2023-2024学年上海市闵行区文来中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市闵行区文来中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线(a−1)x+y−A.12 B.32 C.142.从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是(

)A.恰好有一个白球与都是红球 B.至多有一个白球与都是红球

C.至多有一个白球与都是白球 D.至多有一个白球与至多一个红球3.函数y=xlA.严格增函数

B.在(0,1e)上是严格增函数，在(1e,+∞)4.已知函数y=f(x)(x∈R)，其导函数为y=f′(x)，有以下两个命题：

①若A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题

C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.若直线l的一个法向量是n=(1,−36.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.5，P(A7.(2x+1)5的二项展开式中x28.函数y=ln(2−3x9.双曲线x23−y210.已知n∈N，若C6n=A511.今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗.若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为

．12.h→0lim13.设m∈R.若直线l：x=−1与曲线C14.已知抛物线x2=2y上的两个不同的点A，B的横坐标恰好是方程x2+615.现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为______．16.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0与a2三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

如图，已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1，底面正方形ABCD的边长为2，AA118.(本小题14分)

已知A，B，C为三个独立事件，若事件A发生的概率是12，事件B发牛的概率是23，事件C发生的概率是34，求下列事件的概率：

(1)事件A，B，C只发生两个的概率；

(2)事件A19.(本小题14分)

已知Cn4=Cn5(n∈N*)，(20.(本小题18分)

已知椭圆x2a2+y2=1(a>1)的右焦点为F，左右顶点分别为A、B，直线l过点B且与x轴垂直，点P是椭圆上异于A、B的点，直线AP交直线l于点D．

(1)若E是椭圆的上顶点，且△AEF21.(本小题18分)

已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx.(其中a为常数)．

(1)答案和解析1.【答案】B

【解析】解：直线(a−1)x+y−1=0与直线3x−ay2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了互斥事件应急对立事件的定义，考查了学生的逻辑推理能力，属于基础题．

由题意可得总事件分别为(红，白)，(红，红)，(白，白)三种情况，根据互斥事件以及对立事件的定义再对应各个选项逐个分析即可求解．【解答】

解：从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，

表示的事件分别为(红，白)，(红，红)，(白，白)三种情况，

故选项A互斥不对立，A正确，

选项B：至多有一个白球表示的是(红，白)，(红，红)，与都是红球不互斥，故B错误，

选项C：由选项B的分析可知互斥且对立，故C错误，

选项D：至多有一个红球表示的是(红，白)，(白，白)，所以两个事件不互斥，故D错误，

故选：A．3.【答案】D

【解析】解：函数y=xlnx的定义域为(0,+∞)，

求导得y′=lnx+x⋅1x=lnx+1，

令y′=0得x=1e，

所以在4.【答案】D

【解析】解：对于①，若y=f′(x)为偶函数，则y=f(x)不一定为奇函数，如f(x)=x3+1，f′(x)=3x2是偶函数，f(x)不是奇函数，①是假命题；

对于②，令f′(x)=sinx+1，则f(x5.【答案】π6【解析】解：直线l的一个法向量是n=(1,−3)，则直线l的一个方向向量为(3,1)，

设直线的倾斜角的大小为θ6.【答案】0.2

【解析】解：∵事件A与事件B相互独立，

∴事件A与事件B−也相互独立，

∴P(A∩B−)=P(A)P7.【答案】40

【解析】解：(2x+1)5的二项展开式中x2的系数为：C5322=40．

8.【答案】33【解析】解：y=ln(2−3x)，

则y′9.【答案】π3【解析】解：由双曲线x23−y2=1可知双曲线的渐近线方程为y=±33x，两条渐近线的倾斜角分别为：30°、10.【答案】3

【解析】解：∵C6n=A52，∴C6n=5×411.【答案】12

【解析】【分析】本题考查组合的应用，属于基础题．

依次分析2所学校依次选1名医生、2名护士，计算其选法，由分步计数原理计算可得答案．【解答】

解：根据题意，第一个学校选1名医生和2名护土，有C21C42种选法，

第二个学校只有1种选法，

则有C12.【答案】14【解析】解：h→0limln(h+4)−2ln2h=h→0li13.【答案】0

【解析】解：若直线l：x=−1与曲线Cm：(x−m24)2+(y−m)2=1仅有一个公共点，

则直线l与曲线Cm相切，

14.【答案】y=【解析】解：由题意，直线AB的斜率存在，

设直线AB的方程为y=kx+b，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

因为点A，B的横坐标恰好是方程x2+6x+4=0的根，

所以x1+x2=−6，x1x2=4，

联立，消y得x2−2kx−2b=0，

15.【答案】310【解析】解：将5张奖票不放回地依次取出共有A55=120种不同的取法，

若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票．共有3A32A21=36种取法，

16.【答案】[−【解析】解：由题意得b+c=−a，bc=a2−3，

因为(b+c)2≥4bc，

所以a2≥4(a2−3)，

解得−2≤a≤2，

令f(a)=abc=a(a2−3)，

则f′(a)=3a2−317.【答案】证明：(1)因为四棱柱ABCD−A1B1C1D1为正四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

因为BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，

因为AC∩AA1=A，AC，AA1⊂平面AA1CC1，

所以BD⊥平面AA1CC1，又BD⊂平面A1BD，

所以平面AA1CC1⊥平面A1BD.得证．

解：(2)【解析】(1)证明出BD⊥平面AA118.【答案】解：(1)事件A，B，C只发生两个的概率为：

P(AB C−)+P(AB−C)+P(A−BC)【解析】(1)事件A，B，C只发生两个的概率为P(AB C−)+P(AB19.【答案】解：由于Cn4=Cn5(n∈N*)，故n=9．

故(2x−1)9=a0+a1(x−1)+a2(x−1)2+…+an(x−1)9，

(1【解析】Cn4=Cn5(n∈N*)⇒n=9；

(1)令x=2，可求导答案；20.【答案】解：(1)由题意，A(−a,0)，F(c,0)(c>0)，E(0,1)，

由题意，∠AEF=90°，故EA⋅EF=0，

∴ac=1．

又a2=c2+1，∴a2=1+52，

∴椭圆的标准方程为x21+52+y2=1．

(2)当a=2时，椭圆方程为x2【解析】(1)由题意，A(−a,0)，F(c,0)(c>0)，E(0,1)，∠AEF=90°，可得EA⋅EF=0，结合a2=c2+1，即可解得a．

(2)当21.【答案】(1)解：当a=−2时，可得f(x)=12x2+x−2lnx，

可得f′(x)=x+1−2x=(x+2)(x−1)x，所以f′(2)

x

(

1

(

f−

0+

f↓

极小值↑所以函数的极小值为f(1)=−a−12，也是函数f(x)的最小值，

所