2020-2021学年通化市通化县高一年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年通化市通化县高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知全集〃={0,1,2,3,4},集合4=口,4},集合B={3,4},则QG4uB)=()

A.{0,1,2,3}B.[0,2}C.{2,3,4}D.{4}

2.在AaBC中，下列等式一定成立的是（）

A.sin(A+B)=—sinCB.cos(i4+B)=cosC

cB+C.Ac.B+C.A

C.cos---=sin-D.sin——=sin-

2222

3.襄荆高速公路连接襄阳、荆门、荆州三市，全长约188公里，是湖北省大三角经济主骨架的干线

公路之一.若某汽车从进入该高速公路后以不低于60千米/时且不高于120千米/时的速度匀速

行驶，已知该汽车每小时的运输成本由固定部分和可变部分组成，固定部分为200元，可变部分

与速度以千米/时）的平方成正比（比例系数记为k）.当汽车以最快速度行驶时，每小时的运输成本

为488元.若使汽车的全程运输成本最低，其速度为（）

A.80km/小时B.90km/小时C.100km/小时D.110/cm/小时

4.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当％>0时，/（%）=|（|x-a2\+|x-2a2\-3a2）,若Vx6

R,/(%-!)</(%),则实数Q的取值范围为()

A.[-泊B.[一*强C.[-|,|]D.[等,学

5.若sin(x+§+cos(x-$=£则sin(2x+，)=()

A.;B.ic.-iD.

6.已知f(x)是偶函数，对于任意正实数与，工2。1r¥2)，恒有智乎2>0,则下列选项一定正

T1r2

确的是()

A./(5)<f(-2)B./(2)</(-4)C./(-2)>f(-4)D.f(-2)</⑴

7.在锐角△4BC中，若4=28,则蓝的范围是()

A.(V2,V3)B.(V3,2)C.(0,2)D.(V2,2)

8.已知函数/'(x)=23~x,若函数g(x)=/(|x|)-2f(m2-m)有两个零点，则实数m的取值范围为

()

A.(-y,B.(-00,-y)U,(JI，+8)

C(展喳D.(一8,等)U(喑+8)

9,已知实数a,b,c,其中a>b,则下列不等式一定正确的是()

A.-<B.ac2>be2C.a2>b2D.a3>b3

ab

10.“a=,是"sina="的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

11.命题“对VxGR,都有/>o”的否定为.

12.已知函数/(x)=sin3尤在区间[0于上单调递增，在区间覃等上单调递减，则函数的最小正

周期是.

13.幕函数a为常数，满足螺=81,则/(2)=.

八

14.已知点C是平面4BD上一点，/-BAD=pCB=1,CD=3,若而=屈+而，贝都|的最大

值为•

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

15.⑴-(—2尸+(-2厂3+(-i)-3-(-i)3；

7

(2)仞14—2/g[+仞7—018.

16.某种商品，现在定价p元，每月卖出般件，因而现在每月售货总金额np元，设定价上涨x成，卖

出数量减少y成，售货总金额变成现在的z倍.

(1)用x和y表示z；

(2)若y=|x,求使售货总金额有所增加的x值的范围.

17.函数/")=八：的定义域为

14直线y=3x和圆/+y2=1交于工,B两点，以Ox为始边，Q4,为终边的角分别为a,尸,

则sin(a+尸)的值为一.

15若平面上四点满足任意三点不共线，且4而+2通=而，则沁■=」

--3,-1<X<0

16已知函数g(x)=jx+l，若方程g(x)-鹿一於=0有且仅有两个不等的实根,

x2-3x+2,0<x<l

则实数幽的取值范围是.

18.已知/(五一2)=》一3a.

(1)求/(x)的函数解析式；

(2)讨论/(x)在区间［-2,2］函数的单调性，并求在此区间上的最大值和最小值.

19.(本题满分15分)设函数/(x)=sin2x+—4-cos2x+73sinxcosx.

(1)若求函数的值域;

(2)设48,。为的三个内角，若/住)=常cos(4+0=-^，求cnQ的值•

参考答案及解析

1.答案：B

解析：解：•••4={1,4},B={3,4}，

AUB={1,3,4},

•.•全集U={0,1,2,3,4},

•••Cu(AUB)={0,2}.

故选：B.

由4与B求出两集合的并集，根据全集U,求出并集的补集即可.

此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

2.答案：C

解析：解：在AABC中，有4+B+C=?r,

:.sin(A+B)=sin[?r—(A+B)]=sinC,故A错误;

cos(/I+B)=—COS[TT—(4+B)]=—cosC,故B错误;

cos^=cos(p)=sin?,故C正确；

sin^=sin(F)=cos?,故。错误.

故选：C.

本题主要考查三角函数诱导公式的应用，是基础题.

由已知可得4+B+C=TI,结合三角函数的诱导公式逐一分析即可.

3.答案：C

解析：解：每小时的可变成本为：fcv2(60<v<120),每小时固定成本为200.每小时的运输成本为：

M+200.

因为速度最大时每小时的运输成本为488,所以/C1202+200=488,所以k=0.02,

运输时间为：£=：=詈，

所以全程的运输成本为：/(v)=(0.02v2+200)•詈=188(号+0.02“>188x2X0.02v=

752,

当且仅当变=0.02v,即i;=100时，“=”成立，

V

故选：C.

利用待定系数法法求出运输成本，利用基本不等式可求出所求.

本题主要考查函数的应用问题，根据题意列出函数关系，掌握基本不等式在最值问题中的应用注意

等号成立的条件是解决本题的关键.

4.答案：B

解析：解：当xNO时，

x—3a2,%>2a2

/(%)=，—a2,a2<x<2a2,

—x,0<x<a2

由/(%)=x—3a2,x>2a2,得/(%)>—a2；

当a2V%w2a2时,/*(%)=-a2；

2

由f(%)=-%，0<%<a,得/(X)N-Q2.

2

・.・当%>0时，f［x}min=-a.

•・・函数f(%)为奇函数，

・•.当x<0时，=a2.

・・•对都有—Wf(x),

.­,2a2-(-4a2)<l,解得：一渔立.

66

故实数a的取值范围是［-彳,彳］.

故选：B.

把x20时的/(x)改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得》<0时的函数的最大值，

由对VxeR,都有f(x-l)Wf(x),可得2a2—(—4a2)<1,求解该不等式得答案.

本题考查了恒成立问题，考查了函数奇偶性的性质，运用了数学转化思想方法，解答此题的关键是

由对都有/。一1)三/(为得到不等式202—(-4£12)式1,是中档题.

5.答案：C

解析：

本题主要考查了三角函数的性质及倍角公式和半角公式的简单应用，属于基础题.

由已知结合诱导公式可求sin(x+力，然后结合二倍角公式及诱导公式可求.

解：vsin(x+勺+cos(x-g),

3D

=sing+(x-物+cos(x-0,

=2cos(x-

O3

:.sin(x+-)=cos(x

则cos(2x+y-)=1-2sin2(x+$=1—2x(=：,

cos(2x+y)=cos[(2x+1)+§，

=-sin(2x+》=右

故sin(2x+,)=-i.

故选：C.

6.答案：B

解析：解：••・对于任意正实数Xi，冷。1大％2)，恒有智户>0,

xl~x2

•••当x>0时，函数为增函数，

••,函数f(x)是偶函数，

.-./(-2)=/(2),7(-4)<7(4),

•・・/⑸>/(—2),

/(2)<〃-4)，

/(一2)</(-4)，

/(-2)>/(1),

故选：B.

根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关系进行转化，逐一选项判断即可.

本题主要考查函数值的大小比较，根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性之间的关

系进行转化是解决本题的关键.

7.答案：A

解析：解：•••A=2B,

••・根据正弦定理号=上得：2=华团2sinBc°sB=2COSB,

sinAsinBbstnBsinB

■.■A+B+C=180°,

3B+C=180°,即C=180°—3B,

1•,C为锐角，

30°<B<60°,

又0°<A=2B<90°,

•••30。<B<45°,

.•<Y<cosB<f,即或<2cosB<遮，

则押取值范围是（企,我）.

故选：A.

利用正弦定理列出关系式，将4=2B代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，约分得到结果为2cosB,

根据三角形的内角和定理及三角形ABC为锐角三角形，求出B的范围，进而确定出cosB的范围，即

可得出所求式子的范围.

本题考查了正弦定理，余弦函数的图象与性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解

本题的关键.

8.答案：D

解析：解：函数g（x）=/（|x|）-2fm2_m）有两个零点等价于方程23Txi=2.23-（m2-m）有2个不等

根，

则3—|x|=4—（m2—爪），gp|x|=m2—m—1,

要想满足方程有2个不等根，则小2一瓶—1>0,解得7n>匕匹或m<上更，

22

即m取值范围为（一8,与更）u（平,+8）,

故选：D.

题目等价于方程23-团=2-23-（*-向有2个不等根，根据条件解出m取值范围即可

本题考查函数零点的判定，涉及转化思想，指数函数运算性质等，属于中档题.

9.答案：D

解析：解：当a=3,b=-l,满足>b,但工<；不成立，故A错误，

当c=0时，叱2>比2不成立，故B错误，

当a=l,b=-l,满足〉b,但a2>b2不成，故C错误，

V/（X）=*是增函数,

.,.当a>b时，由a3>〃成立，故。正确，

故选：D.

根据不等式的性质分别进行判断即可.

本题主要考查不等式性质的应用，结合不等式的性质，利用排除法是解决本题的关键，是基础题.

10.答案:A

解析：解:由a=，,可得sing=“a=，"n"s讥a=9；

o62oN

但是由sina=：,可得a=£+2/cn•或a=辿+2/CTT,〃€Z；・•・"s出a=：”推不出“a=；

2o62o

"a=?是"sina=；”的充分不必要条件.

oZ

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义进行判断.

本题主要考查充分条件和必要条件的定义，属于基础题.

11.答案：3x6/?,都有/<0

解析：解：命题是全称命题，则否定是mxeR,都有％2<0,

故答案为：3xG/?,都有％2<0.

根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.

本题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键，是基础

题.

12.答案：y

解析：解：•.・函数/'(X)=sma)x的图象过原点，且在区间［0币上单调递增，在区间生手上单调递减，

.(=学贝仃=?

故答案为：Y.

先判断出函数的图象过原点，再由函数的单调区间求出此函数的最小正周期.

本题考查了正弦函数的单调性，解题的关键是抓住函数图象的特征：周期和单调区间的关系，考查

了读图能力.

13.答案：16

解析：解：•.•琳函数

•••y^=3a=81=34,

・・・a=4,

・••/(%)=x4,

/(2)=24=16.

故答案为：16.

根据基函数的定义，利用像=81列方程求出函数解析式，再计算/(2)的值.

本题考查了幕函数的定义与运算问题，是基础题.

14.答案：46

解析：解：依题意，当点CEBD时，|前|有最大值4,^^\AD-AB\<4，

设|=d,\AB\=b9贝IJ16>(AD-AB)2=d2b2-2bdeos^=b2+d2-bd>b2d2-

史空，解得〃+d2w32.

2

又又因为方=而+而，所以|而|=J(历+荏)2=Jb2+d2+2bdcos^

-y/b2+d2+bd<'-V48-4y/3-

故填：4V3.

依题意，若点C在线段BD上，此时|前|有最大值4,即|而—同|=4，求|而+屈|的最大值，利

用基本不等式处理即可.

本题考查了平面向量的线性运算，考查了平面向量的模，考查了基本不等式等知识，考查分析解决

问题的能力和计算能力，属于中档题.

15.答案:解:(1)-(-2)4+(-2)-3+(-1)-3-(-i)3

=-16+-8-8--8

=-24.

(2)lgl4-2lgl+lg7-lgl8

=Igl4-lg7+2lg3-lgl8

—Ig2+lg9-IglQ

=ig]

=o.

解析：(i)利用有理指数基的运算法则化简求解即可.

(2)利用对数运算法则化简求解即可.

本题考查有理指数暴以及导数的运算法则的应用，考查计算能力.

16.答案：解：(1)按现在的定价上涨x成时，上涨后的定价为p(l+3元，每月卖出数量为n(l-3

件，每月售货总金额是npz元，

因而即z=p(l+q)・n(l-q),所以z=(1+

(2)当y=|x时，z=(l+$(l_,),

要使每月售货总金额有所增加，即z>1,

应有(10+%).(10一|x)>100,

即“(%—5)<0.

所以0V%V5.

・,・所求工的范围是(0,5).

解析：⑴定价上涨x成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(l+3，n(l-^),

npz,写出要的算式，即可求出答案；

(2)把所给的关系代入关系式，使得式子大于1,解出关于x的不等式，得到结果

本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程等知识点，解此题的关键是把实际

问题转化成数学问题，这是一道很好的题目.

17.答案:13.(0,10);

15.2;

9

16.(―,-2]U[0,2).

4

解析：13.由已知l-lgx>0nigx<1=0<10,故定义域为(0,10)；

14.设点A在第一象限，则点B在第三象限，B=2k7r+7T+a,

所以sin(a+jS)=sin(a+2k7i+n+a)=-sin2a.又直线方程与圆的方程得A

所以sina=2^2cosa=叱e>所以一sin2a=-2sinacosa=--

10105

S

15.由向量加法的平行四边形法则可知溪组=2;

16.令g(x)-?nx-m=O得g(x)=M(x+l),原方程有两个相异的实根等价于两函

数》=g(x)与歹=根(x+1)的图象有两个不同的交点.

当冽＞0时，易知临界位置为丁=加*+1)过点(0,2)和(1,0),分别求出这两个位置的斜

率左1=2和/=0,由图可知此时we[0,2)

当掰＜0时，设过点(-1,0)向函数g(x)=———3,X€(-1,0]的图象作切线的切点为a。,%),

x+l

则由函数的导数为g'(x)=一-二得

(X+T

11_为\__1

(X+1"X+1QQ

,°：0解得J,得切线的斜率为用=一±,而过点(-1,0),(0,-2)的斜率

^0=-%=

,%+1I2