【数学】投影与视图复习课件 2023-2024学年人教版数学九年级下册

第二十九章投影与视图知识框架投影与视图投影的概念投影的分类视图物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象中心投影概念——从一点发出圆柱、圆锥、球的三种视图简单直棱柱、棱锥的三种视图组合体的三种视图正投影面上的投影叫做主视图吗水平投影面上的投影叫做俯视图侧投影面上的投影叫做左视图与正投影的关系三种视图的画法遵循原则：长对正，高平齐，宽相等注意轮廓线的实虚线表示要点梳理知识点

一投影

一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物体的投影。照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。

平行投影概念：由平行光线形成的投影叫做平行投影特征：1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长.2.等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度.考查题型（物高与影长的关系）1.在不同时刻，同一物体的影子的方向和大小可能不同.不同时刻，物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在改变，就北半球而言，从早晨到傍晚，物体影子的指向是：西→西北→北→东北→东，影长也是由长变短再变长.2.在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例.即：利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等.注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长.

中心投影概念：由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影。特征1.等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长.2等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短.考查题型（求点光源的位置）

点光源、物体边缘上的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上，根据其中两个点，就可以求出第三个点的位置.中心投影与平行投影的区别与联系：正投影

正投影的定义：如图所示，图(1)中的投影线集中于一点，形成中心投影；图(2)(3)中，投影线互相平行，形成平行投影；图(2)中，投影线斜着照射投影面；图(3)中投影线垂直照射投影面(即投影线正对着投影面)，我们也称这种情形为投影线垂直于投影面.像图(3)这样，投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影.1.线段的正投影分为三种情况.如图所示.1、线段AB平行于投影面P时，它的正投影是线段A1B1，与线段AB的长相等；2、线段AB倾斜于投影面P时，它的正投影是线段A2B2，长小于线段AB的长3、线段AB垂直于投影面P时，它的正投影是一个点.2.平面图形正投影也分三种情况，如图所示.①当平面图形平行于投影面Q时，它的正投影与这个平面图形的形状、大小完全相同，即正投影与这个平面图形全等；②当平面图形倾斜于投影面Q时，平面图形的正投影与这个平面图形的形状、大小发生变化，即会缩小，是类似图形但不一定相似.③当平面图形垂直于投影面Q时，它的正投影是直线或直线的一部分.3.立体图形的正投影物体的正投影的形状、大小与物体相对于投影面的位置有关，立体图形的正投影与平行于投影面且过立体图形的最大截面全等.知识点二

三视图三视图概念：从某一角度观察一个物体时，所看到的图象叫做物体的一个视图.

正面、水平面和侧面概念：用三个互相垂直的平面作为投影面，其中正对我们的面叫做正面，正面下面的面叫做水平面，右边的面叫做侧面.三视图概念：一个物体在三个投影面内同时进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.三视图之间的关系1.位置关系：三视图的位置是有规定的，主视图要在左边，它的下方应是俯视图，左视图在其右边，如图(1)所示.2.大小关系：三视图之间的大小是相互联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等的原则.如图(2)所示画几何体三视图的基本方法画一个几何体的三视图时，要从三个方面观察几何体，具体画法如下：1.确定主视图的位置，画出主视图；2.在主视图的正下方画出俯视图，注意与主视图“长对正”3.在主视图的正右方画出左视图，注意与主视图“高平齐”，与俯视图“宽相等”.注意：几何体上被其他部分遮挡而看不见的部分的轮廓线应画成虚线.由三视图想象几何体的形状

由三视图想象几何体的形状，首先应分别根据主视图、俯视图和左视图想象主体图的前面、上面和左侧面，然后综合起来考虑整体图形.

利用三视图计算几何体面积利用三视图先想象出实物形状，再进一步画出展开图，然后计算面积。考点讲练考点一

简单几何体的三视图

1．一个圆锥如图所示放置，对于它的三视图，下列说法正确的是（）A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同

C．左视图与俯视图相同 D．三个视图完全相同【分析】根据圆锥的三视图进行判定即可．【解答】解：圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，所以主视图与左视图相同，故选：B．【点评】本题考查简单几何体的三视图，掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键．2．下列几何体中，从正面看得到的平面图形是圆的是（）A．B．CD【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：A．主视图是三角形，故A不符合题意；B．主视图是正方形，故B不符合题意；

C．主视图是圆，故C符合题意；D．主视图是两个小长方形组成的矩形，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，熟悉常见几何体的三视图是解题关键．3．下列几何体中，同一个几何体从正面看和从上面看形状图不同的是（）ABCD【分析】从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的形状即俯视图，结合图形找出各图形的俯视图以及主视图，然后进行判断即可．【解答】解：A、主视图为矩形，俯视图为矩形，不符合题意；B、主视图为正方形，俯视图为正方形，不符合题意；C、主视图为三角形，俯视图为中间有点的圆，符合题意；D、主视图为圆形，俯视图为圆形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，注意从正面看到的图形即为主视图，从上面看到的图形即为俯视图．4．如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体．（1）请在方格中画出该几何体的三个视图．（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，最多可以再添加2块小正方体，【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；（2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．【解答】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，二．简单组合体的三视图5．如图，是由四个完全相同的小正方形组合而成的几何体，从上面看它得到的平面图形是（）ABCD【分析】从上面看得到从左往右3列，正方形的个数依次为1，1，1依此画出图形即可．【解答】解：根据几何体可得此图形的俯视图从左往右有3列，正方形的个数依次为1，1，1．故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握三视图的定义，从上面看它得到的平面图形是俯视图．6．如图所示的几何体的俯视图是（）ABCD【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【解答】解：从上边看是两个有公共边的矩形，如图所示：故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．7．（一个几何体如图水平放置，它的俯视图是（）ABCD【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示，看不见的棱用虚线表示．【解答】解：从上面看，是一个正方形，正方形内部有两条纵向的虚线．故选：D．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．8．如图，请分别画出从正面、左面和上面观察该几何体看到的形状图．【分析】根据三视图的定义结合图形可得．【解答】解：如图所示：【点评】本题考查作图﹣三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．9．一个几何体由一些大小相同的小正方块儿搭建，如图是从上面看到的这个几何体的形状如图，小正方形的数字表示在该位置的小正方块儿的个数，请在网格中画出从正面和左面看到的几何体的形状图．【分析】根据主视图，左视图的定义画出图形即可．【解答】解：主视图，左视图如图所示：【点评】本题考查简单组合体的三视图，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．三．由三视图判断几何体10．一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则小正方体的最少个数为7．【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层正方体的可能的最少个数，相加即可．【解答】解：由俯视图易得最底层有4个正方体，由主视图第二层最少有2个正方体，由主视图第三层最少有1个正方体，那么最少有4+2+1＝7个立方体．故答案为：7．11．小颖将几盒粉笔整齐地摞在讲台桌上，同学们发现从正面，左面，上面三个方向看到的粉笔形状相同（如图所示），那么这摞粉笔一共有4盒．【分析】首先根据俯视图判断最底层的个数，然后结合主视图和左视图判断出该总盒数．【解答】解：由俯视图可得最底层有3盒，由正视图和左视图可得第二层有1盒，共有4盒，故答案为：4．【点评】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．12．如图①所示的组合几何体，它的下面是一个长方体，上面是一个圆柱．1）图②和图③是它的两个视图，在横线上分别填写两种视图的名称左，俯（填“主”、“左”或“俯”）；（2）根据两个视图中的尺寸，计算这个组合几何体的表面积和体积．（结果保留π）【分析】（1）找到从正面和上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．（2）根据图形中的数据可知，长方体的长为8，宽为5，高为2，圆柱的底面直径为2，高为6，根据体积和表面积表示方法进行计算即可【解答】解：（1）如图，故答案为：左，俯．（2）表面积为：（8×5+8×2+5×2）×2+2π×6＝132+12π，体积为：2×5×8+π×（2÷2）2×6＝80+π×1×6＝80+6π．答：这个组合几何体的表面积为132+12π，体积是80+6π．【点评】本题考查简单组合体的三视图，根据三视图得出相关数据，依据相关计算方法进行计算是得出正确答案的前提．13．如图，是某几何体从三个方向分别看到的图形．（1）说出这个几何体的名称；（2）若其看到的三个图形中图1的长为15cm，宽为4cm；图2的宽为3cm；图3直角三角形的斜边长为5cm，试求这个几何体的所有棱长的和是多少？它的表面积多大？【分析】（1）根据棱柱的特点，结合图形可得答案；（2）将上下底面三角形的周长、侧棱长度相加即可得其所有棱长的和；将侧面积、底面积相加可得答案．【解答】解：（1）三棱柱；（2）棱长和为（3+4+5）×2+15×3＝69（cm），侧面积为3×15+4×15+5×15＝180（cm2），底面积为，表面积为180+6×2＝192（cm2）．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握棱柱的三视图特点及表面积的求法．14．一个几何体的三个视图如图所示（单位：cm）．（1）写出这个几何体的名称：长方体；（2）若其俯视图为正方形，根据图中数据计算这个几何体的表面积．【分析】（1）由2个视图是长方形，那么这个几何体为棱柱，另一个视图是正方形，那么可得该几何体是长方体；（2）由三视图知，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高是4cm，根据长方体表面积公式列式计算即可．【解答】解：（1）根据三视图可得这个几何体是长方体；故答案为：长方体．（2）由三视图知，几何体是一个长方体，长方体的底面是边长为3cm的正方形，高是4cm，则这个几何体的表面积是2×（3×3+3×4+3×4）＝66（cm2）．答：这个几何体的表面积是66cm2．【点评】此题考查了由三视图判断几何体和几何体的表面积求法，正确判断出几何体的形状是解题的关键．四．作图-三视图15．如图是由棱长都为1cm的6块小正方体组成的简单几何体．（1）请在方格中画出该几何体从正面、左面、上面所看到的形状图．（2）如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持从正面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加2块小正方体．【分析】（1）根据简单组合体三视图的画法画出相应的图形即可；（2）在俯视图上相应位置备注出相应摆放的数目即可．【解答】解：（1）该几何体的主视图、左视图和俯视图如下：（2）在备注数字的位置加摆相应数量的小正方体，所以最多可以再添加2块小正方体，故答案为：2．【点评】本题考查作图﹣三视图，简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确解答的前提．16．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米．请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图【分析】根据三视图的定义作出图形即可【解答】解：三视图如图所示：【点评】本题考查作图﹣三视图，解题的关键是理解三视图的定义，则有中考常考题型．17．如图，是由6个大小相同的小立方体块搭建的几何体，其中每个小正方体的棱长为1厘米（1）直接写出这个几何体的表面积（包括底部）26cm2；（2）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的三个不同方向看到的形状图．【分析】（1）根据几何体的特征求解即可；（2）根据三视图的定义画出图形即可．【解答】解：（1）这个几何体的表面积＝2（4+4+5）＝26（cm2），故答案为：26cm2．（2）三视图如图所示．【点评】本题考查作图﹣三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是掌握三视图的定义，属于中考常考题型．五．平行投影18．如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，已知AB＝5m，某一时刻AB在太阳光下的影子长BC＝3m．（1）在图中画出此时DE在太阳光下的影子EF；（2）在测量AB的影子长时，同时测量出EF＝6m，计算DE的长．【分析】（1）利用平行投影的性质得出EF即可；（2）利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：EF即为所求；（2）由题意可得：

，解得：DE＝10，答：DE的长为10m．＝【点评】此题主要考查了平行投影，利用同一时刻物体影子与实际高度的比值相等解题是解题关键．19．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆AB的高度．如图，他在某一时刻在地面上竖直立一个2米长的标杆CD，测得其影长DE＝0.4米．（1）请在图中画出此时旗杆AB在阳光下的投影BF．（2）如果BF＝1.6，求旗杆AB的高．【分析】（1）利用太阳光线为平行光线作图：连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求；（2）证明△ABF∽△CDE，然后利用相似比计算AB的长．解答】解：（1）连接CE，过A点作AF∥CE交BD于F，则BF为所求，如图；（2）∵AF∥CE，∴∠AFB＝∠CED，而∠ABF＝∠CDE＝90°，∴△ABF∽△CDE，∴＝，即＝，∴AB＝8（m）．答：旗杆AB的高为8m．【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．六．中心投影20．如图，某同学下晚自习后经过一路灯回寝室，他从A处背着灯柱方向走到B处，在这一过程中他在该路灯灯光下的影子（）A．由长逐渐变短

B．由短逐渐变长 C．先变长后变短

D．先变短后变长【分析】因为等高的物体垂直地面放置时，在灯光下，离点光源近的物体的影子短，离点光源远的物体的影子长；已知人是从点A处背着灯柱方向走到B处，也就是从光源近处走向光源远处，据此进行解答．【解答】解：根据中心投影的特征可知人远离灯光时，其影子逐渐变长．故选：B．【点评】本题主要考查的是中心投影的相关知识，解题的关键是明确中心投影的特征．21．如图，在一间黑屋子的地面A处有一盏探照灯，当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是（）A．变大 B．变小 C．不变 D．不能确定【分析】直接利用探照灯的位置得出人在墙上的影子，进而得出答案．【解答】解：如图所示：当人从灯向墙运动时，他在墙上的影子的大小变化情况是变小．故选：B．22．如图，路灯下一墙墩（用线段AB表示）的影子是BC，小明（用线段DE表示）的影子是EF，在M处有一棵大树，它在这个路灯下的影子是MN．（1）在图中画出路灯的位置并用点P表示；（2）在图中画出表示大树的线段MQ．【分析】（1）连接CA、FD并延长