【数学】平行四边形 提高练习 2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册数学第十八章平行四边形提高练习一、选择题1．下列说法中，正确的是（）A．对角线相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形2．在□ABCD中，若∠A：∠B：∠C=1：2：1，则∠D的度数为（）A．67.5° B．90° C．112.5° D．120°3．如图，在▱ABCD中，过点C分别作边AB，AD的垂线CM，CN，垂足分别为M，N，则直线AB与CDA．CD的长 B．BC的长 C．CM的长 D．CN的长4．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD=10，AC=6，△BOC的周长为15A．5 B．6 C．7 D．85．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，BEA．14 B．16 C．18 D．206．如图，在▱ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（）

A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm7．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO是平行四边形，若A，C两点的坐标分别为(3，0)，(1，2)，则▱ABCO的周长为（）A．5 B．3 C．45 D．6+28．如图，平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，BE平分∠ABC，交AD于E，CF⊥BE交BE于点N，交AD于点F，作MN//CDA．12 B．23 C．1 D9．如图，在矩形ABCD中，O为对角线BD的中点，∠ABD=60°，动点E在线段OB上，动点F在线段OD上，点E，F同时从点O出发，分别向终点B，D运动，且始终保持OE=OF．点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是（）A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形10．如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题11．如图，在▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①AF=CF；②AE=CF；③∠BEA=∠FCE.若要使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加上述条件中的(填序号).12．在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点O(0，0)、A(5，0)、B(2，3)13．在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F.若AD=11，EF=5，则AB14．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1，△ABC及AC边的中点O，求作：平行四边形ABCD小静的作法如下：在数学课上，老师提出如下问题：①连接BO并延长，在延长线上截取OD=②连接DA、DC．所以四边形老师说：“小静的作法正确”．请回答：小静的作法正确的理由是．15．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB=2，BC=3，∠ADC=60°，则图中阴影部分的面积是16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=12cm，BC=15cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到点D即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到点B即停止，直线PQ截原四边形为两个新四边形．则当P，Q同时出发s时其中一个新四边形为平行四边形．三、解答题17．如图所示，延长△ABC的中线BD至点E，使DE=BD，连接AE、CE.求证：四边形ABCE是平行四边形.18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，连接EF，AC交于点O．求证：OE19．已知：如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点（1）求证：△ABN（2）若∠CNM=40°，求（3）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=220．如图，在▱ABCD中，点P是对角线AC上一动点，过点P作PM∥DC，且PM=DC，连结BM，CM，BP，PD．

（1）求证：△ADP≌△BCM；（2）若PA=12PC，设△ABP的面积为S，四边形BPCM的面积为T，求ST21．如图，在▱ABCD中，AF平分∠BAD，交BC于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E.（1）若AD=12，AB=8，求CF的长.（2）连结BE，与AF相交于点G，连结DF，与CE相交于点H，连结EF，GH相交于点O.求证：EF和GH互相平分.22．如图1，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交CD于点E，CF⊥AD于点F，交BE于点G，且CF（1）若CD=5，DF=3，求（2）如图2，若CM平分∠DCF交BE于点M，CN⊥BE于点N23．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0)，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．（1）求点E和点D的坐标．（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：A、因为等腰梯形的对角线相等，所以对角线相等的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误；

B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可以是等腰梯形，故此选项错误；

C、一组对边平行，一组对角相等的四边形才是平行四边形，故此选项错误；

D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项正确.

故答案为：D.

【分析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐个判断得出答案.2．【答案】D【解析】【解答】解：在□ABCD中，∠A+∠B=180°，∠D=∠B，

∵∠A：∠B=1：2，

∴∠B=180°×23=120°，

∴∠D=∠B=120°.

故答案为：D.

【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B=180°，∠D=∠B，利用∠A：∠B=1：2求出∠B的度数即可3．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，又CM⊥AB，∴线段CM的长是两平行线AB与CD间的距离。故答案为：C.【分析】首先由平行四边形可以判定两组对边分别平行，再由平行线间的距离（平行线中一条直线上任意一点到另一条直线垂线段的长度）可以判断答案。4．【答案】C【解析】【解答】∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知BD=10，AC=6，

∴BO=DO=12BD=5，CO=AO=12AC=3，

∵△BOC的周长为15，

∴BC=15-（BO+CO）=15-（5+3）=7，

∴AD=BC=7，

故答案为：C.

【分析】先利用平行四边形的性质可得BO=DO=12BD=5，CO=AO=5．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，AD=BC，AB=CD，

∴∠ADE=∠CED，

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE，

∴∠CED=∠CDE，

∴CE=CD=3，

∵BE=2，

∴BC=BE+CE=2+3=5，

∴平行四边形ABCD的周长=2×（BC+CD）=2×（5+3）=16，故答案为：B.

【分析】先利用角平分线定义及平行线的性质可得∠CED=∠CDE，再利用等角对等边的性质可得CE=CD=3，再利用线段的和差求出BC的长，最后利用平行四边形的周长公式求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，

∴OA=OC，

∵OE⊥AC于点O，

∴OE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∵△CDE的周长为11cm，

∴CE+DE+CD=DE+AE+CD=AD+CD=11cm，

∴平行四边形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2×11=22cm.故答案为：B.【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，易得OE是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可得AD+CD=11cm，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.7．【答案】D【解析】【解答】解：过C作CE⊥OA于E，

∵C（1，2），

∴OE=1，CE=2，

∴CO=OE2+CE2=12+22=5，

∵A（3，0），∴OA=3，

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB=OC=5，BC=OA=3，

∴▱ABCO的周长=2（OA+OC）=6+25.

故答案为：D.8．【答案】D【解析】【解答】解：平行四边形ABCD中，AD∥BC∵BE平分∠∴∠∵AD∴∠CBE=∠∴∠∴AE∵CF∴∠∴∠∵AB∴∠ABC+∠∴∠ABN+∠∴∠DCN∴∠∴DF∵AE∴AF∴EF=∵MN∴MN∴∠∴∠∴MN∵∠∴∠∴MN故答案为：D【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得AE=AB，DF=DC，求得EF=39．【答案】A【解析】【解答】解：如图1：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，∠BAD=∠ABC=90°，

∴∠BDC=∠ABD=60°，∠ADB=∠CBD=90°-60°=30°，

∵OE=OF，OB=OD，

∴DF=EB，

∵点E关于AD，AB的对称点为E1，E2；点F关于BC，CD的对称点为F1，F2，

∴DF=DF2，BF=BF1，BE=BE2，DE=DE1，E1F2=E2F1．

∴∠F2DC=∠BDC=60°，∠E1DA=∠ADB=30°，

∴∠E1DB=60°，

同理∠F1BD=60°，

∴DE1∥BF1，

∴四边形E1E2F1F2是平行四边形，

如图2所示，当E，F，O三点重合时，DO=OB，

∴DE1=DF2=AE1=AE2，即E1E2=E1F2，

∴四边形E1E2F1F2是菱形．

如图3所示，当E，F分别为OD，OB的中点时，设DB=4，则DF2=DF=1，DE1=DE=3，

在Rt△ABD中，AB=2，AD=23，连接AE，AO，

∵∠ABO=60°，BO=2=AB，

∴△ABO是等边三角形，

∵E为OB中点，

∴AE⊥OB，BE=1，

∴∠E1=90°，

即四边形E1E2F1F2是矩形．

当F，E分别与D，B重合时，△BE1D，△BDF1都是等边三角形，则四边形E1E2F1F2是菱形，

∴在整个过程中，四边形E1E2F1F2形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形，

故答案为：A．

【分析】E、F在特殊点时需分析四边形E1E2F1F2的形状，而在一般点时均是平行四边形，根据对称的形式，菱形、平行四边形和矩形的判定方法判断即可.10．【答案】C【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：

∵四边形OABC是平行四边形，

∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，

∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，

∴AM∥CN，

∴四边形ANCM是平行四边形，

∴∠MAN=∠NCM，

∴∠OAF=∠BCD，

∵∠OFA=∠BDC=90°，

∴∠FOA=∠DBC，

在△OAF和△BCD中

∠FOA=∠DBCOA=BC∠OAF=∠BCD

∴△OAF≌△BCD（ASA）

∴BD=OF=1，

∴OE=4+1=5，

∴OB=OE2+BE2.

∵OE的值是定值，

∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.

故答案为：C.

【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=OE2+BE11．【答案】③【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形

∴AF∥CE

∵∠BEA=∠FCE

∴AE∥CF

∴四边形AFCE是平行四边形

故答案为：③.

【分析】根据对边平行的四边形是平行四边形判定即可.12．【答案】(-3【解析】【解答】解：在▱OABC中，AO∥BC，所以C点纵坐标等于B点纵坐标3，因为O(0，0)，A(5，0)，所以AO=5，又因为AO=BC，所以C点横坐标=2-5=-3，所以C点坐标为(-3，故答案为：(-3，3).

【分析】根据平行四边形的性质以及坐标和图象的性质求解即可.13．【答案】8或3【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，∴AB=8；②在▱ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，∴AB=BE，CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5，∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，∴AB=3；综上所述：AB的长为8或3．故答案为：8或3．

【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.

先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.14．【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形【解析】【解答】解：∵点O是AC的中点，

∴OA=OC，

又由作图知：OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形。

【分析】由作图知道OB=OD，又知道OA=OC，故而根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定得到的四边形ABCD是平行四边形。15．【答案】3【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，

∴S△AOB=S△COD，

∴阴影部分面积为平行四边形ABCD面积的一半，

过点A作AG⊥BC于点G，

∵CD=AB=2，∠ADC=60°，

∴BG=1，AG=3，

∴S▱ABCD=BC·AG16．【答案】4或5【解析】【解答】解：设点P和点Q运动时间为t∵AD=12cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到∴点P运动时间t≤∵BC=15cm，点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到∴点Q运动时间t≤∴点P和点Q运动时间t在P、Q共同运动ts时

PD=AD-AP=12-t，QC=2t当PD=QC时，四边形即：12-t=2t∴当AP=BQ时，四边形即：t=15-2t∴t∴当P，Q同时出发秒4或5后其中一个新四边形为平行四边形．故答案为：4或5.

【分析】结合题意，表示出AP、PD、CQ、BQ，根据平行四边形的判定和性质，列一元一次方程并求解，即可得到答案．17．【答案】解：∵BD是△ABC的AC边上的中线，∴AD=CD∵DE=BD，∴四边形ABCE是平行四边形【解析】【分析】根据中线的性质，可得AD=CD，又利用平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证明四边形ABCE是平行四边形.18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//∴∠在△AOE和△COF∴∴△∴OE=【解析】【分析】证明题可以用反推法，要证明两条线段相等，可以证明这两条线段所在的三角形全等，即∆AOE19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∴∠MAN∵M、N分别是AD、∴AM=又∵AN=∴△（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵M、N分别是AD、∴MD=∴四边形CDMN是平行四边形，∵M是AD的中点，∠AND∴NM=∵平行四边形CDMN是菱形，∴∠（3）解：由（2）得NM=MD∴∠MND=∠1，∵∠1=∠2，∴∠MND∵CE⊥MN，即∴∠MND∴∠MND∴PN=2∵∠DNC∴PC=∴CE【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得∠MAN=∠BNA，利用线段中点的性质可得AM=BN，再结合AN=AN，利用“SAS”证出△ABN≌△AMN即可；

（2）先证出平行四边形CDMN是菱形，再利用菱形的性质可得∠MND=1220．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠ADC+∠BCD=180°．∵PM∥DC，且PM=DC，∴四边形PMCD是平行四边形，∴PD=CM，∠PDC+∠DCM=180°，∴∠ADP=∠BCM．在△ADP和△BCM中，AD=BC∠ADP=∠BCM（2）解：如图，作BH⊥AC于点H，DG⊥AC于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，△ABC≌△CDA，∴BH=DG，∴S△ABPS△BCP=APCP=12，即S∵△ADP≌△BCM，∴S△ADP=S△BCM，∴S【解析】【分析】（1）根据已知条件可知四边形PMCD是平行四边形，则根据平行四边形的性质可证△ADP≌△BCM；

（2）根据四边形ABCD是平行四边形，可知△ABC≌△CDA，从而得到同底边上的高BH=DG，得到S△BCP=2S△ABP，而△ABP和△ADP是同底等高，所以面积相等，四边形BPCM的面积=△BCP的面积+△ACM的面积，而根据（1）可知△ACM的面积=△ADP的面积，从而可得出答案.21．【答案】（1）解：∵平行四边形ABCD，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠DAF=∠AFB，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF，

∴∠BAF=∠AFB，

∴AB=BF=8，

∴CF=BC-BF=12-8=4（2）证明：同理可证DE=DC=8，

∴AE=AD-DE=12-8=4，

∵CF=4，BF=8，

∴AE=CF，BF=DE，

∵AD∥BC，

∴四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，

∴AF∥CE，BE∥DF，

∴四边形EHFG是平行四边形，

∴EF和GH互相平分.【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AD∥BC，AD=BC，∠DAF=∠AFB，利用角平分线的定义可推出∠BAF=∠AFB；再利用等角对等边可求出BF的长，然后根据CF=BC-BF，可求出CF的长.

（2）同理可证DE=DC=8，由此可求出AE的长，可证得AE=CF，BF=DE，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF和四边形BFDE是平行四边形，可推出四边形EHFG是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分，可证得结论.22．【答案】（1）解：如图1，连接BF，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//∵∴