人教版八年级数学下册第17讲 数据的分析-教案讲义及练习

数据的分析

适用学科初中数学适用年级初中二年级

适用区域通用课时时长（分120

钟）

知识点L加权平均数、方差、极差.

2.众数、中位数

3.条形统计图、扇形统计图、频率直方分布图.

教学目标1.掌握"平均数""中位数""众数"概念及求法.

2.会动手和利用计算器计算"平均数".

3.在加权平均数中，知道权的差异对平均数的影响，并能用加权平均

数解释现实生活中一些简单的现象.

4.通过数据分析的学习，培养学生探索数学规律的能力.

5.在具体实例中体会样本估计总体的思想.

6.能识别条形统计图及扇形统计图，根据具体情况解决实际的数学问题

教学重点平均数、中位数、众数之间的差别，体会它们在不同情境中的应用.

教学难点识别条形统计图及扇形统计图，根据具体情况解决实际的数学问题.

教学过程

一、课堂导入

农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种各用几块试验田

进行试验，得到各试验田每公斤的产量，根据产量的数据，能否为农科院选择甜

玉米种子提出良好的建议呢？

生活中经常遇到这样的情况，如何运用所学知识解决实际问题呢？

用样本估计总体是统计的基本思想，当所考察的总体的个数很多或者考察本身带

有破坏性时，我们常常通过样本估计总体的方法来了解总体。

通过本章的学习，你将对数据的作用有更多的认识，对用样本估计总体的思想有

更深的体会。

二、复习预习

算术平均数：一般地，对于n个数内，尤2,工，…相，我们把

1,、

一(为+/+%+…+%”)叫做这n个数的算术平均数，简称平

n

均数，记作了。

1、平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心"，是度量一组数

据波动大小的基准。如果需要了解一组数据的平均水平，计算这组

数据的平均数即可。

2、平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会

引起平均数的变动。平均数比这组数据中最大的数小,最小的数大。

三、知识讲解

考点/易错点1

加权平均数：

若在一组数字中，即出现6次，M出现f2次，…，祢出现九次，那么

Xifi+%23+...+Xk3

fl+f?+…+fk

叫做修、刈、…、治的加权平均数。。其中，足fl、…、fk分别是X1、X?、…、

a

它们的权权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

权的表示方法：比、百分比、频数(人数、个数、次数等X

考点/易错点2

中位数：将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数

是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，

则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

考点/易错点3

众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

考点/易错点4

极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。

考点/易错点5

方差：设有n个数据如修，…，%，各数据与它们的平均数的差的平方分别是

(当一幻2,(马一幻2,…，(演一元)2,…,我们用它们的平均数，即用

S2=-[(x,-x)2+(x-x)2+•••+(%„-x)2]

n2

来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。

1—2

当一组数据比较小时可以用公式./=—[(%/+W2+…+七,2)—九工]计算。

n

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

标准差：方差的算术平方根，即

S=J-^1-亍）2+（尤2一元I+•.,+（X”一工I]

Vn

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小的重要

的量.

考点/易错点6

极差、方差和标准差的区别与联系：

联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数的

大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范围，主要

反映一组数据中两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波动不敏感。

方差是用"先平均，再求差，然后平方，最后再平均"的方法得到的结果，主要

反映整组数据的波动情况，是反映一组数据与其平均值离散程度的一个重要指标,

每个数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整组数据波动情况更敏感的指

标。在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡量一组数据的波动大小。

标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位是原数据单位的平方，而标准差

的单位与原数据单位相同。

考点/易错点7

数据的收集与整理的步骤：

1.收集数据

2.整理数据

3.描述数据

4.分析数据

5.撰写调查报告

6.交流

考点/易错点8

平均数、方差的三个运算性质

如果一组数据Xl,X2,X3..........Xn的平均数是X,方差是S2.

那么

(1)一组新数据xi+b,X2+b,x3+b........xn+b的平均数是x+b,方差是

S2o

22

(2)一组新数据axi,ax2,ax3,……,axn的平均数是ax,方差是aso

(3)一组新数据axi+b,ax2+b,ax3+b,......,axn+b的平均数是ax+b,

方差是a2s2。

考点/易错点9

考点：L加权平均数、方差、极差2众数、中位数3.条形统计图、扇形统计图、

频率直方分布图.

易错点：识别条形统计图及扇形统计图，根据具体情况解决实际的数学问题.

知识考点梳理

相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来描述数据集

中趋势的统计量渚B可用来反映数据的一般水平都可用来作为一组数据的代表。

不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1、定义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组数据的

中位数O

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数,需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇数，则

处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两

个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。

3、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一性。在一

组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体"平均水平"。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表一组数

据的“中等水平"。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平"。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数据一般

水平的代表。

5、特点不同

平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动。

主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小数。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一组数据

中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大小只与

这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响，其缺点是具有不惟一性，一组

数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。

&作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一个数据

都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身的整体平均情

况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它在生活中应用最广泛，

比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数据。但当

一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的集中趋势就比较

合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数据。。

在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次数最多，此时

用该数据(即众数)表示这组数据的“集中趋势"就比较适合。

四、例题精析

[例题1]

【题干】某校艺术节演出中，5位评委给某个节目打分如下：9分，9.3分，

8.9分，8.7分，9.1分，则该节目的平均得分是_________分.

(2)某文具商店共有单价分别为10元、15元和20元的3种文具盒出售，该商店

统计了2012年3月份这三种文具盒的销售情况，并绘制统计图如下：

文具店2012年3月份3种文具盒销售情况扇形统计图

3种文具盒销售情况条形统计图

①请把条形统计图补充完整；

1

②小亮认为该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格为§(10+15+20)=

15元，你认为小亮的计算方法正确吗？如果不正确，请计算总的平均销售价格.

【答案】（1）9⑵①

3种文具盒销售情况条形统计图

②不正确，平均销售价格为(10x150+15x360+20x90)+(150+360+90)=

8700+600=14.5(元).

【解析】平均数、众数和中位数是以不同角度反映一组数据的集中趋势.众数

是一组数据中出现次数最多的，而中位数是一组数据从小到大（或从大到小）排列

处于中间位置的一个数或两个数的平均数，平均数则是所有数的和与个数的商，

求解时一定要明确其求法.

（1）直接利用算术平均数的求法求；

（2）该商店3月份这三种文具盒总的平均销售价格是求加权平均数.

【例题2】

【题干】一次学科测验，学生得分均为整数，满分为10分，成绩达到6分以

上（包括6分）为合格，成绩达到9分为优秀.这次测验中甲、乙两组学生成绩分

布的条形统计图如图.

学生数/人□甲组■乙组

(1)请补充完成下面的成绩统计分析表:

平均分方差中位数合格率优秀率

甲组6.92.491.7%16.7%

乙组1.383.3%8.3%

(2)甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组.但

乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出三条

支持乙组学生观点的理由.

【答案】

(1)甲组：中位数7;乙组：平均分7,中位数7;

(2)(答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差

低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多.

【解析】评价成绩的好坏，不能只看某一方面，应多方面考虑.

解：Q)甲组：中位数7;乙组：平均分7,中位数7;

(2)(答案不唯一)①乙组学生的平均分高于甲组学生的平均分；②乙组学生的方差

低于甲组学生的方差；③乙组学生成绩不低于7分的人数比甲组多.

【例题3】

【题干】某奶品生产企业，2010年对铁锌牛奶、酸牛奶、纯牛奶三个品种的

生产情况进行了统计，绘制了图1、2的统计图，请根据图中信息解答下列问题：

(1)酸牛奶生产了多少万吨？把图1补充完整；酸牛奶在图2所对应的圆心角

是多少度？

(2)由于市场不断需求，据统计，2011年的生产量比2010年增长20%,按

照这样的增长速度，请你估算2012年酸牛奶的生产量是多少万吨？

【答案】(1)240吨、120°.(2)115.2万吨.

【解析】(1)根据纯牛奶所占百分率和纯牛奶的产量，求出牛奶的总产量，用

总产量减铁锌牛奶和纯牛奶的产量即为酸牛奶的产量；酸牛奶产量除以总产量乘

以360。即为酸牛奶在图2所对应的圆心角的度数；

(2)根据平均增长率公式直接解答即可.

解：(1)牛奶总产量=120+50%=240吨，酸牛奶产量=240-40-120=80吨，

酸牛奶在图2所对应的圆心角度数为其x360。=120。.

240

(2)2012年酸牛奶的生产量为80x(1+20%)2=115.2吨.答：2012年酸

牛奶的生产量是115.2万吨.

牛奶牛奶牛奶

图（1）图（2）

[例题4]

【题干】在九年级体育考试中,某校某班参加仰卧起坐测试的一组女生（每组8

人）测试成绩如下（单位：次/分）：44,45,42,48,46,43,47,45.则这组数据的极差为

（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

【解析】根据极差的概念求解

[例题5]

【题干】甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都

是8.9环，方差分别是舜=0.65,si=0.55,殒=0.50,$亍=0.45,则射箭成

绩最稳定的是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】D

【解析】比较四个人方差的大小.

极差和方差都是表示该组数据的波动大小的数据，从统计的角度看,

在平均成绩相同的情况下看成绩的稳定性就是比较方差的大小.

【例题6】

【题干】在义乌市中小学生"人人会乐器”演奏比赛中，某班10名学生成绩

统计如图所示，则这10名学生成绩的中位数是_______分，众数是________分.

【答案】9090

【解析】因为观察折线图可知：成绩为90的最多，所以众数为90;

这组学生共10人，中位数是第5,6名的平均分，

读图可知第5,6名的成绩都为90,故中位数为90.

【例题7】

【题干】在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物.为使课外读物满足同

学们的需求，学校就"我最喜爱的课外读物"从文学、艺术、科普和其他四个类

别进行了抽样调查（每位同学只选一类）,下图是根据调查结果绘制的两幅不完整

的统计图.

条形统计图扇形统计图

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

Q)本次调查中，一共调查了________名同学；

(2)条形统计图中，m=n=;

(3)扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是________度；

(4)学校计划购买课外读物6000册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读

物多少册比较合理？

【答案】(1)200(2)40、60(3)72(4)900

【解析】(1)200根据条形图得出文学类人数为70,利用扇形图得出文学类

所占百分比为35%,故本次调查中，一共调查了70-35%=200(人).

⑵4060根据科普类所占百分比为30%,

则科普类人数为：n=200x30%=60,

m=200-70-30-60=40,

故m=40,n=60.

40

⑶72艺术类读物所在扇形的圆心角是藐x360。=72°.

30

(4)由题意，得6000x丽=900(册).

答：学校购买其他类读物900册比较合理.

[例题8]

【题干】某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首

先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数

最多的甲、乙、丙三人，投票结果统计如图⑴所示：

其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试，各项成绩如下表所示:

测试项测试成绩/分

目甲乙丙

笔试929095

面试859580

图(2)是某同学根据上表绘制的一个不完整的条形图.

请你根据以上信息解答下列问题：

Q)补全图；

(2)请计算每名候选人的得票数；

(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2:5:3的比确定,

计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？

【答案】

分数

(2)甲68(B),乙60(B),丙56(®).

(3)甲的平均成绩：85.1,

乙的平均成绩：85.5,

丙的平均成绩：82.7.

应该录取乙.

【解析】⑴

(2)甲的票数：200x34%=68(票),乙的票数：200x30%=60(B),丙的票数：

200x28%=56(票).

68x2+92x5+85x3

(3)甲的平均成绩：xi==85.1,

2+5+3

—60x2+90x5+95x3

乙的平均成绩：x2=Z--；=85.5,

—56x2+95x5+80x3

丙的平均成绩：X3=-----；T------=82.7.

•••乙的平均成绩最高，，应该录取乙.

[例题9]

【题干】某水果销售公司去年3至8月销售吐鲁番葡萄、哈密大枣的情况见下

表：

3月4月5月6月7月8月

吐鲁番葡萄48581013

哈密大枣8797107

(1)请你根据以上数据填写下表：

平均数方差

吐鲁番葡萄89

哈密大枣

(2)补全折线统计图(如图).

3

2

1

0

9吐鲁番葡萄

8

7哈密大枣

6

5

4

3

2

1

O

45—78时间（月）

(3)请你从以下两个不同的方面对这两种水果在去年3月份至8月份的销售情况

进行分析：①根据平均数和方差分析；②根据折线图上两种水果销售量的趋势分

析.

【答案】⑴

平均数方差

吐鲁番葡萄89

4

哈密大枣8

（2）如图；

13

1

12

1

11

10

9吐鲁番葡萄

8

7哈密大枣

6

5

4

3

2

1

O

4时间（月）

（3）①由于平均数相同，s大枣2<5葡萄2,

所以大枣的销售情况相对比较稳定.

②从图上看，葡萄的月销售量呈上升趋势.

【解析】（1）由表格提供的数据结合平均数和方差的计算公式，可求得哈密大枣

销售量的平均数和方差.（2）将哈密大枣的销售数据在折线统计图上一一表示出

来，并连接表示这些数据的点即可得到关于哈密大枣销售的折线统计图（注意图

例按虚线表示）.（3）由计算出的两种水果的销售量的平均数、方差及方差可得出

哪种水果的销售情况稳定；由折线统计图的走势很容易分析出这两种水果的销售

趋势.

【例题10]

【题干】统计2010年上海世博会前20天日参观人数，得到如下频数分布表

和频数分布直方图（部分未完成）（如图）：上海世博会前20天日参观人数的频数

分布表

组别(万人)组中值(万人)频数频率

7.5~14.51150.25

14.5-

60.30

21.5

21.5-

250.30

28.5

28.5-

323

35.5

上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图

频数/天

7

6

5

4

3

2

1

O

112532人数/万人

(1)请补全频数分布表和频数分布直方图；

(2)求出日参观人数不低于22万的天数和所占的百分比；

(3)利用以上信息，试估计上海世博会(会期184天)的参观总人数.

【答案】(1)

频数/天

7

6

5

4

3

2

1

11182532人数/万人

（2）日参观人数不低于22万有9天，所占百分比为45%.

(3)3762.8(万人).

【解析】（1）填频数分布表和频数分布直方图（如下图）；

上海世博会前20天日参观人数的频数分布表

组别（万人）组中值（万人）频数频率

7.5~14.51150.25

14.5-21.51860.30

21.5-28.52560.30

28.5-35.53230.15

上海世博会前20天日参观人数的频数分布直方图

频数/天

7

6

5

4

3

2

1

0

（2）日参观人数不低于2