、。、y分别在正方体的三个面上，满足两两垂直，

BD=Vl2+I2=伍B[D=《BD2+Bp=遮，

此时直线2与三个平面a、B、y所成角都相等，等于；I,

于是直线西平面a成角为金。8=九COSX=黑=*=与

B]DV33

故答案为：渔.

3

构造棱长为1的正方体，建立空间直角坐标系，把问题转化为解直角三角形问题.

本题考查了直线与平面成角问题，属于中档题.

17.答案：解：由/—8%—20W0,得—24工工10,即p：—2工工工10,

由[x-(1-m)][x-(1+m)]<0,

即q：1—m<x<l+m,(m>0),

,:p是q的充分不必要条件，

(1—m<—2

11+m>10>

Ci9*

・•・m>9,

故实数nt的取值范围是m>9.

解析：求出不等式的等价条件，利用充分不必要的定义建立条件关系即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的

关键.

18.答案：解：⑴•位+2石)=5,

|a|2-4|K|2=5.

又•••|方|-3,

A|&|=1.

(2)•••■=¥，

••-cos0=^=±=r

•・,dG[0,n],

・・.e=-.

6

解析：(1)0-2b)•0+21)=5,即|五『一4|方|2=5,又同=3,即可求解|方|=1，(2)根据已

知条件，结合向量的夹角公式，即可求解.

本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量夹角公式及计算，属于基础题.

19.答案：解：(I)设过点尸且斜率为1的直线方程为：y=x-l,

B(x2,y2).

ry=x-1

].=>x92-6%4-1=0.

7=4x

+%2=6,%],%2=1，

2

A\AB\=V14-k•+=2)2-4rl%2=8・

(n)X?7=(%1-4,为)，丽=(%2-4,、2>为加=一4

M4-MB=(%1—4)(%2-4)+y1y2=x1x2-4(不+x2)+16+y1y2=1-24+16+4=—3H().

二直线4M与直线不垂直.

解析：（I）联立方程，利用弦长公式直接求解.

（口）由-MB=（Xi—4）（^2—4）+yxy2=xrx2—4（xx+x2）+16+yry2=1—24+16+4=

-3*0.证明结论.

本题考查了直线与抛物线的位置关系，向量数量积运算，属于中档题.

20.答案：解：（1）•••PD1平面ABCD,BCu平面4BCD,

•••PD1BC,

•.•底面2BCD是正方形，二BCLCD,

又PCu平面PCD,CDu平面PC。，PDQCD=D,

■■BC1平面PCD,NBPC为直线PB与平面PCO所成的角.

vPC=y/PD2+CD2=V5.BC=2,

,,BC2^5

**•tanz.jBDPnCn=—=—•

PC5

直线PB与平面PCD所成的角的大小arctan型.

5

(2)由(1)可知BC_L平面PCD,8CJ.PC,

同理可得4B1PA,

SHPCD-S&PAD=]X2xl=l，S&PBC~S“AB=]x2xv5—v5

.•・四棱锥P-4BCD的侧面积为2X1+2X次=2+2*.

解析：（1）证明BC平面PCD,在RMPBC中计算4BPC；

（2）由线面垂直可知棱锥的四个侧面都是直角三角形，求出棱锥的侧棱长，再计算侧面积.

本题考查了线面垂直的判定与性质，考查线面角的计算，棱锥的侧面积计算，属于中档题.

21.答案：解：（I）如图，取PA中点F,连结EF,BF.

因为E为PD中点，AD=4,

1

所以EF〃AD,EF=^AD=2.

又因为BC〃/10,BC=2,

所以EF〃BC,EF=BC,

所以四边形EFBC为平行四边形.

所以CE〃BF.

又因为CEC平面P4B,BFu平面PAB,

所以CE〃平面P4B.

(11)取4。中点。，连结OP,0B.

因为△P4D为等边三角形，所以P010C.

又因为平面24D，平面4BC。，平面P4DCI平面ABCD=4D,P。在平面PAD内,

所以P。，平面4BC0.

因为0D〃BC,0D=BC=2,

所以四边形BCD。为平行四边形.

因为CDJ.4。，所以OB10D.

如图建立空间直角坐标系。-xyz,

贝丘(0,—2,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(O,1,遮),P(0,0,2g).

所以前=(2,4,0),荏=(0,3,V3).

设平面ACE的一个法向量为厄=(x,y,z),

震口即2%+4y=0

则

3y+V3z=O'

令x=-2,则五=

显然，平面4CD的一个法向量为而=(0,0,1),

所以8S<元区>=黯V6

4

由题知，二面角E-4C-0为锐角,

所以二面角E-AC-。的余弦值为渔.

4

(m)直线48上存在点Q,使得PQ〃平面4CE.

理由如下：

设而=2而，因为四=(2,2,0),PA=(0,-2,-2V3),

所以而=4彳月=(24,24,0)，F>Q=PA+AQ=(24,24—2,—28).

因为PQC平面ACE,所以PQ〃平面4CE当且仅当丽•苏=0.

即—2X24+24—2+2V5XV^=0，解得4=2.

所以直线4B上存在点Q,使得PQ〃平面ACE,此时与=2.

解析：本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行的判断定理以及性质定理的应用，平面与

平面垂直的性质定理的应用，是中档题.

(I)取。4中点凡连结EF,BF.推出EF〃BC,证明CE〃BF,利用直线与平面平行的判断定理证明CE〃

平面PAB.

(口)取40中点。，连结OP,OB,说明PO1.OD,推出POJ•平面ABCC,得到OBJ.。。，建立空间直

角坐标系。-xyz,求出平面ACE的一个法向量可=(—2,1,-遮)，平面4CD的一个法向量芯=(0,0,1),

利用空间向量的数量积求解二面角E-AC-。的余弦值.

(山)设点=入超，通过PQ〃平面/CE当且仅当而石=0,转化求解即可.

22.答案：解：(1),.•椭圆5+卷=1(。>6>0)右顶点与右焦点的距离为次一1,短轴长为2夜.

a-c=V3-1

・•・由题意得“=企，

H=h2+c2

解得Q=V3，c=1.

所以所求椭圆方程为兰+乃=1.

32

(n)当直线4B与X轴垂直时，砌=竽，

此时SMOB=竽不符合题意故舍掉•

当直线48与x轴不垂直时，设直线4B的方程为y=k(x+1),

由行+3=1,

ly=k(x+1)

消去y得：(2+3fc2)%2+6k2x+(3fc2-6)=0,

易得d>0,

(%+%=-6k2

设B(第22)，则[3k^-6k9

卜1％2=3行

22

,•・1阴