2023-2024学年福建省永定高二（上）第一次段考数学试卷

2023-2024学年福建省永定高二（上）第一次段考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）下列数列是递增数列的是（）A．{1﹣2n} B． C． D．2．（5分）下列四条直线中，倾斜角最大的是（）A．x﹣y﹣1＝0 B．x+y﹣1＝0 C． D．3．（5分）设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1＞0，且S5＝S8，则下列结论正确的是（）A．d＞0 B．a8＝0 C．S6＞S7 D．Sn的最大值为S6或S74．（5分）若P是圆C：（x﹣2）2+（y+1）2＝2上任一点，则点P到直线y＝kx+1的距离的值不可能等于（）A．2 B．3 C． D．5．（5分）下列说法错误的是（）A．若直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为（1，0），一个法向量为（0，1） B．若直线的一个方向向量为（a，a+1），则该直线的斜率 C．若直线的一个法向量为，则能作为该直线的一个方向向量 D．任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的6．（5分）已知数列{an}中，a1＝25，4an+1＝4an﹣7（n∈N*），若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（）A．15 B．750 C． D．7．（5分）已知点P是直线l：2x+y﹣6＝0上的动点，过点P作圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）的两条切线PM，PN，M，N为切点．若∠MPN的最大值为60°，则r的值为（）A．2 B．1 C．2 D．8．（5分）若三个非零且互不相等的实数x1，x2，x3成等差数列且满足＝，则称x1，x2，x3成一个“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（）A．25 B．50 C．51 D．100二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分（多选）9．（5分）下列说法正确的是（）A．点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3） B．过（x1，y1），（x2，y2）两点的直线方程为 C．经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0 D．直线x﹣y﹣4＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是8（多选）10．（5分）已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列{an2}是等比数列 B．若a3＝2，a7＝32，则a5＝±8 C．若数列{an}的前n项和Sn＝3n﹣1+r，则r＝﹣1 D．若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列（多选）11．（5分）下列结论正确的是（）A．过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为2x+y﹣3＝0 B．圆与圆有且仅有一条公切线，则a＝36 C．已知直线l过点P（1，﹣1）且和以M（﹣3，1），N（3，2）为端点的线段相交，则直线l的斜率k的取值范围为 D．若圆M：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）上恰有两点到点N（1，0）的距离为1，则r的取值范围是（4，6）（多选）12．（5分）已知O为坐标原点，圆M：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，则下列结论正确的是（）A．圆M与圆x2+y2＝4内切 B．直线xcosα+ysinα＝0与圆M相离 C．圆M上到直线的距离等于1的点最多两个 D．过直线上任一点P作圆M的切线，切点为A，B，则四边形PAMB面积的最小值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知在△ABC中，其中B（1，4），C（6，3），∠BAC的平分线所在的直线方程为x﹣y+1＝0，则A点坐标为．14．（5分）若a，b∈R，满足a，b，a+b是等差数列，且a，b，ab是等比数列，则a＝．15．（5分）已知动直线m：λx﹣y+λ＝0和n：x+λy﹣3﹣2λ＝0，P是两直线的交点，A，B是两直线m和n分别过的定点，则|PA|⋅|PB|的最大值为.16．（5分）已知，，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当|PM|+|PN|取到最小值时，点P坐标为．四、解答题：共70分。第17题10分，第18题至第22题均12分/题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）在平行四边形ABCD中，A（﹣1，2），B（1，3），C（3，﹣1），点E是线段BC的中点．（1）求直线CD的方程；（2）求过点A且与直线DE垂直的直线．18．（12分）数列{an}中，a1＝2，an+1＝an+n+1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，证明Tn＜2．19．（12分）为了保障幼儿园儿童的人身安全，国家计划在甲、乙两省试行政府规范购置校车方案，计划若干时间内（以月为单位）在两省共新购1000辆校车．其中甲省采取的新购方案是：本月新购校车10辆，以后每月的新购量比上一月增加50%；乙省采取的新购方案是：本月新购校车40辆，计划以后每月比上一月多新购m辆．（1）求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（2）若两省计划在3个月内完成新购目标，求m的最小值．20．（12分）已知圆C经过A（2，0）、B（0，4）两点，且圆心在直线2x﹣y﹣3＝0上．（1）求圆C的标准方程；（2）过点T（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P、Q两点，且，求直线l的方程．21．（12分）已知等差数列{an}，的前n项和为Sn，且a2＝2，S5＝15，数列{bn}满足b1＝，bn+1＝bn．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）记Tn为数列{bn}的前n项和，f（n）＝，试问f（n）是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由．22．（12分）已知点，点P为曲线Γ上任意一点且满足|PA|＝2|PB|．（1）求曲线Γ的方程；（2）设曲线Γ与y轴交于M、N两点，点R是曲线Γ上异于M、N的任意一点，直线MR、NR分别交直线l：y＝3于点F、G．试问在y轴上是否存在一个定点S，使得，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

2023-2024学年福建省永定一中高二（上）第一次段考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．【分析】根据题意，依次分析选项中数列的单调性，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，数列{1﹣2n}，有a1＝﹣1，a2＝﹣3，有a1＞a2，不是递增数列，对于B，数列{}，有a1＝3，a2＝，有a1＞a2，不是递增数列，对于C，数列{5•（）n﹣1}，有an+1﹣an＝5•（）n﹣5•（）n﹣1＝5•（）n﹣1×（﹣1）＝5×＞0，数列是递增数列；对于D，数列{}，有a1＝，a2＝＝，有a1＞a2，不是递增数列，故选：C．【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的通项公式，属于基础题．2．【分析】根据题意，依次求出选项中直线的倾斜角，比较即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，x﹣y﹣1＝0，其斜率k＝1，倾斜角为45°，对于B，x+y﹣1＝0，其斜率k＝﹣1，倾斜角为135°，对于C，x﹣y﹣1＝0，其斜率k＝，倾斜角为60°，对于D，x+y﹣1＝0，其斜率k＝﹣，倾斜角为120°，则B选项中直线的倾斜角最大；故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角，涉及直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．3．【分析】AB选项，先根据题目条件得到a7＝0，从而，a8＝d＜0，AB错误；C选项，由S7＝S6+a7＝S6得到C错误；D选项，得到当1≤n≤6时，an＞0，a7＝0，当n＞7时，an＜0，故D正确．【解答】解：AB选项，因为S5＝S8，所以a6+a7+a8＝0，因为数列{an}是以d为公差的等差数列，所以a6+a8＝2a7，故a6+a7+a8＝3a7＝0，解得a7＝0，又a1＞0，所以，a8＝a7+d＝d＜0，AB错误；C选项，S7＝S6+a7＝S6，故C错误；D选项，由于a1＞0，a7＝0，d＜0，故当1≤n≤6时，an＞0，当n＞7时，an＜0，故Sn的最大值为S6或S7，D正确．故选：D．【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式的应用，属于中档题．4．【分析】由题意最远距离为圆心到直线的距离加半径，当圆心与定点的连线与直线垂直时最大，求出最大值，直线与圆有交点时距离最小，由此求出距离的范围．【解答】解：因为直线y＝kx+1恒过定点A（0，1）点，当直线与AC垂直时，点P到直线y＝kx+1距离最大，等于|AC|+r，又因为圆心坐标为：（2，﹣1），半径为，所以距离最大为+＝3，当直线与圆有交点时距离最小为，所以点P到直线y＝kx﹣1距离的范围是：[，]，故选：D．【点评】本题考查了点到直线的距离公式及直线与圆的位置关系应用问题，是基础题．5．【分析】根据题意，由直线方向向量与法向量的定义，对选项逐一判断，即可得到结果．【解答】解：直线垂直于y轴，则该直线的一个方向向量为（1，0），且1×0+0×1＝0，所以一个法向量为（0，1），故A正确；若a＝0，直线的一个方向向量为（0，1），则该直线的斜率不存在，故B错误；直线的一个法向量为，因为x0y0+y0（﹣x0）＝0，所以能作为该直线的一个方向向量，故C正确；任何直线一定存在法向量与方向向量，且两向量是相互垂直的，故D正确．故选：B．【点评】本题考查命题真假的判断，考查直线的方向向量和法向量的定义等基础知识，是基础题．6．【分析】由已知递推式得到数列{an}为等差数列，写出等差数列的前n项和公式，由二次函数最值的求法结合n∈N*求Sn的最大值．【解答】解：由4an+1＝4an﹣7，得：，即．∴数列{an}是以a1＝25为首项，以为公差的等差数列．∴＝．∵n∈N*，∴当n＝15时，．故选：C．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数最值的求法，是中档题．7．【分析】考虑当∠MPN取得最大值时，则∠MPC取得最大值，结合直角三角形的正弦函数定义，可得PC取得最小值，即C到直线l的距离，可得所求半径r．【解答】解：圆C：（x+2）2+y2＝r2（r＞0）的圆心C（﹣2，0），半径为r，结合题意，画出图象，当∠MPN取得最大值时，则∠MPC取得最大值，而sin∠MPC＝＝，当PC取得最小值时，∠MPC取得最大值．故PC的最小值为C到直线2x+y﹣6＝0的距离d，而d＝＝2，故＝＝sin30°＝，解得r＝，故选：D．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要是直线和圆相切，考查方程思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．8．【分析】根据“好集”的定义，可解关于x1，x2，x3的方程组，用x2把另外两个元素表示出来，再根据“集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，通过x1，x2，x3∈M”构造出关于x2的不等式，求出x2中最大的元素．可以求出x2的最大值，从而确定“β等差数列的个数．【解答】解：∵＝，且x1+x3＝2x2，可得：＝，∴（x1﹣x2）（x1+2x2）＝0，∴x1＝x2（舍），或x1＝﹣2x2，∴x3＝4x2，令﹣100≤4x2≤100，得﹣25≤x2≤25，∴“β等差数列”的个数为2×25＝50．故选：B．【点评】这是一道新定义题，关键是理解好题意，将问题转化为方程（组）或不等式问题，则问题迎刃而解．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．【分析】通过对称性判断A；两点式方程的体积判断B；截距式方程判断C，三角形的面积判断D；【解答】解：点（2，0）与（﹣1，3）的中点（，）满足直线y＝x+1，并且两点的斜率为﹣1，所以点（2，0）关于直线y＝x+1的对称点为（﹣1，3），所以A正确；当x1≠x2，y1≠y2时，过（x1，y1），（x2，y2），两点的直线方程为，所以B不正确；经过点（1，1）且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y﹣2＝0或x﹣y＝0，正确；直线x﹣y﹣4＝0，当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积是：＝8，所以D正确；故选：ACD．【点评】本题考查命题的真假的判断，直线方程的求法，直线的位置关系的判断，是基本知识的考查．10．【分析】利用等比数列的性质直接求解．【解答】解：由数列{an}是等比数列，知：对于A，∵数列{an}是等比数列，∴＝＝q2，∴数列{an2}是等比数列，故A正确；对于B，∵a3＝2，a7＝32，则a5＝±8，又a5＝a3•q2，故a5与a3同号，负值舍去，故B错误；对于C，∵数列{an}的前n项和Sn＝3n﹣1+r，∴a1＝S1＝1+r，a2＝S2﹣S1＝（3+r）﹣（1+r）＝2，a3＝S3﹣S2＝（9+r）﹣（3+r）＝6，∴22＝（1+r）×6，解得r＝﹣，故C错误；对于D，若a1＜a2＜a3，则a1（q﹣1）＞0且a1q（q﹣1）＞0，∴q＞0，∴或，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．【分析】运用圆的方程和直线和圆、圆与圆的位置关系，结合直线的方程，可得结论．【解答】解：对于A，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心C（1，0），设P（3，1），可得四点P，A，C，B共圆，圆心为PC的中点（2，），半径为|PC|＝，其方程为（x﹣2）2+（y﹣）2＝，两圆的方程相减可得2x+y﹣3＝0，故A正确；对于B，圆与圆有且仅有一条公切线，可得两圆相内切，而C1（1，0），C2（﹣2，﹣4），半径r1＝1，r2＝，则|C1C2|＝|r1﹣r2|，即5＝|﹣1|，解得a＝36，故B正确；对于C，由P在第四象限，M在第二象限，N在第一象限，可得直线l可于线段MN垂直，即直线l的斜率不存在，故C错误；对于D，由条件可得圆M：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝r2（r＞0）与圆（x﹣1）2+y2＝1相交，则|r﹣1|＜＜r+1，解得4＜r＜6，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查圆的方程和性质，以及直线和圆、圆与圆的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．12．【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断A；根据点到直线的距离公式和三角函数的有界性即可判新B；根据点到直线的距离公式计算即可判断C；根据点到直线的距离公式求出|MP|，利用三角的恒等变换化简计算即可判断D．【解答】解：已知O为坐标原点，圆M：（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1，所以圆M的圆心M（cosθ，sinθ），半径r1＝1，而圆x2+y2＝4的圆心O（0，0），半径r2＝2，所以|OM|＝1＝r2﹣r1，利用圆与圆的位置关系，可得圆M与圆x2+y2＝4内切，A正确；利用点到直线的距离公式，得到圆心到直线的距离，故圆和直线相切或相交，B错误；利用点到直线的距离公式，得到圆心M（cosθ，sinθ）到直线的距离为：，因为，又因为圆M的半径为1，所以圆M上到直线的距离等于1的点最多两个，C正确；过直线上任一点P作圆M的切线，切点为A，B，所以四边形PAMB面积为：，当MP垂直直线时，|MP|有最小值，且，因为，所以|MP|min＝2，则四边形PAMB面积的最小值为，D正确．故选：ACD．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．【分析】求出B关于直线x﹣y+1＝0的对称点B'，可得CB'的直线方程，联立解出即可得出A的坐标．【解答】解：B（1，4）关于直线x﹣y+1＝0的对称点B'（a，b）；⇒，∴B'（3，2），C（6，3），∴CB'的直线方程为x﹣3y+3＝0，则由角平分线以及对称可知B'（a，b）一定在直线AC上，联立，解得，∴A（0，1），故答案为：（0，1）．【点评】本题考查了对称性、直线方程、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【分析】直接根据等差数列和等比数列的性质列式求解即可．【解答】解：∵a，b∈R，满足a，b，a+b是等差数列，且a，b，ab是等比数列，∴2b＝a+a+b且b2＝a•ab，且a≠0，b≠0，∴a＝2，b＝4．故答案为：2．【点评】本题考查了等差与等比数列应用问题，考查计算能力，属于基础题．15．【分析】直接利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：直线m：λx﹣y+λ＝0和n：x+λy﹣3﹣2λ＝0，故直线m恒过点（﹣1，0），直线n恒过定点（3，2）；当PA⊥PB时，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2，故|PA|2+|PB|2＝（3+1）2+（2﹣0）2＝20，根据基本不等式：，当且仅当时等号成立，故答案为：10．【点评】本题考查的知识要点：基本不等式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．16．【分析】P（t，0），则，可看成点P到两定点，的距离和，而A，B两点在x轴的两侧，所以A，B连线与x轴的交点就是所求点P．【解答】解：的圆心为O1（0，2），半径r1＝1，的圆心为O2（3，6），半径r2＝3，设P（t，0），则，，所以|PM|+|PN|＝+＝+，取，，则，当P，A，B三点共线时取等号，此时AB直线：，令y＝0，则，∴．故答案为：．【点评】此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点P到两定点的距离和的最小值，结合图形求解，考查数形结合的思想，属于中档题．四、解答题：共70分。第17题10分，第18题至第22题均12分/题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．【分析】（1）由题意，利用两直线平行的性质，用点斜式求直线CD的方程．（2）由题意，利用中点公式求出E的坐标，再利用两直线垂直的性质，用点斜式求出过点A且与直线DE垂直的直线的方程．【解答】解：（1）∵平行四边形ABCD中，A（﹣1，2），B（1，3），C（3，﹣1），∴CD直线的斜率，即直线AB的斜率，为＝，故直线CD的方程为y+1＝（x﹣3），即x﹣2y﹣5＝0．（2）∵点E是线段BC的中点，∴点E坐标为（2，1），BC的斜率为＝﹣2，故过点A且与直线DE垂直的直线的斜率为，故过点A且与直线DE垂直的直线为y﹣1＝（x﹣2），即x﹣2y＝0．【点评】本题主要考查线段的中点公式、两直线平行、垂直的性质，用点斜式求直线的方程，属于基础题．18．【分析】（1）利用累加法，即可得出答案；（2）由（1）得，利用裂项相消法求和，即可证明结论．【解答】解：（1）∵an+1＝an+n+1，即an+1﹣an＝n+1，∴当n≥2时，a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，⋯，an﹣an﹣1＝n，由累加法得，∴，又当n＝1时，也符合上式，故；（2）证明：由（1）得，则，∴．【点评】本题考查等差、等比的定义和性质，累加法求通项公式，裂项相消求和，属中档题．19．【分析】（1）设an，bn分别为甲省，乙省在第n月新购校车的数量．依题意，{an}是首项为10，公比为1+50%＝的等比数列；{bn}是首项为40，公差为m的等差数列，求出相应数列的和，即可求经过n个月，两省新购校车的总数S（n）；（2）若计划在3个月内完成新购目标，则S（3）≥1000，可得不等式，解不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）设an，bn分别为甲省，乙省在第n月新购校车的数量．依题意，{an}是首项为10，公比为1+50%＝的等比数列；{bn}是首项为40，公差为m的等差数列．{an}的前n项和An＝，{bn}的前n项和Bn＝＝40n+．所以经过n个月，两省新购校车的总数为S（n）＝An+Bn＝+40n+＝20[（）n﹣1]+40n+＝20•（）n+n2+（40﹣）n﹣20．（8分）（2）若计划在3个月内完成新购目标，则S（3）≥1000，所以S（3）＝20（）3+×32+（40﹣）×3﹣20≥1000，解得m≥277.5．又m∈N*，所以m的最小值为278．（13分）【点评】本题考查数列的运用，考查等差数列、等比数列的求和，考查学生的计算能力，确定数列是等差数列、等比数列是关键．20．【分析】（1）求出线段AB的垂直平分线的方程，与直线2x﹣y﹣3＝0的方程，可得出圆心C的坐标，求出圆C的半径，即可得出圆C的标准方程；（2）说明直线l的斜率存在，设直线l的方程，通过向量的数量积，转化求解圆心到直线l的距离，求出k的值，即可求解直线l的方程．【解答】解：（1）圆C经过A（2，0）、B（0，4）两点，线段AB的中点为（1，2），直线AB的斜率为﹣2，所以线段AB的中垂线方程为y﹣2＝（x﹣1），即x﹣2y+3＝0，圆心C为AB的中垂线与直线x+2y﹣9＝0的交点，联立，解得x＝y＝3，故圆心为C（3，3），圆C的半径r＝＝，所以圆C的标准方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝10；（2）过点T（﹣1，0）的直线l与圆C相交于P、Q两点，且，可得＝﹣5，可得∠PCQ＝120°，所以C到PQ的距离为：，可知直线l的斜率存在，设为k，直线l：y＝k（x+1），即kx﹣y+k＝0，可得，解得k＝或k＝，直线l的方程：x﹣3y+1＝0或13x﹣9y+13＝0．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，斜率的数量积的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．21．【分析】（1）运用等差数列的通项公式与求