北京市2022年中考数学试题真题（含答案+解析）

北京市2022年中考数学真题

一、单选题

L（2022•北京市）下面几何体中，是圆锥的为（）

【答案】B

【知识点】立体图形的初步认识

【解析】【解答】解：A选项为圆柱，不合题意；

B选项为圆锥，符合题意；

C选项为三棱柱，不合题意；

D选项为球，不合题意；

故答案为：B.

【分析】根据圆锥的定义对每个选项一一判断即可。

2.（2022•北京市）截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628.83亿千

瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨.将262883000000用科学记数法表示应为（）

A.26.2883XIO10B.2.62883X1011

C.2.62883x1012D.0.262883X1012

【答案】B

【知识点】科学记数法一表示绝对值较大的数

【解析】【解答】解：将262883000000保留1位整数是2.62883,小数点向左移动了11位,

.*.262883000000=2.62883x1011,

故答案为：B.

【分析】把一个数表示成a与10的n次幕相乘的形式（lS|a|<10,a不为分数形式，n为整数），这

种记数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义求解即可。

3.（2022•北京市）如图，利用工具测量角，则41的大小为（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】A

【知识点】角的概念

【解析】【解答】解：量角器测量的度数为30。，

由对顶角相等可得，zl=30°.

故答案为：A.

【分析】先求出量角器测量的度数为30。，再求解即可。

4.（2022•北京市）实数以b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）

ab

।_____।.।i।।i»

-3-2-10123

A.a<■—2B.bVIC.a>bD.—a>b

【答案】D

【知识点】实数在数轴上的表示；实数大小的比较

【解析】【解答】解：点a在-2的右边，故a>-2,故A选项不符合题意；

点b在1的右边，故b>l,故B选项不符合题意；

b在a的右边，故b>a,故C选项不符合题意；

由数轴得：-2<a<-1.5,则1.5<-a<2,则一a>b,故D选项符合题意,

故答案为：D.

【分析】根据所给的数轴a和b的大小关系对每个选项一一判断即可。

5.（2022•北京市）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机

摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概

率是（）

A./B.JC.|D.1

【答案】A

【知识点】列表法与树状图法；概率公式

【解析】【解答】解：画树状图得：

开始

第一次红C

第二人A

♦.♦共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况,

二第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为上,

故答案为：A.

【分析】先画数轴求出共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，再求

概率即可。

6.（2022•北京市）若关于x的一元二次方程/+x+m=0有两个相等的实数根,则实数m的值为（）

A.-4B.-1C.1D.4

44

【答案】C

【知识点】一元二次方程根的判别式及应用

【解析】【解答】,・,一元二次方程%2+%+血=0有两个相等的实数根，

...A=0,

♦・I2-4171=0»

解得m=J,故C符合题意.

故答案为：C.

【分析】根据题意先求出俨-4m=0,再求解即可。

7.（2022•北京市）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）

【答案】D

【知识点】轴对称图形

【解析】【解答】解：如图,

一共有5条对称轴.

故答案为：D

【分析】根据对称轴的定义，结合图形求解即可。

8.（2022•北京市）下面的三个问题中都有两个变量：

①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间X；②将水箱中的水匀速放出，直

至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一

边长x,其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【知识点】函数的图象

【解析】【解答】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，

故①可以利用该图象表示；

②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以

利用该图象表示；

③设绳子的长为L,一边长x,则另一边长为—%,

则矩形的面积为：y=（^L—x）-x=—x2+Lx,

故③不可以利用该图象表示；

故可以利用该图象表示的有：①②，

故答案为：A.

【分析】根据所给的函数图象，对每个问题一一判断即可。

二、填空题

9.（2022•北京市）若Vj』在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是.

【答案】x>8

【知识点】二次根式有意义的条件

【解析】【解答】解：由题意得：

x-8>0,

解得:x>8.

故答案为：x>8.

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x-8K),再求解即可。

10.(2022•北京市)分解因式：xy2-x=.

【答案】x(y+1)(y-1)

【知识点】提公因式法与公式法的综合运用

【解析】【解答】xy2-%

=x(y2—1)

=x(y+l)(y-1)

故答案为：x(y+1)(y-1).

【分析】利用提公因式和平方差公式分解因式即可。

11.(2022•北京市)方程金=工的解为

【答案】x=5

【知识点】解分式方程

【解析】【解答】解：金=工

方程的两边同乘x(x+5),得：2x=x+5,

解得：x=5,

经检验：把x=5代入x(x+5尸50#0.

故原方程的解为：x=5

故答案为：x=5.

【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。

12.(2022•北京市)在平面直角坐标系中，若点4(2,%),B(5,y2)在反比例函数y=[(卜>。)的

图象上，则y2(填“>”"=”或“<”)

【答案】>

【知识点】反比例函数的性质

【解析】【解答】解：•••k>0,

.•.在每个象限内，y随x的增大而减小,

,­,2<5，

故答案为：>.

【分析】先求出在每个象限内，y随x的增大而减小，再比较大小即可。

13.（2022•北京市）某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据

如下：

鞋号353637383940414243

销售量/双2455126321

根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为双.

【答案】120

【知识点】用样本估计总体

【解析】【解答】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，

该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为400x余=120双.

故答案为：120

【分析】先求出39码的鞋销售量为12双，销售量最高，再求解即可。

14.（2022•北京市）如图，在44BC中，4。平分血C,DEJ.ZB.若4C=2,DE=1,则

【答案】1

【知识点】三角形的面积；角平分线的性质

【解析】【解答】解：如图，作。F_LAC于点F,

A

=DE

DF

吃

11

-

=2DF=-

CD2

故答案为：i.

【分析】先求出DF=DE=1,再利用三角形的面积公式求解即可。

15.（2022•北京市）如图，在矩形/BCD中，若AB=3,AC=5,盖=/则AE的长为

A

B

【答案】1

【知识点】比例的性质

【解析】【解答】解：在矩形ABCD中：AD||BC,^ABC=90°,

.•.盖=霄=/，BC=y/AC2-AB2=V52-32=4，

.AE_1

••丁=4'

：.AE=1,

故答案为：1.

【分析】先求出需=需=/，BC=4,再求解即可。

16.（2022•北京市）甲工厂将生产的I号、II号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A,B,

C,D,E,每个包裹的重量及包裹中I号、II号产品的重量如下：

包裹编号I号产品重量/吨II号产品重量/吨包裹的重量/吨

A516

B325

C235

D437

E358

甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂.

（1）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案

（写出要装运包裹的编号）；

（2）如果装运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的H号产品最多，写出满足条件

的装运方案（写出要装运包裹的编号）.

【答案】（1）ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）

（2）ABE或BCD

【知识点】有理数大小比较；运用有理数的运算解决简单问题

【解析】【解答］解：（1）根据题意,

选择ABC时，装运的I号产品重量为：5+3+2=10（吨），总重6+5+5=16<19.5（吨），符

合要求;

选择ABE时，装运的I号产品重量为：5+3+3=11（吨），总重6+5+8=19<19.5（吨），符

合要求；

选择AD时;装运的I号产品重量为：5+4=9（吨），总重6+7=13<19.5（吨），符合要求；

选择ACD时，装运的I号产品重量为：5+2+4=11（吨），总重6+5+7=18<19.5（吨），符

合要求；

选择BCD时^,装运的I号产品重量为：3+2+4=9（吨），总重5+5+7=17<19.5（吨），符合

要求；

选择DCE时，装运的I号产品重量为：4+2+3=9（吨），总重7+5+8=20>19.5（吨），不符

合要求；

选择BDE时，装运的I号产品重量为：3+4+3=10（吨），总重5+7+8=20>19.5（吨），不

符合要求；

综上，满足条件的装运方案有ABC或ABE或AD或ACD或BCD.

故答案为：ABC（或ABE或AD或ACD或BCD）.

（2）选择ABC时，装运的II号产品重量为：1+2+3=6（吨）；

选择ABE时，装运的U号产品重量为：1+2+5=8（吨）；

选择AD时，装运的II号产品重量为：1+3=4（吨）；

选择ACD时，装运的II号产品重量为：1+3+3=7（吨）；

选择BCD时，装运的H号产品重量为：2+3+3=8（吨）；

故答案为：ABE或BCD.

【分析】（1）根据表格中的数据求解即可；

（2）根据运的I号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II号产品最多，求解即可。

三、解答题

17.（2022•北京市）计算：（兀一l）°+4sin45°-我+|-3|.

【答案】解：（7T-1）°+4sin45°-V8+|-3|.

1+4X^-2V2+3

=4.

【知识点】实数的运算

【解析】【分析】利用零指数幕，特殊角的锐角三角函数值，二次根式，绝对值求解即可。

2+x>7—4%,

18.（2022•北京市）解不等式组:,4+%

%〈丁.

2+x>7—4%①

【答案】解:

.x<芍^②

解不等式①得%>1，

解不等式②得％<4,

故所给不等式组的解集为：l<x<4.

【知识点】解一元一次不等式组

【解析】【分析】利用不等式的性质求解即可。

19.(2022•北京市)已知%2+2%-2=0,求代数式%(%+2)+(%+的值.

【答案】解：,・•/+2%—2=0,

AX2+2%=2,

/.%(%+2)+(%+I)2

=%2+2%4-%2+2%+1

=2x2+4x+1

=2(x2+2x)+1

=2x2+1

二5

【知识点】利用整式的混合运算化简求值

【解析】【分析】先求出X2+2X=2,再代入代数式求解即可。

20.（2022•北京市）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证

则=ZC=AEAC.（两直线平行，内错角相等）

:点D,A,E在同一条直线上，

Z.DAB+ABAC+ZC=180°.（平角的定义）

;NB+NBAC+NC=180。.

即三角形的内角和为180。.

【知识点】三角形内角和定理；推理与论证

【解析】【分析】利用平行线的性质和平角的定义求解即可。

21.（2022•北京市）如图，在回48CD中，AC,BD交于点。，点E,F在4c上，AE=CF.

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形;

（2）若zBAC=^DAC,求证：四边形EBFD是菱形.

【答案】(1)证明：•.•四边形ABCD为平行四边形,

：.A0=CO,BO=DO,

'：AE=CF,

J.AO-AE=CO-CF,

即E。=FO,

四边形EBFD是平行四边形.

(2)证明：•.•四边形ABCD为平行四边形，

：.AB||CD,

：.z.DCA=Z.BAC,

".^BAC=LDAC,

J.Z.DCA="AC,

.".DA=DC,

...四边形ABCD为菱形，

：.AC1BD,

即EF1BD,

：四边形EBFD是平行四边形，

，四边形EBFO是菱形.

【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定

【解析】【分析】(1)利用平行四边形的性质判定求解即可；

(2)先求出DA=DC,再求出四边形ABCD为菱形，最后证明求解即可。

22.(2022•北京市)在平面直角坐标系40y中，函数y=kx+b(k。0)的图象经过点(4,3),(-2,0)，

且与y轴交于点A.

(1)求该函数的解析式及点4的坐标；

(2)当久＞0时，对于x的每一个值，函数y=x+n的值大于函数y=kx+b(k。0)的值，直接写

出n的取值范围.

【答案】(1)解：将(4,3),(-2,0)代入函数解析式得,

｛；=4吐、解得卜=；,

S=-2k+bQ=1

函数的解析式为：y=|x+l,

当％=0时，得y=1,

，点A的坐标为(0,1).

(2)解：由题意得，

1

x+n>2%+l,即％>2—2n,

又由x>0,得2—2nW0,

解得n>1,

...n的取值范围为”2L

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式(组)的综合应用

【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出函数的解析式为：y=|x+l,再求点A的坐标即可；

(2)先求出x>2—2n,再求解即可。

23.(2022•北京市)某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加

比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息.

10,10,10,9,9,8,3,9,8,10

c.甲、乙、丙三位同学得分的平均数:

同学甲乙内

平均数8.68.6m

根据以上信息，回答下列问题：

(1)求表中m的值；

(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的

评价越一致.据此推断：甲、乙两位同学中，评委对的评价更一致(填“甲”或"乙”)；

(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最

后得分越高，则认为该同学表现越优秀.据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是—

(填“甲”“乙,，或"丙

【答案】(1)解：丙的平均数：10+1°+1°+9+；产3+9+8+10=8.6,

则m=8.6.

(2)甲

(3)乙

【知识点】折线统计图；平均数及其计算；方差

【解析】【解答］解：(2)S1=白［2x(8.6-8)2+4X(8.6-9)2+2x(8.6-7)2+2X(8.6-10)2］=

1.04,

S；=余［4X(8.6-7)2+4x(8.6-10)2+2x(8.6-9)2］=1.84,

・・22

,3C尹<V笃C，

...甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，

故答案为：甲.

(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为:

田8+8+9+7+9+9+9+10

T：---------g---------=8o.625,

77+7+7+9+9+10+10+10八_

乙：---------g----------=9.75,c

而10+10+9+9+8+9+8+10八(-

IAJ:---------g----------=9.12Q5，

•••去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，

因此最优秀的是乙，

故答案为：乙.

【分析】(1)根据平均数的定义求解即可;

(2)利用方差的定义求解即可；

(3)根据平均分的定义计算求解即可。

24.(2022•北京市)如图，AB是。。的直径，CD是。。的一条弦，AB1CD,连接4C,OD.

(1)求证：乙BOD=2乙4；

(2)连接CB,过点C作CE1DB,交DB的延长线于点E,延长。0,交AC于点F,若F为/C的中点,

求证：直线CE为。。的切线.

【答案】(1)证明：设4B交CD于点H,连接。C,

由题可知，

0C=0D,乙OHC=乙OHD=90°,

•••OH=OH,

RtACOH=RtADOH(HL),

Z.COH=乙DOH,

:.因=，

・•・乙COB=乙BOD,

v乙COB=2z.i4,

:.(BOD=2/-A；

(2)证明：连接AD,

VOA=OD,

AZOAD=ZODA,

同理可得：ZOAC=ZOCA,ZOCD=ZODC,

・・•点H是CD的中点，点F是AC的中点，

・・・ZOAD=ZODA=ZOAC=ZOCA=ZOCD=ZODC,

ZOAD+ZODA+ZOAC+ZOCA+ZOCD+ZODC=180°,

・•・ZOAD=ZODA二ZOAOZOCA=ZOCD=ZODC=30。,

JZCOB=2ZCAO=2x30°=60°,

TAB为。O的直径，

.\ZADB=90°,

JZABD=90-ZDAO=90°-30°=60°,

AZABD=ZCOB=60°,

AOC//DE,

VCE1BE,

ACE±OC,

J直线CE为。O的切线.

【知识点】切线的判定；圆的综合题

【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质，再结合圆的性质求解即可；

（2）先求出乙。4。=乙0巴4,乙OCD=L0DC,再求出OC〃DE,最后证明即可。

25.（2022•北京市）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动

员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的

过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离》（单位：m）近似满足函数关系y=矶汽—九）2+

k（a<0）.

某运动员进行了两次训练.

(1)第一次训练时，该运动员的水平距离X与竖直高度y的几组数据如下:

水平距离x/m02581114

竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系、=。。-八)2+

k(a<0)；

(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.04(x-9)2+

23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为di,第二次训练的着陆点的水平距离为四，则出.

d2(填“>”"=”或

【答案】(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：(8,23.20)，

：.h=8,k=23.20,

即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,

根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00,代入y=a(x-8/+23.20得：

20.00=以0-8/+23.20,解得：a=-0.05,

，函数关系关系式为：y=-0.05(x-8)2+23.20.

(2)<

【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用

【解析】【解答］解：(2)设着陆点的纵坐标为3则第一次训练时，t=-0.05(%-8)2+23.20,

解得：x=8+/20(23.20—t)或x=8-520(23.20-+),

...根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离心=8+/20(23.20-。,

第二次训练时，t=-0.04(%-97+23.24,

解得：x=9+,25(23.24-t)或%=9-J25(23.24-t).

...根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2=9+725(23.24-t),

720(23.20-t)<25(23.24-t),

.々20(23.20-t)<725(23.24-t),

♦♦d]Vd2•

故答案为：<.

【分析】(1)先求出该运动员竖直高度的最大值为23.20m,再求函数解析式即可；

(2)根据题意求出x=9+J25(23.24-t)或x=9-J25(23.24-t),再比较大小即可。

26.(2022•北京市)在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=aM+bx+c(a>0)上,

设抛物线的对称轴为x=t.

(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；

(2)点(配，m)(xo。1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及配的取值范围.

【答案】(1)解：当c=2时，y=ax2+bx+2,

工当x=0时,y=2,

.•.抛物线与y轴交点的坐标为(0,2)；

".*in=n,

.,•点(1,m),(3,n)关于对称轴为x=t对称,

.,1+3_

..t=­=2；

(2)解：当x=0时，y=c,

.•.抛物线与y轴交点坐标为(0,c),

.•.抛物线与y轴交点关于对称轴x=t的对称点坐标为(2t,c),

'：a>0,

...当xWt时，y随x的增大而减小，当久〉t时，y随x的增大而增大，

当点(1,m)，点(3,n)，(2t,c)均在对称轴的右侧时，t<1,

Vm<n<c,1<3,

/.2t>3,即t>|(不合题意，舍去)，

当点(1,m)在对称轴的左侧，点(3,n),(2t,c)均在对称轴的右侧时，点(和，m)在对称轴的右侧,

1<t<3,

此时点(3,71)到对称轴X=t的距离大于点(1,巾)到对称轴久=「的距离，

At-l<3-t,解得：t<2,

'-'m<n<c,1<3,

/.2t>3,即t>|,

J*tV2,

(x0,m),(1,m)>对称轴为x=t,

、一和+1

•••|<驾工<2，解得：2<%o<3,

的取值范围为|<t<2,配的取值范围为2<%。<3.

【知识点】二次函数y=axA2+bx+c的图象；二次函数y=axA2+bx+c的性质；二次函数的其他应用

【解析】【分析】(1)先求出抛物线与y轴交点的坐标为(0,2),再求出点(1,m),(3,n)关于对

称轴为％=t对称，最后求解即可；

(2)根据题意先求出抛物线与y轴交点坐标为(0,c),再求出2</<3,最后求解即可。

27.(2022•北京市)在44BC中，^ACB=90°,D为/ABC内一点，连接BO,DC延长DC到点E,使得

CE=DC.

图1图2

(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接4F,EF若AF1EF,求证：BDLAF-,

(2)连接4E,交BD的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2,^AB2=AE2+BD2,用等式表

示线段CD与C〃的数量关系，并证明.

【答案】(1)证明：在AFCE和4BC。中，

CE=CD

乙FCE=乙BCD,

CF=CB

：.AFCE=ABCD(SAS),

：.Z-CFE=乙CBD,

：.EF||BD,

,：AF1EF,

：.BDLAF.

（2）解：补全后的图形如图所示，CD=CH,证明如下:

延长BC到点M,使CM=CB,连接EM,AM,

,：z.ACB=90°,CM=CB,

垂直平分BM,

：.AB=AM,

在/MEC和4BDC中，

CM=CB

/.MCE=乙BCD,

CE=CD

：.AMEC=ABDC（iSAS^

：.ME=BD,乙CME=（CBD,

9222

：AB=AE+BDf

：.AM2=AE2+ME2,

・"AEM=90°,

■:乙CME=（CBD,

：.BH||EM,

：.^BHE=Z.AEM=90°,即4DHE=90。，

•:CE=CD/DE,

I

•.CH

：.CD=CH.

【知识点】三角形全等的判定（SAS）

【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质求解即可;

(2)先求出AB=AM,再求出AMEC2ABDC(SAS),最后求解即可。

28.(2022•北京市)在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右

(a>0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b