考研数学专题-无穷级数自测题(3套)

PAGE地第页考研数学专题-无穷级数自测题（1）一、选择题：1．下列级数中，收敛的是()。A．B．C．D．2．下列级数中，收敛的是()。A．B．C．D．3．下列级数中，收敛的是()。A．B．C．D．4．部分和数列有界是正项级数收敛的()。A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件5．设为非零常数,则当()时,级数收敛。A．B．C． D．二、填空题：1．设级数收敛，则级数。2．设级数，收敛，则级数。3．若级数的前n项和，则，=。4．函数f(x)=lnx在x=1处的幂级数展开式为__________。5．级数的和为__________..三、判别下列级数的收敛性:1．2．3．判别级数的敛散性。4．求极限。5．求幂级数在其收敛区间内的和函数，并求常数项级数的和。6．求幂级数的收敛区间。7．将函数展开成x的幂级数。四、证明题1．若级数收敛，且，证明级数收敛。2．若级数收敛，，证绝对收敛。考研数学专题-无穷级数自测题（2）一、选择题：1．设级数收敛，则必收敛的级数为（）。A．B．C．D．2．已知收敛，收敛，则（）。A．为无穷大B．收敛C．发散D．敛散性不能确定3．设级数绝对收敛，则（）。A．发散B．条件收敛C．敛散性不能判定D．绝对收敛4．级数（）。A．发散B．条件收敛C．绝对收敛D．敛散性不能判定5．若级数在x=-1条件收敛，则其在x=-2处（）。A．条件收敛B．绝对收敛C．发散D．不能确定6．级数（）。A．为无穷大B．收敛C．发散D．敛散性不能确定二、填空题：1．设，则。2．。3．满足的f(x)的幂级数展开式=。4．级数的敛散性为。5．若级数在收敛，则实数的范围是.6．若幂级的收敛半径为;的收敛半径为,则幂级数的收敛半径至少为.三、计算题：1．判断级数的敛散性。2．求级数的和函数.3．求数项级数的和。4．级数是否收敛？若是收敛，是条件收敛还是绝对收敛？5．求级数的和函数。6．求幂级数的收敛半径和收敛域。7．将函数展开成x的幂级数。四、证明题：证明若级数收敛（），则绝对收敛。五、综合题1.已知，计算的值.2.设有两条抛物线，记它们的交点横坐标的绝对值为（1）求两条抛物线所围图形面积（2）求的和。考研数学专题-无穷级数自测题（3）一、选择题：1．若级数收敛，则级数()A.收敛.B.收敛.C.收敛.D.收敛.2．设常数，则级数()A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．敛散性与k的取值有关3．设，则级数()A.与都收敛.B.与都发散C.收敛，发散D.发散，收敛4．设，且则级数()A．发散B．绝对收敛C．条件收敛D．敛散性不能确定5．设有级数与，若，，则幂级数的收敛半径为（）A.5B.C.D.6．设为正项级数，下列结论正确的是()A.B.若存在非零常数C.D.二、填空题：1．幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为2．.3．已知级数，，则级数等于.4．.5．级数的敛散性为.6．函数展开成的幂级数.三、计算题：1．将函数展为的幂级数.2．求级数的和。3．求级数的和。四、证明题1．设正项数列单调减少，且发散，试问级数是否收敛？并说明理由。2．设，证明：（1）存在；（2）级数收敛五、综合题1．设有方程，其中n为正整数，证明此方程存在惟一正实根，并证明当.2．求级数1+（）的和函数及其极大值.3．已知满足（n为正整数），且，求函数项级数之和。无穷级数自测题（1）答案一、选择题：1、B2、B3、C4、C5、D6、A二、填空题：1．绝对收敛；2．绝对收敛；3．；。4．5．6.三、判别下列级数的收敛性:1．提示：正项级数的比值法，/=所以，级数发散；2．解：正项级数的比较法<,而收敛所以收敛；3．解：是交错级数，，发散又，>,且，莱布尼茨定理，条件收敛；4．解：令，考虑级数，时，所以=5．求幂级数在其收敛区间内的和函数，并求常数项级数的和。解：先求幂级数的和：时，令对上式求导，，也成立故；常数项级数的和=8。6．解：先将级数化为型。，令，考虑级数记，则，收敛半径R＝4。所以时，收敛。当x＝－1时，原级数化为；x＝3时，原级数化为，这均为收敛的交错级数。所以原级数的收敛区间是。7．解：因为：所以：四、证明题1．证明：因为，所以收敛2．证明：因为，所以有界，即存在,使得对任意的n，有，于是，又级数收敛，由正项级数比较判别法知，收敛，则收敛。无穷级数自测题（2）答案一、选择题：1．D2．B3．D4．C5．C6．B二、填空题：1．-7202．e-13．，4．级数收敛5．6．.三、计算题：1．解：级数的敛散性为2．解1：，这里，g(1)=0,故逐项积分得，从而，0<x<2.解2：令，两边同乘x-13．解：考虑求幂级数的和幂数s(x)，易知此幂级数的收敛半径，且在[0,x]上逐项积分得：故，从而s(1)=2e，即原数项级数之和为2e。4．解：，由于由比较审敛法得知发散故由莱布尼茨审敛法得知收敛，从而原级数是条件收敛的。5．解：这是缺项的幂函数，由于，因此当<1时，级数收敛；当>1时,级数发散，故原级数的收敛域为（－1，1）。令s(x)=，s(0)=0，又，故，（－1<x<1）6．解：因为所以收敛半径R=。当时，级数化为：因上式右端两个级数都收敛，所以级数收敛。当时，级数化为：因上式右端中第一个级数发散，第二个级数收敛，所以级数发散。由不等式，得，级数的收敛域是，收敛半径R=。7．解：先将分项因，所以，。四、证明题：证明：因为级数收敛（），所以由比较判别法可知收敛，又因为收敛，，由比较判别法可知绝对收敛。五、综合题1.解：令,有=========2.解：（1）由可得

（2）=无穷级数自测题（3）答案一、选择题：1．D2．C3．C4．C5．A6．B二、填空题：1．(-2,4)2．3．84．p>05．发散6．三、计算题：1．解：求导=积分：==因，故=注意：（1）积分时，易遗漏（2）积分后级数的收敛域可能扩大，因此积分后要对收敛区间端点检验敛散性。2．解：=其中，对连续求导两次，得取故3．解：设，则其中，而且所以因此四、证明题1．证明：级数是收敛的。因为：正项数列单调减少有下界，故存在，记为a，则若，则由莱布尼茨定理知收敛，与题设矛盾，故由根值审敛法，因，故原级数收敛。2．证明：（1），故为单调递减有下界的数列，所以存在