2023-2024学年上海市宝山区上海大学市北附属中学高三下学期第六次检测数学试卷含解析

2023-2024学年上海市宝山区上海大学市北附属中学高三下学期第六次检测数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上单调递减，且是偶函数，若，则的取值范围是（）A．（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（2，+∞）C．（1，2） D．（﹣∞，1）2．设函数，则函数的图像可能为（）A． B． C． D．3．点在所在的平面内，，，，，且，则（）A． B． C． D．4．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为A． B．C． D．5．复数（）．A． B． C． D．6．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（）A． B． C． D．7．已知，且，则在方向上的投影为（）A． B． C． D．8．已知三棱锥中，是等边三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．9．设向量，满足，，，则的取值范围是A． B．C． D．10．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是()A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为－0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值11．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（）A． B．C． D．12．已知为实数集，，，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知复数（为虚数单位），则的共轭复数是_____，_____．14．设，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，直线l过交椭圆C于A，B两点，交y轴于E点，若满足，且，则椭圆C的离心率为______.15．图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中，则的值是______.16．如图，在中，，，，点在边上，且，将射线绕着逆时针方向旋转，并在所得射线上取一点，使得，连接，则的面积为__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在中，，，点在线段上.（1）若，求的长；（2）若，，求的面积.18．（12分）在直角坐标系中，是过定点且倾斜角为的直线；在极坐标系（以坐标原点为极点，以轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的参数方程，并将曲线的方程化为直角坐标方程；（2）若曲线与直线相交于不同的两点，求的取值范围.19．（12分）的内角所对的边分别是，且，.（1）求；（2）若边上的中线，求的面积.20．（12分）已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.21．（12分）如图，已知抛物线：与圆：（）相交于，，，四个点，（1）求的取值范围；（2）设四边形的面积为，当最大时，求直线与直线的交点的坐标.22．（10分）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点．（1）证明：平面；（2）设是线段上的动点，当点到平面距离最大时，求三棱锥的体积．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据题意分析的图像关于直线对称，即可得到的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到的取值范围。【详解】根据题意，函数满足是偶函数，则函数的图像关于直线对称，若函数在上单调递减，则在上递增，所以要使，则有，变形可得，解可得：或，即的取值范围为；故选：B．【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。2、B【解析】

根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.【详解】定义域为：，函数为偶函数，排除，排除故选【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.3、D【解析】

确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.【详解】由可知，点为外心，则，，又，所以①因为，②联立方程①②可得，，，因为，所以，即．故选：【点睛】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.4、D【解析】

设胡夫金字塔的底面边长为，由题可得，所以，该金字塔的侧棱长为，所以需要灯带的总长度约为，故选D．5、A【解析】试题分析：，故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6、D【解析】

利用余弦定理角化边整理可得结果.【详解】由余弦定理得：，整理可得：，.故选：.【点睛】本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.7、C【解析】

由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．【详解】由可得，因为，所以．故在方向上的投影为．故选：C．【点睛】本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．8、D【解析】

根据底面为等边三角形，取中点，可证明平面，从而，即可证明三棱锥为正三棱锥.取底面等边的重心为，可求得到平面的距离，画出几何关系，设球心为，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积.【详解】设为中点，是等边三角形，所以，又因为，且，所以平面，则，由三线合一性质可知所以三棱锥为正三棱锥，设底面等边的重心为，可得，，所以三棱锥的外接球球心在面下方，设为，如下图所示：由球的性质可知，平面，且在同一直线上，设球的半径为，在中，，即，解得，所以三棱锥的外接球表面积为，故选：D.【点睛】本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.9、B【解析】

由模长公式求解即可.【详解】，当时取等号，所以本题答案为B.【点睛】本题考查向量的数量积，考查模长公式，准确计算是关键，是基础题.10、B【解析】

根据散点图呈现的特点可以看出，二者具有相关关系，且斜率小于1.【详解】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集，故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系，且直线斜率小于1，故选B.【点睛】本题主要考查散点图的理解，侧重考查读图识图能力和逻辑推理的核心素养.11、B【解析】

列出循环的每一步，进而可求得输出的值.【详解】根据程序框图，执行循环前：，，，执行第一次循环时：，，所以：不成立．继续进行循环，…，当，时，成立，，由于不成立，执行下一次循环，，，成立，，成立，输出的的值为.故选：B．【点睛】本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【详解】为实数集，，，或，．故选：．【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

直接利用复数的乘法运算化简，从而得到复数的共轭复数和的模．【详解】，则复数的共轭复数为，且.故答案为：；.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．14、【解析】

采用数形结合，计算以及，然后根据椭圆的定义可得，并使用余弦定理以及，可得结果.【详解】如图由，所以由，所以又，则所以所以化简可得：则故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及余弦定理的使用，关键在于根据角度求出线段的长度，考查分析能力以及计算能力，属中档题.15、【解析】

先求出向量和夹角的余弦值，再由公式即得.【详解】如图，过点作的平行线交于点，那么向量和夹角为，，，，，且是直角三角形，，同理得，，.故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量和的夹角.16、【解析】

由余弦定理求得，再结合正弦定理得，进而得，得，则面积可求【详解】由，得，解得.因为，所以，，所以.又因为，所以.因为，所以.故答案为【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

（1）先根据平方关系求出,再根据正弦定理即可求出；（2）分别在和中，根据正弦定理列出两个等式，两式相除，利用题目条件即可求出，再根据余弦定理求出，即可根据求出的面积．【详解】（1）由，得，所以.由正弦定理得，，即，得.（2）由正弦定理，在中，，①在中，，②又，，，由得，由余弦定理得，即，解得，所以的面积.【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．18、（1）（为参数），；（2）【解析】分析：（1）直线的参数方程为（为参数），其中表示之间的距离，而极坐标方程可化为，从而的直角方程为.（2）设，则，利用在圆上得到满足的方程，最后利用韦达定理就可求出两条线段的和.详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.曲线的极坐标方程可化为.把，代入曲线的极坐标方程可得，即.（2）把直线的参数方程为（为参数）代入圆的方程可得：.∵曲线与直线相交于不同的两点，∴，∴，又，∴.又，.∴，∵，∴，∴.∴的取值范围是.点睛：（1）直线的参数方程有多种形式，其中一种为（为直线的倾斜角，是参数），这样的参数方程中的参数有明确的几何意义，它表示之间的距离.（2）直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.19、（1），（2）【解析】

（1）先由正弦定理，得到，进而可得，再由，即可得出结果；（2）先由余弦定理得，，再根据题中数据，可得，从而可求出，得到，进而可求出结果.【详解】（1）由正弦定理得，所以，因为，所以，即，所以，又因为，所以，.（2）在和中，由余弦定理得，.因为，，，，又因为，即，所以，所以，又因为，所以.所以的面积.【点睛】本题主要考查解三角形，灵活运用正弦定理和余弦定理即可，属于常考题型.20、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．【详解】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）因为所以，由得，又因为，故，所以，所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．21、（1）（2）点的坐标为【解析】

将抛物线方程与圆方程联立,消去得到关于的一元二次方程,抛物线与圆有四个交点需满足关于的一元二次方程在上有两个不等的实数根,根据二次函数的有关性质即可得到关于的不等式组,解不等式即可.不妨设抛物线与圆的四个交点坐标为，，，，据此可表示出直线、的方程,联立方程即可表示出点坐标,再根据等腰梯形的面积公式可得四边形的面积的表达式,令,由及知,对关于的面积函数进行求导，判断其单调性和最值,即可求出四边形的面积取得最大值时的值,进而求出点坐标.【详解】（1）联立抛物线与圆的方程消去，得.由题意可知在上有两个不等的实数根.所以解得，所以的取值范围为.（2）根据（1）可设方程的两个根分别为，（），则，，，，且，，所以直线、的方程分别为，,联立方程可得,点的坐标为，因为四边形为等腰梯形,所以，令，则，所以，因为,所以当时,；当时,，所以函数在上单调递增，在上单调递减，即当时，四边形的面积取得最大值，因为,点的坐标为,所以当四边形的面积取得最大值时,点的坐标为.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试题.22、（1）见解析（2）【解析】

（1）连接与交于，连接，证明即可得证线面平行；（2）首先证明平面(只要取中点，可证平面，从而得，同理得),因此点到直线的距离