2023-2024学年大庆市高二数学下学期4月份考试卷附答案解析

-2024学年大庆市高二数学下学期4月份考试卷考试时间：120分钟；满分：150分2024.4第Ⅰ卷（选择题）一、单选题1．在等比数列中，，，则公比（

）A． B． C． D．2．在等差数列中，，则（

）A．9 B．11 C．13 D．153．下列求导运算结果正确的是（

）A． B．C． D．4．在等比数列中，，公比，则与的等比中项是（

）A．2 B．4 C．2 D．45．曲线在点处的切线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C．2 D．36．已知数列满足，，则数列前2023项的积为（

）A．2 B．3 C． D．7．等差数列共2n+1个项，且奇数项和为165，偶数项和为150，则n=（

）A．10 B．13 C．11 D．228．已知数列满足，且，数列满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知数列是公差为d的等差数列，是其前n项的和，若，，则（

）A． B． C． D．10．已知等比数列的各项均为正数，，，数列的前n项积为，则（）A．数列单调递增 B．数列单调递减C．的最大值为 D．的最小值为11．在边长为3的正方形中，作它的内接正方形，且使得，再作正方形的内接正方形，使得，依次进行下去，就形成了如图所示的图案．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，……），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，……，则（

）．A． B．C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和的取值范围为第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题12．设数列为等比数列，其公比为，已知，，则.13．已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则.14．等差数列中，已知，且在前项和中，仅当时，最大，则公差的取值范围为．四、解答题15．已知为等差数列，公差，且、、成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，证明：．16．已知数列满足.(1)设，证明：是等比数列；(2)求数列的前项和.17．已知数列的前项和满足．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．18．已知抛物线()上点处的切线方程为.（1）求抛物线的方程；（2）设和为抛物线上的两个动点，其中，且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值.19．若有穷数列（是正整数），满足，，…，即（是正整数，且），就称该数列为“对称数列”．(1)已知数列是项数为8的对称数列，且，，，成等差数列，，，试写出的每一项．(2)已知是项数为（其中，且）的对称数列，且构成首项为，公差为的等差数列，数列的前项和为，则当为何值时，取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数，试写出所有项数为的对称数列，使得成为数列中的连续项；当时，并分别求出所有对称数列的前项和．1．A【分析】利用等比数列性质求解即可.【详解】由题知，解得.故选：A2．C【分析】根据等差数列的通项公式进行求解即可.【详解】由题意知，解得，所以，所以.故选：C.3．B【分析】根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得.【详解】A：，故A错误；B：，故B正确；C：，故C错误；D：，故D错误；故选：B.4．D【分析】先通过等比数列的通项公式计算，进而可得其等比中项.【详解】解：因为，所以与的等比中项是，故选：D.5．C【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义，列式求解，即可求得答案.【详解】由，得，由于曲线在点处的切线的倾斜角为，故，故选：C6．A【分析】先找到数列的周期，然后求得数列前2023项的积.【详解】由，，得，所以数列是以为周期的周期数列，且，故数列前2023项的积为.故选：A.7．A【分析】结合等差数列前项和公式求得正确答案.【详解】等差数列共2n+1个项，其中奇数项有个，偶数项有个，设等差数列的公差为，奇数项和①，偶数项和②，①-②得，则.故选：A8．B【分析】由等差数列定义求出，由累加法求出，由对勾函数单调性结合即可求解.【详解】由题意数列满足，且，所以数列是等差数列，且，所以，当时，，又，所以，所以，而，所以当或时，取最小值，当时，，当时，，综上所述，的最小值为5.故选：B.9．ACD【分析】由题意可得，从而可求出，即可判断A；再结合等差数列的性质及前项和公式即可判断BCD.【详解】因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故A正确；，故B错误；，故C正确；因为，所以当时，，当时，，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：在等差数列中，求的最小（大）值的方法：（1）利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和最小（大）；（2）借助二次函数的图象及性质求解.10．BC【分析】由已知结合等比数列的通项公式先求出公比q，进而可求通项公式，然后结合选项即可判断．【详解】等比数列{an|的各项均为正数，，，所以，即，又q＞0，解得q或q＝-1（舍），所以数列为单调递减数列，A错误，B正确；则，易得：，，所以的最大值为，C正确，D错误．故选：BC．11．AC【分析】利用正方形的特征结合的三角函数值可判定A、B选项，利用相似三角形的相似比可判定C选项，同时结合等比数列的求和公式可判定D选项.【详解】由题意可知，，而，则，所以，故A正确；由上可知，所以，故B错误；易知，此后对应三角形均相似，而相似比，即是首项为3，公比为的等比数列，所以C正确；同样的是首项为，公比为的等比数列，则，显然单调递减，即，所以的取值范围为，故D错误.故选：AC.关键点点睛：判断D选项的关键是得出等比数列的首项和公比，由此即可顺利得解.12．【分析】根据题设两个等式左右分别相除，易求得公比，再将其代入任一等式即可求得【详解】因，可得：，又由，解得：故答案为：.13．【分析】根据等差数列的前n项和公式的特征可设，，，即可表示出，即可求得答案.【详解】两个等差数列和的前项和分别为和，故设，，则，，所以故答案为：.14．【分析】首先写成等差数列前项和的函数解析式，再利用二次函数的对称轴的范围，即可求解.【详解】为等差数列，且，则前项和，是关于的二次函数，且，因为仅当时，最大，所以对称轴在区间，即，解得：，则公差的取值范围是.故答案为：15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的通项公式及等比中项的性质求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和即可得证.【详解】（1）依题意，，又、、成等比数列，所以，即，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）给式子两边同时加，化简证明即可；（2）分为两组，一组等差数列，一组等比数列，利用等差等比数列的前项公式求解即可.【详解】（1）因为，所以，所以，所以，所以，又，则，所以是以为首项，为公比的等比数列.（2）由（1）可知，，由于，所以，所以.17．(1)(2)【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解；（2）先求数列的通项公式，然后利用错位相减求和即可求解．【详解】（1）当时，，当时，由，得，则，因为，所以；（2）由（1）可知，，则，则，则，所以．18．（1）；（2）.【解析】（1）先根据导数几何意义得,再根据切点在切线上,解方程组得；（2）设线段中点，根据斜率公式得，根据点斜式得线段的垂直平分线方程,解得坐标,利用点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底长,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值【详解】（1）设点，由得，求导得，∵抛物线上点处的切线斜率为，切线方程为，∴，且，解得，∴抛物线的方程为；（2）设线段中点，则，，，∴直线的方程为，即，∴过定点，即点的坐标为，联立，得，，设到的距离，∴，当且仅当，即时取等号，∴的最大值为.【点睛】关键点睛：⑴由抛物线方程的特征设点，减少参数；

⑵求面积最值使用均值不等式.19．(1)，，，，，，，(2)当时取得最大值，且(3)答案见解析【分析】（1）设前项的公差为，由求出公差，从而得到，，再根据对称性得到其余项；（2）首先利用等差数列求和公式求出，则，再由二次函数的性质计算可得；（3）依题意列出满足该条件的对称数列，再分、两种情况利用等比数列求和公式及分组求和法计算可得.【详解】（1）因为，，，成等差数列，，，设前项的公差为，所以，所以，，又数列是项数为的对称数列，所以，，，，所以的项依次为，，，，，，，.（2