2023-2024学年广东省阳江市高二（上）月考数学试卷（一）

2023-2024学年广东省阳江市高二（上）月考数学试卷（一）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）直线y＝x+1的倾斜角为（）A．135° B．30° C．60° D．45°2．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若，则有序实数组（x，y，z）为（）A．（1，1，1） B．（1，﹣1，﹣1） C．（1，1，﹣1） D．（﹣1，1，﹣1）3．（5分）已知为两两垂直的单位向量，则＝（）A．1 B． C． D．24．（5分）过点（2，﹣1）且方向向量为（1，2）的直线方程为（）A．y＝2x+5 B．y＝﹣2x﹣5 C．y＝2x﹣5 D．y＝﹣2x+55．（5分）已知平面α＝{P|•＝0}，其中点P0（1，2，3），法向量＝（1，1，1），则下列各点中不在平面α内的是（）A．（3，2，1） B．（﹣2，5，4） C．（﹣3，4，5） D．（2，﹣4，8）6．（5分）已知点A（﹣3，4），B（5，10），直线l过点O（0，0）且与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围是（）A． B． C．[2，+∞） D．7．（5分）如图所示，已知等腰直角三角形ADE与正方形ABCD所在的平面互相垂直，且AD＝AE＝2，F是线段CD的中点，则BD与EF所成的角的余弦值为（）A． B． C． D．8．（5分）如图，已知A（5，0），B（0，5），从点P（1，0）射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程长为（）A．2 B．2 C．2 D．4二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．（5分）已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2（多选）10．（5分）下列关于空间向量的命题中，正确的是（）A．若非零向量满足，则 B．任意向量满足 C．若为空间一基底，且，则A，B，C，D四点共面 D．已知向量，若，则为钝角（多选）11．（5分）下列说法正确的是（）A．直线x﹣y﹣3＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是 B．若三条直线x+y＝0，x﹣y＝0，x+ay＝3﹣a不能构成三角形，则实数a的取值集合为{﹣1，1} C．经过点（1，2）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣3＝0或x﹣y+1＝0 D．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1）（多选）12．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），若D1M⊥MN，下列说法正确的是（）A．A1M⊥MN B．的最大值为0 C．△BNC面积的最大值为 D．三棱锥C1﹣A1D1M的体积不变三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0，l2：x﹣ay+1＝0，a∈R若l1⊥l2，则a的值为．14．（5分）已知，，则在上的投影向量为（用坐标表示）．15．（5分）经过点P（﹣2，1）且与原点的距离为2的直线方程为．16．（5分）已知在一个二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AB＝5，AC＝3，BD＝4，CD＝5，则这个二面角的度数为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，（1）求；（2）求向量与夹角．18．（12分）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与直线2x+y+2＝0的交点P．（1）若直线l垂直于直线x﹣2y﹣1＝0，求直线l的方程；（2）若直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，求直线l的方程．19．（12分）已知直线l：（2a﹣1）x+（a+1）y+a﹣5＝0．（1）若直线l与直线l′：x+2y﹣1＝0平行，求a的值并求这两条直线间的距离；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，E为PD上的中点．（1）求证：PB∥平面AEC；（2）设PA＝AB＝1，求平面AEC与平面AED夹角的余弦值．21．（12分）已知△ABC的顶点A的坐标为（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．（Ⅰ）求顶点C的坐标；（Ⅱ）求直线AB的方程．22．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝SA＝3，点E在棱BC上．（1）若E为BC的中点，求直线SE与平面SCD所成角的正弦值；（2）是否存在一点E，使得点A到平面SDE的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角．【解答】解：直线y＝x+1的斜率为1，直线的倾斜角为α，∴tanα＝1，∴α＝45°．故选：D．【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，基本知识的考查．2．【分析】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理得到＝﹣﹣，再对比即可求解．【解答】解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，∴＝++＝﹣﹣，∵，∴x＝1，y＝﹣1，z＝﹣1，∴（x，y，z）＝（1，﹣1，﹣1），故选：B．【点评】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理，属于基础题．3．【分析】根据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果．【解答】解：由题意知：，，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积，向量模的运算，属于基础题．4．【分析】由题意先求出直线的斜率，再结合点斜式方程，即可求解．【解答】解：直线的方向向量为（1，2），则直线的斜率为k＝，∵直线过点（2，﹣1），∴直线的方程为y+1＝2（x﹣2），即y＝2x﹣5．故选：C．【点评】本题主要考查方向向量的定义，以及点斜式方程，属于基础题．5．【分析】结合各个选项分别求出，计算的值是否为0，从而得出结论．【解答】解：对于A，＝（2，0，﹣2），＝1×2+1×0+1×（﹣2）＝0，故选项A在平面α内；对于B，＝（﹣3，3，1），＝1×（﹣3）+1×3+1×1＝1≠0，故选项B不在平面α内；对于C，＝（﹣4，2，2），＝1×（﹣4）+1×2+1×2＝0，故选项C在平面α内；对于D，＝（1，﹣6，5），＝1×1+1×（﹣6）+1×5＝0，故选项D在平面α内．故选：B．【点评】本题考查平面的法向量和空间向量等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】根据两点斜率公式，结合图形以及倾斜角与斜率的关系即可求解．【解答】解：直线OB，OA的斜率分别为，结合图形可知：直线l过点O（0，0）且与线段AB相交时，．故选：B．【点评】本题主要考查直线的斜率，属于基础题．7．【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，写出和的坐标利用夹角公式求出余弦值即可．【解答】解：因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE⋂平面ABCD＝AD，AE⊥AD，AE⊂平面ADE，所以AE⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以AE⊥AB，又AB⊥AD，所以AB，AD，AE两两垂直，分别以AB、AD、AE所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F（1，2，0），∴，，设BD与EF所成的角大小为α，则cosα＝|cos＜，＞|＝＝＝，即BD与EF所成的角的余弦值为．故选：D．【点评】本题考查了异面直线的夹角，考查空间向量在立体几何中的应用，是中档题．8．【分析】分别求出点P关于y轴和直线AB的对称点坐标P'，P″，从而可得光线所经过的路程是P'P″．【解答】解：设点P关于y轴的对称点为P'，则P'（﹣1，0），设点P关于直线AB：x+y﹣5＝0的对称点P″（a，b），则，解得a＝5，b＝4，所以P″（5，4），则光线所经过的路程是|P'P″|＝＝．故选：A．【点评】本题考查了直线方程的求解与应用，点关于直线的对称点的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【解答】解：根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．10．【分析】根据向量共线定理判断A；根据数量积的运算律判断B；根据可判断C；根据向量夹角公式求解判断D．【解答】解：对于A，因为，，是非零向量，且满足，故存在实数λ，μ使得，故，所以，故A正确；对于B，因为，不一定共线且向量数量积为实数，故不一定成立，故B错误；对于C，，，是空间的一组基底，故A，B，C三点不共线，，，即，所以A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D，当与共线且反向时，有，即，所以，即，此时x＝﹣3，但不为钝角，故D错误．故选：AC．【点评】本题考查空间向量的线性运算，数量积与夹角，属于中档题．11．【分析】选项A，写出直线l与x，y轴的交点坐标，即可得解；选项B，分两种情况：①三条直线相交于原点，可得a＝3；②直线x+ay＝3﹣a与前两条直线平行，可得a＝﹣1或1；选项C，分直线经过原点和不经过原点，两种情况，进行讨论；选项D，由直线的两点式方程，即可得解．【解答】解：选项A，直线l与x，y轴的交点分别为（3，0），（0，﹣3），所以S＝×3×3＝，即A正确；选项B，分两种情况：①三条直线相交于一点，即原点（0，0），此时3﹣a＝0，所以a＝3；②直线x+ay＝3﹣a与x+y＝0或x﹣y＝0平行，则﹣＝1或﹣1，所以a＝﹣1或1，所以实数a的取值集合为{﹣1，1，3}，即B错误；选项C，当直线经过原点时，其方程为y＝2x；当直线不经过原点时，设其方程为，所以，解得a＝3，此时直线l的方程为x+y﹣3＝0，综上，直线l的方程为y＝2x或x+y﹣3＝0，即C错误；选项D，由直线的两点式知，＝，即（y﹣y1）（x2﹣x1）＝（x﹣x1）（y2﹣y1），即D正确．故选：AD．【点评】本题考查直线的方程，两条直线的平行关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12．【分析】建立空间直角坐标系，设M，N坐标，由空间向量的坐标运算得参数关系，继而判断A，B，C，由等体积法转化后判断D．【解答】解：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝2，AD＝AB＝1，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），D1M⊥MN，如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AM＝m（0＜m＜1），BN＝n（0＜n＜2），则A1（1，0，2），B1（1，1，2），D1（0，0，2），M（1，m，0），N（1，1，n），，，由，得﹣m2+m﹣2n＝0，对于A，由，∴，∴A1M⊥MN，故A正确；对于B，，∵0＜m＜1，∴m2﹣m＜0，即没有最大值，故B错误；对于C，由﹣m2+m﹣2n＝0，得，∴当时，n取得最大值，∴△BNC面积，故C正确；对于D，△A1C1D1面积是定值，M到平面A1C1D1的距离为定值，∴三棱锥M﹣A1C1D1的体积为定值，∵，∴三棱锥C1﹣A1D1M的体积不变，故D正确．故选：ACD．【点评】本题考查长方体结构特征、向量垂直的性质、向量数量积、三棱锥体积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．【分析】根据两直线垂直列方程，解方程即可．【解答】解：若l1⊥l2，则（a﹣1）×1+2×（﹣a）＝0，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查两直线垂直的性质，属于基础题．14．【分析】根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．【解答】解：∵，，∴，，设在上的投影向量为＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查空间向量的应用，考查计算能力，属于基础题．15．【分析】由直线经过点P（﹣2，1），知：当直线的斜率k不存在时，直线方程x＝﹣2，它到原点的距离是2，成立；当直线的斜率k存在时，设直线方程为y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，由直线与原点的距离为2，，解得k＝，由此能得到所求的直线方程．【解答】解：∵直线经过点P（﹣2，1），∴当直线的斜率k不存在时，直线方程x＝﹣2，它到原点的距离是2，成立；当直线的斜率k存在时，设直线方程为y﹣1＝k（x+2），整理，得kx﹣y+2k+1＝0，∵直线与原点的距离为2，∴，解得k＝，∴直线为，整理，得3x﹣4y+10＝0．故所求的直线方程为：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．故答案为：x＝﹣2或3x﹣4y+10＝0．【点评】本题考查直线方程的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的应用．易错点是容易忽视直线的斜率不存在的情况．16．【分析】根据题意作图，由勾股定理容易得到AC⊥AD，进而可得AC⊥β，进一步可得α⊥β，进而得解．【解答】解：如图，连接AD，依题意，，又，所以AC2+AD2＝CD2，则AC⊥AD，又AC⊥AB，AD∩AB＝A，AD⊂β，AB⊂β，所以AC⊥β，又AC⊂α，所以α⊥β，即这个二面角的度数为90°．故答案为：90°．【点评】本题考查二面角的定义，考查线面垂直以及面面垂直的判定，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于基础题．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【分析】（1）利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解x，y的值，从而可得+的坐标，再利用模的运算公式求解即可；（2）由向量的坐标运算可得2+﹣，计算•＝0，即可求得夹角．【解答】解：（1）x，y∈R，向量＝（x，1，1），＝（1，y，1），＝（2，﹣4，2），且，，可得x+y+1＝0，＝＝，解得x＝1，y＝﹣2，则+＝（2，﹣1，2），则|+|＝＝3．（2）因为2+﹣＝（1，4，1），所以•＝2×1+（﹣1）×4+2×1＝0向量与夹角为．【点评】本题考查空间向量的垂直与共线的性质，向量的模的求法，向量的夹角的求法，属于基础题．18．【分析】（1）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点P的坐标，根据直线l与x﹣2y﹣1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为﹣1，可设出直线l的方程，把P代入即可得到直线l的方程；（2）先求出直线l的斜率，再根据点斜式即可求出直线l的方程，【解答】解：（Ⅰ）由，解得，由于点P的坐标是（﹣2，2）．则所求直线l与x﹣2y﹣1＝0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m＝0．把点P的坐标代入得2×（﹣2）+2+m＝0，即m＝2．所求直线l的方程为2x+y+2＝0．（2）直线AB的斜率kAB＝＝﹣，∵直线l与经过两点A（8，﹣6），B（2，2）的直线AB平行，∴kAB＝kl＝﹣，∴直线l的方程为y﹣2＝﹣（x+2），即4x+3y+2＝0．【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的点斜式方程，属于基础题．19．【分析】（1）根据直线平行列出方程求解a，再由平行线之间的距离公式求解；（2）求出截距，再由截距相等求出a即可得解．【解答】解：（1）因为直线l′：x+2y﹣1＝0且l∥l′，所以，解得a＝1．当a＝1时，直线l的方程为x+2y﹣4＝0，直线l与直线l′间的距离为．（2）令x＝0，得，即直线l在y轴上的截距为．令y＝0，得，即直线l在x轴上的截距为．因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，解得a＝5或a＝2．则直线l的方程是3x+2y＝0或x+y﹣1＝0．【点评】本题主要考查平行直线间的距离公式，属于基础题．20．【分析】（1）根据线线平行的定理，即可证明结论；（2）建立以A为原点的空间直角坐标系，利用向量法，即可得出答案．【解答】解：（1）证明：连接BD交AC于点O，连接EO，如图所示：则O为BD的中点，∵E为PD的中点，∴OE∥PB又OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB∥平面AEC；（2）建立以A为原点的空间直角坐标系，如上图所示：则，∴，∴平面ADE的法向量为，设平面AEC的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则y＝﹣1，z＝1，∴平面AEC的法向量为＝（1，﹣1，1），∴，设平面AEC与平面ADE的夹角为θ，则，故平面AEC与平面ADE夹角的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面平行和二面角，考查转化思想，考查逻辑推理能