上海市金山2023年高考数学押题试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

考生须知：

1,全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2,请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知i是虚数单位，若z=l+ai,Zz=2»则实数"=()

A.一忘或夜B.-1或1C.1D.④

2.已知定义在R上的偶函数满足/(l+x)=/(l-x),当xe[0,l]时，/(%)=-x+1,函数g(x)=/T

(-1<^<3),则函数/(x)与函数g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为()

A.2B.4C.5D.6

3.如图所示的程序框图，若输入。=4,b=3,则输出的结果是()

A.6B.7C.5D.8

4.抛物线;产「彩小我"小的焦点为产，准线为/,A,3是抛物线上的两个动点，且满足乙4用=7，设线段A3

的中点M在/上的投影为N,则上\M3N\的最大值是()

\AB\

A.3B.且C.在D.73

432

5.已知函数/0)=：—x(a>0),若函数y=/(x)的图象恒在x轴的上方，

则实数a的取值范围为()

A.B.(0,e)C,(e,+co)D.1I

6.在三棱锥。一ABC中，AB=BC=CD^DA^\,且43_13。,。。，94,用,"分别是棱8。，CO的中点,

下面四个结论：

①AC_L8O；

②MN//平面ABD；

③三棱锥A-CMN的体积的最大值为显；

12

④AD与8C一定不垂直.

其中所有正确命题的序号是（）

A.①②③B.②③④C.①④D.①②④

7.若xG（0,1）,a=lnx,b=g）,c=elnx,则a,b,c的大小关系为（）

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

8.已知双曲线C：r-与=1（。>0力>0）的左、右焦点分别为K，F,,点尸是C的右支上一点，连接与y轴交于

a-b-

点若忻O|=2|OM|（。为坐标原点），尸耳_LP8，则双曲线C的渐近线方程为（）

A.y=±3xB.y=±&C.y=±2xD.y=±42x

9.设点A（f,0）,P为曲线y=，上动点，若点A,尸间距离的最小值为卡，则实数1的值为（）

cIn2cIn3

A.y/5C.2+——D.2+—

22

10.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

与

I去

U年

同

8期

f相

t比

4增

K

T率

-

《

O卓

苏

南

东

江

宁

河

山

辽

》

1=>£!

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

U.已知产是双曲线c：丘2+V=4k।a为常数）的一个焦点，则点F到双曲线c的一条渐近线的距离为（）

2kB.4kC.4D.2

12./（x）=485（5+夕）（4>0,0>0）的图象如图所示,g(x)=-Asin(<yx-^),若将y=/(x)的图象向左平

移a（a>0）个单位长度后所得图象与y=g（x）的图象重合,则“可取的值的是（）

7II

C.---71D.—n

12121212

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知过点。的直线与函数y=3'的图象交于A、B两点,点A在线段08上，过A作N轴的平行线交函数y=9'

的图象于。点，当8C〃x轴，点A的横坐标是

x>0

14.已知x,y满足约束条件<x+,则z=3x+2），的最小值为.

2x+y<2

15.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于

齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率

为.

fX-y-l>0

16.已知x,y满足约束条件卜+）-3SO,贝！Jz=2x-y的最小值为一

{2y+1>0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知椭圆。马+1=1（a>0，。>0）的长轴长为4,离心率e=#

（1）求椭圆C的方程;

（2）设A,8分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，户是椭圆C上在第一象限的一点，直线Q4与.V轴交于

点M，直线与x轴交于点N,问APMN与AR43面积之差是否为定值？说明理由.

18.(12分)已知函数F(x)=-4x3+x2+2a,G(x)=alnx,设/(x)=尸(尤)一G(x).

6

（1）当。=一3时，求函数/（X）的单调区间;

a+/3

（2）设方程/'（x）=c（其中。为常数）的两根分别为a,B〈a训,证明:<0.

2

(注：r'(x)是r(x)的导函数)

19.(12分)设/为抛物线C：V=4x的焦点，P,。为抛物线C上的两个动点，。为坐标原点.

(I)若点尸在线段PQ上，求|PQ|的最小值；

(II)当时，求点Q纵坐标的取值范围.

20.(12分)已知数列的前〃项和为S,,且满足a“=gs“+l(〃eN*).

(1)求数列仅“｝的通项公式；

(2)若a=log?%,c“=#—,且数列｛%｝前〃项和为7“，求7”的取值范围.

21.(12分)已知数列｛%｝满足4M=2a,+2"M+l(〃eN)4=1,等差数列｛6“｝满足2+2〃=2〃一+4(〃=2,3,),

(1)分别求出｛可｝,｛0｝的通项公式;

(2)设数列｛4｝的前”项和为S"，数列'।〃-1+5什」的前〃项和为&证明：Tn<l.

Ot+l1g

n

22.(10分)已知函数f(x)=ac-(a+l)lnx+2(awR).

(1)讨论函数/(%)单调性；

(2)当a=—2时，求证：f[x)<ex-2x--.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

由题意得，zz=(l+az)(l-«z>l+«2,然后求解即可

【详解】

,:z=\+ai9.*•zz=+—由)=l+c『.又:zz=2，；・l+a?=2,；・a=±1.

【点睛】

本题考查复数的运算，属于基础题

2.B

【解析】

由函数的性质可得：/(x)的图像关于直线x=l对称且关于)’轴对称，函数g(x)=e+T(-1<X<3)的图像也关

于x=l对称，由函数图像的作法可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，则/(x)与g(x)的图像所有

交点的横坐标之和为4得解.

【详解】

由偶函数/(x)满足/(1+力=/(1一切，

可得/(x)的图像关于直线x=1对称且关于>轴对称，

函数g(x)=e+T(-l<x<3)的图像也关于x=l对称，

-1L；

函数y=/(x)的图像与函数g(x)=e+T(-l<x<3)的图像的位置关系如图所示，

可知两个图像有四个交点，且两两关于直线x=l对称，

则/(x)与g(x)的图像所有交点的横坐标之和为4.

故选：B

【点睛】

本题主要考查了函数的性质，考查了数形结合的思想，掌握函数的性质是解题的关键，属于中档题.

3.B

【解析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果.

【详解】

i—4,S=3,S〉"%?不成立，S=3?=9,i=4+l=5；

5>筋〃不成立，S=92=8Hi=5+l=6；

不成立，5=812=6561»i=6+l=7；

S>a2b2成立，输出i的值为7.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.

4.B

【解析】

试题分析：设在直线/上的投影分别是4田，则|A耳=|胡|,忸月=忸4|,又M是43中点，所以

|.“v.|=21（l.⑨.1+1.网I.），则I舄wl=51.1/14号,1+1^1方|AF在|+|5F|由中

|AB|2=|AF|2+\BFf-2|AF||BF|cos^=\AFf+\BFf+\AF\\BF\（\AF\+\BF\）2-\AF\\BF\>（|AF|+|BF|）2

一（T\AF\^+\BFF\,M3+,|,,即「兀所但以目气+怛石尸产94即|4刊+忸K『273所以\MN\周£故选民

考点：抛物线的性质.

【名师点晴】

在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线

平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化.象本题弦A3的中点M到准线的距离首先等于

A8两点到准线距离之和的一半，然后转化为A,8两点到焦点户的距离，从而与弦长|AB|之间可通过余弦定理建立

关系.

5.B

【解析】

XXX

函数y=/（X）的图象恒在X轴的上方，幺一X>0在（0,+。）上恒成立.即J>x,即函数的图象在直线y=X

aaa

上方，先求出两者相切时a的值，然后根据。变化时，函数y=C的变化趋势，从而得。的范围.

a

【详解】

XX

由题“一无>0在（（）,+（»）上恒成立.即—>%,

aa

y=—的图象永远在y=X的上方,

a

设卜=《与〉=》的切点(小,%),贝人;，解得a=e,

—=尤0

a

易知。越小，y=C图象越靠上，所以()<a<e.

a

故选：B.

【点睛】

本题考查函数图象与不等式恒成立的关系，考查转化与化归思想，首先函数图象转化为不等式恒成立，然后不等式恒

成立再转化为函数图象，最后由极限位置直线与函数图象相切得出参数的值，然后得出参数范围.

6.D

【解析】

①通过证明AC_L平面OBO,证得AC_L8£>；②通过证明MN//BO,证得MN//平面液；③求得三棱锥

A-CWN体积的最大值，由此判断③的正确性；④利用反证法证得AO与一定不垂直.

【详解】

设AC的中点为0,连接。伐。力，则ACLQB,AC1OD,又OBOD=O,所以AC_L平面所以

AC_L80,故①正确；因为MN//BD,所以MN//平面A3。，故②正确；当平面ZMC与平面A8C垂直时，VA^CMN

最大，最大值为匕“N=X，ACM=」X'X受=",故③错误；若AO与BC垂直，又因为AB_L8C,所以BCL

平面河，所以又8D_LAC,所以50_L平面ABC,所以3£>_LQB,因为。B=OD,所以显然3。

与08不可能垂直，故④正确.

故选：D

【点睛】

本小题主要考查空间线线垂直、线面平行、几何体体积有关命题真假性的判断，考查空间想象能力和逻辑推理能力，

属于中档题.

7.A

【解析】

利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.

【详解】

VxG(0,1),

.,.a=/nx<0,

b=(—)lnx>(—)0=1,

22

0<c=e/nx<e°=l,

'.a,b,c的大小关系为b>c>a.

故选：A.

【点睛】

本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8.C

【解析】

利用三角形与鸟尸相似得归浦=2归国，结合双曲线的定义求得。也c的关系，从而求得双曲线的渐近线

方程。

【详解】

设耳(―c,0),K(c,0),

由忻q=2|OM|,与APF/相似，

所以招={3=2,则叫=2|明，

又因为|P用-|帆|=2。，

所以|「耳|=4a,|尸鸟|=2"，

所以4c2=16/+4/，即。2=5。2,〃=4",

所以双曲线C的渐近线方程为y=±2x.

故选：c.

【点睛】

本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

9.C

【解析】

设P(x,e')，求|AP「，作为x的函数，其最小值是6,利用导数知识求『的最小值.

【详解】

设P(x,/),贝111Api2=(x—f)2+e21记g(x)=e2x+*_f)2,

g'(x)=2e2x+2(x-t),易知/")=202*+2。一，)是增函数,且g'(x)的值域是R,

二g'(x)=O的唯一解与,且x<x()时，g'(x)<0,x>x()时，g'(x)>0,即g(x)m"g(xo),

2x

由题意g(Xo)=/~+(%-/)2=6,而g'(Xo)=2/~+2(%-。=0,x0-t=-e°,

1c

.••e2%+e5=6,解得e22=2,x0=-y.

/=e2x°+/=2+(.

故选：C.

【点睛】

本题考查导数的应用，考查用导数求最值.解题时对毛和/的关系的处理是解题关键.

10.D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1-(1+3.3%)«4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

11.D

【解析】

分析可得k<(),再去绝对值化简成标准形式，进而根据双曲线的性质求解即可.

【详解】

当Z20时,等式收+y2=4|。不是双曲线的方程；当k<0时，依2+y2=4|右=-43可化为上--L=l,可得虚

—4k4

半轴长b=2,所以点尸到双曲线C的一条渐近线的距离为2.

故选：D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题.

12.B

【解析】

根据图象求得函数y=/(力的解析式，即可得出函数y=g(x)的解析式,然后求出变换后的函数解析式，结合题意

可得出关于“的等式，即可得出结果.

【详解】

由图象可得A=l,函数y=/(x)的最小正周期为7=4'(卷一?1=万2万

/.co———2

Tf

/惜卜cos(2喑++3仔+夕卜-1,

!JT-rr■rr

则---be=»+2左乃(AwZ),:,(p-+2k兀(keZ),取"=——,

666

/(X)=cos(2x-：］,贝(Jg(x)=-sin^2x+^=cos^2x+^-^,

g(x)=/(x+a)=cos(2x+2a一高，2〃一看=整+2%万，可得好二•^+攵乃(攵£Z),

5万

当Z=0时，〃=

故选：B.

【点睛】

本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数,考查计算能力，属于中等题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.log32

【解析】

通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过BC〃x轴，可得B点坐标，于是再利用人以=勺8可得答案・

【详解】

根据题意，可设点A（”,3"）,则C（a,9"）,由于8C〃x轴，故丘=兀=9"，代入y=3l

可得4=2。，即B（2a,9"）,由于A在线段OB上，椒3小,即贵=汇，解得

''a2a

a=log32.

14.2

【解析】

作出可行域，平移基准直线3x+2y=0到（0,1）处，求得二的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至1］（0,1）处时，z取得最小值为2.

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

1

15.

3

【解析】

分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.

详解：由题意可知了，比赛可能的方法有3x3=9种，

其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，

田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，

31

结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为2=§=§.

点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数.（1）基本事件总数较少

时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举.（2）注意区分排列与组合，

以及计数原理的正确使用.

16.-

2

【解析】

先根据约束条件画出可行域，再由y=2x-维示直线在y轴上的截距最大即可得解.

ix-y-1>0

X,y满足约束条件x+y-3S。，画出可行域如图所示.目标函数Z=2x-y,即v=2x-z.

\2y+l>0

平移直线v=2x-z,截距最大时即为所求.

（2y+1=0.1/、

=0点4

][3

Z在点A处有最小值：z=2x-+-=-，

222

故答案为：

7

【点睛】

本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2

17.（1）二+/=1（2）是定值，详见解析

4

【解析】

a=2

(1)根据长轴长为4,离心率e=@,则有＜T求解•

2a2

a2-b2=c2

⑵设「(%,%)(%>0,%〉0)，则4/2+为2=4,直线相：了=上山一1),令x=0得，yM=^~,则

/_1%一]

\BM\=\2-yM\,直线P8:y=小心x+2,令y=0,得龙”=二^,则14Vl=|1-/|，再根据

X2为一Z

S"MN一S居人!)=(^AMAN~^APAN)~(^MiAN~^tiPAN)=^AMAN~^ABAN求解♦

【详解】

a=2

c>/3

(1)依题意得〈——=—

a2

a2-b2=c2

a=2

解得《

b=i

2

则椭圆。的方程匕+¥=1.

4

2

(2)设P(%,y0)(x0>0,%>0),贝！14/2+y0=4,

直线PA：y="v(xT)，

玉)T

令x=o得，yM=-

贝()忸闸=|2_%|=2+4,

工0一1|

直线PB:y=^2X+2,

X2

令.得v言

则|A7V|="XM=1+悬

,・SwMN~=(S&^V-SAP/W)—(SM/W-MXN~^&BAN

=^\AN\-\BM\=^

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题.

18.(1)/(x)在(0,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减.⑵见解析

【解析】

(1)求出导函数/(X),由/'(x)>0确定增区间，由/'(x)<0确定减区间;

(2)求出含有参数。的/‘(X),再求出尸(X),由/"(x)=c•的两根是//7,得a户=a,

计算广,(41£),代入。=皿后可得结论.

【详解】

解：f(x)=Fr(x)-G(x)=-1x2+2x-«Inx,函数的定义域为((),+“),

f'(x}=-x+2--=-r+2”-“

XX

2

(1)当a=-3时，/(X)=T+2x+3x—2x—3(x—3)(x+1)

XXX

由/'(x)>。得0<x<3,由/'(x)vo得光>3,

故函数/(x)在(0,3)上单调递增，在(3,+8)上单调递减.

(2)证明：由条件可得ra)=—x+2-x>o,.•..ru)=-i+4»

xX

方程/'(x)=c的两根分别为a,£(e<0,••J'(a)=c,且/'(0=c,可得a/?=a.

(4a=4邓=-。-外<0

7I2J(a+外(a+外g+尸产•

【点睛】

本题考查用导数研究函数的单调性，考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中一般由/'(*)>0确定增区间，由

r(x)<。确定减区间.

19.(I)4(II)(-00,-8][8,4W)

【解析】

(1)由抛物线的性质，当PQ，X轴时，|尸。|最小;(2)设点p(%,X),Q(w，%)，分别代入抛物线方程和OPPQ=0

得到三个方程，消去孙吃，得到关于必的一元二次方程，利用判别式即可求出内的范围.

【详解】

解：(1)由抛物线的标准方程，P=2,根据抛物线的性质，当轴时，归。最小，最小值为2〃，即为4.

(2)由题意，设点尸(王，弘)，。(孙％)，其中

贝||y；=4玉,①%=4x2>②

因为。尸_LPQ,OP=(x，yJ,PQ=(x2-x],y2-yi),

所以OP-PQ=可(w_西)+x(%—y)=°•③

由①®③，得4+必必+16=0,

由MGR,且ywO,得A=y；-64N0,

解不等式，得点。纵坐标内的范围为(-A—8]」8,”).

【点睛】

本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能

力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.

20.(1)。“=2"⑵Tneplj

【解析】

(1)由G=；S1+1,可求4,然后由〃..2时，％=，-5,1可得4,=241，根据等比数列的通项可求

1111

<2)由2=1啕4,=陛22"=〃，而孰=昕=而而=7一石,利用裂项相消法可求小

【详解】

(1)当〃=1时，＜2|=—5|+1,解得q=2,

当〃..2时，a,i=gs,i+l…①

a“=gs"+l…②

a

②一①得an-=g4,，即n=2a“t，

，数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数列,

an-2"；

(2)bn=log2an=log,2"=n

.111__1_

,•C"她+i〃("+1)nn+\'

.T।1111111.1

・・T=1-----1---------1---------F...H------------=1---------,

〃22334nn+1〃+l

nwN*，〃:]£(0,g]

【点睛】

本题考查递推公式/=s“-s“T(几.2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数

与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

21.⑴4=〃2-1,勿=2〃(2)证明见解析

【解析】

(1)因为%”=2a“+2""+l(〃wN.),所以.+l=2a“+2"“+2(〃wN*),

所以竽^铝+i，即守-竽=1，又因为卬=1，

所以数列｛铝｝为等差数列，且公差为1,首项为1,

则与9=1+(〃-1)x1=〃，即。“=一2"-1.

设｛。“｝的公差为d,则包一b,i=2勿_1-2〃+4-b„_｝=-2〃+4=",

所以％T=2〃―4+d(〃=2,3,…)，则2=2(”+1)_4+4(neN,)»

所以4=2一4T=[2(〃