山东省乐陵一中2024届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

山东省乐陵一中2024届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则下列关系式正确的个数是（）①②③④A．1 B．2 C．3 D．42．已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（）A．若，，则或B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则3．已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．4．在等差数列中，若为前项和，，则的值是（）A．156 B．124 C．136 D．1805．某工厂只生产口罩、抽纸和棉签，如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图（例如：年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、），根据该图，以下结论一定正确的是（）A．年该工厂的棉签产量最少B．这三年中每年抽纸的产量相差不明显C．三年累计下来产量最多的是口罩D．口罩的产量逐年增加6．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．7．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A． B． C． D．8．函数（）的图像可以是（）A． B．C． D．9．等差数列中，，，则数列前6项和为（）A．18 B．24 C．36 D．7210．“”是“函数的图象关于直线对称”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（）A． B． C． D．12．已知，且，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．曲线在点处的切线方程为______.14．设为数列的前项和，若，，且，，则________．15．若幂函数的图象经过点，则其单调递减区间为_______．16．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北、两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设都是正数，且，．求证：．18．（12分）已知数列满足：对一切成立.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.19．（12分）已知正数x，y，z满足xyzt（t为常数），且的最小值为，求实数t的值.20．（12分）若数列满足：对于任意，均为数列中的项，则称数列为“数列”．（1）若数列的前项和，，试判断数列是否为“数列”？说明理由；（2）若公差为的等差数列为“数列”，求的取值范围；（3）若数列为“数列”，，且对于任意，均有，求数列的通项公式．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.（1）求直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（2）直线l与圆C交于A，B两点，点P(2,1)，求|PA|⋅|PB|的值.22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若射线的极坐标方程为（）.设与相交于点，与相交于点，求.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

a，b可看成是与和交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令，，作出图象如图，由，的图象可知，，，②正确；，，有，①正确；，，有，③正确；，，有，④正确.故选：D.【点睛】本题考查利用函数图象比较大小，考查学生数形结合的思想，是一道中档题.2、D【解析】

根据线面平行和面面平行的性质，可判定A；由线面平行的判定定理，可判断B；C中可判断，所成的二面角为；D中有可能，即得解.【详解】选项A：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或，故A正确；选项B：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B正确；选项C：若，，，故，所成的二面角为，则，故C正确；选项D，若，，有可能，故D不正确.故选：D【点睛】本题考查了空间中的平行垂直关系判断，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题.3、A【解析】

函数的零点就是方程的解，设，方程可化为，即或，求出的导数，利用导数得出函数的单调性和最值，由此可根据方程解的个数得出的范围．【详解】由题意得有四个大于的不等实根，记，则上述方程转化为，即，所以或．因为，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值，最小值为．因为，所以有两个符合条件的实数解，故在区间上恰有四个不相等的零点，需且．故选：A．【点睛】本题考查复合函数的零点．考查转化与化归思想，函数零点转化为方程的解，方程的解再转化为研究函数的性质，本题考查了学生分析问题解决问题的能力．4、A【解析】

因为，可得，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】，，.故选：A.【点睛】本题主要考查了求等差数列前项和，解题关键是掌握等差中项定义和等差数列前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5、C【解析】

根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误，根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知，所以，从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较，故A、B、D选项错误；由堆积图可知，从年至年，该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的，则三年累计下来产量最多的是口罩，C选项正确.故选：C.【点睛】本题考查堆积图的应用，考查数据处理能力，属于基础题.6、C【解析】

根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.此时椭圆长轴长为，短轴长为6，所以椭圆离心率，所以.故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.7、C【解析】

利用诱导公式以及二倍角公式，将化简为关于的形式，结合终边所在的直线可知的值，从而可求的值.【详解】因为，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解值的两种方法：（1）分别求解出的值，再求出结果；（2）将变形为，利用的值求出结果.8、B【解析】

根据，可排除，然后采用导数，判断原函数的单调性，可得结果.【详解】由题可知：，所以当时，，又，令，则令，则所以函数在单调递减在单调递增，故选：B【点睛】本题考查函数的图像，可从以下指标进行观察：（1）定义域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）单调性；（5）值域，属基础题.9、C【解析】

由等差数列的性质可得，根据等差数列的前项和公式可得结果.【详解】∵等差数列中，，∴，即，∴，故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前项和公式的应用，属于基础题.10、A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件，得到，分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称，则，解得，故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件．故选：A【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能力，属于基础题.11、C【解析】由三视图可知，该几何体是下部是半径为2，高为1的圆柱的一半，上部为底面半径为2，高为2的圆锥的一半，所以，半圆柱的体积为，上部半圆锥的体积为，所以该几何体的体积为，故应选．12、A【解析】

由及得到、，进一步得到，再利用两角差的正切公式计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，，所以.故选：A.【点睛】本题考查三角函数诱导公式、二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对函数求导，得出在处的一阶导数值，即得出所求切线的斜率，再运用直线的点斜式求出切线的方程.【详解】令，，所以，又，所求切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查运用函数的导函数求函数在切点处的切线方程，关键在于求出在切点处的导函数值就是切线的斜率，属于基础题.14、【解析】

由题可得，解得，所以，，上述两式相减可得，即，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．15、【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式，再求出的单调递减区间．【详解】解：幂函数的图象经过点，则，解得；所以，其中；所以的单调递减区间为．故答案为：．【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．16、24【解析】

先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.【详解】解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有，若甲乙两名护士到同一地的种数有，则甲乙两名护士不到同一地的种数有.故答案为：.【点睛】本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、证明见解析【解析】

利用比较法进行证明：把代数式展开、作差、化简可得,,可证得成立,同理可证明,由此不等式得证.【详解】证明:因为,，所以，∴成立，又都是正数，∴，①同理，∴．【点睛】本题考查利用比较法证明不等式;考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力;把差变形为因式乘积的形式是证明本题的关键;属于中档题。18、（1）；（2）【解析】

（1）先通过求得，再由得，和条件中的式子作差可得答案；（2）变形可得，通过裂项求和法可得答案.【详解】（1）①，当时，，，当时，②，①②得：，，适合，故；（2），.【点睛】本题考查法求数列的通项公式，考查裂项求和，是基础题.19、t＝1【解析】

把变形为结合基本不等式进行求解.【详解】因为即，当且仅当，，时，上述等号成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用基本不等式求解最值时要注意转化为适用形式，同时要关注不等号是否成立，侧重考查数学运算的核心素养.20、（1）不是，见解析（2）（3）【解析】

（1）利用递推关系求出数列的通项公式，进一步验证时，是否为数列中的项，即可得答案；（2）由题意得，再对公差进行分类讨论，即可得答案；（3）由题意得数列为等差数列，设数列的公差为，再根据不等式得到公差的值，即可得答案；【详解】（1）当时，又，所以．所以当时，，而，所以时，不是数列中的项，故数列不是为“数列”（2）因为数列是公差为的等差数列，所以．因为数列为“数列”所以任意，存在，使得，即有．①若，则只需，使得，从而得是数列中的项．②若，则．此时，当时，不为正整数，所以不符合题意．综上，．（3）由题意，所以，又因为，且数列为“数列”，所以，即，所以数列为等差数列．设数列的公差为，则有，由，得，整理得，①．②若，取正整数，则当时，，与①式对应任意恒成立相矛盾，因此．同样根据②式可得，所以．又，所以．经检验当时，①②两式对应任意恒成立，所以数列的通项公式为．【点睛】本题考查数列新定义题、等差数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，难度较大.21、（1）直线的普通方程，圆的直角坐标方程：.（2）【解析】

（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，利用一元二次方程根和系数关系式即可求解.【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），转换为直角坐标方程为x+y﹣3＝0.圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝3，转换为直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣3＝0.（2）把直线l的参数方程为（t为参数），代入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x﹣3＝0，得到，所以|PA||PB|＝|t1t2|＝6.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.22