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文档简介
Chapter4
第四章指数函数与对数函数
4.1指数
4.1.1"次方根与分数指数塞
【学习目标】1.理解〃次方根、〃次根式的概念2能正确运用根式运算性质化简、求值3学会
根式与分数指数幕之间的相互转化.
知识梳理梳理教材夯实基础
----------------------------------------------------------------------------------------------------------V------------------------------
知识点一“次方根、”次根式
1.a的”次方根的定义
一般地,如果x"=a,那么x叫做a的"次方根,其中且"WN”.
2.a的〃次方根的表示
n的奇偶性。的〃次方根的表示符号a的取值范围
“为奇数缶
〃为偶数10,+8)
3.根式
n
式子也叫做根式,这里W叫做根指数,。叫做被开方数.
知识点二根式的性质
1.赤=O(nWN*,且">1).
2.(%)"=£((a20,〃WN*,且〃>1).
n
3.亚=“(〃为大于1的奇数).
__[a,
4.y[a"=\a\=]~(n为大于1的偶数).
\—a,a<0
知识点三分数指数零的意义
巴n
正分数指数幕
规定:。〃=亚(。>0,m,〃£N*,且心1)
*11
分数指数幕规定:a"------m,,且心
负分数指数基m3H>0,1)
an亚
0的分数指数基0的正分数指数事等于20的负分数指数基无意义
知识点四有理数指数幕的运算性质
整数指数基的运算性质,可以推广到有理数指数累,即:
(1)。'。'=屋+'(4>0,r,sGQ);
(2)3丁=〃/4>0,r,sCQ);
(3)3力「=屋勿伍>0,b>0,rGQ).
思考辨析判断正误
1.当"6N*时,(不与)"都有意义.(X)
63
2.(-2)4=(-2)2.(X)
3.a?.-=a(X)
m
—tTl
4.分数指数露a"可以理解为"个。相乘.(X)
|题型探究------------------启迪思维探究重点
一、〃次方根的概念
例1(1)若81的平方根为“,一8的立方根为b,则a+b=.
答案7或一11
解析81的平方根为-9或9,
即〃=-9或9,
一8的立方根为一2,即〃=—2,
;.a+b=-11或7.
4
(2)若正工有意义,求实数x的取值范围.
4___
解2有意义,
/.X—220,
・・・G2,
即x的取值范围是[2,+8).
反思感悟(1)方根个数:正数的偶次方根有两个且互为相反数,任意实数的奇次方根只有一
个.
(2)符号:根式缶的符号由根指数〃的奇偶性及被开方数a的符号共同确定.
①当”为偶数,且a20时,赤为非负实数;
②当"为奇数时,、。的符号与a的符号一致.
跟踪训练1(1)已知丁=8,则x等于()
777
A.2^2B.V8C.-^8D.±78
答案B
7
解析因为7为奇数,8的7次方根只有一个通.
4
(2)若N2x+5有意义,则x的取值范围是;
5_______
若道不有意义,则X的取值范围是.
答案
二、利用根式的性质化简或求值
例2化简:
(1)((3-兀)4;
QN(a-b¥(a>b);
(3)(A/«—1)2+^/(1—a)2+^(l—a)3.
考点根式的化简
题点根据根式的意义进行化简
4
解(1H(3一兀)4=13—兀|=兀一3.
(2)•:a>b,/.yj(a~b)2=\a—h\=a—b.
(3)由题意知a—120,即1.原式=〃-1+|1—a\+1—〃=〃一1~\~a—1+1—a=a—1.
反思感悟(1)"为奇数时(缶)"=亚=4,4为任意实数.
(2)〃为偶数时,心0,才有意义,且
而a为任意实数时后均有意义,且折=间.
跟踪训练2化简:
7
⑴4(—2)7;
4___________
⑵M(3〃-3)4(〃W1);
34_________
(3啦+、(1—”.
考点根式的化简
题点根据根式的意义进行化简
解(lA/(-2)7--2.
4_______
⑵:.yl(3a-3y=\3a-3\=3\a-l|=3-3<a.
1,aWl,
2a~1,a>\.
三、根式与分数指数鬲的互化
例3(1)下列根式与分数指数幕的互化正确的是()
A.—5=(-X)5(QO)
61
Bz\/p=y3(y<0)
c.”=4@(x>0)
_13
D.x3=—ylx(x=^O)
答案C
解析-5=-/。>0);
611
正=(及|2)6=-丁3(),<0);
⑵将下列根式化成分数指数累的形式(其中6Z>0,b>0).
3
③(出产/P.
34112
解=〃12;
J』11
②原式=*•扭=那;
(1A21373
③原式=凉-a1-h2=a^b2.
\/
反思感悟根式与分数指数寐的互化
(1)根指数化为分数指数的分母,被开方数(式)的指数化为分数指数的分子.
(2)在具体计算时,如果底数相同,通常会把根式转化成分数指数露的形式,然后利用有理数
指数赛的运算性质解题.
跟踪训练3把下列根式表示为分数指数累的形式,把分数指数幕表示为根式的形式:
(1)(。一加々3>6);(2届-1>;
1-
(3)—;(4)(。一份7.
y[cr
--1
解(l)(a-Z?)4=--------;
q(a-b)3
3_________5
(2)A/(X-1)5=(X-1)3;
1二
(3)--a3;
(4)(a-b)7=q(a—b)3.
随堂演练层础巩固学以致用
--------------------------%--------
1.已知N(a—b)2=a—b,则()
A.a>bB.a》b
C.a<hD.aWb
答案B
2
解析y/(a—h)=\a-h\=a—h9
所以a—〃20,所以故选B.
4________4___________54
2.在6/(—4)2";(2h/(-4)2n+l,⑤沂,④而中,〃6N",qCR时各式子有意义的是()
A.①②B.①③
C.@@③④D.①②④
答案B
3.化简小工距的结果为()
A.—y[aB.—\j—aC.yj-aD.yfa
考点根式与分数指数幕的互化
题点根式化为分数指数幕
答案A
解析显然
2\11
。6=一。36=-a2=—也.
4。©’_4(_2)3+弓)。_9/=.
答案f
解析原式=2-4义
=2+91—;=%
23o
5.化简叱(["=
4______
答案yja-i
解析要使原式有意义,则〃-1>0.
4(1一4)2.[昌/=|1一外(«-1)4
31____
=(«—1)•(«-1)I=(a-1)4—y4ja—\.
■课堂小结
1.知识清单:
(1)〃次方根的概念、表示及性质.
⑵根式的性质.
(3)根式与分数指数森的互化.
2.常见误区:
(1)根式中根指数要求n>\且〃EN”.
(2)对于g,当n为偶数时,“NO.
课时对点练-------注-重-双-基强、-化-落-实
X基础巩固
1.已知机i°=2,则相等于()
io1010
A.\[2B.一mC.F)D.士也
考点〃次方根及根式概念
题点”次方根及根式概念
答案D
解析;加°=2,是2的10次方根.
又;10是偶数,...2的10次方根有两个,且互为相反数.
10
二%=±啦.故选D.
_______4_______
2.若2<a<3,化简d(2—a)2+d(3—a),的结果是()
A.5~2aB.2a~5C.1D.-1
考点根式的化简
题点条件根式的化简
答案C
解析*.*2<a<3,>'>a—2>0,a—3<0,
_______4_______
yf(2—a)2+yj(3—a)4=\2—a|+|3—a\
—a—2+3—a—1.
3.下列各式既符合分数指数基的定义,值又相等的是()
12-
A.(一1日和(―1户B.0-2和()2
C.2彳和44D.4株利⑥-3
答案C
12132
解析选项A中,(一邛和(一中均符合分数指数嘉的定义,但(―甲=尸=-1,(-1)6
6
=4(—1>=1,故A不满足题意;
选项B中,0的负指数嘉没有意义,故B不满足题意;
选项D中,屋,和&J-虽符合分数指数嘉的定义,但值不相等,故D不满足题意;
选项C中,2^=4]=。相=25=也,满足题意.
故选C.
2
4.(1;)。—(1—0.5-2)+ej的值为(
)
A.B.TC.jD.1
答案D
47
解析原式=1一(1-22)+(|)2=---
9
3-
5.设a>0,将广一表示成分数指数基的形式,其结果是()
£573
A.aaB.*C.D.后
答案C
52_57
=/•〃6=a6=〃6
6.若xWO,则仅|~\/P+I.=.
答案1
解析Tx#。,.,.原式=|.v|—口+呼=1.
7.若山1+山2+6y+9=0,则(f0i9y=
答案T
解析因为"\/『+2x+1+4十+6y+9=0,
所以4。+1)2+4。+3)2=叮+1|+卜+3|=0,
所以x=—1,y=-3.
所以(f39y=[(-1)2。19「3=(-1尸=一1
9,计算下列各式的值.
2
64户3125Y3
(1)1212;(2)—;(3)100004;(4)
149J27
解(1)11(2)j(3斤击
10.计算:
4
⑴81X;(2)2^3XX
3
2居+、0.125「1;
(3)
34___________3___________
(4)叱-8)3+4(小一2)4—7(2一小)3.
考点根式的化简
题点根据根式的意义进行化简
4
217
2x-x-
解(1)原式=%34X332==36.
1
2!1J.1!
(2)原式=2X3XX3%=2义3于丁k=6.
=-3--3+i2=3'
⑷原式=-8+仍一2|一(2一小)
=-8+2—小一2十小
=-8.
土综合运用
4_________
11.已知二次函数“¥)=尔+云+0.1的图象如图所示,则-(4—2)4的值为()
-To~
A.a~\~bB.—(〃+〃)
C.a-bD.b-a
答案D
解析由题图知次-1)=。-b+0.1<0,
.\a-b<0.
12.若代数式42x—1十52—x有意义,则d4y_4x+]+2{(冗-2)4=
答案3
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