【数学】专题课堂 构造三角形的中位线 2023-2024学年人教版数学八年级下册

精品试卷·第2页（共2页）数学八下专题课堂(六)构造三角形的中位线一、已知两边中点，连接构造三角形中位线【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．分析：连接BD，根据勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位线定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，从而可得出∠ADC的度数．【对应训练】1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG.(1)求EF的长；(2)求DG的长.2．如图，四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长．二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图，M，P分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AM＝BM，AP＝2CP，BP与CM相交于N.已知PN＝1，求PB的长．分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解．【对应训练】3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的长度.4．如图，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F，CF＝11.求AC的长.三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线【例3】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的长．【对应训练】5．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，E是BC的中点.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的长.6．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，求EF的长.四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.【对应训练】7．如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，M，N分别是AD，BC的中点，AB＝6，CD＝3，求MN的取值范围.参考答案一、已知两边中点，连接构造三角形中位线【例1】如图，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，BC＝15，CD＝9，EF＝6，∠AFE＝50°，求∠ADC的度数．分析：连接BD，根据勾股定理逆定理可求出∠BDC＝90°，由三角形的中位线定理可求出∠BDA＝∠AFE＝50°，从而可得出∠ADC的度数．解：连接BD，∵点E，F分别是边AB，AD的中点，EF＝6，∴EF∥BD，BD＝2EF＝12，∴∠ADB＝∠AFE＝50°，在△BDC中，BD2＋CD2＝122＋92＝225，BC2＝225，∴BD2＋CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°＋50°＝140°【对应训练】1．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG.(1)求EF的长；(2)求DG的长.解：(1)EF＝3.(2)连接DE.∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE＝2且DE∥AC.∵EF⊥AC，∴DE⊥EF，即∠DEF＝90°.∵G为EF的中点，∴EG＝12∴DG＝DE2．如图，四边形ABCD中，AB＝10，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，求EF的长．解：如图，取BD的中点P，连接EP，FP.∵E，F分别是AD，BC的中点，AB＝10，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝eq\f(1,2)AB＝5，PF∥CD且PF＝eq\f(1,2)CD＝4.又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°－∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD＋∠DPF＝90°，∴在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝eq\r(EP2＋PF2)＝eq\r(52＋42)＝eq\r(41)二、已知一边中点，取另一边中点构造三角形中位线【例2】如图，M，P分别为△ABC的边AB，AC上的点，且AM＝BM，AP＝2CP，BP与CM相交于N.已知PN＝1，求PB的长．分析：取AP的中点，利用三角形的中位线定理即可求解．解：如图所示，取AP的中点D，连接MD，∵AP＝2CP，∴AD＝DP＝CP，∵AM＝BM，∴DM是△ABP的中位线，∴DM∥BP，BP＝2DM，∴PN是△CDM的中位线，∴DM＝2PN＝2，∴BP＝2DM＝2×2＝4【对应训练】3．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点.若AC＝4cm，BD＝6cm，求EF的长度.解：取BC的中点H，连接EH，FH.∵E，F分别是AB，CD的中点，∴EH＝12AC＝2cm，FH＝12BD＝3cm，EH∥AC，∵AC⊥BD，∴EH⊥FH，即∠EHF＝90°，∴EF＝EH4．如图，在△ABC中，AB＝7，M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，作MF∥AD交AC于点F，CF＝11.求AC的长.解：取AC的中点N，连接MN.∵M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝12AB＝72，MN∥AB易得∠MNC＝2∠DAC.∵MF∥AD，∴∠MFN＝∠DAC，∴∠MFN＝∠FMN，∴FN＝MN＝72∵CF＝11，∴NC＝CF－FN＝152∴AC＝2NC＝15.三、已知一边中点，延长另一边构造三角形中位线【例3】如图，在△ABC中，点M为BC的中点，AD为△ABC的外角平分线，且AD⊥BD.若AB＝12，AC＝18，求DM的长．解：延长BD交CA的延长线交于点E，∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD＝∠BAD，在△EAD和△BAD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAD＝∠BAD，,AD＝AD，,∠ADE＝∠ADB，))∴△EAD≌△BAD(ASA)，∴AE＝AB＝12，BD＝DE，∴EC＝AE＋AC＝30，∵BM＝MC，BD＝DE，∴DM是△EBC的中位线，∴DM＝eq\f(1,2)EC＝15【对应训练】5．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝5cm，E是BC的中点.若AD平分∠BAC，CD⊥AD，求DE的长.解：延长CD交AB于点F.易证△ADF≌△ADC(ASA)，∴AF＝AC＝5，CD＝FD，∴BF＝AB－AF＝4.∵CD＝FD，E为BC的中点，∴DE＝12BF6．如图，在△ABC中，CE是中线，CD是角平分线，AF⊥CD交CD延长线于点F，AC＝7，BC＝4，求EF的长.解：延长AF，CB交于点G.易证△ACF≌△GCF(ASA)，∴CG＝AC＝7，AF＝GF，∴BG＝CG－BC＝3.∵AE＝BE，AF＝GF，∴EF＝12BG四、已知四边形对边的中点，取对角线中点构造三角形中位线【例4】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝CE＝3，M，N分别为线段DE，AC的中点，求线段MN的长.解：连接CD，取CD的中点H，连接MH，NH.∵M，H分别为DE，CD的中点，∴MH＝12CE＝32同理可得NH＝12AD＝32∵∠ABC＝90°，即CE⊥AD，∴MH⊥NH，即∠MHN＝90°，∴M