2020-2021学年上海市交大附中高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市交大附中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）

1.“％20”是“x>0”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

2,若函数/（x）=sinxcosx,下列结论中正确的是（）

A.函数/（久）的图象关于原点对称B.函数/'（久）最小正周期为2兀

C.函数/（久）为偶函数D.函数/（切的最大值为1

3.已知函数/（x）=loga（/-2ax+8）在区间［1,2］上是减函数，则实数a的取值范围是（）

A.(0,1)B.[2,3)

C.(0,1)U[2,3)D.(0,1)U[2,+oo)

4.设方程log4久=（**，1<>勺/，「的根分别x2,贝!1（）

A.0<xrx2<1B.xrx2—1C.1<x1x2<2D.x±x2>2

二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.已知4版・二福施，且角施与角—-的终边垂直，则雄=

6.函数/(%)=2%和g(%)=/的图象的示意图如图所示，设两函数的图

象交于点8(%2，丫2)，且％1<%2,若丁W[a,a+1],x2G

[bfb+1],且a,be{1,234,5,6,7,8,9,10,11,12},则a+b=.

7.已知sin。=V，9是第二象限的角，则力cm。=

8.己知函数〃J)sin2J-+siiuci>sj-,下列结论中：①函数/(久)关于％/对称；②函数f(x)

关于(-标)对称；③函数/(%)在(0币是增函数，④将y=*os2x的图象向右平移詈可得到

/(久)图象.其中正确的结论序号为.

9.计算：

.一霭

10.已知sin(a+g)=-g—^<cr<0,贝！Jcosa=.

11.已知塞函数f(%)=为常数)过点(2,：),则/(%)=.

4

12.向量五=(1,彼九仇)，b=(cosa,1)，且方〃3，则cos2a=.

13.已知角a6G,争，Setana=—y,则COS(TT—a)=.

14.在平面直角坐标系中，锐角a、夕的终边分别与单位圆交于/、B两点.如果s讥a=-8的横坐

标为M则cos(a+/?)=.

15.已知函数典磁口幽承)嗤:书磷嗓,一范:嘴翘碘।蚪需啜在区间肝三月上的最大值为2,则常数a的值

为—.

16.已知/(X)-x3+(a-1)/是奇函数，则不等式f(ax)>f(a-久)的解集是.

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

17.(1)已知tan^=｝求sin(a+£)的值.

(2)已知a6(兀,|兀)，cosa=tan^=求cos(]+0)的值.

18.设函数/(久)是定义在R上的奇函数，当x20时，f(%)=2X+^+m

(1)确定实数m的值并求函数/(x)在R上的解析式；

(2)求满足方程〃久)=0的久的值.

19.某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12

万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总

收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利总额y元.

(1)写出y与x之间的函数关系式;

(2)从第几年开始，该机床开始盈利？

(3)使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理

该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床.问哪种方案处理较为合理？请

说明理由.

20.已知集合A={X|G)--X-6<1},B={x||x+a-2|<2},若力CB=0.

(1)求实数a的取值范围；

(2)求y=/(a)=2-32a-16-3a的最值.

21.二次函数/(久)满足f(x+1)-/(%)=2%,且"0)=1,

(1)求/'(%)的解析式；

(2)在区间上/(x)N机恒成立，试确定实数ni的范围.

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：设2={x\x>0),B-{x\x>0),

A^B,

故“》20”是“无>0”的必要而不充分条件，

故选：B.

设4={久|x20},B={x\x>0),得到AnB,从而得到答案.

本题考查了充分必要条件，是一道基础题.

2.答案：A

解析：解：f(x)=sinxcosx—|sin2x,

该函数为奇函数，最小正周期7=兀，最大值=1.

故C,B,。错误，A正确

故选：A

由已知中函数/(x)=s出久COSK=|S出2x,根据正弦函数的图象和性质可得该函数为奇函数，最小正

周期7=兀，最大值逐一分析四个答案，可得结论.

本题考查的知识点是正弦函数的对称性，二倍角的正弦，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的

奇偶性，其中熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键.

3.答案:C

解析:

本题主要考查已知复合函数在具体区间上单调性求参数的取值范围，这种题型除了要考查复合函数

同增异减的单调性外，对称轴和区间的关系，以及端点处的函数值大于0.考查了分类讨论思想的应

用.本题属中档题.

本题先运用换元法令t=x2-2ax+8,则y=log/再对参数Q分。Va<1和a>1两种情况进行分

类讨论，当0<aV1时，对称轴％=aV1,且t(l)=l-2a+8>0.根据对称轴a>2,t(2)=4-

8a+8〉0,及复合函数同增异减的单调性可得Q的取值范围；当a>1时，根据得到a的取值范围.最

后综合所有情况可得实数a的取值范围.

解：由题意，令力=%2一2。%+8,则y=log/

故t=x2—2ax+8=(%—a)2+8—a2,

①当0<a<1时，

•・,y=log/在(0,+8)上单调递减，复合函数/(%)在区间口2］上是减函数，

.・.t=x2—2ax+8在［1,2］上单调递增.

t=%2—2ax+8在(—8,q)上单调递减，在［a,+8)单调递增.

对称轴％=a<1,且t(l)=l-2a+8>0.

解得0<a<1.

0<a<1满足题意.

②当a>1时，

y=log/在(0,+8)上单调递增，复合函数f(%)在区间［1,2］上是减函数，

.・.t=x2-2ax+8在［1,2］上单调递减.

•••对称轴aN2,t(2)=4—8a+8>0,

解得2Wa<3.

综上所述，可知，当0<a<1时满足题意，当a>1时，只有2<a<3才满足题意.

・•・实数a的取值范围为(0,1)U［2,3).

故选：C.

4.答案:A

解析：

本题考查指数函数和对数函数的性质，图象的交点问题，属于中档题.

根据函数图象判断%1>1,0<%2<1,利用对数的基本运算以及指数函数的性质即可得到结论.

解：方程10g4%=log/=C)”的根分别为久1、%2,

则由图象可知0<X2<1,即％1>%2,

x

则G)*1<G)%logdi=(i)l,log|X2=G产=-log4X2,

两式相减得10g4%62=G)%一©犯<0,

即0Vxrx2<1,

故选：A.

辆f觐飞

解析：试题分析：因为角雄与角-3的终边垂直，所以版I给他蒯i-=；i=-l,即他蒯辞=一些

兽k瞽/

因此，侬=,飒-三（麓隆溶），所以年,=频-==三^或雄=i版一==二^.

I匾瀛新断新

考点：三角函数与直线的位置关系.

6.答案：10

解析：解：・函数/(©=2工的图象过点(0,1),是其图象;

••-g(x)=/的图象过点(o,o),；.G是其图象；

・・•〃l)>g⑴,/(2)<g(2),

•,•%1e[1,2],故a—1；

,•"(9)<9(9),”10)>g(10)

久2e[9,10],故b=9,

a+b=10.

故答案为10.

根据函数/。）=2,的图象过点（0,1）,9。）=炉的图象过点（o,o）判断即可，结合函数的零点的判定

定理判断即可.

本题考查了指数函数与基函数的性质，同时考查了数形结合的思想应用.

7.答案：—得

解析：解:由。是第二象限的角，得到cos。＜0,

又sinO-*所以cos。=—11-（~）2-

,5

则tan。=小=耳=—三.

we-H12

故答案为：-松

根据。是第二象限的角，得到cos。小于0,然后由sin。的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos。

的值，进而求出tcme的值.

此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题.学生做题时注意。的范

围.

8.答案：③④

解析：

本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象和性质，属于中档题.

利用三角函数的恒等变换公式化简函数解析式可得/(©=孝sin(2久-逐一分析判断即可.

角军：/(x)=sin2x+sinxcosx—|

1-COS2X,1.1y/2.7T、

=-------F-sin2ox——=—sin(2x——)，

2222、"

对于①，2%—£=卜兀+；,kEZ,

可得函数对称轴为：x=v+kez,

Zo

令粤+生三，得k=—故①不正确；

2882

对于②，由2%—^=历1，fc6Z,

可得％=把+工fcez,

28

可得函数对称中心为：(等+，0)，kez,②不正确；

对于③，由2/OT-]W2尤-3W2/CT+]kEZ,

可得函数单调递增区间为：即一建兀+福，kEZ,

故可得函数〃久)在(0弓)是增函数，③正确；

对于④，将y=孝cos2x的图象向右平移詈个单位长度可得

V23TTV237r

y=­cos[2(x——)]=—cos(2x——)

LoL4

V2IT3TTV25TT

=TSin[2一Q%一彳＞=^,也(彳-2%)

=/sin(2%—7)，④正确.

故答案为③④.

9.答案：1

解析：试题分析：图幅4#嚣彳=/醒带J1展T麒=&螃柏1螳=喊酮第=蜥蟒=>

考点：对数的运算性质.

点评：对数的运算性质:

醯><>^螂阐•顺撒'51

:侬崛觐奉徽!：=颤力嬲书如殷谶

:斓履任3=1睡^懒-颤觐谶

10.答案：上更

10

解析：

本题主要考查了两角和与差的余弦函数，同角三角函数基本关系的应用，考查了学生对基础知识的

综合运用，属于基础题.

先确定a+g的范围，求得cos(a+g)的值，进而利用余弦的两角和公式求得答案.

解析：

解：•••一］<a<0,sin(a+1)=-

兀,7T7T、

ccH—6(-,—),

3、637

•••cos(a+-)=11—sin2(a+-)=

3AI35

ITTC

•••cosa=cos(a+———)

717171TT

=cos(cr+—)cos—+sin(a+—)sin—

31,,4、V33-473

=-X-+(---)X—=

52、5，210

故答案为：等

11.答案:%-2

解析：解：•・・塞函数/(%)=%a(a为常数)过点(2,»・•.2a=%解得a=一2.

•••/(x)=x~2.

故答案为X—2.

使用待定系数法求出/(久)的解析式.

本题考查了待定系数法确定函数解析式，是基础题.

12.答案：：

解析：解：N=('tola),3=(cosa,1)，a//b<

-1x1—tanacosa—0,

3

,化简得s讥a=己,

•••cos2a=1—2sin2a=

99

故答案为；

根据向量平行的条件建立关于a的等式，利用同角三角函数的基本关系算出s讥a=%再由二倍角的

余弦公式加以计算，可得cos2a的值.

本题给出向量含有三角函数的坐标式，在向量互相平行的情况下求cos2a的值.着重考查了同角三角

函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和向量平行的条件等知识，属于基础题.

13.答案:1

解析：解：a£,tana=-用<0,

a&(p7t),

•••cosa<0,

故答案为：卷.

由a的范围及位na的值小于0,判断出cosa小于0,将所求式子利用诱导公式化简后，利用同角三角

函数间的基本关系切化弦后，将tcma代入即可求出cosa的值.

此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键.

14.答案：—

65

解析：解：,•・在平面直角坐标系中，锐角a、/7的终边分别与单位圆交于4、B两点,且s讥B的

横坐标为袅即cos£=卷，

4.12

•••cosa=sinpD=—

贝Ucos(a+S)=cosacos/3—sinasin^=-x——-x—.

51351365

故答案为：一卷

65

由锐角a、0的终边分别与单位圆交于4、B两点，根据sina与cos£的值求出cosa与s出/?的值，原式

利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值.

此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键.

15.答案:0

解析：试题分析：就回：=乱赢瞰*器书询3符■普纳=濡扇11殿普■雒调源普小=室fe皑1■#，*：,普修，又——嗟4—

您意黑'&$

.二一《唾遥t电窗率学:避也，礴#则碱=领。

鹭脸

考点：两角差正弦公式的顺用与逆用

16.答案：拄|乂>》

解析：解:若/(%)=必+Q-1)/是奇函数，

则a-1=0,即a=l,此时/(%)=%3,在R递增，

则不等式f(a%)>/(a-x),

即％解得：%>j,

故不等式的解集是：｛x|x>3，

故答案为：｛x|x>3

根据函数的奇偶性求出a的值，根据函数的单调性问题转化为x>1-x,解不等式即可.

本题考查了函数的奇偶性和单调性问题，是一道基础题.

17.答案：解：(1);sina=*鼻=：

1+tan2-5

2

1-tan2^3

•••cosa=----=一

l+tanz?5

..7iy.71,,714

•••sm(za+一)=sinacos-+cosasin-=-x—V3.I--3x-1=-3+-4-V-3•

v6y66525210

②aC(兀,|兀)，

e(py)>sin|>0,cos|<0,

cosa=1—2sin2-=2cos2a—1=——

213

,a3V13a2V13

・•・sin-=-----cos-=

213213

+tan-6=-1

23

2tan-31-tan2g4

cosB=--------1=-

"l+tan2g5

22

,a_a.a.2V1343713317d

・•.cos(5+S)=cos-cospn-sin5sl印n=~—X--—x-=

65

解析：本题主要考查了两角和与差的正弦函数和余弦函数公式的应用.解题过程涉及到了万能公式

的应用.

(1)利用万能公式求得sina和cosa的值，进而利用两角和公式求得sin(a+§的值.

(2)通过二倍角公式求得s呜和cos押值，利用万能公式求得si印和cos.的值，最后利用两角和与差

的余弦函数求得答案.

18.答案：解：(1)根据题意，是定义在R上的奇函数,

则当久=0时，/(0)=4+m=0,解可得：m=—4

设x<0,则一久>0,则/(一%)=2-工+4一4=3-2：+?-4,

2—A2A

-j

又由/(_%)=-/(%),则f(%)=-3•2%-)+4(久V0),

故f(x)=

(2)当％>0时,f(x)=2%+£-4,

令f(%)=0,得/(%)=2%+费-4=0,即(2%)2—4・2%+3=0,

解可得2%=1或2%=3,即=0,x2=log23；

又由/(%)是定义在R上的奇函数，则当久＜0时根为第3=-logz3;

综合可得：方程/(%)=0的根为=0,外=1og23,%3=—log23.

解析：(1)根据题意，由奇函数的性质可得/(0)=4+租=0,解可得：m=-4,即可得函数的解析

式，结合函数的奇偶性分析可得答案;

(2)根据题意，由函数的解析式，当*20时，/(x)=2、+£—4,令/0)=0可得此时方程的根,

结合函数的奇偶性分析可得答案.

本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题.

19.答案：解：(1)第x年共收入50x万元，付出维修、保养费构成以12为首项，4为公差的等差数列，

共12x+X4=2X2+10x万元，

y=5Ox—98—(2x2+10%)=-2x2+40%—98,xEN*.

(2)由-2/+40x—98>0解得，10—同<久<10+同，且久CN*,

所以x=3,4,....17,故从第三年开始盈利.

⑶年平均盈利额为?=40-(2%+手)<40-2M2x98=12,当且仅当比=7时“=”号成立，

所以按第一方案处理总利润为-2X72+40x7-98+30=114(万元).

由y=-2久2+40%-98=-2(%-10)2+102<102,

所以按第二方案处理总利润为102+12=114(万元).

••・由于第一方案使用时间短，则选第一方案较合理.

解析：(1)赢利总额y元即x年中的收入50x减去购进机床的成本与这比年中维修、保养的费用，维修、

保养的费用历年成等差数增长，，

(2)由(1)的结论解出结果进行判断得出何年开始赢利.

(3)算出每一种方案的总盈利，比较大小选择方案.

考查审题及将题中关系转化为数学符号的能力，其中第二问中考查了一元二次不等式的解法，第三

问中考查到了基本不等式求最值，本题是一个函数基本不等式相结合的题.属应用题中盈利最大化

的问题.

20.答案：解：(1)由C)/T-6<1,得/—%—6>0,

解得x>3,或》<-2

A=(-8,-2)U