30680252 微专题：有关“反证法”的理解与应用-2021-2022学年高一上学期数学沪教版（2020）必修第一册

微专题：有关“反证法”的理解与应用【主题】“若α，则β”是真命题；首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法。反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。【典例】例1、求证：两条相交直线有且只有一个交点；例2、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．例3、已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根；例4、已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数。【即时练习】1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③2、用反证法证明命题“a、b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．3、用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a，b为实数)”，其“假设”为4、若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根。【教师版】微专题：有关“反证法”的理解与应用【主题】“若α，则β”是真命题；首先假设结论β不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即结论β是正确的；这样的证明方法叫反证法。反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。【典例】例1、求证：两条相交直线有且只有一个交点；【提示】注意：平面几何中“两条直线的位置关系”；【解析】因为两直线为相交直线，故至少有一个交点，假设两条直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B的直线就有两条，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾；综上所述，两条相交直线有且只有一个交点；【说明】当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一型命题比较简单。例2、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；②所以一个三角形不能有两个直角；③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．【提示】注意理解“反证法”与解题步骤；【答案】③①②【说明】“反证法”的解题步骤：①提出反设（否定结论）；②推出矛盾（与已知、假设、定义、定理、公理、事实矛盾，这是关键的一步）；③否定假设，肯定结论；④归纳小结。例3、已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，用反证法证明：关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根；【错解】假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，由已知实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0，解得－2<p<－eq\f(1,2)，又关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0的根的判别式Δ＝4(p2－4)，∵－2<p<－eq\f(1,2)，∴Δ<0，即关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根；【错因】反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法；【正解】假设方程x2－2x＋5－p2＝0有实根，则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p2)≥0，解之得p≥2或p≤－2，这与已知条件实数p满足不等式(2p＋1)(p＋2)<0矛盾，∴假设不成立，故关于x的方程x2－2x＋5－p2＝0无实根。【说明】反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立；否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；例4、已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a、b、c、d中至少有一个是负数。【提示】注意仔细阅读，明确题设并明确解题“切入点”；【证明】假设a、b、c、d都是非负数，∵a＋b＝c＋d＝1，∴(a＋b)(c＋d)＝1；又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc>ac＋bd，∴ac＋bd<1；这与已知ac＋bd>1矛盾，∴a，b，c，d中至少有一个是负数；【说明】本题是应用反证法的经典实例；反证法解题的实质就是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确，即证明命题的逆否命题成立．否定结论：对结论的反面要一一否定，不能遗漏；否定一个反面之反证法称为归谬法，否定两个或两个以上反面之反证法称为穷举法；证明过程中使用了构造法。【归纳】反证法：（1）一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法；（2）反证法一般应用于证明“结论含有否定词、至多、至少、唯一性”的问题；【纵观教材】一是反证法是证明数学命题的一个重要方法；二是反证法可以承载课程标准中“能正确使用存在量词対全称量词命题进行否定”，“能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定”这两个要求；三是反证法的教学可以弥补课程标准中缺少“逆否命题”所带来的一些证明上的技巧；在反证法中，所渭“得到矛盾”是指发现了某个命题既是真命题，又是假命题；这个命题可以是假设的陈述句（假设其力真，但随后推理得到官力假），也可以是前提条件，或其他己知为真的命題，如定理、性质等（己知其为真，但随后推理得到它是假命题）。【反证法的证明步骤】①分清命题的条件和结论；②做出与命题结论相矛盾的假设；③由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真。【即时练习】1、应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论相反判断，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③【答案】C；【解析】由反证法的定义可知为①②③；2、用反证法证明命题“a、b为整数，若a·b不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为________．【答案】a、b不都是奇数(或a、b中至少有一个是偶数)【解析】“a、b都不是偶数”，指“a、b都是奇数”，它的反面是“a、b不都是奇数”，或“a、b中至少有一个是偶数”3、用反证法证明命题“若a2+b2=0,则a,b全为0(a，b为实数)”，其“假设”为【答案】a，b不全为0；【解析】“a，b全为0”即“a=0且b=0”，因此它的反面应为“a≠0或b≠0”，即a，b不全为0；4、若a，b，c互不相等，证明：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根。【证明】