初数浙教版九年级上册圆 专项复习1公开课

初数浙教版九上圆专项复习（困难版）

一、单选题

1.（2017九上•东台月考）如图，半圆O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,AD平分NBAC,则AD长（）

A.4V5cmB.3有cmC.5V5cmD.4cm

2.（2019•梧州）如图，在半径为V13的。O中，弦AB与CD交于点E,NDEB=75。，AB=6,AE=1,则

CD的长是（）

A.2V6B.2V10C.2VT1D.4V3

3.（2017九上•台州月考）如图，30中,弦AB、CD相交于点P,若NA=30。,3APD=70°,则NB等于（）

4.（2017・黄石）如图，已知。。为四边形ABCD的外接圆，。为圆心，若NBCD=120。，AB=AD=2,则。0

的半径长为（）

5.（2016•泰安）如图，AABC内接于AB是。O的直径，ZB=30°,CE平分NACB交。。于E,交AB

于点D,连接AE,则SAADE：SACDB的值等于（）

A.1：V2B.1：V3C,1：2D,2：3

6.（2019・温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG,边EF交CD于点H,在

边BE上取点M使BM=BC,作MNIIBG交CD于点L,交FG于点N.欧儿里得在《几何原本》中利用该

图解释了（a+b）（a-6）=a2—〃.现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P,连结EP,记

△EPH的面积为Si,图中阴影部分的面积为S2.若点A,L,G在同一直线上，则的值为（）

S2

IB

E

D

A*B.史V2D.立

2346

7.（2018・台州）如图，等边三角形ABC边长是定值，点。是它的外心，过点。任意作一条直线分别交

AB,BC于点、D,E,将ABDE沿直线DE折叠，得到AB'DE,若B'D,B7E分别交

AC于点F,G,连接。F,OG,则下列判断错误的是（）

A.AADF=ACGEB.Z1B7FG的周长是一个定值

C.四边形FOEC的面积是一个定值D.四边形OGBzF的面积是一个定值

8.如图所示是某公园为迎接"中国--南亚博览会”设置的一休闲区.NAOB=90。，弧AB的半径0A长是6

米，C是0A的中点，点D在弧AB上，CDII0B,则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）

A.（10兀一竽）米2B.（”等）米,

C.仅兀-竽）米2D.（6兀-9回米2

9.（2019八下•义乌期末）己知正方形ABCD的边长为2,点E为正方形所在平面内一点，满足NAED=90。,

连接CE,若点F是CE的中点，则BF的最小值为（）

A.2B.»-1C.”二D.2V3

22,

10.（2016•桂林）如图，在RtAAOB中,ZAOB=90°,0A=3,0B=2,将RtAAOB绕点。顺时针旋转90。后

得R3F0E,将线段EF绕点E逆时针旋转90。后得线段ED,分别以0,E为圆心，OA、ED长为半径画弧

AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是（）

A.nB.—C.3+nD.8-n

4

二、填空题

11.（2019•温州）如图，。。分别切NBAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧向上.若NBAC=66。,

则NEPF等于度.

c,

D

12.（2019・嘉兴）如图，在。0中，弦4B=1，点C在AB上移动，连结OC,过点C作CD_LOC交。O

于点D,则CD的最大值为

13.（2017•绍兴）如图，一块含45。角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在。O上，边AB,AC分别与

交于点D,E.则NDOE的度数为—.

14.如图，0A在X轴上，0B在y轴上，0A=8,AB=10,点C在边0A上，AC=2,。P的圆心P在线段BC上,

且OP与边AB,A。都相切.若反比例函数H（2的图象经过圆心P,则匕一

15.（2018・宁波）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM,以点

P为圆心，PM长为半径作。P.当。P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为。

16.如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,

使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心0运动路径的长度等于—.

三、综合题

17.（2017・荆门）已知：如图，在△ABC中，ZC=90",NBAC的平分线AD交BC于点D,过点D作DE_LAD

（2）若AC=3,BC=4,求BE的长.

18.（20当衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC,以AC为直径作。。交BC于点D,过点D作DE_LAB,

垂足为E.

（1）求证：DE是。O的切线.

（2）若DE=，NC=30°,求AD的长。

19.（2018•台州）如图，AABC是。。的内接三角形，点。在北上，点、E在弦AB上（E不与

A重合），且四边形BDCE为菱形.

(1)求证：AC=CE；

(2)求证：BC2-AC2=AB-AC；

(3)已知O。的半径为3.

①若=|)求8c的长；

②当察为何值时，AB-AC的值最大？

20.如图，在平面直角坐标系中，。为原点，平行四边形ABCD的边BC在x轴上，D点在y轴上，C点坐标

为(2,0),BC=6,NBCD=60°,点E是AB上一点，AE=3EB,OP过D,0,C三点，抛物线y=ax?+bx+c

过点D,B,C三点.

(2)求证：ED是。P的切线；

(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E，会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗？请说明理由；

(4)若点M为此抛物线的顶点，平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四

边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】A

【考点】勾股定理，垂径定理，圆周角定理，角平分线的定义

【解析】【解答】连接BC,BD,0D,且0D交BC于点E,

AB为直径，

ZADB=ZACB=90°,

又丫AD平分NBAC,

ZCAD=ZBAD,

弧CD=MBD,

.OD垂直平分BC,

即E为BC中点，

在RtAACB中,

■/AB=10cm,AC=6cm,

BC=VXB2—>lC2=8cm,

OE=-AC=3,BE=-BC=4,

22

DE=OD-OE=5-3=2,

•••在RtABDE中，BD=VBF2+D£2=2V5,

在RtAADB中，AD=VB712-D52=4V5，

故答案为：A.

【分析】连接BC,BD,OD,且OD交BC于点E,根据直径所对的圆周角为90。得出NADB=NACB=9O。，由

AD平分NBAC得出NCAD=NBAD,由圆周角定理得出弧CD=MBD,再根据垂径定理得出OD垂直平分BC；

在ACB中，由勾股定理得出BC=8cm,从而求出OE=3,BE=4,DE=2,在RtABDE和在ADB中，由

勾股定理分别求出BD=2V5,AD=4V5.

2.【答案】C

【考点】含30。角的直角三角形，勾股定理，垂径定理，等腰直角三角形

【解析】【解答】解：过点。作OFLCD于点F,OGLAB于G,连接OB、OD,OE如图所示：

-1

贝IjDF=CF,AG=BG=-AB=3,

EG=AG-AE=2,

在RtABOG中，OG=VOB2-BG2=V13-9=2,

EG=OG,

.〔AEOG是等腰直角三角形，

ZOEG=45°,0E=V20G=2企，

ZDEB=75°,

ZOEF=30°,

0F=10E=V2，

在RtAODF中，DF=VOD2-OF2="3-2=VT1，

：.CD=2DF=2Vil。

故答案为：Co

【分析】过点。作OF_LCD于点F,OG_LAB于G,连接OB、OD,0E如图所示：根据垂径定理得出DF

=CF,AG=BG=|AB=3,进而根据线段的和差得出EG的长，在RtABOG中，根据勾股定理得出0G的

长，然后判断出△EOG是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得出NOEG=45。，0E=企0G=

2V2,根据角的和差算出NOEF=30。，根据含30。角的直角三角的边之间的关系得出OF的长，最后在

RtAODF中由勾股定理算出DF的长，从而即可得出答案。

3.【答案】C

【考点】圆周角定理

【解析】【解答】NA=30。,NAPD=70°,

ZC=ZAPD-ZA=40°,

ZB与NC是弧AD所对的圆周角，

ZB=NC=40°.

故答案为：C.

【分析】此题考查了圆周角定理与三角形外角的性质，解题的关键在于掌握：在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等这个定理的应用.

4.【答案】D

【考点】圆内接四边形的性质

【解析】【解答】解：连接BD,作OELAD,连接0D,

,/OO为四边形ABCD的外接圆，ZBCD=12O°,

ZBAD=60°.

•/AD=AB=2,

A△ABD是等边三角形.

..DECADE,NODE屋NADB=30。,

故选D.

【分析】连接BD,作OELAD,连接OD,先由圆内接四边形的性质求出NBAD的度数，再由AD=AB可得

出△ABD是等边三角形，则DE=|AD,ZODE=|NADB=30。，根据锐角三角函数的定义即可得出结论.

5.【答案】D

【考点】圆周角定理，相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：

•••AB是。O的直径,

ZACB=90°,

,/ZB=30°,

ACV3

一=—9

BC3

CE平分NACB交。。于E,

AC_AD_y/3

BC~BD~3’

■■-AD=vfeAB'BD=磊AB

过C作CE_LAB于E,连接OE,

CE平分NACB交。。于E,

AA

AE=DE，

OE±AB,

0E=-AB,CE=叵AB,

24

SAADE：SACDB=(-AD»OE)：(-BD»CE)=(-x-^-AB--AB)：(-X^-AB-—AB)=2：3.

222遮+322V3+34

故选D.

【分析】由AB是。O的直径，得到NACB=90。，根据已知条件得到竺=如，根据三角形的角平分线定理

BC3

得至!］践=竺=如，求出AD=/-AB,BD=萼AB,过C作CE_LAB于E,连接0E,由CE平分NACB

BCBD3V3+3V3+3

交。。于E,得到OELAB,求出。E=；AB,CE=如AB,根据三角形的面积公式即可得到结论.本题考查

24

了圆周角定理，三角形的角平分线定理，三角形的面积的计算，直角三角形的性质，正确作出辅助线是

解题的关键.

6.【答案】C

【考点】扇形面积的计算，相似三角形的性质

【解析】【解答】解：因为A、L、G共线，LEIIGB,得?=*n上=竽na=36,则S2=a?一

(JDADCLNd

b2=8炉，在RtAFHP中有PH=Va2-b2=V9b2-b2=2近b=gPHxEH=｝义2五bx

…=2"9富*。

故答案为：Co

【分析】本题关键是求出a、b的关系，把未知量化归统一，A、L、G共线，利用平行线对应线段成比例的

性质列式可求a=3b。大正方形面积减小正方形面积即是阴影部分面积。运用勾股定理求出PH,则AEPH

也易求出。分别求出面积相比则比值可求。

7.【答案】D

【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形的外接圆与外心

【解析】【解答】解：A、连结OA、0C,

•・・点0是等边三角形ABC的外心，

A0平分NBAC,

.•.点0至IjAB、AC的距离相等，

由折叠得：DO平分NBDB，，

.•.点0到AB、DB，的距离相等，

.•.点0到DB1、AC的距离相等，

F0平分NDFG,

ZDFO=ZOFG=-(ZFAD+ZADF),

2

1

由折叠得：NBDE=ZODF=-（ZDAF+ZAFD）,

ZOFD+ZODF=i（ZFAD+ZADF+ZDAF+ZAFD）=120°,

2

ZDOF=60°,

同理可得NEOG=60°,

/.ZFOG=60°=ZDOF=ZEOG,

△DOFM△GOFM△GOE

/.OD=OG,OE=OF,

ZOGF=ZODF=ZODB,ZOFG=ZOEG=ZOEB,

/.△OAD合△OCG,AOAFM△OCE,

/.AD=CG,AF=CE,

/.△ADF合△CGE.

故A不符合题意；

B、,/△DOF至△GOa△GOE,

DF=GF=GE,

/.△ADF合△B'GFg△CGE,

/.B'G=AD,

「.△B'FG的周长-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值）,

故B不符合题意；

1、

C、S四边形FOEC=SAOCF+SAOCE=SAOCF+SAOAF=SAAOC=-SAABC（定值），

故c不符合题意；

D、S四边形OGB'F=SAOFG+SAB'GF=SAOFD+SAADF=S四边形OFAD=SAOAD+SAOAF=SAOCG+SAOAF=SAOAC-SAOFG,

过点O作OH_LAC于H,

SAOFG=1,FG-OH,

由于OH是定值，FG变化，故AOFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化。

故D符合题意。

故答案为：D

【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知，AO平分NBAC,根据角平分线的定理和逆定理得：

FO平分NDFG,由外角的性质可证明NDOF=60。，同理可得NEOG=60。，ZFOG=60°=ZDOF=ZEOG,可证

B|ADOFV△GOFV△GOE,AOADM△OCG,AOAF^△OCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得△ADFV△CGE；

B、根据△DO0AGOFVAGOE,得DF=GF=GE,所以△AD04B'G四△CGE,可得结论；

C、根据S四边形FOEC=SAOCF+SAOCE,依次换成面积相等的三角形，可得结论为：SAAOC=|SAABC（定值），据

此判断；

D、方法同C,将S四边形OGB'F=SAOAC-SAOFG,根据SAOFG=|-FG-OH,FG变化，故△OFG的面积变化，从而四

边形OGB下的面积也变化，据此判断；

8.【答案】C

【考点】平行线的性质，勾股定理，扇形面积的计算，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值

【解析】【解答】如图：

•.,弧AB的半径0A长是6米，C是0A的中点，，AC=0C=T0A=3米.

•/ZAOB=90°,CDIIOB,/.CD±OA.

在RtAOCD中，0D=6,0C=3,CD=7OD2一。。2=3百米.

•••sin^DOC=器=孚上NDOC=60。.

2

S阴影=S扇形ACD-SAOCD=60著6_1x3x3遍=6兀一挈（米）•

36。zz

故选C.

，分协」先根据半径0A长是6米，C是0A的中点可知OC§OA=3米，再在RtAOCD中，利用勾股定理

求出CD的长，根据锐角三角函数的定义求出NDOC的度数，由S阴影=S扇形AOD-SADOC即可得出结论.

9.【答案】C

【考点】勾股定理，正方形的性质，圆周角定理

【解析】【解答】解：如图，连接B0,作OHLBC,

以D为原点，以DC与DA为坐标轴建立直角坐标系，

设E点坐标为（m,n）,F点坐标为（x,y）,

则A点坐标为（0,2）,B点坐标为（2,2）,C点坐标为（2,0）,

F点坐标为（等，得等=x*=y,

/.m=2x-2,n=2y;

zAED=90°,根据直径所对的圆周角是直角得E点在以AB为直径的半圆上,

x,y满足，(m-0尸+(11)2=1(04X41),即(2x-2尸+(2丫-］尸=1,

则(x-1)2+(后)2三，x、y在以(1,b为圆心，以［为半径的圆上,

24Zz

连接BO交O。于F,BF的最小值是BF,

BO=y/BH2+OH2=Jl+(2-|尸=孚，

贝iBF/=BO—F'0=

2

故答案为：C.

【分析】连接BO,作OH±BC,先求出E点轨迹方程，设F点坐标，根据中点坐标公式把F点坐标用E点

坐标表示，得出F点轨迹也是圆，则BF最短点为B点连接圆心交圆于一点的F,构造直角三角形，用勾股

定理求出OB,则BF可求。

10.【答案】D

【考点】扇形面积的计算，旋转的性质

【解析】【解答】解：作DHLAE于H,

•/ZAOB=90°,OA=3,OB=2,

AB=VOX2+OB2=V13,

由旋转的性质可知，0E=0B=2,DE=EF=AB=V13,ADHE合△BOA,

DH=OB=2,

阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积-扇形DEF的面积

1(-r1rr90X7TX3290X71X13

-x5x2+-x2x3+-----------

22360360

=8-n,

故选：D.

D

【分析】作DHLAE于H,根据勾股定理求出AB,根据阴影部分面积=△ADE的面积+AEOF的面积+扇形

AOF的面积-扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可.本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、

全等三角形的性质，掌握扇形的面积公式殴嘿和旋转的性质是解题的关键.

二、填空题

11.【答案】57

【考点】圆周角定理，切线的性质

【解析】【解答】连接OF、0E,

c

D

EB

AB,AC为切线，,OE1AB,OF1AC，故ZFOE=360°-90°-90°-66°=114°,故

ZFPE=^ZFOE=57°°«故答案为：57。

【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。

12.【答案】1

【考点】垂线段最短，垂径定理

【解析】【解答】解：如图，

B(D)

•.・在ACOD中，0D的长一定，要使CD最长，则0C最短，OC_LCD

A过点0作OC±AB于点C,则点D与点B重合

,•。口=为吗X1=|

故答案为：|

【分析】利用垂线段最短，可知RtACOD中，0D的长一定，要使CD最长，则0C最短，因此过点。作

OC±AB于点C,则点D与点B重合，利用垂径定理，就可求出CD的最大值。

13.【答案】900

【考点】圆心角、弧、弦的关系

【解析】【解答】解：NDAE与NDOE在同一个圆中，且所对的弧都是ETE,

则NDOE=2ZDAE=2x45°=90°.

故答案为90。.

【分析】运用圆周角与圆心角的关系即可解答.

14.【答案】-5

【考点】一次函数的图象，切线的性质，反比例函数图象上点的坐标特征

【解析】【解答】作PD_LOA于D,PE_LAB于E,作CH_LAB于H,如图，设。P的半径为r,；。P与边

AB,A0都相切，,PD=PE=r,AD=AE,

在RtAOAB中，；OA=8,AB=10,OB=JIO2_g2=6,AC=2,=OC=6,二△OBC为等腰直角三角形,

PCD为等腰直角三角形，

=PD=CD=r,AE=AD=2+r,丫NCAH=NBAO,△ACH-△ABO,二祟=空,即竺=与，解得

(JDAD610

AH=〃c2_推=

r

10-(2+r)

842RFPF--6

BH=10-|=普■：PEIICH,:&BEP-ABHC,.,.黑=笠即--解得r=l,

onCH4525

：.OD=OC-CD=6-1=5,/.P(5,-1),

k=5x(-1)=-5.故答案为：-5

【分析】作PDJ_OA于D,PE_LAB于E,作CH_LAB于H,如图，设。P的半径为r,根据切线的性质和切

线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形，从

而得到△PCD为等腰直角三角形，则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH-AABO,利用相似比计算

出CHq,接着利用勾股定理计算出AH],所以BH=10[号,然后证明△BEH-△BHC,利用

r

10—(2+7)-

相似比得到即一分一，■6

-解得r=l,从而易得P点坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征求

5

T

出k的值.

15.【答案】3或4V3

【考点】正方形的性质，切线的性质

【解析】【解答】解：①如图1,当。P与边CD相切时，切点为C,

PM=PC=R,

是AB的中点，正方形ABCD的边长为8,

BM=4,BP=8-R,

在RtAPBM中，

PM2=PB2+BM2,

即R2=(8-R)2+42,

解得：R=5,

BP=8-R=8-5=3.

②如图2,当当。P与边AD相切时，设切点为K,连结PK,

PK±AD,

四边形ABPK为矩形,

PK=PM=8,

.：M是AB的中点，正方形ABCD的边长为8,

BM=4,

在RtAPBM中，

PM2=PB2+BM2,

即82=PB2+42,

解得：PB=4V3，

综上所述：PB的长度为3或4V3.

故答案为：3或48.

【分析】①如图1,当。P与边CD相切时，切点为C,根据切线和正方形的性质得PM=PC=R,BM=4,BP=8-R,

在RtAPBM中，根据勾股定理即可得

R2=(8-R)2+42,解之即可得R,从而求得BP；

②如图2,当当。P与边AD相切时，设切点为K,连结PK,根据切线的性质得PKLAD,由矩形判定和性质

得PK=PM=8,在RtAPBM中，根据勾股定理即可得82=PB?+42,解之即可得PB长.

16.【答案】5n

【考点】弧长的计算，旋转的性质

【解析】【解答】由图形可知，圆心先向前走的长度，从。到。1的运动轨迹是一条直线，长度为J圆

的周长，

然后沿着弧0102旋转)圆的周长，

则圆心。运动路径的长度为：!x2nx5+|x2nx5=5n,

44

故答案为：5H.

Or

【分析】根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为:圆弧，根据弧长公式求出弧长即可.

三、综合题

17.【答案】（1）证明：连接0D,如图所示.

在RtAADE中，点。为AE的中心，

DO=AO=EO=-AE,

2

.,.点D在。。上，且NDAO二NADO.

又「AD平分NCAB,

/.ZCAD=ZDAO,

/.ZADO=ZCAD,

/.ACIIDO.

,/ZC=90°,

/.ZODB=90°,即OD_LBC.

又丁OD为半径，

BC是。0的切线

(2)解：二,在Rt^ACB中，AC=3,BC=4,

AB=5.

设OD=r,贝!JB0=5-r.

•/ODIIAC,

/.△BDO〜△BCA,

DOBOr5-r

..—=—，RBnP-=—，

ACBA35

解得：r=v，

o

155

/.BE=AB-AE=5--=-

44

【考点】切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）连接0D,由AE为直径、DE_LAD可得出点D在。0上且NDAO=NADO,根据AD

平分NCAB可得出NCAD=NDAO=NADO,由"内错角相等，两直线平行”可得出ACIIDO,再结合NC=90。

即可得出NODB=90。，进而即可证出BC是。。的切线；（2）在RtAACB中，利用勾股定理可求出AB的长

度，设OD=r,则B0=5-r,由ODIIAC可得出器=震，代入数据即可求出r值，再根据BE=AB-AE即

ACBA

可求出BE的长度.

18.【答案】（1）证明：如图，连结0D.

•/OC=OD,AB=AC,

/.Z1=ZC,ZC=ZB,

Z1=ZB,

DE±AB,

/.Z2+ZB=90°,

/.Z2+Z1=90°,

:ZODE=90°,

•DE为。0的切线.

（2）解：连结AD,「AC为。O的直径.

:ZADC=90°.

•••AB=AC,

/.ZB=ZC=30°,BD=CD,

NAOD=60°.

DE=V3，

BD=CD=2V3，

.,.002,...6分

…60r2

••AD=—nx2=-n

1803

【考点】圆周角定理，切线的判定，弧长的计算

【解析】【分析】（1）连结0D,根据等腰三角形性质和等量代换得NyNB,由垂直定义和三角形内角

和定理得N2+NB=90。，等量代换得N2+N1=90。，由平角定义得NDOE=90。，从而可得证.（2）连结AD,

由圆周角定理得NADC=90°,根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得NAOD=60。,在RtADEB中，由直

角三角形性质得BD=CD=2b，在RtAADC中，由直角三角形性质得0A=0C=2,再由弧长公式计算即可

求得答案.

19.【答案】（1）证明：；四边形BDCE为菱形，

/.CD=CE,ZCBD=ZCBE,

/.CD=AC,

AC=CE.

(2)证明：如图1,过点C作CFLAB交于点F,

AC=CE,AF=EF.在RtABCF和RtAACF中,BC2=BF2+CF2,AC2=AF2+CF2,

.BC2-AC2=BF2-AF2=(BF+AF)(BF-AF)=AB-BE,

•••四边形BDCE是菱形，BE=CE=AC,

BC2-AC2=AB-AC.

(3)解：①,：*=|，可设AB=5k,BE=AC=3k,则AE=AB-BE=2k,AF=k.

在RtAACF中，cosZA=—=—=-.

AC3k3

-i

如图2,连接CO并延长交。。与点G,连接BG,则NG=NA,则cosNG=§,

CG是直径，

:・&BCG是直角三角形，

1

CG=6,cosZG=-BG=2,

3

BC=VCG2-BG2=V36-4=4A/2.

②如图2,设篝=771，其中m>l,AC=a,则AB=ma,AE=ma-a,AF=与=/ma—a),

在RtAAFC中，coszA=竺=如°F=1,

ACa2')

在RtABCG中，CG=6,cosZG=cosZA=-(m—1),

1

BG=CG-cosZG=6--(m-1)=3m-3,

BC2=CG2-BG2=36-(3m-3)2,

由(2)得BC2=AB-AC+AC2=ma2+a2,

36—(3m—3)2=ma2+a2，.-9(m+1)(3—m)=a2(m+1),

又「m+1W0,/.a2—9(3—m).

273

22=

/.AB-AC=ma=9m(3-m)=-9m+27m.当m=~2x(-_9^~时，-9m2+27m的值最大.0<BG<6,/.0<3(m-l)

<6,：l<m<3..,.当m=|时，ABAC的值最大，即,=|时，ABAC的值最大.

【考点】等腰三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，圆周角定理，解直角三角形

【解析】【分析】(1)由菱形的性质可得CD=CE,ZCBD=ZCBE,则弦、弧、圆周角、圆周角的关系可得

CD=AC,从而证得；(2)由(1)已证的AC=CE,二△ACE是等腰三角形，根据等腰三角形中的“三线合一"

可得到启发，作AE上的高CF,则AF=EF,由勾股定理可得BC2=BF2+CF2,AC2=AF2+CF?,代入化

简BC2-AC2=BF2-AF2将其平方差的结果转换为两线段之积即可证得；(3)①求BC的长度可以构

造直角三角形结合解直角三角形的知识及勾股定理可解答；已知圆0的半径，则可作直径所对的圆周角，

连接CO交延长交。。与点G,则CG即为直径，则NCBG=90度，CG已知，求BC,则需要求BG的长度或

其中的锐角三角函数值；由NG=NA,则可在R3ACF中求出COSNA的值，由北=|,可设AB=5k,

BE=AC=3k,则AE=AB-BE=2k,AF=k即可求cosZA的值；

②要求的是胎为什么值时，ABAC的值最大，可参照①中的方法，可设祭=小，其中m>l,AC=a,

与①同理求出BG(注意m,a的取值范围)，BC的值，根据(2)中已证得的BC2-AC2=AB-AC,将

各线段的值代入即可得其中可得m与a的关系，不妨用m来表示出a,则AB-AC可表示为只含m的关系

式，BG或BC的值求出m的取值范围，即可求m为何值时ABAC为最大值.

20.【答案】(1)解：C(2,0),BC=6,

.B(-4,0),

在RtAOCD中，tanZOCD=^,

：.OD=2tan60°=2V3,

.D(0,2^3)，

设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x-2),

把D(0,28)代入得a・4・(-2)=2值,解得a=-_在，