八年级数学下册19.2.4选择方案六大题型（解析版）

19.2.4选择方案-6大题型选择方案选择方案是指某一问题中，符合条件的方案有多种，一般要利用数学知识经过分析、猜想、判断，筛选出最佳方案，常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、运费最少、效率最高等，常建立函数模型，运用方程（组）或不等式的知识进行求解.用一次函数选择方案的一般步骤（1）"析"∶分析题意，弄清数量关系.（2）"列"∶列出函数解析式、不等式或方程.（3）"求"∶求出自变量在不同值对应的函数值的大小，或函数的最大（最小）值.（4）"选"∶结合实际需要选择最佳方案.注意∶在选择方案时，要考虑实际问题中自变量的取值范围，尤其要看它是不是某些特殊解（如正整数解）.特别提醒：１．解决含多个变时，注意分析这些变量的关系，从中选取—个根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学２．选择最佳方案实际上是在比较的基础上完成的，它往往是将全部方案——列举出来，然后根据题意选择一个最优的方案。题型1：省钱方案1.朗朗晴空、徐徐清风，民生之要、百姓之盼，某市深入贯彻生态文明思想，着力推动生态环境质量持续好转，努力绘就美丽中国画卷．市政府为了改善市内河流水质，市环保部门欲购买10台污水处理设备，现有A，B两种型号的设备，其中每台的价格，月处理污水量如下表，设购买A型号设备x台，购买这两种型号的设备共10台所需资金为y万元．A型B型价格（万元/台）1210每台设备处理污水量（吨/月）220200（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若政府规定每月要求处理污水量不低于2040吨，为了节约资金，请你为环保部门设计一种最省钱的购买方案．【分析】（1）根据A型号总费用+B型号总费用等于总费用求解即可；（2）根据政府规定每月要求处理污水量不低于2040吨，可得一元一次不等式，求出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可确定最省钱的购买方案．【解答】解：（1）根据题意，得y＝12x+10（10﹣x）＝2x+100，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x+100；（2）根据题意，得220x+200（10﹣x）≥2040，解得x≥2，∵y＝2x+100，2＞0，∴y随着x增大而增大，当x＝2时，y取得最小值，此时购买A型号设备2台，B型号设备8台，答：购买A型号设备2台，B型号设备8台时最省钱．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，理解题意并根据题意建立关系式是解题的关键．【变式1-1】为持续做好疫情防控工作，我校计划购买甲、乙两种额温枪．经市场调研得知：购买1个甲种额温枪和2个乙种额温枪共需700元，购买2个甲种额温枪和3个乙种额温枪共需1160元．（1）求每个甲种额温枪和乙种额温枪各多少元；（2）我校准备购买甲、乙两种型号的额温枪共50个，其中购买甲种额温枪不超过乙种额温枪．请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．【分析】（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得关于x和y的二元一次方程组，解方程组即可；（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，根据题意写出w关于m的一次函数，根据一次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）设每个甲种额温枪x元，每个乙种额温枪y元，根据题意得：，解得：．答：每个甲种额温枪220元，每个乙种额温枪240元；（2）设购买m个甲种额温枪，则购买（50﹣m）个乙种额温枪，总费用为w元，根据题意得：w＝220m+240（50﹣m）＝﹣20m+12000．∵m≤50﹣m，∴m≤25，即0≤m≤25且m为整数．∵﹣20＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝25时，w取最小值，w最小值＝﹣20×25+12000＝11500（元）．答：买25个甲种额温枪，25个乙种额温枪总费用最少，最少为11500元．【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．【变式1-2】烟台苹果驰名中外，某水果超市计划购进“红富士”与“新红星”两个品种的苹果．已知2箱红富士苹果的进价与3箱新红星苹果的进价的和为282元，且每箱红富士苹果的进价比每箱新红星苹果的进价贵6元．（1）求每箱红富士苹果的进价与每箱新红星苹果的进价分别是多少元？（2）若超市准备购买红富士和新红星两种苹果共50箱，且红富士的数量不少于一半，请设计出最省钱的购买方案，并求出最低费用．【分析】（1）设每箱红富士苹果的进价为x元，每箱新红星苹果的进价为y元，列二元一次方程组解答；（2）设购买红富士m箱，则购买新红星（50﹣m）箱，所需费用为W元，列出函数关系式，根据一次函数的性质解答．【解答】解：（1）设每箱红富士苹果的进价为x元，每箱新红星苹果的进价为y元，由题意可得，，解得．答：每箱红富士苹果的进价为60元，每箱新红星苹果的进价为54元．（2）设购买红富士m箱，则购买新红星（50﹣m）箱，所需费用为W元，由题意得，W＝60m+54（50﹣m）＝6m+2700，由题意，m≥25，∵6＞0，W随m的增大而增大，∴当m取最小值时，W值最小，即m＝25时，W有最小值，此时W＝6×25+2700＝2850（元），即购买红富士25箱时费用最少，最少费用是2850元．【点评】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．题型2：生产方案2.新冠肺炎疫情爆发，抗击新冠疫情防控工作至关重要，某公司加紧生产酒精消毒液与额温枪两种抗疫物质，其两种物资的生产成本和销售单价如表所示：种类生产成本（元/件）销售单价（元/件）酒精消毒液5662额温枪84100（1）若该公司2020年12月生产两种物资共100万件，生产总成本为6720万元，请用列二元一次方程组的方法；求该月酒精消毒液和额温枪两种物资各生产了多少万件？（2）该公司2021年1月生产两种物资共150万件，根据市场需求，该月将举办迎新年促销活动，其中酒精消毒液的销售单价降低2元，额温枪打9折销售．若设该月生产酒精消毒液m万件，该月销售完这两种物资的总利润为w万元，求w与m之间的函数关系式．【分析】（1）设该月酒精消毒液生产了a万件，额温枪生产了b万件，根据“该公司2020年12月生产两种物资共100万件，生产总成本为6720万元”，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，则该月生产额温枪（150﹣x）万件，根据总利润＝每件的销售利润×销售数量（生产数量），即可得出y与x之间的函数关系式．【解答】解：（1）设该月酒精消毒液生产了a万件，额温枪生产了b万件，依题意得：，解得：．答：该月酒精消毒液生产了40万件，额温枪生产了60万件．（2）设该月生产酒精消毒液x万件，该月销售完这两种物资的总利润为y万元，则该月生产额温枪（150﹣x）万件，依题意得：y＝（62﹣56﹣2）x+（100×0.9﹣84）（150﹣x）＝﹣2x+900．答：y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+900．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式．【变式2-1】“中国海带之乡”霞浦县今年又迎来一个丰收年．某海带养殖专业村为保障养殖户收益，联系了村海带加工厂，收购养殖户每天收割的鲜海带．该加工厂主要以加工干海带和盐渍海带两种方式处理每天收购的30吨鲜海带，工厂现有12名工人，每位工人在同一天中只能选择一种加工方式．若生产干海带，每人每天可加工2吨鲜海带，每吨可获利250元；若加工盐渍海带，每人每天可加工0.6吨鲜海带，每吨可获利600元；每天加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料．若安排所有的工人都加工干海带，则加工厂当天可获利6300元．（1）求加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利多少元；（2）根据市场销售情况，该加工厂决定生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍．问加工厂如何安排工人，可使每天生产的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利x元，根据“若安排所有的工人都加工干海带，则加工厂当天可获利6300元“得：12×2×250+（30﹣12×2）x＝6300，即可解得加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元；（2）设生产盐渍海带的m人，由生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍，有12﹣m≤2m，故m≥4，而w＝0.6m×600+2（12﹣m）×250+50[30﹣0.6m﹣2（12﹣m）]＝﹣70m+6300，由一次函数性质可得生产盐渍海带的4人，生产干海带的8人，可使每天生产的利润最大，最大利润是6020元．【解答】解：（1）设加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利x元，根据题意得：12×2×250+（30﹣12×2）x＝6300，解得x＝50，答：加工不完的鲜海带直接卖给鲍鱼养殖场作饲料，每吨可获利50元；（2）设生产盐渍海带的m人，每天生产的利润是w元，则生产干海带的（12﹣m）人，∵生产干海带的人数不超过盐渍海带人数的2倍，∴12﹣m≤2m，解得m≥4，根据题意得：w＝0.6m×600+2（12﹣m）×250+50[30﹣0.6m﹣2（12﹣m）]＝﹣70m+6300，∵﹣70＜0，∴当m＝4时，w取最大值，最大值为﹣70×4+6300＝6020（元），此时12﹣m＝8，答：生产盐渍海带的4人，生产干海带的8人，可使每天生产的利润最大，最大利润是6020元．【点评】本题考查一元一次方程和一次函数及一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式．【变式2-2】疫情期间，某企业为了保证能够尽快复工复产，准备为员工采购200袋医用口罩．因为疫情期间口罩等物资紧缺，无法购买同型号的口罩，经市场调研，准备购买A、B、C三种型号的口罩，这三种型号口罩单价如表所示：型号ABC单价（元/袋）303540若购买B型口罩的数量是A型的2倍，设购买A型口罩x袋，该企业购买口罩的总费用为y元．（1）请求出y与x的函数关系式；（2）已知口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少？并求最少总费用．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，可以得到x的取值范围，然后根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到当购买A型口罩多少袋时购买口罩的总费用最少，并求出最少总费用．【解答】解：（1）由题意可得，y＝30x+35×2x+40（200﹣x﹣2x）＝﹣20x+8000，∴y与x的函数关系式是y＝﹣20x+8000；（2）∵口罩生产厂家能提供的A型口罩的数量不大于C型口罩的数量，∴x≤200﹣x﹣2x，解得x≤50，∵y＝﹣20x+8000，∴y随x的增大而减小，∴当x＝50时，y取得最小值，此时y＝7000，答：当购买A型口罩50袋时购买口罩的总费用最少，最少总费用是7000元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．题型3：运调方案3.今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知租用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．（1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？（2）请你该物流公司设计租车方案；（3）若A型货车每辆需租金120元/次，B型货车每辆租金140元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方案；（3）根据总租金＝每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【解答】解：（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得：，解得：．答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨．（2）依题意，得：3a+4b＝31，∴a＝．又∵a，b均为正整数，∴或或，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为：120×9+140×1＝1220（元）；方案2所需租金为：120×5+140×4＝1160（元）；方案3所需租金为：120×1+140×7＝1100（元）．∵1220＞1160＞1100，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为1100元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．【变式3-1】龙泉驿水蜜桃已有80余年的种植历史，现有水蜜桃标准化基地面积达7.2万余亩，年产量8.3万吨，培育了白凤桃、皮球桃、晚湖景等50余个早中晚熟优良品种，有果大质优、色泽艳丽、汁多味甜三大特点，素有“天下第一桃”的美誉．已知甲乙两果园今年预计水蜜桃的产量分别为200吨和300吨，打算成熟后运到A，B两个仓库存放，已知A仓库可储存240吨，B仓库可储存260吨．甲，乙两果园运往两仓费用的单价如表：甲果园乙果园A仓库150元/吨140元/吨B仓库200元/吨180元/吨设从甲果园运往A仓库的水蜜桃重量为x吨，甲，乙两果园运往两仓库的水蜜桃运输费用分别为y甲元，y乙元．（1）求出y甲，y乙的函数关系式；（2）甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，在这种情况下，甲果园运往A仓库多少吨时，才能使两果园的运费之和最小？并求出最小值．【分析】（1）由运费＝数量×单价就可以得出y甲、y乙与x之间的函数关系式；（2）根据甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，求出x的范围，设两地运费之和为W元，表示出W与x的关系式，由一次函数性质可得答案．【解答】解：（1）由从甲果园运往A仓库的水蜜桃为x吨，可得从甲果园运往B仓库（200﹣x）吨，乙果园运往A仓库（240﹣x）吨，乙果园运往B仓库300﹣（240﹣x）＝（x+60）吨，根据题意：y甲＝150x+200（200﹣x）＝﹣50x+40000，y乙＝140（240﹣x）+180（x+60）＝40x+44400，∴y甲＝﹣50x+40000，y乙＝40x+44400；（2）∵甲果园今年预计拿出不超过36000元的费用作为运费，乙果园今年预计拿出不超过50000元的费用作为运费，∴，解得80≤x≤140，设两地运费之和为W元，由题意得：W＝﹣50x+40000+40x+44400＝﹣10x+84400，∵k＝﹣10，∴W随x的增大而减小，∴当x＝140时，W最小＝83000，∴甲果园运往A仓库的水蜜桃为140吨，两地运费之和最小，最小为83000元．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【变式3-2】党中央提出构建“国内国际双循环”新发展格局．某物流公司承接A、B两种出口货物的运输业务，已知2021年3月份A货物运费单价为70元/吨，B货物运费单价为40元/吨，共收取运费180000元；4月份由于油价下调，运费单价下降为：A货物50元/吨，B货物30元/吨；该物流公司4月承接的两种货物的数量与3月份相同，4月份共收取运费130000元．（1）该物流公司3月份运输两种货物各多少吨？（2）该物流公司预计5月份运输这两种货物共3600吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与4月份相同的情况下，该物流公司5月份最多将收到多少运费？【分析】（1）设该物流公司3月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，可得：，即可解得该物流公司3月份运输A货物2000吨，运输B货物1000吨；（2）设该物流公司预计5月份运输B货物m吨，由A货物的数量不大于B货物的2倍，得m≥1200，设该物流公司5月份共收到w元运费，w＝50×（3600﹣m）+30m＝﹣20m+180000，根据一次函数性质可得该物流公司5月份最多将收到156000元运费．【解答】解：（1）设该物流公司3月份运输A货物x吨，运输B货物y吨，依题意得：，解得：，答：该物流公司3月份运输A货物2000吨，运输B货物1000吨；（2）设该物流公司预计5月份运输B货物m吨，则运输A货物（3600﹣m）吨，∵A货物的数量不大于B货物的2倍，3600﹣m≤2m，解得：m≥1200，设该物流公司5月份共收到w元运费，则w＝50×（3600﹣m）+30m＝﹣20m+180000，∵﹣20＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝1200时，w有最大值，W最大＝﹣20×1200+180000＝156000（元）．答：该物流公司5月份最多将收到156000元运费．【点评】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组，不等式及函数关系式．题型4：支付方案4.某儿童娱乐项目推出两种付费方式.方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人凭证娱乐，每次再付费4元；方式二：不购买会员证，每次付费8元.设小华计划今年娱乐次数为x（x为正整数）（1）根据题意，填写下表：今年娱乐次数51020⋯x方式一的总费用（元）120140⋯方式二的总费用（元）4080⋯（2）若小华计划今年娱乐的总费用为192元，选择哪种付费方式，他娱乐的次数比较多？（3）当x>20时，小华选择哪种付费方式更合算？并说明理由【答案】（1）180；4x+10；160；8x（2）解：方式一：4x+100=192，解得x=23.方式二：8x=192，解得x=24.∵24>23，∴小华选择方式二，娱乐次数比较多（3）解：设方式一与方式二的总费用的差为y元则y=(4x+100)-8x，即y=-4x+100当y=0，即-4x+100=0，得x=25.∴当x=25时，小华选择这两种方式一样合算.∵-4<0∴y随x的增大而减小∴当20<x<25时，有y>0，小华选择方式二更合算；当x>25时，有y<0，小华选择方式一更合算【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：180；4x+100；160；8x；

故答案为：180，4x+100，160，8x；

【分析】（1）根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；

（2）根据题意可以求得当费用为192元时，两种方式下的娱乐次数；

（3）设方式一和方式二的总费用的差为y元，则y=4x+100-8x=-4x+100，再利用一次函数的性质可以计算出x在什么范围内，哪种付费更合算.【变式4-1】为提倡“双减”政策，丰富学生在校期间的体育活动，某学校决定到商场采购一批体育用品，恰逢甲、乙两商场都有优惠活动，甲商场：所有商品均打八折；乙商场：一次性购买不足200元时不优惠，若超过200元，则超过的部分打七折，设购买体育用品总价为x元，甲商场实付费用为y甲元，乙商场实付费用y乙元．（1）请分别写出甲商场实付费用y甲，乙商场实付费用y乙与x的函数表达式；（2）请利用所学知识，帮助负责采购的老师计算一下，所选商品的总价为多少元时，甲、乙商场的实付金额一致．【分析】（1）根据两个商场的优惠方案列出函数关系式即可；（2）结合（2）列出方程可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y甲＝0.8x；当0≤x≤200时，y乙＝x，当x＞200时，y乙＝200+0.7（x﹣200）＝0.7x+60；∴y乙＝；（2）令0.8x＝0.7x+60，解得：x＝600，∴所选商品的总价为600元时，甲、乙商场的实付金额一致．【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．【变式4-2】甲、乙两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的票价均为每人90元，但优惠的办法不同．甲旅行社的优惠是：全家有一人购全票，其余人半价优惠；乙旅行社的优惠是：全家按六折优惠．设某一家庭共有x人，甲、乙两家旅行社的收费分别是y1、y2元．（1）求y1、y2与x之间的函数关系式；（2）请根据不同家庭的人数情况，说明选择哪家旅行社的费用较低？【分析】（1）根据题意和题目中的数据可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；（2）根据题意和（1）中的关系式，可以写出相应的不等式，然后即可得到选择哪家旅行社的费用较低．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝90+90（x﹣1）×0.5＝45x+45，y2＝90x×0.6＝54x，由上可得，y1与x之间的函数关系式是y1＝45x+45，y2与x之间的函数关系式y2＝54x；（2）当45x+45＜54x时，可得x＞5，即当某一家庭人数超过5人时，选择甲旅行社的费用比较低；当45x+45＝54x时，可得x＝5，即当某一家庭有5人时，选择两家旅行社的费用一样；当45x+45＞54x时，可得x＜5，即当某一家庭人数不足5人时，选择乙旅行社的费用比较低．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，列出相应的不等式．题型5：销售方案5.某种优质蜜柚，投入市场销售时，经调查，该蜜柚每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间符合一次函数关系，如图所示．（1）求y与x的函数关系式；（2）某农户今年共采摘该蜜柚4500千克，其保质期为30天，若以14元/千克销售，问能否在保质期内销售完这批蜜柚？请说明理由．【分析】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式；（2）将x＝14代入（1）的函数解析式，求出相应的y的值，从而可以求得30天的销售量，然后与4500比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将点（5，250），（10，200）代入解析式中得，解得，即y与x的函数关系式为y＝﹣10x+300；（2）能在保质期内销售完这批蜜柚，理由：将x＝14代入y＝﹣10x+300，得y＝﹣10×14+300＝160，∵160×30＝4800＞4500，∴能在保质期内销售完这批蜜柚．【点评】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的关系式．【变式5-1】为响应政府号召，某地水果种植户借助电商平台，在线下批发的基础上同步在电商平台线上零售水果．已知线上零售200kg、线下批发400kg水果共获得18000元；线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同．（1）求线上零售和线下批发水果的单价分别为每千克多少元？（2）该种植户某月线上零售和线下批发共销售水果4000kg，设线上零售mkg，获得的总销售额为w元：①请写出w与m的函数关系式；②当线上零售和线下批发的数量相等时，求获得的总销售额为多少？【分析】（1）根据线上零售200kg、线下批发400kg水果共获得18000元；线上零售50kg和线下批发80kg水果的销售额相同，可以列出相应的方程组，然后求解即可；（2）①根据题意和（1）中的结果，可以写出w与m的函数关系式；②根据线上零售和线下批发的数量相等，可以求得m的值，然后代入①中关系式计算即可．【解答】解：（1）设线上零售水果的单价为每千克x元，线下批发水果的单价为每千克y元，由题意得：，解得，答：线上零售水果的单价为每千克40元，线下批发水果的单价为每千克25元；（2）①由题意可得，w＝40m+25（4000﹣m）＝15m+100000，即w与m的函数关系式是w＝15m+100000；②∵线上零售和线下批发的数量相等，∴m＝4000﹣m，解得m＝2000，∴当m＝2000时，w＝15×2000+100000＝130000，答：当线上零售和线下批发的数量相等时，获得的总销售额为130000元．【点评】本题考查二元一次方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式．【变式5-2】某工厂的销售部门提供两种薪酬计算方式：薪酬方式一：底薪+提成，其中底薪为3000元，每销售一件商品另外获得15元的提成；薪酬方式二：无底薪，每销售一件商品获得30元的提成．设销售人员一个月的销售量为x（件），方式一的销售人员的月收入为y1（元），方式二的销售人员的月收入为y2（元）．（1）请分别写出y1、y2与x之间的函数表达式；（2）哪种薪酬计算方式更适合销售人员？【分析】（1）根据已知直接可得y1、y2与x之间的函数表达式；（2）由（1）的表达式，分别列方程和不等式，即可解得答案．【解答】解：（1）根据题意得：y1与x之间的函数表达式为y1＝3000+15x，y2与x之间的函数表达式为y2＝30x；（2）由3000+15x＝30x，解得：x＝200，∴当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当3000+15x＜30x时，解得x＞200，∴当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．当3000+15x＞30x时，解得x＜200，∴当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，综上所述，当x＜200时薪酬方式一计算方式更适合销售人员，当x＝200时，选择两种薪酬计算方式对销售人员一样，当x＞200时，薪酬方式二计算方式更适合销售人员．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，通过方程（或不等式））解答．题型6：利润方案6.某经销商在生产厂家订购了两种畅销的粽子，两种粽子的进货价和销售价如下表：类别价格A种B种进货价（元/盒）2530销售价（元/盒）3240（1）若经销商用1500元购进A，B两种粽子，其中A种的数量是B种数量的2倍少4盒，求A，B两种粽子各购进了多少盒？（2）若经销商计划购进A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，且计划购进两种“粽子”共60盒，经销商该如何设计进货方案，才能使销售完后获得最大利润？最大利润为多少？【分析】（1）设购进种“粽子”x盒，则购进B种“粽子”y盒，根据两种粽子的费用之和等于1500元，列出方程组求解即可．（2）设购进B种粽子m盒，则购进A种粽子（60﹣m）盒，总利润为w，根据A种“粽子”的数量不少于B种“粽子”数量的2倍，求出m的范围，再列出w关于m的函数关系式，求最值即可．【解答】解：（1）设购进A种“粽子”x盒，则购进B种“粽子“y盒，由题意得，，解得，，答：购进A种粽子36盒，购进B种粽子20．（2）设购进B种粽子m盒，则购进A种粽子（60﹣m）盒，总利润为w，由题意可知60﹣m≥2m，解得m≤20，w＝（32﹣25）（60﹣m）+（40﹣30）m＝3m+420，∵3＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝20时，w最大值＝3×20+420＝480，答：当购进A种粽子40盒，购进B种粽子20盒时，销售完后获得的利润最大，最大利润为480元．【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，列出方程或函数关系式是解题关键．【变式6-1】俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记作A）和导弹（记作B）两种模型，若购进A种模型10件，B种模型5件，需要1000元；若购进A种模型4件，B种模型3件，需要550元．（1）求购进A，B两种模型每件分别需多少元？（2）若销售每件A种模型可获利润20元．每件B种模型可获利润30元．商店用1万元购进模型，且购进A种模型的数量不超过B种模型数量的8倍，设总盈利为W元，购买B种模型b件，请求出W关于b的函数关系式，并求出当b为何值时，销售利润最大，并求出最大值．【分析】（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可．（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意得，，求出b的范围，再列出W与b的函数关系式，求最值即可．【解答】解：（1）设购进A，B两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得：，解得，，答：A，B两种模型每件分别需要25元，150元．（2）设购买A种模型a件，购买B种模型b件，由题意得，，解得，b≥，则购买A种模型为件，即（400﹣6b）件，则W＝20×（400﹣60b）+30b＝8000﹣90b，∵﹣90＜0，∴当b取最小值时，W最大，∵b≥，b取整数，∴当b＝29时，W最大值＝8000﹣90×29＝5390．答：W＝8000﹣90b；当b＝29时，利润最大为5390元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出方程组，函数关系式是解题的关键．【变式6-2】某店销售甲、乙两种特价商品，两种商品的进价与售价如表所示：甲商品乙商品进价（元/件）355售价（元/件）458该店计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润为y元．（1）求出y与x之间的函数关系式；（2）若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x之间的函数关系式；（2）根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润是多少．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（45﹣35）x+（8﹣5）（100﹣x）＝7x+300，即y与x之间的函数关系式是y＝7x+300；（2）由（1）知：y＝7x+300，∴y随x的增大而增大，∵购进乙商品的件数不少于甲商品件数的3倍，∴100﹣x≥3x，解得x≤25，∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝475，100﹣x＝75，答：当购进甲种商品25件、乙种商品75件时，可使得甲、乙两种商品全部销售完后获得的利润最大，最大利润是475元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．一、单选题1．如图，甲乙两人以相同的路线前往距离单位的培训中心参加学习，图中，分别表示甲乙两人前往目的地所走的路程(千米)随时间(分)变化的函数图象，以下说法：①乙比甲提前12分钟到达②甲平均速度为0.25千米/小时③甲、乙相遇时，乙走了6千米④乙出发6分钟后追上甲，其中正确的是()A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图可得，乙比甲提前：40−28=12分钟到达，故①正确；甲的平均速度为：10÷=15千米/小时，故②错误；乙的速度为：10÷=60千米/小时，设甲、乙相遇时，甲走了x分钟，，解得，x=24，则甲、乙相遇时，乙走了60×=6千米，故③正确；乙出发24−18=6分钟追上甲，故④正确；故选C.【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键.2．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩余油量Q(升)与流出时间t(分钟)的函数关系是(

)A．Q＝0.2t B．Q＝20﹣0.2tC．t＝0.2Q D．t＝20﹣0．2Q【答案】B【分析】根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”结合题中已知条件列式表达即可．【详解】由题意可得：Q=20-0.2t．故选B．【点睛】读懂题意，知道“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”是解答本题的关键．3．一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港，行驶过程随时间变化的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．轮船的速度为20千米/小时 B．快艇的速度为千米/小时C．轮船比快艇先出发2小时 D．快艇比轮船早到2小时【答案】B【分析】先计算轮船和快艇的速度，再结合图象，逐一判断．【详解】解：轮船的速度为：160÷8＝20千米/小时，快艇的速度为：160÷（6﹣2）＝40千米/小时，故A正确，B错误；由函数图象可知，C、D正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用，解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数表示的实际意义，再结合实际意义得到正确的结论．4．某地海拔高度与温度的关系可用来表示（其中温度单位为，高度单位为千米），则该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】把高度单位化为千米，代入求解即可【分析】解：2000米千米时，该地区海拔高度为2000米的山顶上的温度是．故选：D．【点睛】本题考查一次函数的运用，运用代入法求解即可，注意转换单位5．甲、乙两人从科技馆出发，沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超出甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极地馆.如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）的函数图象.则下列四种说法：①甲的速度为1.5米/秒；②a=750;③乙在途中等候甲100秒;④乙出发后第一次与甲相遇时乙跑了375米.其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】试题分析：①根据图象可以得到：甲共跑了900米，用了600秒，则速度是：900÷600=1.5米/秒；②甲跑500秒时的路程是：500×1.5=750米，则α=750;③CD段的长是900-750=150米，时间是：560-500=60秒，则速度是：150÷60=2.5米/秒；甲跑150米用的时间是：150÷1.5=100秒，则甲比乙早出发100秒．乙跑750米用的时间是：750÷2.5=300秒，则乙在途中等候甲用的时间是：500-300-100=100秒．④甲每秒跑1.5米，则甲的路程与时间的函数关系式是：y=1.5x，乙晚跑100秒，且每秒跑2.5米，则AB段的函数解析式是：y=2.5（x-100），根据题意得：1.5x=2.5（x-100），解得：x=250秒．乙的路程是：2.5×（250-100）=375（米）．考点：一次函数的应用．二、填空题6．梯形上底的长是x，下底的长是15，高是6，梯形面积y与上底长x之间的关系式是_______【答案】y=3x+45.【详解】试题分析：根据梯形的面积公式：（上底+下底）×高÷2进行计算即可．试题解析：根据梯形的面积公式可得y=（x+15）×6÷2=3x+45.考点：函数关系式．7．如图，点A的坐标为，B点的坐标为，将沿x轴向右平移后得到，点A的对应点恰好落在直线上，则点的坐标是______．【答案】【分析】根据平移的性质知＝，由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即的长度，即可得点的坐标；【详解】解：如图，连接、，∵点的坐标为，沿x轴向右平移后得到，∴点的纵坐标是3，又∵点的对应点在直线上一点，∴，解得x＝4，∴点的坐标是，∴＝4，∴根据平移的性质知＝＝4，∵点坐标为，△OAB沿x轴向右平移后得到，∴点的坐标是，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化−−平移，根据平移的性质得到＝是解题的关键．8．今年清明节期间，为提倡文明、环保祭祖，某烟花销售商拟今年不再销售烟花爆竹，改为销售鲜花．经过市场调查，发现有甲、乙、丙、丁四种鲜花组合比较受顾客的喜爱，于是制定了进货方案，其中甲、丙的进货量相同，乙、丁的进货量相同；甲与丁单价均20元/束，乙、丙的单价均为40元/束，且甲、乙的进货总价比丙、丁的进货总价多560元．由于年末资金周转紧张，所以临时决定只购进甲、乙两种组合，甲、乙的进货量与原方案相同，且甲、乙的进货总量不超过400束，则该销售商最多需要准备____元进货资金．【答案】12280【分析】一是甲、乙、丙、丁四种鲜花求进价时都满足：总价=单价×数量关系式；二是甲乙的总价丙丁的总价=560元；三是甲、乙的进货量数量关系为；四是销售商货资金表示为，综合用不等式的知识结合函数知识可求进货最多资金．【详解】解：设甲、丙进货量各为x束，乙丁进货量各为y束；甲、丁单价为20元/束，乙、丙单价为40元/束，依题意得：，化简得：，即，∵年末只购进甲、乙两种组合，且进货量不变，总数不超过400束，∴，∴，解得：，设进货总资金为w元，则有：，当时，的最大值为，∴该销售商最多需要准备12280元进货资金．故答案为12280．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，二元一次方程的应用，一次函数的应用，重点掌握总价、数量和单价之间的等量关系，进货总数不超过400束列不等量关系，难点是列不等关系时是否用取等号．三、解答题9．某学校STEAM社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（图1）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．该实验小组从函数角度进行了如下实验探究：实验