2023-2024学年东莞中学高二数学4月模拟联测试卷附答案解析

-2024学年东莞中学高二数学4月模拟联测试卷试卷满分150分，考试用时120分钟2024.4注意事项：1.考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线在点处的切线的斜率为（

）A． B． C． D．12．如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（

）A．5条 B．6条 C．7条 D．8条3．若，则（

）A． B．4 C．2 D．4．如图所示的是的导函数的图象，下列四个结论：①在区间上是增函数；②是的极小值点；③的零点为和；④是的极大值点．其中正确结论的序号是（）

A．①② B．②③ C．③④ D．①③④5．若的展开式中含项的系数为10，则的值是（

）A．3 B．4 C．5 D．66．函数在上的图象大致为（）A．B．C．D．7．某高中安排4名同学（不同姓）到甲、乙、丙3个小区参加垃圾分类宣传活动，若每名同学只去一个小区，每个小区至少安排1名同学，其中张同学不去乙小区，则不同的分配方案种数为（

）A．36 B．24 C．48 D．128．已知函数，若对任意都有，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．若m，n为正整数且，则（

）A． B．C． D．10．已知函数，则（

）A．的值域为R B．有两个极值点C．有两个零点 D．方程有三个根11．已知函数，且关于的方程有3个不等实数根，则下列说法正确的是（

）A．函数的最大值是 B．在上单调递减C．的取值范围是 D．的取值范围是三、填空题：共3小题，每小题5分，共15分，请将答案填写在答题卡相应的位置上.12．在的展开式中,的系数为.用数字作答）13．2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为．（用数字作答）14．已知函数在时有极值0，则．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数，且.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间.16．已知，展开式中二项式系数的最大值为.(1)求的值；(2)求的值（结果可以保留指数形式）.17．从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，排成一个无重复数字的五位数.求：(1)共有多少个五位数？(2)其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？(3)其中两个偶数不相邻的有多少个？18．设函数，．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数的图象总在直线的下方，求实数的取值范围．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若方程有两个不相等的根，且的导函数为，证明：．1．D【分析】求出导函数，令求出即为切线的斜率.【详解】令，得，得故选：D2．D【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类，上线路中有条，下线路中有条.根据分类计数原理，不同的线路可以有条.故选：D3．B【分析】根据导数的定义，分母是自变量的改变量即，所以把所求的式子分母变为即可求解.【详解】故选：B4．A【分析】利用导函数的图象，对①②③④四个选项逐一分析可得答案．【详解】由导函数的图象可知，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，故①正确，②正确；又和是的零点（是极值点），不是的零点，且不是的极大值点，故③④均错误；故选：A5．B【分析】根据二项式定理展开式的通项进行计算即可.【详解】的展开式中含项的系数为，解得或（舍），故选：B.6．A【分析】根据函数的性质，判断函数图象的形状.【详解】因为，所以，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除答案CD，又，，设，，则，.所以在上为增函数，又，所以在上恒成立，即在上单调递增，故排除B.故选：A7．B【分析】分张同学单独一组和与其他人一组，先排张同学，再分组分配即可.【详解】张同学单独一组，由于张同学不去乙小区，所以先排张同学共有种，再将其余三人分成两组共有，再分配到另外两个小区共有，此种情况共有种；张同学与其他同学在一组，先排张同学共有种，其余三人三组全排列共有，此种共有12种，所以共有24种.故选：B8．A【分析】根据题意，得到，设，转化为为单调递增函数，再由，利用导数和分段函数的性质，即可求解.【详解】由不等式，可得，设，因为对任意都有，则为单调递增函数，又因为，可得，当时，，可得，因为时，为单调递增函数，则满足，解得，又由为递减函数，则，可得，且满足，即，解得或，综上可得，实数的取值范围为.故选：A.9．A【分析】根据组合数和排列数的计算公式和性质，对每个选项逐一计算即可判断.【详解】对A：由组合数性质：可知，A正确；对B：，故B错误；对C：，，左右两边不相等，故C错误；对D：，故D错误.故选：A10．BCD【分析】求出函数导数，判断函数单调性，求得函数极值，即可判断B；判断出函数值的正负情况，作出函数图象，可得函数值域，即可判断A，C；数形结合，利用图象的交点个数可判断方程的根的个数，判断D.【详解】由题意知，，则，由，得或，当或时，，在上均单调递增，当时，，在上单调递减，故和分别为函数的极大值点和极小值点，即有两个极值点，B正确；又为函数的极大值，为函数的极小值，令，即，即或，令，即，即，由此可作出的图象：结合图象可知函数的值域为，A错误；由以上分析可知，只有当或时，，即有两个零点，C正确；作出直线，由于，结合图象可知与的图象有3个交点，故方程有三个根，D正确，故选：BCD【点睛】方法点睛：本题涉及到函数的值域以及函数单调性和零点、方程的根等问题，综合性强，解答时利用导数判断函数的单调性，确定极值，从而作出图象，数形结合，解决函数的零点以及方程的根的问题.11．ABD【分析】对求导，利用导数判断单调性，进而可判断选项A，B；令，将问题转化为和共有三个不同的实数根，结合的图象判断选项C，D.【详解】对于选项A，B，由，当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，则的最大值为，故A，B均正确；对于C，D，当时，趋于0，当时，趋于，故可作的草图如图，令，则，设方程的两根为，若是方程的根，则，方程为仅有1根，不合题意；因为方程有3个不等的根，所以或，当时，，解得，所以，不合题意，当时，有，解得，所以的取值范围为.故C错误，D正确.故选：ABD.12．【分析】根据二项式定理写出通项公式,要求自变量的二次方的系数,只要使得指数等于,得出式子中的系数的表示式,得到结果.【详解】因为的通项公式为:,令,得,所以的系数为.故答案为:.13．48【分析】按照分步计数原理，结合排列组合知识进行求解.【详解】中间区域可从四种农产品中选一种，有种选择，剩余的4个区域只能选择剩余的3种农产品，故会有1种农产品重复，将重复的农产品选出，有种选择，且将重复的农产品放入相对的两个区域内晾晒，有2种选择，剩余的农产品放入剩余的两个区域，有种选择，故有种方案.故答案为：4814．11【分析】求出函数的导数，由题意列出方程组，求得的值，经验证后，即可确定的值，即可求得答案.【详解】由函数，得，由题意得，解得或，当时，，仅当时等号成立，此时在R上单调递增，无极值，不符合题意；当时，，令，则或，令，则，即在上均单调递增，在上单调递减，故在处取得极小值，且，则，即符合题意，故，故答案为：1115．(1)；(2)增区间为，；减区间为.【分析】（1）对函数求导，根据已知求得，再由导数几何意义求切线方程；（2）由（1）有，求单调区间即可.【详解】（1）由题设，则，所以且，则，，所以点处的切线方程为，即.（2）由（1），当，即或，当,即,故在区间，上递增，在区间上单调递减，所以的增区间为，；减区间为.16．(1)；(2)或148160.【分析】（1）根据二项展开式的项数确定展开式中二项式系数最大值为和，列出方程求解即得；（2）将代入二项式，分别对赋值和，再将两式左右分别相减化简即得.【详解】（1）因展开式中共有8项，最中间两项的二项式系数最大，即和，依题知，解得；（2）由（1）可得，当时，①，当时，②，由①-②：，即得：.17．(1)1440(2)288(3)864【分析】（1）先取出奇数和偶数，再排列即可；（2）利用捆绑法求解即可；（3）利用插空法求解即可.【详解】（1）依题意，从1到7这7个数字中取2个偶数、3个奇数，共有（种）情况，共有（个）五位数；（2）把选出的偶数捆绑在一起，把选出的奇数也捆绑在一起，再全排列，故其中偶数排在一起，奇数也排在一起的有（个）；（3）先排3个奇数，2个偶数插空，故其中两个偶数不相邻的共有（个）.18．(1)在上单调递增，在上单调递减(2)【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，即可求解；（2）解法一：由题意知.利用导数分类讨论含参的函数的单调性，求出，建立不等式，解之即可求解；解法二：利用参变分离法可得，构建新函数，求导，利用导数求函数最值，结合恒成立问题分析求解.【详解】（1）当时，，，令，解得或．在上单调递增，在上单调递减．所以函数的单调增区间为，减区间为；（2）方法一：函数的图象总在直线的下方，可知.，当时，，在上单调递增，无最大值，故不成立；当时，令，令，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故为函数的唯一极大值点，所以函数的最大值为，由题意，有，解得，所以实数的取值范围为．方法二：函数的图象总在直线的下方，可知恒成立，即对于恒成立，于是有，令，，则只需求的最小值即可．，在上单调递减，在上单调递增，在处取到极小值，也就是最小值为，所以实数的取值范围为．19．(1)详解见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用导数分类讨论含参的函数的单调性即可；（2）由（1）知，，令，利用导数可得在上单调递增，得，进而，结合基本不等式即可证明.【详解】（1），则，当时，，函数在R上单调递增；当时，令，，所以函数在上