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文档简介
2020-2021学年上海市交大附中高一上学期期末数学试卷
一、单选题(本大题共4小题,共12.0分)
1.“%20”是“x>0”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
2,若函数/(x)=sinxcosx,下列结论中正确的是()
A.函数/(久)的图象关于原点对称B.函数/'(久)最小正周期为2兀
C.函数/(久)为偶函数D.函数/(切的最大值为1
3.已知函数/(x)=loga(/-2ax+8)在区间[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是()
A.(0,1)B.[2,3)
C.(0,1)U[2,3)D.(0,1)U[2,+oo)
4.设方程log4久=(**,1<>勺/,「的根分别x2,贝!1()
A.0<xrx2<1B.xrx2—1C.1<x1x2<2D.x±x2>2
二、单空题(本大题共12小题,共36.0分)
5.已知4版・二福施,且角施与角—-的终边垂直,则雄=
6.函数/(%)=2%和g(%)=/的图象的示意图如图所示,设两函数的图
象交于点8(%2,丫2),且%1<%2,若丁W[a,a+1],x2G
[bfb+1],且a,be{1,234,5,6,7,8,9,10,11,12},则a+b=.
7.已知sin。=V,9是第二象限的角,则力cm。=
8.己知函数〃J)sin2J-+siiuci>sj-,下列结论中:①函数/(久)关于%/对称;②函数f(x)
关于(-标)对称;③函数/(%)在(0币是增函数,④将y=*os2x的图象向右平移詈可得到
/(久)图象.其中正确的结论序号为.
9.计算:
.一霭
10.已知sin(a+g)=-g—^<cr<0,贝!Jcosa=.
11.已知塞函数f(%)=为常数)过点(2,:),则/(%)=.
4
12.向量五=(1,彼九仇),b=(cosa,1),且方〃3,则cos2a=.
13.已知角a6G,争,Setana=—y,则COS(TT—a)=.
14.在平面直角坐标系中,锐角a、夕的终边分别与单位圆交于/、B两点.如果s讥a=-8的横坐
标为M则cos(a+/?)=.
15.已知函数典磁口幽承)嗤:书磷嗓,一范:嘴翘碘।蚪需啜在区间肝三月上的最大值为2,则常数a的值
为—.
16.已知/(X)-x3+(a-1)/是奇函数,则不等式f(ax)>f(a-久)的解集是.
三、解答题(本大题共5小题,共60.0分)
17.(1)已知tan^=}求sin(a+£)的值.
(2)已知a6(兀,|兀),cosa=tan^=求cos(]+0)的值.
18.设函数/(久)是定义在R上的奇函数,当x20时,f(%)=2X+^+m
(1)确定实数m的值并求函数/(x)在R上的解析式;
(2)求满足方程〃久)=0的久的值.
19.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床,并立即投入使用,计划第一年维修、保养费用12
万元,从第二年开始,每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元,该机床使用后,每年的总
收入为50万元,设使用x年后数控机床的盈利总额y元.
(1)写出y与x之间的函数关系式;
(2)从第几年开始,该机床开始盈利?
(3)使用若干年后,对机床的处理有两种方案:①当年平均盈利额达到最大值时,以30万元价格处理
该机床;②当盈利额达到最大值时,以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理?请
说明理由.
20.已知集合A={X|G)--X-6<1},B={x||x+a-2|<2},若力CB=0.
(1)求实数a的取值范围;
(2)求y=/(a)=2-32a-16-3a的最值.
21.二次函数/(久)满足f(x+1)-/(%)=2%,且"0)=1,
(1)求/'(%)的解析式;
(2)在区间上/(x)N机恒成立,试确定实数ni的范围.
参考答案及解析
1.答案:B
解析:解:设2={x\x>0),B-{x\x>0),
A^B,
故“》20”是“无>0”的必要而不充分条件,
故选:B.
设4={久|x20},B={x\x>0),得到AnB,从而得到答案.
本题考查了充分必要条件,是一道基础题.
2.答案:A
解析:解:f(x)=sinxcosx—|sin2x,
该函数为奇函数,最小正周期7=兀,最大值=1.
故C,B,。错误,A正确
故选:A
由已知中函数/(x)=s出久COSK=|S出2x,根据正弦函数的图象和性质可得该函数为奇函数,最小正
周期7=兀,最大值逐一分析四个答案,可得结论.
本题考查的知识点是正弦函数的对称性,二倍角的正弦,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的
奇偶性,其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键.
3.答案:C
解析:
本题主要考查已知复合函数在具体区间上单调性求参数的取值范围,这种题型除了要考查复合函数
同增异减的单调性外,对称轴和区间的关系,以及端点处的函数值大于0.考查了分类讨论思想的应
用.本题属中档题.
本题先运用换元法令t=x2-2ax+8,则y=log/再对参数Q分。Va<1和a>1两种情况进行分
类讨论,当0<aV1时,对称轴%=aV1,且t(l)=l-2a+8>0.根据对称轴a>2,t(2)=4-
8a+8〉0,及复合函数同增异减的单调性可得Q的取值范围;当a>1时,根据得到a的取值范围.最
后综合所有情况可得实数a的取值范围.
解:由题意,令力=%2一2。%+8,则y=log/
故t=x2—2ax+8=(%—a)2+8—a2,
①当0<a<1时,
•・,y=log/在(0,+8)上单调递减,复合函数/(%)在区间口2]上是减函数,
.・.t=x2—2ax+8在[1,2]上单调递增.
t=%2—2ax+8在(—8,q)上单调递减,在[a,+8)单调递增.
对称轴%=a<1,且t(l)=l-2a+8>0.
解得0<a<1.
0<a<1满足题意.
②当a>1时,
y=log/在(0,+8)上单调递增,复合函数f(%)在区间[1,2]上是减函数,
.・.t=x2-2ax+8在[1,2]上单调递减.
•••对称轴aN2,t(2)=4—8a+8>0,
解得2Wa<3.
综上所述,可知,当0<a<1时满足题意,当a>1时,只有2<a<3才满足题意.
・•・实数a的取值范围为(0,1)U[2,3).
故选:C.
4.答案:A
解析:
本题考查指数函数和对数函数的性质,图象的交点问题,属于中档题.
根据函数图象判断%1>1,0<%2<1,利用对数的基本运算以及指数函数的性质即可得到结论.
解:方程10g4%=log/=C)”的根分别为久1、%2,
则由图象可知0<X2<1,即%1>%2,
x
则G)*1<G)%logdi=(i)l,log|X2=G产=-log4X2,
两式相减得10g4%62=G)%一©犯<0,
即0Vxrx2<1,
故选:A.
辆f觐飞
解析:试题分析:因为角雄与角-3的终边垂直,所以版I给他蒯i-=;i=-l,即他蒯辞=一些
兽k瞽/
因此,侬=,飒-三(麓隆溶),所以年,=频-==三^或雄=i版一==二^.
I匾瀛新断新
考点:三角函数与直线的位置关系.
6.答案:10
解析:解:・函数/(©=2工的图象过点(0,1),是其图象;
••-g(x)=/的图象过点(o,o),;.G是其图象;
・・•〃l)>g⑴,/(2)<g(2),
•,•%1e[1,2],故a—1;
,•"(9)<9(9),”10)>g(10)
久2e[9,10],故b=9,
a+b=10.
故答案为10.
根据函数/。)=2,的图象过点(0,1),9。)=炉的图象过点(o,o)判断即可,结合函数的零点的判定
定理判断即可.
本题考查了指数函数与基函数的性质,同时考查了数形结合的思想应用.
7.答案:—得
解析:解:由。是第二象限的角,得到cos。<0,
又sinO-*所以cos。=—11-(~)2-
,5
则tan。=小=耳=—三.
we-H12
故答案为:-松
根据。是第二象限的角,得到cos。小于0,然后由sin。的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cos。
的值,进而求出tcme的值.
此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值,是一道基础题.学生做题时注意。的范
围.
8.答案:③④
解析:
本题主要考查了三角函数的恒等变换,三角函数的图象和性质,属于中档题.
利用三角函数的恒等变换公式化简函数解析式可得/(©=孝sin(2久-逐一分析判断即可.
角军:/(x)=sin2x+sinxcosx—|
1-COS2X,1.1y/2.7T、
=-------F-sin2ox——=—sin(2x——),
2222、"
对于①,2%—£=卜兀+;,kEZ,
可得函数对称轴为:x=v+kez,
Zo
令粤+生三,得k=—故①不正确;
2882
对于②,由2%—^=历1,fc6Z,
可得%=把+工fcez,
28
可得函数对称中心为:(等+,0),kez,②不正确;
对于③,由2/OT-]W2尤-3W2/CT+]kEZ,
可得函数单调递增区间为:即一建兀+福,kEZ,
故可得函数〃久)在(0弓)是增函数,③正确;
对于④,将y=孝cos2x的图象向右平移詈个单位长度可得
V23TTV237r
y=cos[2(x——)]=—cos(2x——)
LoL4
V2IT3TTV25TT
=TSin[2一Q%一彳>=^,也(彳-2%)
=/sin(2%—7),④正确.
故答案为③④.
9.答案:1
解析:试题分析:图幅4#嚣彳=/醒带J1展T麒=&螃柏1螳=喊酮第=蜥蟒=>
考点:对数的运算性质.
点评:对数的运算性质:
醯><>^螂阐•顺撒'51
:侬崛觐奉徽!:=颤力嬲书如殷谶
:斓履任3=1睡^懒-颤觐谶
10.答案:上更
10
解析:
本题主要考查了两角和与差的余弦函数,同角三角函数基本关系的应用,考查了学生对基础知识的
综合运用,属于基础题.
先确定a+g的范围,求得cos(a+g)的值,进而利用余弦的两角和公式求得答案.
解析:
解:•••一]<a<0,sin(a+1)=-
兀,7T7T、
ccH—6(-,—),
3、637
•••cos(a+-)=11—sin2(a+-)=
3AI35
ITTC
•••cosa=cos(a+———)
717171TT
=cos(cr+—)cos—+sin(a+—)sin—
31,,4、V33-473
=-X-+(---)X—=
52、5,210
故答案为:等
11.答案:%-2
解析:解:•・・塞函数/(%)=%a(a为常数)过点(2,»・•.2a=%解得a=一2.
•••/(x)=x~2.
故答案为X—2.
使用待定系数法求出/(久)的解析式.
本题考查了待定系数法确定函数解析式,是基础题.
12.答案::
解析:解:N=('tola),3=(cosa,1),a//b<
-1x1—tanacosa—0,
3
,化简得s讥a=己,
•••cos2a=1—2sin2a=
99
故答案为;
根据向量平行的条件建立关于a的等式,利用同角三角函数的基本关系算出s讥a=%再由二倍角的
余弦公式加以计算,可得cos2a的值.
本题给出向量含有三角函数的坐标式,在向量互相平行的情况下求cos2a的值.着重考查了同角三角
函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识,属于基础题.
13.答案:1
解析:解:a£,tana=-用<0,
a&(p7t),
•••cosa<0,
故答案为:卷.
由a的范围及位na的值小于0,判断出cosa小于0,将所求式子利用诱导公式化简后,利用同角三角
函数间的基本关系切化弦后,将tcma代入即可求出cosa的值.
此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.
14.答案:—
65
解析:解:,•・在平面直角坐标系中,锐角a、/7的终边分别与单位圆交于4、B两点,且s讥B的
横坐标为袅即cos£=卷,
4.12
•••cosa=sinpD=—
贝Ucos(a+S)=cosacos/3—sinasin^=-x——-x—.
51351365
故答案为:一卷
65
由锐角a、0的终边分别与单位圆交于4、B两点,根据sina与cos£的值求出cosa与s出/?的值,原式
利用两角和与差的余弦函数公式化简,将各自的值代入计算即可求出值.
此题考查了两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.
15.答案:0
解析:试题分析:就回:=乱赢瞰*器书询3符■普纳=濡扇11殿普■雒调源普小=室fe皑1■#,*:,普修,又——嗟4—
您意黑'&$
.二一《唾遥t电窗率学:避也,礴#则碱=领。
鹭脸
考点:两角差正弦公式的顺用与逆用
16.答案:拄|乂>》
解析:解:若/(%)=必+Q-1)/是奇函数,
则a-1=0,即a=l,此时/(%)=%3,在R递增,
则不等式f(a%)>/(a-x),
即%解得:%>j,
故不等式的解集是:{x|x>3,
故答案为:{x|x>3
根据函数的奇偶性求出a的值,根据函数的单调性问题转化为x>1-x,解不等式即可.
本题考查了函数的奇偶性和单调性问题,是一道基础题.
17.答案:解:(1);sina=*鼻=:
1+tan2-5
2
1-tan2^3
•••cosa=----=一
l+tanz?5
..7iy.71,,714
•••sm(za+一)=sinacos-+cosasin-=-x—V3.I--3x-1=-3+-4-V-3•
v6y66525210
②aC(兀,|兀),
e(py)>sin|>0,cos|<0,
cosa=1—2sin2-=2cos2a—1=——
213
,a3V13a2V13
・•・sin-=-----cos-=
213213
+tan-6=-1
23
2tan-31-tan2g4
cosB=--------1=-
"l+tan2g5
22
,a_a.a.2V1343713317d
・•.cos(5+S)=cos-cospn-sin5sl印n=~—X--—x-=
65
解析:本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数公式的应用.解题过程涉及到了万能公式
的应用.
(1)利用万能公式求得sina和cosa的值,进而利用两角和公式求得sin(a+§的值.
(2)通过二倍角公式求得s呜和cos押值,利用万能公式求得si印和cos.的值,最后利用两角和与差
的余弦函数求得答案.
18.答案:解:(1)根据题意,是定义在R上的奇函数,
则当久=0时,/(0)=4+m=0,解可得:m=—4
设x<0,则一久>0,则/(一%)=2-工+4一4=3-2:+?-4,
2—A2A
-j
又由/(_%)=-/(%),则f(%)=-3•2%-)+4(久V0),
故f(x)=
(2)当%>0时,f(x)=2%+£-4,
令f(%)=0,得/(%)=2%+费-4=0,即(2%)2—4・2%+3=0,
解可得2%=1或2%=3,即=0,x2=log23;
又由/(%)是定义在R上的奇函数,则当久<0时根为第3=-logz3;
综合可得:方程/(%)=0的根为=0,外=1og23,%3=—log23.
解析:(1)根据题意,由奇函数的性质可得/(0)=4+租=0,解可得:m=-4,即可得函数的解析
式,结合函数的奇偶性分析可得答案;
(2)根据题意,由函数的解析式,当*20时,/(x)=2、+£—4,令/0)=0可得此时方程的根,
结合函数的奇偶性分析可得答案.
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用,涉及函数的解析式的求法,属于基础题.
19.答案:解:(1)第x年共收入50x万元,付出维修、保养费构成以12为首项,4为公差的等差数列,
共12x+X4=2X2+10x万元,
y=5Ox—98—(2x2+10%)=-2x2+40%—98,xEN*.
(2)由-2/+40x—98>0解得,10—同<久<10+同,且久CN*,
所以x=3,4,....17,故从第三年开始盈利.
⑶年平均盈利额为?=40-(2%+手)<40-2M2x98=12,当且仅当比=7时“=”号成立,
所以按第一方案处理总利润为-2X72+40x7-98+30=114(万元).
由y=-2久2+40%-98=-2(%-10)2+102<102,
所以按第二方案处理总利润为102+12=114(万元).
••・由于第一方案使用时间短,则选第一方案较合理.
解析:(1)赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这比年中维修、保养的费用,维修、
保养的费用历年成等差数增长,,
(2)由(1)的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利.
(3)算出每一种方案的总盈利,比较大小选择方案.
考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力,其中第二问中考查了一元二次不等式的解法,第三
问中考查到了基本不等式求最值,本题是一个函数基本不等式相结合的题.属应用题中盈利最大化
的问题.
20.答案:解:(1)由C)/T-6<1,得/—%—6>0,
解得x>3,或》<-2
A=(-8,-2)U
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