2020年高考理数小册子

第一篇延伸教材——结论应用

一、集合与常用逻辑用语

结论1.含有n个元素的集合的子集个数为2".

【典例1][2019广东湛江普通高考测试]已知全集U=Z,A={1,2,3,4},8={x|(x+l)(x

—3)>0,尤GZ},则集合AC([苏)的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【解析】由题意知[/={x|(x+l)(x—3)W0,xGZ}={x|—1WXW3,xGZ}={—l,0,l,2,3},

则集合An([网={1,2,3},故其子集个数为23=8.故选C.

【答案】C.

结论2.AU8=AOBCA,AHB=A^A^B.

【典例2][2019吉林省实验中学第三次月考]已知集合4={小一2<0},B={x\x<a},若

AHB=A,则实数a的取值范围是()

A.(—8,-2]B.[-2,+8)C.(—8,2]D.[2,+°°)

【解析】集合A={x|x—2<0}={尤[x<2},B=[x\x<a},若ACB=A,故AG2,故心2.

故选D.

【答案】D.

结论3.[阳1^)=([曲口&8)，[旗。8)=([必)”[/).

【典例3](1)[2019浙江金丽衢十二校第一次联考]若集合4=(—8,5),8=[3,+8),

则([RA)U([R8)=()

A.RB.。

C.[3,5)D.(—8,3)U[5,+8)

【解析】(方法一)由题意知[RA=[5,+8),[RB=(—8,3),(CRA)U(CRB)=(—3)

U[5,+8).(方法二)•.•ACB=[3,5),.•.([娟2([；述)=}(408)=(—8,3)U[5,+00).故

选D.

【答案】D.

(2)[2019湖南长沙二模]设全集U=R,集合A={小>0},B={x|-3<x<l},贝IJCMAUB)

=()

A.{x|0<x<l}B.{x\x>~3}

C.{AU<0或％21}D.{小W—3}

【解析】(方法一);A={x|x>0),B={x|—3<x<l},AU3={4x>—3},lu(AU5)=(一

8,-3].故选D.(方法二)・・・[u(AU5)=[uAn[:出=(—8,0]n[(-oo,-3]U[1,+oo)]

=(—8,—3].故选D.

【答案】D

结论4.p与「夕一真一假.

【典例4][2019江西南昌二模]已知函数yOOnar+x+a,命题p：/(xo)=O,

若p为假命题，则实数〃的取值范围是()

C.—0°,~2^2f+8D.—~2^2"+8

【解析】Yp为假命题，:.Y为真命题，即不存在％o£R，使加o)=O,故/=1-4/<0,

且〃z0,解得或〃<一；.故实数〃的取值范围是一8,H，+8.故选c.

【答案】C.

二、函数与导数

结论1.若奇函数1x)在x=0处有定义，则式0)=0.

【例1][2019山东聊城3月份一模]设函数_/(x)=5，+a,若兀r)为奇函数，则不等式

段)>一;的解集为()

A.(0,In2)B.(—8,]n2)C.(-°°,In3)D.(0,In3)

【解析】根据题意，函数八无)=三7+访其定义域为R若小)为奇函数，则五0)=；+。

eI1乙

=0，解得£?=—:,则於)=三7一,又由y=e*+l为增函数，则於)=三7一)在R上为减

乙eI14eI14

函数，且y(ln3)=e®3：]—、=一；则y(x)>—/=犷尤)次In3)与x<ln3,即不等式的解集为(一

8,In3).故选C.

【答案】C.

结论2.偶函数1尤)一定有/(x)=K|x|).

【典例2][2019山东德州二模]已知定义在R上的函数1x)在区间[0,+8)上单调递增，

且y=Ax—l)的图象关于尤=1对称，若实数。满足/(log2a)勺(2),则"的取值范围是()

A.0,1B.；,+°°C.；,4D.(4,+°°)

【解析】根据题意，y=/U—1)的图象关于x=l对称，则函数左)的图象关于y轴对称，

即函数式尤)为偶函数.又由函数/U)在区间[0,+8)上单调递增，则川Og2。)勺(2)今川10g20|)勺(2)

=>|log2al<2,即一2<log2a<2,解得;<a<4,即a的取值范围为寺，4.故选C.

【答案】C

结论3.兀V)在区间。上单调递增的等价定义：Vxi，x^D,xiWx2,空匚鲍>0,(xi-

X\X2,

尤2)f(X2)]>0(递减的类似).

【典例3][2019天津4月联考]已知定义在R上的函数八尤)满足｛3—x)=/(3+x),且对

任意xi，&G(0,3)都有鲍三空久0,若。=2-06=1噌3,c=e®4,则下面结论正确的是()

X2-Xl

A.Ka)<Kb)<gB.KO<f(a)<f(b)

C.Kc)<f也)<fg)D.%)勺(c)勺(6)

【解析】,."(3—尤)=/(3+x),得函数«r)的图象关于直线尤=3对称.又对任意xi,%2e(0,3)

都福第二函数本)在旧0,3)上单调递减.：0<。=2—丑2°=l<b=log23<2,

艮又，=a4=4,八4)=犬2)，...1c)=/(2)，:故选C.

【答案】C.

结论4.复合函数的单调性为“同增异减”.

【典例4][2019黑龙江大庆一中第四次模拟]函数TU^lna2—2x—8)的单调递增区间是

()

A.(-8,-2)B.(一8,1)c.(1,+°°)D.(4,+°0)

【解析】由x2—2x—8>0,得xG(—8,-2)U(4,+8).令/=/—2x—8,贝I]y=ln九：

尤G(—8,—2)时，/=^—2x—8为减函数；xG(4,+8)时，/■=%2—2尤-8为增函数，且y

=lnt为增函数，故函数<x)=ln(x2—2x—8)的单调递增区间是(4,+°°).故选D.

【答案】D.

结论5.若大龙)满足式a—x)=/(b+x)对任意x恒成立，则函数y=/(x)的图象关于直线x=

W”对称，特别是满足/(a—x)=/(a+x),大2°—x)=/(x)㈡函数y=/(x)的图象关于直线x=a对

称；函数兀v)满足式a—x)+/(a+x)=2b<=>函数>=於)的图象关于点(a,b)中心对称.

【典例5]⑴[2019湖南八市重点中学联盟“领军考试”第五次测评]己知函数八》=三，

则()

A./(x)在(0,1)单调递增

B.五尤)的最小值为4

C.y=«x)的图象关于直线x=l对称

D.y=;(无)的图象关于点(1,2)对称

ZxQ-D—x2x2—2尤尤(x—2)

【解析】由题意知(x)=当Xd(0,1)时，f(x)<0,则

(X—I)2(无一I)2(X—I)2'

八犬)在(0,1)上单调递减，A错误；当X—1<0时，4尤)<0,可知犬尤)的最小值为4不正确，B错

(2—x)2

误；42—片#段)，则y=Ax)的图象不关于X=1对称，C错误；式i+x)+7U—尤)

=&苧+与4=4,则y=/(x)的图象关于(1,2)对称，D正确.故选D.

人X

【答案】D.

(2)(2019湖北武汉5月模拟]函数八%)=炉一3，+5x—1图象的对称中心为.

【解析】设对称中心的坐标为(。，b),则2人=#〃+%)+/(〃-x)对任意x£R均成立.代入

函数解析式得2Z?=(Q+%)3—3(〃+x)2+5(〃+x)—1+(〃-x)3—3(〃-■%)2+5(Q—%)—4,整理得2b

[6a-6=0,

=(6〃-6)f+2〃3—6次+104—2对任意x£R均成立，，彳.、).\a=\,

12〃一6〃2+IO〃一2=2b,

b=2,即对称中心为(1,2).

【答案】(1,2).

结论6次工)在区间。上单调递增(减)，则在。上/(x)20(W0)恒成立.

【典例6](1)[2019安徽淮南第二次模拟]若函数/(%)=x—gsin2x+acosx在(―"8,+8)

上单调递增，则实数〃的取值范围是()

「r4444

A.[—2,2]B.—2,QC.lgD.-2,—1

41

【解析】对«x)求导得/(x)=]sin2%—“sin丁危)为R上的增函数，故/'(x)20

_4]—一]4sinx

恒成立，即Qsin?%—osinx+彳N0.若sinx=0,则Q£R.若sinx>0,贝！J十二^一，令/

3JsinxJ

i4/14/41

=sinx«£(0,l]),则〃・或+不，其中/£(0,1].,.•王+可三大，当且仅当/=5时等号成立，故

414sinx14/

〃令.右sinx<0,则a斗.+—7—，令t=sinx(t^[—1,0)),则三十7,其中庐[—1,0).V

3JSinX33T3

i£4r(V4，当且仅当片号1时等号成立，故心V4.综上，实数a的取值范围是4V，4/故

JLJD乙DDD

选C.

【答案】C.

(2)[2019福建厦门双十中学高考模拟]已知函数«r)=sin2x+4cos%—a尤在R上单调递减，

则实数。的取值范围是()

A.[0,3]B.[3,+8)C.(3,+°°)D.[0,+°°)

【解析】函数J(x)=sin2尤+4cosx一存在R上单调递减，等价于/(x)W0恒成立.(尤)

=2cos2x_4sin%—a=2(l—2sin2%)—4sinx—a——4sin2%—4sinx+2—a=—(2sinx+l)2+3

-aWO在R上恒成立,因此a》3—(2sinx+l)2,则心3,故选B.

【答案】B.

结论7.e*》x+l,当且仅当x=0时等号成立；InxWx—l,当且仅当x=l时等号成立.

【典例7】已知函数人元)=-_」则y=/(x)的图象大致为()

xinx1

【解析】近尤)的定义域为xG(O,l)U(l,+8),y=x—1的图象始终位于y=lnx的图象的

上方，的函数值为正数，排除B,D；当取xi=e<X2=e2时，八羽)》X2),排除C.故选A.

r姣空】A

三二三角函数与解三角形

结论1.在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与尤的非负半轴重合，终边

过点P(x,y),则sina=q金卜cosa=yj2^_2;tana=；

【典例11[2019江西上饶横峰中学适应性考试]在平面直角坐标系中，角a的顶点与原

点重合，始边与x的非负半轴重合，终边过点P(l,2),则si苣+2a=.

【解析】由角a的终边过点P(l,2),得|。尸尸小.利用三角函数的定义,得cosa=去邛,

兀\[53

贝Usin/+2a=cos2a=2cos2a—1=2X-^-2—1=—

【答案.】一3]

结论2.在平面直角坐标系中，角a的顶点与原点重合，始边与％的非负半轴重合，若角

a的终边在直线y=kx上，贝!Jtana=k.

【典例2][2018全国卷I,11]已知角。的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重

2

合，终边上有两点A(l,a),BQ,b),且cos2a=§,则|。一"=()

A1R亚「贴口,

【解析】直线AB的斜率即为tana,即tana=b-a.^cos2a=二;=|,

解得3—"$则w—臼=坐.故选B.

【答案】B.

2吉论3.(sinoc+cosa)2+(sina-cosa)2=2.

1JT

【典例3][2019广州普通高中毕业班综合测试]已知sina+cosQ=5,其中兀，则

tan2a=()

24c4-7-24

A.——B.—C，24D.7-

149

【角星析】•「sina+cosa=g,_&(sinoc+cosa)2+(sina-cosa)2=2,，(sina——cosa)2=石.

,•一兀..7eii.4311T4_2tana

・71,..sina—cosa=q,因止匕sina=§，cosa=—q,从而tana=—g,tan2a=]_抬高

24

=了.故选D.

【答案】D.

结论4.sin2a=普君,cos2a=旨震(万能公式).

【典例4][2019山东青岛一模]若tan夕=2,贝Ijcos(26+兀)=.

_,tan20—13

==

【角牛析】tan<9=2,COS(20+K)=—COS^tan2^_p।5-

【答案】j3.

〃十、人la1-cosasina

Z口此5.tan7=•~~~;.

2sina1+cosa

rIa

4l+tan,

【典例5][2019广东深圳适应性测试]若cosa=一亍a是第三象限的角，则------

1—tan,

)

A.i2B./C.2D.—2

<Ia

1+tanT

-43,asina_._____£

【解析】•.•cosa=—亍。为第三象限角，.・.sina=—m，；•tan。।3,••

21I+cosa1a

I—tan.

-J.故选A.

I-r-J乙

【答案】A.

.IT

结论6.函数/)=启皿5+0)为偶函数的充要条件是9=fac+](&GZ),/(x)=Acos(ox+0)

为奇函数的充要条件是夕=4兀+GZ).

TT

【典例6][2019广西八市4月联合调研]已知将函数危)=sin(2x+9)0<9<]的图象向左平

移9个单位长度后，得到函数g(x)的图象.若g(x)是偶函数，则养=()

A1R正,亚D1

_jrjr

【解析】由题意可得g(%)=sin(2x+39),•・飞(%)是偶函数，「.39=5+左兀(％£2),即9=&+

号(左WZ).又0<夕专：呷=卷.\/^=sin2X号+袭=/.故选A.

【答案】A.

结论7.y(x)=Asin(Gx+9)的图象关于点(%o,O)中心对称的充要条件是coxo+(/)=k7i(k^Z)f

__.7?

关于直线％=xo轴对称的充要条件是①xo+9=女兀+/(%£Z).

【典例7](1)[2019天津4月联考]y=sin2x+5的图象经过怎样的平移后所得的图象关于

点一直，。中心对称（）

A.向左平移出个单位长度B.向左平移令个单位长度

C.向右平移强个单位长度D.向右平移点个单位长度

【解析】假设将函数y=sin2x+W的图象平移p个单位长度后得到y=sin2x+2p+W的图

__TTTTTTTTTTTT.

像关于点一五,0中心对称，，将x=一正代入得sin—4+2〃+1=si%+2〃=0,.,・％+22=%兀（女

£Z）,・,・"=一词+与收Z）.当人=0时，••向右平移合个单位长度.故选C.

JL乙乙JL乙1乙

【答案】C.

（2）（2019重庆南开中学第三次教学质量检测]已知函数/（%）=sincox+acos5（心0）的最小

正周期为兀，且X=*是函数氏0图象的一条对称轴，则的最大值为（）

A.1B.也C.小D.2

【解析】由题意得函数«x）=sincox+acoscox=y]1+a2sin（cox+0）,其中tan0=a.\9f（x）

的最小正周期为兀，则普=兀，，G=2,1+〃2sin（2x+。）.•.求入）图象的一条对称轴

是冗=豆，.\2X-^+9=-+k7i,可得夕=%兀+7%£Z,贝hanE+]=〃，即tang=〃，

....=小".而）的最大值为后卫=2.故选D.

【答案】D.

结论8.△ABC中,A>B<4sinA>sinB.

【典例8][2018山东荷泽期中]在△ABC中，“A>B”是“sinA>sin£^（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】由sinA>sinB等价于2KsinA>2Rsin8,且根据正弦定理可得a>b,即A>8,则

在△ABC中，“A>2”是“sinA>sinB”的充要条件.故选C.

【答案】C.

结论9.在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则有a=6cosC+ccos3,b=

acosC+ccosA,c=acosB-\~bcosA（射影定理）.

【典例9][2019安徽淮南第二次模拟]在△ABC中，三内角A,B,C所对的边分别为°,

b,c,且acosB+bcosA=2cosC,c=l,则角C=（）

,兀兀2兀5兀

A6B3CTD.不

【解析】由acos5+AcosA=2cosC及射影定理，得c=2cosC,且c=l,则cosC=g.

IT

vce（o,it）,，C=Q.故选B.

【答案】B.

结论10.直角边长分别为a,b的直角三角形的内切圆半径为

【典例10][2019宁夏石嘴山三中第四次测试]中国古代第一部数学专著《九章算术》中

有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三

角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机

投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（）

42兀-3兀一{2兀-13兀

A记B.砧C.I—ED.1-25

r5-r

【解析】由题意知直角三角形的斜边长为弋52+122=13,设内切圆的半径为r,则r=

5+1：二13=2,.•.内切圆的面积为兀，=4兀，.•.豆子落在其内切圆内的概率是2=厂也一=

2X5X12

记.故选A.

【答案】A.

四、平面向量

结论L向量。=(尤1，约)，b=(xi,>2)共线的充要条件是*U2—*2竺=0;如果向量a,8不

共线，则向量加1。+”仍，7"2。+"26共线的充要条件是如"2一"Z2"l=0.

【典例1]⑴[2019甘肃第二次诊断]已知向量。=(1,m)，向量z>=(—1,4)，若a〃b,

则机=()

A币B.一小C当D.一坐

【解析】由题意得1：“><(—1)=0,解得机=—/.故选B.

【答案】B.

(2)[2019北京人大附中高考信息卷]已知a,〃是两个不共线的向量，诵=3a—2"诙=

ka+b,若A,B,C三点共线，则上=.

-3

【解析】由题意得3一(-2%)=0,解得女=一

【答案】得3.

结论2.向量a在向量b上的投影为胃.

【典例2][2019甘肃张掖第三次诊断]已知⑷=4,e为单位向量，当a,e的夹角为120。

时，a+e在〃一e上的投影为()

A1515V135^21

/A•DSJRJ.4]3\-J.7

【解析】由题意得|a—6|=<42—2X4X1X—±+1=表1,又(a+e>(a—e)=4?—产=⑸

.(a+e)-(a-e)155y[21.„_

一IIe|=亚=7…故选D

【答案】D.

结论3.\a+b\=\a-b\^a-b=0^aJ.b.

【典例3][2019辽宁辽阳期中]已知向量。=q+2,A),/>=(/,1),^\a+b\=\a-b\,则

实数力的值为()

A.-3B.3C.—3或0D.0或3

【解析】V\a+b\=\a-b\,：.a-b=0,.,.2(/+2)+/1=0,解得力=0或%=—3.故选C.

【答案】C.

结论4.G为△ABC的重心今或+应+走=0.

【典例4][2019重庆南开中学四检]已知0为△ABC内一点，且满足应+应+应1=0,

若△AOC的面积为为且花・瓦=—2,贝UNA8C=()

A71-兀一兀C兀

A-3B.4C-6口.五

【解析】：应+应+亦=0,为△ABC的重心，故SAABC=3SAAOC=小，则%3刀。©11

NABC=yfi.又ABBCCOS(L/ABC)=-2,故tanNABC=小，则NABC昔故选A.

【答案】A.

结论5.如图，G为△ABC的重心，AP^mAB,AQ^nAC,则5+;=3;AM^kAB,AN^IAC,

则;+:=2.

K.I

【典例5】已知点M为等边三角形ABC的重心，AB=2,直线/过点M交线段A8于

点、P,交线段AC于点。，则序商的最大值为.

【解析】设方-痴及AQ=nAC,0<m,n<l,由题意得1+:=3.诙苏一（花一丽.（方一元）

-A-►-►-►-►-►-►_-►11_

=（几/。一期）•（欣沙一46）=（如?+1）/8・4。一加|45|2一川46|2=2（机〃+1）—4机一4儿由温+£=3可得

m+〃=3根几，+1）—4加一4几=2—10相〃.根据基本不等式，+：=322\^^,得mn^^,

4022

.,.2—10mn^2-^~=~~g~-

BL-------------------------X7

【答案】一2卷2

五、数列

结论1.在等差数列｛斯｝中，m+n=p+q^am+an=ap+aq（mfn,p,q£N*）.

【典例1】（l）［2019湖北龙泉中学、随州一中、天门中学三校4月联考］若｛斯｝为等差数

列，S.是其前〃项和，且Su=弩2271，则tan/的值为（）

A.小B.-小坐D.—j

【角星析】VSi1.・.。6=华，，tan〃6=tan^=一小.故选B.

【答案】B.

（2）［2019广西八市4月联合调研］已知等差数列｛念｝的前〃项和为％,若〃5=7,则S9=

L

【解析】：。5=7,.*.S9=-—2一~-=9a5=63.

【答案】63.

结论2.在等比数列｛斯｝中，m+〃=p+q江曲”=卯劭0，w,p,qGN*）.

【典例2］［2019山西太原模拟］已知等比数列｛斯｝满足的+。8=2,%-。7=-8则z+aii

=（）

A.5B.-5C.7D.-7

1〃5。8=一8,

【解析】在等比数列｛斯｝中，有〃5,。8=。6,〃7=—8,且〃+5。8=2,联立彳今

【。5十。8=2

〃5=4,吊5=_2,,5=4,1"1一了，

.或，设公比为q,当.时，解得<।则a2+au=aiq

as=~2〃8=4.[as=~23J=1

n一T.

[〃5=-2,。1=一

+aiq10=-8+l=—7；当《时，解得<q贝U〃2+〃u=Qiq+〃iqi°=l—8

[〃8=4〃3__,

[q—z,

=—7.故选D.

【答案】D.

结论3.若S”是公差为d的等差数列｛斯｝的前n项和，则数列号是首项为ai、公差为我勺等

差数列.

【典例3](1)[2019甘肃天水一中第五次模拟]已知等差数列｛诙｝的前〃项和为S”，且满

足专一券=1，则数列｛斯｝的公差1为()

A.1B.2C.4D.6

【解析】等差数列的前〃项和为S〃=wi+$7(”一1)4,.,.学=41+“〃-1)4.代入寺一寺=1

Vov?111

中，即可一亍=〃1+-X(3—1)J—tzi+]X(2—l)d=]d=1,：,d=2.故选B.

【答案】B.

(2)[2019四川雅安三诊]已知等差数列｛如｝,①=-2018,前“项和为S”第^一黑黑=

1，则$2019=()

A.0B.1C.2018D.2019

【解析】设等差数歹！1｛。“｝的公差为d,则5.=〃句+^^^4,；.镰=勾+10094,短

乙乙UA74\JXO

2017八、、512oi9^2018/口2019X2018

=的十=一d,代入者带一岸|=1，得d=2.・・・S2oi9=2O19><(—2018)+--------、---X2=

ZZ\)kyZUloZ

0.故选A.

【答案】A.

结论4.若&为等差数列的前〃项和,则S“，S2m-Sm,S3m-S2m,-(meN*,机22)也成

等差数列；若S”为等比数列的前w项和，则S”，S2m-Sm,S3mS2m,-(mGN\m^2,且

各项均不等于零)也成等比数列.

【典例4][2019云南昆明一中考前适应性模拟]设等差数列｛以｝的前八项和为若S4

=9,$8=36,则&2=.

【解析】54=。1+。2+。3+。4,S8-54=。5+。6+。7+。8，512-$8=。9+。1。+。11+412，在等

差数列｛诙｝中，S4,S8—S4,S12一晶也构成等差数列,设S12=X,即9,27,X—36成等差数列，

；.x—36=27+18,解得尤=81,即512=81.

【答案】81.

结论5.在数列｛“〃｝中，若S”=pa“+qS=0,l,q=0),则数列｛斯｝一定为等比数列.

【典例5][2019陕西八校联考]记S”为数列｛斯｝的前"项和，若Sn=2an+1,则Sl0=

【解析】当"=1时，ai=Si=2°i+l,则4i=-1.由S"=2cz”+1,得S”+i=2a〃+i+l,两

式相减，得an+i=2an,即数列｛斯｝是公比为2的等比数列，2"一L.,.Sio=-21°+1

=-1023.

【答案】-1023.

结论6.若斯+i=ca〃+d(c#O,l,1W0),则数列斯+丁勺是首项为ai+^p公比为c的

等比数列.

【典例6】已知数列｛斯｝满足：6=2,a„+i=3«„—2,则由=.

A.0B.1C.2D.6

【解析】•.,斯+1=3斯一2,即斯+1-1=3(即一1),二.｛斯一1｝是首项为%一1=1、公比为

3的等比数列，，a〃一l=3"-I即如=3〃一1+1,「・“6=244.

【答案】244.

六、不等式

hh~\~TH

2吉论1.如果Q>b>0,m>0,那么一.

aa-\~m

【典例11logioo99.9与logiooo999的大小关系是.

加99.91g99.9+11Q999

【解析】logioo99.9=igio。<坨loo+i=后ooo=bgiooo999.

【答案】logioo99.9<logiooo999.

结论2.如果a>0,b>0,那么笔W瓶W/生，当且仅当a=6时等号成立.

a-rbv22

【典例2】已知则.—+(1-2)2+4(1一°〈+62的最小值是.

【解析】由，得5=+汁》乎(q+b),/.^/a2+(l—/?)2+^/(l—a)2+Z?2N当

b)]a)+b]=也.

【答案】也.

七、立体几何

结论1.水平放置的平面图形的直观图的面积与原图形的面积之比为空A/2.

【典例1][2019宁夏石嘴山三中测试]已知等边三角形A8C的边长为m那么△ABC的

平面直观图△?!'B'C的面积为()

A.坐a?B.-^-a2C.坐序Da2

4oo10雯

【解析】等边三角形ABC的边长为m故面积为竽az,而直观图和原图面积之间的关系

为醇5=坐，故直观图B，c'的面积为聆；2.故选口.

3原图41O

[答案]D._________

结论2.长、宽、高分别为a,b,c的长方体的外接球的直径为寸标+廿+左

【典例2][2019内蒙古呼和浩特二调]已知四棱锥尸一A8C。，底面A8C。是边长为4的

正方形，E4垂直于底面A8CD,若四棱锥尸一ABC。外接球的表面积和外接球的体积的数值

相等，四棱锥P-ABCD的体积为.

B1--------------------0C

【解析】四棱锥尸一ABC。的底面是边长为4的正方形，且力垂直于底面，则棱锥的

外接球即为其所对应长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线，设必=a,外接

4

球的半径为R,则16+16+°2=4R2.由外接球的表面积和体积的数值相等得4成2=和总解

得R=3,即32+〃2=4尺2=36,解得。=2,则四棱锥的体积丫=g><4X4X2=¥

.3?

【答案】y.

结论3.在三棱锥P-ABC中，若朋，PB,PC两两垂直，则其外接球的直径等于

、必2+尸产+尸匡若小，平面ABCtr为AABC外接圆的半径，则其外接球的直径等于

、府2+4户.

【典例3][2019贵州凯里一中黄金卷]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外

接球的体积为（）

21

正视图侧视图

2

俯视图

A.24兀B.6兀C.8yBi

【解析】将三视图还原成几何体，如图所示，为三棱锥尸一A5C,三棱锥尸一A5C的四

个顶点剪在一个长方体上.由三视图可得，长方体的长、宽、高分别为W，・・・外接球的半

径R=[2"+1=坐,二・外接球的体积V=%R3=$；X芈3=加兀.故选D.

【答案】D.

结论4.棱长为。的正四面体的体积为备3,外接球的半径为乎°,内切球的半径为普

正四面体内任意一点到四个面的距离之和为当。

【典例4]⑴[2019河南许昌洛阳三检]正四面体ABC。中，£是的中点，尸是棱AC

上一动点，3P+PE的最小值为JR则该四面体内切球的体积为.

【解析】如图1,在正方体中作出一个正四面体将正三角形ABC和正三角形AC£>

沿AC边展开后使它们在同一平面内，如图2.要使BP+PE最小，则3,P,E三点共线，即

设正四面体的棱长为无，在△ABE中，由余弦定理得NWW+f2—2・《cos竽，

解得x=2吸..,.7=吟乂2也=害，.，.该四面体内切球的体积为丫='兀#=（加净=4*兀.

【答案】蟹

（2）[2019河北唐山一中冲刺卷]边长为a的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值，

这个定值等于，将这个结论推广到空间是：棱长为a的正四面体内任一点到各面距

离之和等于.

A

【解析】在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值坐a,在一个正四面

体中，计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图.由棱长为。可以得

到BF=9a,BO=AO=^a-OE,在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+

0庐，把数据代入得到落，.•.棱长为。的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4X书a

=半°.边长为a的正三角形内任意一点到三边的距离之和为定值坐a.这个结论是利用三角形

的面积相等得到的.因此，可以类比四面体的体积相等求棱长为。的正四面体内任意一点到

各个面的距离之和.如图，在棱长为。的正四面体内任取一点P,点尸到四个面的距离分别

为hi，h2,加，加.正四面体A—8C。的四个面的面积相等，都为坐"，正四面体的高为乎°,

由体积相等得/①+必+加+后）•?.坐a,所以历+/22+加+%4=乎°.

【答案】坐a*a.

结论5.设a,£为两个半平面，两个半平面成锐二面角6,图形◎在半平面a内，O在

s/

平面尸内的射影为图形Q',图形2,Q'的面积分别为S,S',则cosO='.

【典例5][2019湖南、湖北八市十二校第一次联考]设点M是棱长为2的正方体A8C。

一45CQ1的棱的中点，点尸在面BCCS所在的平面内，若平面。1PM与平面ABC。

和平面BCG6所成的锐二面角相等，则点尸到点Ci的最短距离是（）

A述2]

5D.2»1

「B

【解析】如图所示，设点尸在平面A8CD上的射影为点P,点M在平面551GC上的

射影为,平面。1PM与平面A3CD和平面5CGB1成的锐二面角分别为a,否则cosa

S/\DP,MS丛PM'ClA/、n_hi,4tt:

=cos夕=SAD】尸”.丁cosa=cos夕,:♦S丛DP1M=SAPMC\.设尸至IjGAf的离

为d,则3><1X2=TX小Xd,解得d=竽，即点尸在与直线GM'平行且与直线的距离为

平的直线上，到Cl的最短距离为芈.故选A.

【答案】A.

结论6.若点A在平面a外、点B在平面a内，平面的法向量为"，则点A到平面a的距

上,\AB-n\

禺”=\n\'

【典例6][2019江西南昌二模]平行六面体ABC。-4囱GA的底面是边长为4的菱形,

且4BAZ）=60。，点4在底面的投影。是AC的中点，且小。=4,点C关于平面C/。的对

称点为尸，则三棱锥P—的体积是（）

A.4B.3小C.4^3

【解析】•.•平行六面体ABC。-AiBiGA的底面是边长为4的菱形，.•.OALOA：点4

在底面的投影。是AC的中点，...CMiLOB,OAi±OA,故以。点为原点，以。1,OB,04

所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系O—.z,贝|。（0,0,0）,AQ小,0,0）,

5（0,2,0）,C（一2小,0,0）,4（0,0,4）,G（一4小，0,4）,0（0,-2,0）,则加=（一4小，2,4）,DB