辽宁省丹东市汤池中学高三数学理模拟试卷含解析

辽宁省丹东市汤池中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知平面区域在区域内随机选取一点M，且点恰好在区域上的概率为，若，则的取值范围为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D【知识点】几何概型．解析：依题意可在平面直角坐标系中作出集合D1所表示的平面区域是三角形与D2所表示的平面区域是阴影部分的三角形（如图），由图可知D1=，由于，则0＜D2≤2．由于直线恒过点（0，2），则的斜率k＞0的取值范围是：（0，1]．故选D【思路点拨】找出D1、D2对应面积的大小，然后将其代入几何概型的计算公式进行求解．在解题过程中，注意三角形面积的应用．2.已知集合，则（）A．

B．

C．

D．参考答案：D3.已知中，，P为线段AC上任意一点，则的范围是A．[1，4] B．[0,4] C．[－2,4] D．参考答案：D法1：易求得，取中点，则，当时，，当在处时，所以,故选D法2：以为坐标原点，为轴、为轴建系，则，设所以,故选D.4.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于（）A．2i B．i C．﹣i D．﹣2i参考答案：D【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】设出复数z，代入，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式．【解答】解：由题意得z=ai．（a∈R且a≠0）．∴==，则a+2=0，∴a=﹣2．有z=﹣2i，故选D【点评】本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．5.公差不为零的等差数列中，，且、、成等比数列，则数列的公差等于(

)(A)．1

(B)．2

(C)．3

(D)．4参考答案：B6.某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B略7.在△ABC中，若sinAsinB＝cos2，则△ABC是

(

)A．等边三角形

B．等腰三角形C．直角三角形

D．既非等腰又非直角的三角形参考答案：B略8.已知复数z满足（1+i）z=2i，则z=（） A．－1＋i B． －1－i C． 1＋i D． 1－i参考答案：C略9.已知变量x、y满足的约束条件，则的最大值为

（

）

A．-3

B．

C．-5

D．4参考答案：10.已知是三条不同的直线，是三个不同的平面，给出以下命题：①若； ②若；③若； ④若.其中正确命题的序号是A.②④ B.②③ C.③④ D.①③[来源:学§科§网Z§X§X§K]参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若实数满足则的最大值是

．参考答案：1满足题中约束条件的可行域如图所示，要求的最大值即求t=x+2y>0的最大值，由t=x+2y，得，即求函数在y轴上的截距的最大值，数形结合可知当直线平行移动到点A（0，1）时，截距最大，此时tmax=2，因此zmax=log22=1.故答案为：1．

12.对于函数，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)的值域为R；③当a>0时，f(x)在区间上有反函数；④若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围是.上述命题中正确的是

。(填上所有正确命题序号).参考答案：②③13.（几何证明选讲）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径

．参考答案：14.已知随机变量若，那么

参考答案：0.48略15.有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不能站在最左端，而乙必须站在丙的左侧（不一定相邻），则不同的站法种数为

．(用数字作答）参考答案：48

16.已知等腰的斜边，则

.参考答案：1考点：向量的运算17.设是R上的奇函数，且=,当时，,则等于__________

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数.(I)当a=2时,求曲线在点处的切线方程；(II)设函数,讨论的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析。试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，求出切线的斜率,再用点斜式写出切线方程；（Ⅱ）由,通过讨论确定的单调性,再由单调性确定极值.试题解析：（Ⅰ）由题意，所以，当时，，，所以，因此，曲线在点处的切线方程是，即.（Ⅱ）因，所以，，令，则，所以上单调递增，因为，所以，当时，；当时，.（1）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.所以当时取到极大值，极大值是，当时取到极小值，极小值是.（2）当时，，当时，，单调递增；所以在上单调递增，无极大值也无极小值.（3）当时，，当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增所以当时取到极大值，极大值；当时取到极小值，极小值是.综上所述：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值是，极小值是.【考点】导数的几何意义及导数的应用【名师点睛】(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．19.（本题满分12分）己知斜三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧面为菱形，，平面平面，是的中点．（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．

参考答案：（Ⅰ）证明：方法一取的中点,连结，,由题意知．又因为平面平面，所以平面．………………2分因为平面

所以因为四边形为菱形，所以又因为∥,所以所以平面………………4分又平面，所以．…6分方法二取的中点,连结，,由题意知，.又因为平面平面，所以平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……2分则,,，,，.

……4分因为，所以……6分（Ⅱ）取的中点,连结，,由题意知，.又因为平面平面，所以平面以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.……7分则,,，,,.设平面的法向量为，则即令.所以.

…………9分又平面的法向量

…………………10分设二面角的平面角为，则.……………12分20.（13分）某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在7.95米及以上的为合格。把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7.（1）求这次铅球测试成绩合格的人数；（2）若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；（3）若参加此次测试的学生中，有9人的成绩为优秀，现在要从成绩优秀的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知、的成绩均为优秀，求两人至少有1人入选的概率.参考答案：解：（1）第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，……1分∴此次测试总人数为(人).

……2分∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．………4分（2）直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等，

……6分而前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，∴中位数位于第4组内.

……8分（3）设成绩优秀的9人分别为

则从中任意选出2人所有可能的情况为：，共36种

……10分其中、至少有1人入选的情况有15种，

……12分∴、两人至少有1人入选的概率为…………13分21.已知