八年级数学下册专项训练：勾股定理的应用（解析版）

【专项训练】勾股定理（逆定理）的应用题型1：求树/旗杆的高度1如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解答】解：如图，根据题意BC＝2米，∠BCA＝90°，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D【变式1-1】如图，在离地面高度6m处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，则拉线AC的长是（）A．12m B．2m C．4m D．6m【分析】根据三角形的内角和定理得到∠DCA＝30°，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵CD＝6m，∠CDA＝90°，∠CAD＝60°，∴∠DCA＝30°，∴AC＝2AD，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝（AC）2+62，解得AC＝4，故拉线AC的长是4m，故选：C【变式1-2】（2022八下·冠县期末）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦12米（AC的长）处，升起云梯到火灾窗口，云梯AB长20米，云梯底部距地面3米（AE的长），问：发生火灾的住户窗口距离地面有多高（BD的长）？【答案】解：由题意可知：AE=CD=3米，AC=DE=12米，AB=20米；在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即BC2+122=202，解得：BC=16（米），∴BD=BC+CD=16+3=19（米）；答：发生火灾的住户窗口距离地面19米．【解析】【分析】利用勾股定理可得BC2+122=202，求出BC的长，再利用线段的和差求出BD的长即可。【变式1-3】如图，有两棵树，一棵高19米，另一棵高10米，两树相距12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．10米 B．15米 C．16米 D．20米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的顶端进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，建立数学模型，两棵树的高度差AC＝19﹣10＝9米，间距AB＝DE＝12米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离BC＝＝15米．故选：B【变式1-4】（2022八下·杭州月考）如图，在一次课外活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧A，B两个凉亭之间的距离，已知CD⊥BD，现测得AC=203m，BC=60m，CD=【答案】解：在Rt△CDA中，∵AC＝203m，CD=∴AD2＝AC2−CD2，AD=103在Rt△CDB中，∵CD=30m，BC=60m，∴BD2＝BC2−CD2，BD=30∴AB＝BD-AD=20答：A，B两个凉亭之间的距离为203【解析】【分析】在Rt△CDA和Rt△CDB中利用勾股定理分别求出AD、BD长，再由AB＝BD-AD，代入数据计算即可得出两个凉亭之间的距离．题型2：梯子问题2（2022八下·黔西月考）如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，梯子顶端A也下落了0.5米吗？【答案】解：在Rt△ABC中BC=1.5，∴由勾股定理得，AC∴AC=2.在Rt△DEC中，CD=BC+BD=1.5+0.∴EC∴EC=1.∴AE=AC-EC=2-1.答：梯子顶端A也下落了0.5米.【解析】【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理算出AC的长，在Rt△DEC中，利用勾股定理算出EC的长，进而根据AE=AC-EC算出答案.【变式2-1】如图，学校要把宣传标语挂到教学楼的顶部C处，已知楼顶C处离地面的距离CA为8m，为保证安全，梯子的底部和墙基的距离AB至少为4m，要使云梯的顶部能到达C处，估计云梯的长度至少为（）A．8m B．9m C．10m D．12m【分析】利用勾股定理求出BC的长度，估算后即可得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8m，AB＝4m，∴BC＝＝＝（m），∵8＜＜9，∴云梯的长度至少9m，故选：B【变式2-2】（2020八下·南康月考）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离AC为0.7米，顶端到地面距离BC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端到地面距离B'D为2米，求小巷的宽度【答案】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝2.4米，AC＝0.7米，∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25，在Rt△AB′D中，∵∠ADB′＝90°，B′D＝2米，∴AD2＋22＝6.25，∴AD2＝2.25．∵AD＞0，∴AD＝1.5米．∴CD＝AC＋AD＝0.7＋1.5＝2.2米．答：小巷的宽度CD为2.2米．【解析】【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出AD的长，进而可得出结论．【变式2-3】如图，淇淇在离水面高度为5m的岸边C处，用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m．（1）开始时，船距岸A的距离是m；（2）若淇淇收绳5m后，船到达D处，则船向岸A移动m．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长；（2）根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，BC＝13m，AC＝5m，∴（m），故答案为：12；（2）∵淇淇收绳5m后，船到达D处，∴CD＝5（m），∴AD＝（m），∴BD＝AB﹣AD＝（12﹣）m．故答案为：（12﹣）题型3：九章算术问题3在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4 B．3.6 C．4.5 D．4.55【分析】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【变式3-1】《九章算术》是我国古代的数学名著，书中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2﹣3＝（10﹣x）2 B．x2﹣32＝（10﹣x）2 C．x2+3＝（10﹣x）2 D．x2+32＝（10﹣x）2【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：D【变式3-2】《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为尺．【分析】设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，根据勾股定理列方程解方程即可．【解答】解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断的长度为（10﹣x）尺，由勾股定理得x2+32＝（10﹣x）2，解得x＝4.55，∴折断处离地面的高度为4.55尺，故答案为：4.55题型4：影响范围问题4（2022八下·兴仁月考）为了抗旱保收，某市准备开采地下水，经探测，C处地下有水，为此C处需要爆破，已知C处与公路上的停靠站A的距离为300m，与公路上的另一停靠站B的距离为400m，AB的距离为500m，如图所示，为了安全，爆破点C周围250m的范围内禁止进入，在进行爆破时，公路AB段某部分是否有危险而需要暂时封锁？【答案】解：根据题意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，∵AC∴∠ACB=90°，如图，过C作CD⊥AB于点D，∵S∴CD=240m，∵240m<250m，故公路AB段有危险，需要暂时封锁.【解析】【分析】根据题意得AC=300m，BC=400m，AB=500m，利用勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，过C作CD⊥AB于点D，根据等面积法可得CD，然后与250进行比较即可判断.【变式4-1】今年第6号台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝600km，BC＝800km，又AB＝1000km，以台风中心为圆心，周围500km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而得出∠ACB的度数；（2）利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（3）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．【解答】解：（1）∵AC＝600km，BC＝800km，AB＝1000km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）海港C受台风影响，理由：过点C作CD⊥AB，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴600×800＝1000×CD，∴CD＝480（km），∵以台风中心为圆心周围500km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（3）当EC＝500km，FC＝500km时，正好影响C港口，∵ED＝＝140（km），∴EF＝280km，∵台风的速度为28千米/小时，∴280÷28＝10（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为10小时．【变式4-2】如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP＝160米，∠NPQ＝30°，拖拉机的速度是5米/秒，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校是否会受到影响，请说明理由；若受到影响，那么学校受到的影响的时间为多少秒？【分析】作AH⊥MN于H，如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到AH＝AP＝80，则点A到MN的距离小于100，从而可判断学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，利用等腰三角形的性质得BH＝CH，利用勾股定理计算出BH＝60，得到BC＝2BH＝120，然后利用速度公式计算出学校受到的影响的时间．【解答】解：过A作AH⊥MN于H，如图，在Rt△APH中，∵∠HPA＝30°，∴AH＝AP＝×160＝80，∵80＜100，∴拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时学校会受到影响；以A为圆心，100为半径画弧交MN于B、C，如图，则AB＝AC＝100，而AH⊥BC，∴BH＝CH，在Rt△ABH中，BH＝＝＝60，∴BC＝2BH＝120，∴＝24（秒），答：学校受到的影响的时间为24秒．题型5：航海问题5（2022八下·鞍山期末）如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离．【答案】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），根据勾股定理得：AB=A即3小时之后两客轮之间的距离90海里．【解析】【分析】先求出OA和OB的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。【变式5-1】在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，A舰艇以12海里/时的速度离开港口O，向北偏西50°方向航行．同时，B舰艇在同地以16海里/时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则B舰艇的航行方向是（）A．北偏东60° B．北偏东50° C．北偏东40° D．北偏东30°【分析】根据勾股定理的逆定理判断△AOB是直角三角形，求出∠BOD的度数即可．【解答】解：由题意得，OA＝12×1.5＝18（海里），OB＝16×1.5＝24（海里），又∵AB＝30海里，∵182+242＝302，即OB2+OA2＝AB2∴∠AOB＝90°，∵∠DOA＝50°，∴∠BOD＝40°，则另一艘舰艇的航行方向是北偏西40°，故选：C．【变式5-2】（2022八下·惠州期末）某船从港口A出发沿南偏东32°方向航行12海里到达B岛，然后沿某方向航行16海里到达C岛，最后沿某个方向航行了20海里回到港口A，则该船从B到C是沿哪个方向航行的？（即求C岛在B岛的哪个方位，距离B岛多远？），请说明理由．【答案】解：如图，∵AB=12，BC=16，AC=20，∴AB2+BC2=400=AC2，∴∠ABC=90°，由题知∠1=32°，∴∠2=180°-∠ABC-∠1=58°．∴该船从B到C沿着南偏西58°方向航行，C岛距离B岛16海里．【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理可求出∠ABC=90°，利用平角的定义求出∠2的度数，即得结论.【变式5-3】（2022八下·黄冈月考）如图，两艘海舰在海上进行为时2小时的军事演习，一海舰以120海里/时的速度从港口A出发，向北偏东60°方向航行到达B，另一海舰以90海里/时的速度同时从港口A出发，向南偏东30°方向航行到达C，则此时两艘海舰相距多少海里？【答案】解：由题意知，∠BAC＝90°AB=2×120=240（海里）AC=2×90=180（海里）在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=A答：此时两艘海舰相距300海里.【解析】【分析】根据题意可得∠BAC＝90°，分别求出2小时两辆海舰走过的路程AB和AC，再利用勾股定理求得两艘海舰的距离BC的长度.题型6：立体图形的最短路径问题6如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为、、．和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程为A．15 B．17 C．20 D．25【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【答案】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为，则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程为，由勾股定理得：，解得．故选：【变式6-1】如图，一圆柱高为，底面周长是，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，且，则最短路线长为A． B． C． D．【分析】根据题意画出图形，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，根据勾股定理求出即可．【答案】解：如图展开，连接，则就是蚂蚁爬行的最短路线长，则，，，，，由勾股定理得：，即蚂蚁爬行的最短路线长是，故选：【变式6-2】如图，长方体的底面边长为和，高为．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达，那么所用细线最短需要A． B． C． D．【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【答案】解：将长方体展开，连接、，则，，根据两点之间线段最短，．故选：．【变式6-3】如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相对方向有一小虫，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米【分析】由于小虫从外壁进入内壁，要先到杯子上沿，再进入杯子，故先求出到杯子沿的最短距离即可解答．【答案】解：如图所示：最短路径为：，将圆柱展开，，最短路程为．故选：题型7：折叠问题7.如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10，当折痕的另一端F在AB边上时，求△EFG的面积．【答案】25.【解析】解：如图，过G作GH⊥AD于H，∵在Rt△GHE中，∠GHE=90°，GE=BG=10，GH=8，∴EH=102∴AE=10﹣6=4．设AF=x，则EF=BF=8﹣x，∵在Rt△GHE中，∠A=90°，∴AF2+AE2=EF2，即x2+42=（8﹣x）2，解得：x=3，∴AF=3，BF=EF=5，∴△EFG的面积=12EF•EG=1【变式7-1】如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD′≌△CFB，得BF＝D′F，设D′F＝x，则在Rt△AFD′中，根据勾股定理求x，∴AF＝AB﹣BF．【解答】解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10【变式7-2】矩形纸片ABCD中，AD＝10cm，AB＝4cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝cm．【分析】根据已知条件可以知道，DE＝BE，若设DE＝x，则DE＝BE＝x，AE＝10﹣x，在Rt△ABE中可以利用勾股定理，列方程求出DE的长．【解答】解：设DE＝x，则BE＝DE＝x，AE＝10﹣x，又∵在Rt△ABE中AB2+AE2＝BE2，即42+（10﹣x）2＝x2，解得x＝．故答案为：【变式7-3】如图，沿AE折叠长方形ABCD，使D点落在BC边的点F处，若AB＝12cm，BC＝13cm，则FC的长度是．【分析】根据△ADE≌△AFE，得AD＝AF，已知AB，AF根据勾股定理计算BF，FC＝BC﹣BF．【解答】解：沿AE折叠后，有△ADE≌△AFE，AF＝AD＝13cm，在Rt△ABF中，AF＝13cm，AB＝12cm，∴BF＝＝5cm∴FC＝BC﹣BF＝8cm．故答案为8cm题型8：面积问题8.（2019八下·乌兰浩特期末）如图，已知直角△ABC的两直角边分别为6，8，分别以其三边为直径作半圆，求图中阴影部分的面积．【答案】解：根据Rt△ABC的勾股定理可得：AB=10，则S=1【解析】【分析】阴影部分的面积等于以AC、BC为直径的半圆的面积加上△ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积.【变式9-1】如图，四边形ABCD中∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求四边形ABCD的面积．【答案】解：如图，延长AD、BC交于E．∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=90°﹣60°=30°，在Rt△ABE和Rt△CDE中，∵AB=2，CD=1，∴AE=2AB=2×2=4，CE=2CD=2×1=2，由勾股定理得，BE=42-2DE=22-1∴S四边形ABCD=12×23×2﹣12×=23﹣32=33【解析】【分析】延长AD、BC交于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠E=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AE、CE，再利用勾股定理列式求出BE、DE，然后根据四边形的面积等于两个直角三角形的面积的差列式计算即可得解．【变式9-2】如图所示，在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，D是BC的中点，求AD的长和△ABD的面积．【答案】解：∵AC2+BC2=52+122=169AB2=132=169∴【解析】【分析】先利用勾股定理的逆定理判断△ABC的形状，再利用线段中点的定义求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解。题型9：动点问题9.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB=2，DE=1，BD=8，设CD=x．（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小；（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式x2【答案】（1）解：设CD=x，则BC=8-x，∵AC=(8-x)2+4，CE=∴AC+CE=(8-x)2+4（2）解：由两点之间线段最短可知，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小（3）解：如图所示作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数x2过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，所以AE=AF2+EF即x2【变式9-1】（2021八下·甘孜期末）如图，在直角三角形ΔABC中，∠B=90°，AB=12cm，BC=16cm，点P从A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点（1）求t为何值时，ΔPBQ为等腰三角形？（2）是否存在某一时刻t，使点Q在线段AC的垂直平分线上？（3）点P，Q在运动的过程中，是否存在某时刻t，直线PQ把ΔABC的周长分为【答案】（1）解：由题意得，AP=2t则BP=12-2t当ΔPBQ为等腰三角形时，只有BP=BQ，∴12-2t=4t解得，t=2（2）解：当点Q在线段AC的垂直平分线上时，连接QA，QC=QA设BQ=x则1解得，x=3.5∴t=3（3）解：在RtΔABC中，AC=当直线PQ把ΔABC的周长分为1：①当AC+AP+CQ=2×(BP+BQ)时，20+2t+16-4t=2(12-2t+4t)，解得，t=2②当2(AC+AP+CQ)=BP+BQ时，2(20+21+16-4t)=12-2t+4t解得，t=10∴当t=2或10时，直线PQ把ΔABC的周长分为1：【解析】【分析】（1）由题意得AP=2t，BQ=4t，则BP=12-2t，当△PBQ为等腰三角形时，只有BP=BQ，代入求解可得t的值；

（2）当点Q在线段AC的垂直平分线上时，连接QA，则QC=QA，设BQ=x，根据勾股定理求出x，据此可得t的值；

（3）首先利用勾股定理求出AC，然后分AC+AP+CQ=2(BP+BQ)；2(AC+AP+CQ)=BP+BQ，代入求解可得t的值.【变式9-2】（2022八下·章丘期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点P在AC上运动，点D在AB上运动，PD始终保持与PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断DE与PD的位置关系，并说明理由；（2）若AC＝3，BC＝4，PA＝1，则线段DE的长为．【答案】（1）解：DE⊥DP，理由如下：∵PD＝PA，∴∠A=∠PDA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB＝ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴∠PDA+∠EDB=90∘，∴∠PDE=180（2）19【解析】【解答】解：（2）如图所示，连接PE，∵AP=1，AC=3，

∴CP=2，PD=AP=1，

∵EF垂直平分BD，

∴BE=DE，设DE=BE=x，则CE=BC-BE=4-x，

在Rt△CPE中，PE2=CP2+CE2，

在Rt△CDE中，PE2=PD2【分析】（1）先利用垂直平分线的性质可得EB=ED，可得∠B=∠EDB，再结合∠C＝90°，求出∠PDA+∠EDB=90∘，最后利用三角形的内角和求出∠PDE=180∘-∠PDA-∠EDB=18【变式9-3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，点D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒．点D运动的速度为每秒1个单位长度．

（1）当t=2时，CD=，AD=；（2）求当t为何值时，△CBD是直角三角形，说明理由；（3）求当t为何值时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形？并说明理由．【答案】（1）2；8（2）①∠CDB=90°时，S△ABC=12AC•BD=1即12×10•BD=1解得BD=4.8，∴CD=BC2-Bt=3.6÷1=3.6秒；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，t=10÷1=10秒，综上所述，t=3.6或10秒；故答案为：（1）2，8；（2）3.6或10秒（3）①CD=BC时，CD=6，t=6÷1=6；②BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，则CF=3.6，CD=2CF=3.6×2=7.2，∴t=7.2÷1=7.2，综上所述，t=6秒或7.2秒时，△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形．【解析】【解答】解：（1）t=2时，CD=2×1=2，∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=AB2+BAD=AC﹣CD=10﹣2=8；故答案是：2；8．【分析】（1）根据CD=速度×时间列式计算即可得解，利用勾股定理列式求出AC，再根据AD=AC﹣CD代入数据进行计算即可得解；（2）分①∠CDB=90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间=路程÷速度计算；②∠CBD=90°时，点D和点A重合，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解；（3）分①CD=BC时，CD=6；②BD=BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF，再由（2）的结论解答．题型10：勾股定理的证明10.（2022•小店区校级开学）【问题背景】勾股定理是重要的数学定理，它有很多种证明方法【定理表述】（1）用文字语言叙述勾股定理的内容：【定理证明】（2）以图1中的直角三角形为基础，延长BE到点C，使CE＝a，过点C作：CD⊥CE，使CD＝b，连接DE，AD（如图2），则AE⊥DE，AD＝c，四边形ABCD是以a为底、（a+b）为高的直角梯形，请利用图2证明勾股定理．【定理应用】（3）当a≠b时，利用图2，可以证明a+b＜c．证明步骤如下：如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四边形ABCF为，∴AF＝，∴BCAD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．【分析】【定理表述】（1）由勾股定理得出结论；【定理证明】（2）利用SAS可证△ABE≌△ECD，可得对应角相等，结合90°的角，可证∠AED＝90°，利用梯形面积等于三个直角三角形的面积和，可证a2+b2＝c2；【定理应用】（3）根据题干中的过程及矩形的性质可直接得出结论．【解答】【定理表述】（1）解：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．故答案为：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．【定理证明】（2）证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB＝∠EDC；又∵∠EDC+∠DEC＝90°，∴∠AEB+∠DEC＝90°；∴∠AED＝90°；∴S梯形ABCD＝SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，即（a2+2ab+b2）＝ab+ab+c2，整理得a2+b2＝c2．【定理应用】（3）如图3，过点A作AF⊥CD于点F，则AF＜AD，∠AFC＝90°，∵又，∠ABC＝∠BCF＝90°，∴四边形ABCF为矩形，∴AF＝BC，∴BC＜AD，又∵BC＝a+b，AD＝c，∴a+b＜c．故答案为：矩形；BC；＜．【点评】本题考查了勾股定理的应用，涉及全等三角形的判定和性质，矩形的性质，面积分割法，勾股定理等知识．熟练掌握勾股定理的证明是解题的关键．【变式10-1】（2022春•曲阜市期末）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有S1+S2＝S3；（1）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；（2）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；（3）若Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，求出图4中阴影部分的面积．【分析】（1）由扇形的面积公式可知S1＝AC2，S2＝BC2，S3＝AB2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2＝AB2，即S1+S2＝S3；（2）根据（1）中的求解即可得出答案；（3）利用（2）中的结论进行求解．【解答】解：（1）∵，根据勾股定理可知：S1+S2＝S3；（2）S1+S2＝S3；（3）S阴影部分＝S1+S2﹣（S3﹣S△ABC）＝S△ABC＝×6×8＝24．【点评】本题考查勾股定理的应用，难度适中，解题关键是对勾股定理的熟练掌握及灵活运用．【变式10-2】（2022秋•大竹县校级期末）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：（1）填空：∠AGE＝°，S四边形ADBE＝c2．（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠EDF＝∠CAB，求得∠ACE+∠CAB＝90°，得到∠AGC＝90°，根据垂直的定义得到DE⊥AB，根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形ACBE的面积，于是得到结论．【解答】解：（1）∵△ABC≌△DEF，∴∠EDF＝∠CAB，∵∠EDF+∠CAE＝90°，∴∠ACE+∠CAB＝90°，∴∠AGC＝90°，∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；∴DE⊥AB，∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABE＝AB•DG+AB•EG＝AB•（DG+EG）＝AB•DE＝c2，故答案为：90，；（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABE＝AB•DG+AB•EG＝AB•（DG+EG）＝AB•DE＝c2，四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB＝×（AC+EF）•CF+BF•EF＝（b+a）b+（a﹣b）•a＝b2+ab+a2﹣ab＝a2+b2，∴c2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．【变式10-3】（2021春•卡若区校级期末）将直角△ABC绕直角顶点C旋转，使点A落在BC边上的点A′，请你先证明A′B′⊥AB，并利用阴影部分面积完成勾股定理的证明．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求证：a2+b2＝c2．证明：作△A′B′C≌△ABC，使点A的对应点A′在边BC上，连接AA′、BB′，延长B′A′交AB于点M．【分析】首先作△A′B′C≌△ABC，再利用S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B，进而得出a2+b2＝c2．【解答】证明：作△A′B′C≌△ABC，使点A的对应点A′在边BC上，连接AA′、BB′，延长B′A′交AB于点M，∵∠A′B′C＝∠ABC，∠BA′M＝∠B′A′C，∴∠BMA′＝∠BCA＝90°，∴A′B′⊥AB，∵△A′B′C≌△ABC，∴AC＝A′C＝b，BC＝B′C＝a，AB＝A′B′＝c，∵S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B，∴b2+a2＝c（c+A′M）﹣cA′M，∴b2+a2＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】此题主要考查了勾股定理的证明，根据全等三角形的性质以及三角形面积求法得出S△ACA′+S△BCB′＝S△ABB′﹣S△AA′B是解决问题的关键．一、单选题1．（2023八上·宁强期末）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，A、A代表的正方形的面积为400-225=175；B、B代表的正方形的面积为400+225=625；C、C代表的正方形的面积为256-112=144；D、D代表的正方形的面积为400-120=280.故答案为：A.【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．2．（2022八上·长春期末）《九章算术》中记录了这样一则“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远（如图），则折断后的竹子高度为多少尺？（1丈=10尺）如果我们假设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．x2+4C．(10-x)2+4【答案】D【解析】【解答】解：如图所示：由题意得：∠AOB=90°，设折断处离地面的高度OA是x尺，由勾股定理得：x2故答案为：D．【分析】设折断处离地面的高度OA是x尺，利用勾股定理可得x23．（2022八上·杭州期中）如图所示，已知△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2﹣MB2等于（）A．9 B．35 C．45 D．无法计算【答案】C【解析】【解答】解：在Rt△ABD和Rt△ADC中，BD2＝AB2﹣AD2，CD2＝AC2﹣AD2，在Rt△BDM和Rt△CDM中，BM2＝BD2+MD2＝AB2﹣AD2+MD2，MC2＝CD2+MD2＝AC2﹣AD2+MD2，∴MC2﹣MB2＝（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）＝AC2﹣AB2＝45.故答案为：C.【分析】在Rt△ABD、Rt△ADC、Rt△BDM、Rt△CDM中，根据勾股定理可得BD2=AB2-AD2，CD2=AC2-AD2，BM2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2=AD2+MD2，然后作差即可.4．（2022八上·杭州期中）如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）A．1米 B．2米 C．2米 D．4米【答案】A【解析】【解答】解：如图，过点C作CF⊥AB于点F，

由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，

∴AF2+CF2＝AC2，即AF2+9=25，

解得：AF＝4米，

∴BF＝AB-AF＝5-4＝1米，

∴此时木马上升的高度为1米.

故答案为：A．

【分析】过点C作CF⊥AB于点F，由题意可知：AB＝AC＝5米，CF＝3米，∠AFC=90°，利用勾股定理求得AF的长，再用AB-AF即可求得木马上升的高度.5．（2022·金华）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC.一只蚂蚁在C处，沿圆柱的侧面爬到B处，现将圆柱侧面沿AC“剪开”，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最近路线，正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】【解答】解：将圆柱的侧面沿AC”剪开“，即侧面展开图如下图，

∵两点之间，线段最短，

∴CB即为蚂蚁爬行的最近路线.

故答案为：C.

【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再利用两点之间，线段最短，即CB为蚂蚁爬行的最近路线，即可得出正确答案.6．（2022七上·海阳期中）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【解析】【解答】如图所示，连接AB'，则AA'在Rt△AA'故答案为：B．

【分析】将长方体沿AB剪开，侧面展成平面确定A、B的位置，根据两点之间线段最短，连接AB，则AB的长即为最短长度，利用勾股定理计算即可.二、填空题7．（2023八上·平昌期末）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了米.【答案】9【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝BC2-A∵CD＝10（米），∴AD＝CD∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9（米），答：船向岸边移动了9米，故答案为：9.【分析】分别在Rt△ABC、Rt△ACD中，根据勾股定理可得AB、AD的值，然后根据BD=AB-AD进行计算.8．（2022七上·环翠期中）如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A、B、C的面积分别是8cm2，12cm2，14c【答案】15【解析】【解答】解：如图：根据勾股定理可知，∵S∴S大正方形∴正方形D的面积=49-8-12-14=15cm故答案为：15．

【分析由图可知，最大直角三角形的两条直角边分别是正方形1和正方形2的边长，斜边是大正方形的边长，根据勾股定理和正方形的面积公式可得答案。9．（2022七上·西安期中）如图，MN是圆柱底面的直径，NO是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一