北理工06-08年历年真题讲解

北京理工大学自动化学院自动化专业

2006年真题及解析

科目一：代码810科目名称自动控制理论

、真题

吐东理工大学

2006年自动控制理论考试试题

一、根轨迹方法（25分）

单位反馈系统如图1,期1G3=点。为简便起见，图中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。

其余的符号和以后的图均采用这种简便记法。

（1）设G《)=K,画出根轨迹图;

（2）确定K的值，使闭环系统单位阶跃响应的最大超调量为计算相应的上升时间小

&a(Ts+l)使最大超调量”保持不变,上升时间为红，并使闭环

设计控制器G,(s)=

aTs+1"r8

系统尽可能地简单。

图1：单位反馈系统

二、状态空间方法（30分）

（］）

考虑系统<x=Ax+Bu

y-Cx+Du

00—a。

先设

A=10-ax

01一%

(i)证明：若/(s)=s3+”2+qs+ao=(s—4X”友r，其中4*4，则可通过状态空间中的线

性变换£=△,将状态空间表达式(1)变为

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x-Ax+Bu(2)

y-Cx+Du

2,00

其中A=J=02,1

0022

i4升

T可取为7=012%

1%为

"00o-

(ii)设A=100

01-1

求/和*。

(iii)A同(ii),B=[l10]7,C=[001]

判断系统的可控性和可观测性。若系统不可控或不可观测，确定不可控或不可观测的模态;

(iv)A,B,C同(iii),D=0,x(0)=[l-1是状态方程在初态x(0)下的解，证明

r,

x(O)x(/)=3e-VM(fV>O,并解释这个结果。

-1000-

0000

(v)又设A

0100

001-1

B,C,D待定。若要通过状态反馈“(f)=Kx(f)配置系统的极点，至少需要几个独立的控制变

量很B至少要有几个线性无关的列向量)？请说明理由。若要通过状态反馈“(f)=Kx(。使

闭环系统渐近稳定，至少需要几个独立的控制变量？请说明理由。

三、频率响应分析(25分)

考虑图2所示的控制系统，其中G,(s)，G(s)和G2(s)均为最小相位系统，其渐近对数幅频特性曲线

如图3,H⑸=1。

第2页共36页

图2：由一:个最小相位环节构成的反馈控制系统

a>

图3：渐近对数幅频特性曲线

⑴确定开环传递函数G0（S）=G,（S）G（S）G2（S）”（S）并画出其渐近对数幅频和相频特性曲线（要求

按图3中的尺寸自制两张对数坐标纸）；

（2）画出Nyquist曲线G（）（j0卜

（3）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值，并用根轨迹方法验证；

（4）求K=1和K=2时的稳态误差和加速度误差。

四、非线性控制系统（25分）

系统的方框图如图4所示，其中A=42=4=1，〃2=%=1，KI=1,所有的非线性特性

均关于原点中心对称，G（s）=2，。画出负倒特性曲线和线性部分G（s）的Nyquist图，以此分析

S

系统是否存在自激振荡及其稳定性；如果存在自激振荡，请计算输出）6）的振幅和频率。图中死

区、饱和特性和继电特性等非线性环节的描述函数分别为：

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&

N2

图4：具有非线性特性的反馈控制系统

五、离散控制系统（25分）

考虑如图5所示的直流电机速度控制系统，ZOH表示零阶保持器。设模拟被控对象的传递函

数如下：

G(力261714.877

卜(s+297.456)($+879.844)

数字控制器由微处理器实现，其脉冲传递函数为

+号国

式中，T=0.001s、K?=1和KR=295.276

口⑶Z0H―►Gp”

图5：直流电机速度控制系统的框图

第4页共36页

(1)求数字控制系统的开环和闭环脉冲传递函数；

(2)判断整个控制系统的稳定性；

(3)当%为单位阶跃函数时，求数字系统在采样时刻的输出响应；

(4)重新设计数字控制器O(z)，使数字系统对单位阶跃输入具有最小拍输出响应。

常用函数的z-变换表：

六、Lyapunov稳定性(20分)

设非线性系统的数学描述如下：

X+X4~X~-1=0

(i)写出系统的状态方程；

(ii)求系统的所有平衡点；

(iii)判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。

2007年自动控制理论考试试题

一、选择填空(每小题10分，共60分

1采样系统的特征方程为D(Z)=Z2+(2K-L75)Z+2.5=0,使系统稳定的K值是()

(a)K>2.63

(b)0<K<2.63

(c)所有K>0

(d)不存在这样的K值。

2采样系统的输出出T的z-变换为为z)=+则前四个采样时刻的输出为()

（a）y（0）=0,y（T）=27,y（2T）=47,y（3T）=60.05

（b））（0）=1,y（T）=27,y（2T）=674.4,y（3T）=16845.8

第5页共36页

(c))，(o)=1,y(T)=27,y(2T)=647,y(3T)=660.05

(d)y(0)=1,y(T)=647,y(2T)=47,y(3T)=27

10

3s-域的传递函数为G(s)=T为采样周期。经采样后z-域的脉冲传递函数G(z)是

s(s+2)(s+6)

()

5z5z5z

(a)6(z)=

6z-14z-e~bT12z-e-T

6(z)=_5zz5z

(b)-6T-T

6z-lz-e12z—e

0(z)=_5z5z5z

(c)-2T-6T

6z-l4z-e12z-e

(A}@(z)=1zZ+5z

6z-lz-e~2T6z--e~bT

4线性系统的单位斜坡响应为)«)=，-4+4e%,则该系统的单位阶跃响应为该系统

的传递函数为

5最小相位系统的开环对数幅频特性如图1,则该系统的速度误差系数Kv=________,加速度误

差系数K“=

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6非线性系统的一个平衡态x,位于不稳定的极限环内，该极限环内没有其它极限环。下述说法

正确的是()o

(a)%是不稳定平衡态。

(b)x,是稳定平衡态，以极限环内的点为初始状态的运动轨迹都趋于X,。

(c)%是稳定平衡态，以极限环外的点为初始状态的运动轨迹都趋于演。

(d)上述说法都不对，根本无法判定々是否稳定。

二、根轨迹方法(20分)

单位反馈系统如图2,其中6($)=竽々，a>0,b>0为待定参数。为简便起见，图中用R表示

r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号和均采用这种简便记法。

(1)设G,(s)=K>0,已知根轨迹的分离点和汇合点分别是1和-3。确定参数a和b并画出根轨

迹图；

(2)确定根轨迹和虚轴的交点并由此确定使闭环系统稳定的K值。

(3)说明在稳定的前提下该反馈系统和标准二阶系统的阶跃响应在快速性和超调量两方面有何

不同。

图2：单位反馈系统

三、状态空间方法(20分)

考虑系统x(f)=Ax(f)+历

j(/)=c'x(f)+力，(f)

其中Aw/?3x3,b,ce/?3,deR

(i)设"(f)=0,已知：若七(0)=[10则x/)=boof；

若々(0)=[11则々(/)=『e'oj；

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若%3（0）=111『，则%3。）=卜，e'+te'e'],且

[*）/（f）匕（川=6%（0）x2（0）x3（0）]

确定状态转移矩阵*和系统矩阵Ao

(ii)设

400仇

C2C3]

A=0A，21,b—b2,

00%A.

4工4,碓（A,8为可控性和仇，%,乙的关系，以及（A,M）的可观测性和Gq的

关系。

四、频率法(20分)

考虑图2所示的控制系统，其中G（s）=7^F，a>0。

（1）用Nyquist稳定性判据证明闭环系统对任何比例控制器G,（s）=K,都不稳定。

（2）设64）=给（1+益）为PD控制器。用Nyquist判据确定使闭环系统稳定的K,和r的值。

五、离散控制系统（20分）

离散系统的状态空间表达式为

x(A+1)=Ax(k)+bu(k)

山)=c，x(A)

其中

010-

A=001,8=[00l]7',cr=[-0.2501]

-0.5-2.25-3

(i)判断系统的稳定性。

（ii）令“（女）=4）+/々卜），求状态反馈阵/使闭环系统的极点为-0.5,0.5,0。

六、Lyapunov稳定性（10分）

设非线性系统的数学描述如卜.:

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y+y+sin金=0

(i)写出系统的状态方程；

(ii)求系统的所有平衡点；

(iii)判断每一个平衡点在Lyapunov意义下的稳定性，并阐明理由。

2008年自动控制理论考试试题

-：选择填空(每小题10分，共50分)

1.离散时间系统的闭环传递函数为T(z)=f(z-+2z),以下结论正确的是()：

z2+0.2Z-0.5

(a)对任意有限的K值系统都是稳定的。

(b)当且仅当-0.5<K<8时系统是稳定的。

(c)对所有K值系统都是不稳定的。

(d)当-0.5<K<8时系统是不稳定的。

2.单位反馈系统如图1,其中G,(s)=--一，G0(s)为零阶保持器，采样周期T=0.4秒。部

5(0.25+1)

分常用函数的z-变换见第五题。以下结论正确的是()：

图1采样控制系统

(a)对任意的K值闭环系统都稳定。

(b)对任意的K值闭环系统都不稳定。

(c)存在>0,当Ke(0,K0)时闭环系统稳定。

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（d）对任意的K>0闭环系统都稳定。

3.具有非线性特性的单位负反馈系统，其前向通道中线性部分的频率特性曲线G（_/g）和非线性

负倒特性-一二如图2。图中箭头指向分别为X和3增加的方向。下述结论中正确的是（）:

N（X）

(a)和A/2两点都是系统稳定的自激振荡状态。

(b)BC段是系统稳定的状态。

(c)X<X",和X〉XM?是系统稳定的状态。

(d)上述说法都不对。

0.1

0.05

0

h-0.05

£-o.1

|-0.15

J-0.2

-0.25

-0.3

-0.35

-0.4

-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.10

RealAxis

4.若两个系统具有完全相同的根轨迹图，则两系统具有相同的开环传递函数（对，错）和相同的

闭环传递函数（对，错）。

5.开环最小相位系统的对数幅频特性向右移4倍频程，则闭环系统的调节时间将（增加，不变,

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减小)，超调量将(增加，不变，减小)，稳态误差(增加，不变，减小)，抗高频噪声

干扰的能力将(增强，不变，减弱)。

二、根轨迹方法(20分)

单位反馈系统如图3,其中G(s)=--------------,a〉0,b>0为待定参数。为简便起见，图

(5-1)(52+as+b)

中用R表示r(t)的Laplace变换R(s)。其余的符号亦采用这种简便记法。已知K为某一正数时,

闭环系统的极点为T,-1,-lo

(i)确定参数a和b并由此确定G(s)的另外两个极点。

(ii)确定根轨迹的分离点和汇合点、根轨迹的渐近线以及根轨迹与虚轴的交点并画出根轨

迹图。

(iii)确定使闭环系统稳定的K值。

图3单位负反馈

三、状态空间法

x(Z)=Ax(t)+bu(t)

考虑系统<(1)

y(t)-cTx(t)+du(t)

(i)求系统的传递函数G(s)=^,判断系统的稳定性。

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(ii)判断系统的状态可控性和可观测性。

(iii)能否通过状态反馈=将闭环极点配置在-2,-3和4?若能，求出炉；若不能，请说

明理由。

四、频率法

考虑图3所示的控制系统，其中G(s)=-----------彳-----------，a〉0,夕＞0为待定参数。已知

($-1)画+为+1)

G(j2)=-0.05o

(i)确定参数a和B并做出G(s)的Nyquist曲线。

(ii)用Nyquist判据确定时闭环系统稳定的K值范围。

五、采样控制系统(15分)

Ts

1_e-K

考虑图1所示的采样控制系统，其中G0(S)=LJ为零阶保持器，G,,(s)=J—,输入信号r⑺

ss(s+a)

为单位阶跃函数，T,K,a正的常数。

(i)写出上述系统的闭环脉冲传递函数。

(ii)设T=ls,K=\,a=\,计算采样输出c(0),c⑴,c(2),c(3)。

已知:

六、Lyapunov稳定性

设非线性系统的数学描述如下：

X,=_19.2£x：—+/

x2--0.64X1-4.8x；光2-L875/?X]X；

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其中/?为常数。

(i)写出系统的状态方程£=/*),证明系统有唯一的平衡状态

Xe=lXeA七,2『=0

(ii)取候选Lyapunov函数V(X],X2)=[X]，研究系统平衡态比,i七二『的稳定性及

其与B的关系，其中Q可选为正定对角矩阵。

七、描述函数分析方法

单位负反馈系统的前向通道为如图4所示的Hammerstein模型，其中线性环节的传递函数为

20

G(s)=—--,非线性环节为有滞环的继电非线性。已知滞环继电非线性环节的描述函数为

5(0.15+1)

4〃I(/7YAhM

N(X)二菽刀山市

其中"=1。确定继电器参数h,使得自激振荡频率,自激振荡幅值XW0.7。

二、解析

2006年真题解析

一、解：(1)系统的开环传函G0(S)=/F

s(s+2)

绘制根轨迹的步骤如卜一:

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①开环极点化=0,p2=-2数目n=2；无零点

系统有两条根轨迹，分别起始于外，p2,终止于无穷远处。

②实轴上根轨迹段为（-2,0）；

③渐近线与实轴夹角为（pa=±90°；

渐近线与实轴交点为％=上工=-1；

“2

I

④由行+d+2-

=＞分离点d=-1

由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：

(2)由M=「=4=显=0.707

p2

闭环传递函数为①($)=一

''S2+2.S+K

K=2

由

=V①“=Q

n-p3

上升时间t=.----=71

r①"铲4

结合。=兀：B=。兀,得到g=20

（3）要保持不变，即4=

2coj-e8

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由题意得,

开环传递函数G(；(s)=G,(s)G(s)=1

s(s+2)

I，K

为使闭环系统尽可能简单，取工=2,即T=0.5,此时G°(6)=/y

S54--

I。

K”比=8，所以G,(s)=%⑵

由42

—=2/y〃=4=>a=0.55+4

注：要熟记二阶系统的时域响应指标，O%,ts3，tp等。

二、解：(i)x=7x,贝1」苫=7-峰代人(1)可得

T-'^AT-'x+Bu\^TAT-'x+TBu

y=CT~xx+Duy=CT~lx+Du

^A=TAT-[B=TB^=。广|,即可得至1〃£=个£+8说

y-Cx+Du

-1400一即400

0i2%,A—10-a\计算得A—J-041

1A01—卅00%

2,00'00

(ii)o41=>eJt=0e为加为

002,00

'

000'-00-a0'

A=100相当于(i)中的A=10_q有劭=%=0a2=1

01-101—出

1-11

则/(s)=s'+s?=s，(s+1),即4=—1Z,=。'此时T010

100

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A可通过非奇异阵T化为约当阵，即TAT-：/。所以

1-11e~'001-11100

eA,=T-\eJ<T0100101010

100001100e-'+t-].l-e-'e~l

100

（iii）rankUc-rank[BABrank110=2<3,

010

所以系统不完全可控;

1

rankVo-13

1

所以系统完全可观测;

确定不可控模态是在A为J的情况下，看B中的某一行是否为零。

-1001-1010

此题中A化为J001时，B=TB=01011

00010001

可见，4=-1所对应的模态为不可控模态，即

（iv）珀）=*X（0）+[e*J）B“（7）t/7=e*x（0）+^eA,Bu{t-TY1T

TTr/V

x（0）x«）=x（0p"x（0）+x（0）JeJB»（r-r）dr

10011001

=[1-1110-1+[1TI”101U（t-T）dT

e"+t-i1-e-'e'1e"+t-\\-e"e'0

1

=3e-'+[1-11t+lu（t-rylT

3e-'

NO都有『（0）加）=3/o

-1000

0-100

（v）①将A化为约当阵为人,B至少要有2个线性无关的列向量。原因:

0001

0000

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若要通过状态反馈“(f)=Kx(f)配置系统的极点，即保证系统完全可控。

A对应的约当阵中出现了两个约当块对应同一特征值-1,若要保证Z(N，回状态完全可控，

月中对应人中相等特征值的全部约当块末行的那些行之间是线性无关的，即方的第一行、第二行

必须是线性无关的。

，月中至少要有2个线性无关的列向量。

由于非奇异线性变换不改变系统的可控性，8中至少要有2个线性无关的列向量，即至少

需要2个独立的控制变量。

②至少需要1个独立的控制变量。原因：

由于特征值T具有负实部，可以使系统渐近稳定。所以配置极点时只需配置特征值0对应

的约当块。特征值-1对应的约当块即使不可控，也不影响系统的渐近稳定性。只配置可控部分

即可，.•.至少需要1个独立的控制变量。

注：个人觉得这个题出的有点难，但是知识点都是大纲要求的，但综合性太强了，可以看

一下这些知识点。

三、解：(1)由图可知，G|(s)=-^_rG2(5)=—G<.(s)=2s+l又

+S0.25+1

所以开环传递函数GO(S)=G,(S)G1(S)G2(S)"(6)

25+1

-52(5+1X0.25+1)

(2)首先求出Go("w)得

G(词=-”21器1-----r

O()'，_〃(法+1*0.2_/0+1)

1+22〃0.4叱2一0.8.

①2(1+疗M+0.04疗)+碗+疗+0.04/),

1)与负实轴的交点：

由ImGo(j(y)=On<w=±&，此时ReG0(j(y)=-0.83

即与负实轴的交点是(-0.83,0)：

2)0+时,G0(>)-»ooZ-180°；

第17页共36页

3)>+80寸，G0(j(y)—>0Z-270°；

Nyquist曲线G。。/）如下:

（3）1）由Nyquist曲线确定使闭环系统稳定的K值；如图所示:

当-O.83K>-1时,即K<1.2时,Nyquist曲线不包围(-1,jO)点，即N=0,

由于P=0,.*=0,所以闭环系统稳定。

使系统稳定的K值范围是:

0<K<1.2

2）用根轨迹方法验证:

K(2s+1)K*(s+0.5)

KG°(s)10K)

S2(s+l)(o.2s+1)―/(s++5)

绘制根轨迹步骤如下:

①开环极点Pi=P2=0P3=-1，几=一5数目n=4;

开环零点Z=-0.5,数目m=l。系统有4条根轨迹。

第18页共36页

②实轴上根轨迹段为(-8,-5),(-1,-0.5)；

③渐近线与实轴夹角为9“=±±,±)；

渐近线与实轴交点为区,='+L83；

3

④与虚轴的交点：0(s)=$4+6$3+5$2+K*S+0.5K*

54150.5K*

536K*

/胃0.5K,

।K*遣K*)

30—K*

s°0.5K*

.♦.K*=12时，3s2+6=0得对应的0=±五

与虚轴的交点是土正

根据以上参数地根轨迹图如下：

由根轨迹图可知，当0<K*<12,即0<K<1.2时，闭环系统稳定。

可见，与由Nyquist曲线得到的结论是一致的。

(4)K=1时，闭环系统是稳定的，讨论稳态误差是有意义的。

K,=limsG°(s)=ooK.=lims2Go(s)=l

s->0sf0

第19页共36页

所以稳态速度误差

SSV尹。

稳态加速度误差

K=2时，闭环系统不稳定,此时讨论稳态误差是无意义的。

四、ft?：(1)将原结构图化简可得到图a

负倒特性曲线和Q("y)曲线如图b所示:

由图可知，负倒特性曲线与G,("y)曲线有交点。所以存在自激振荡，并且是稳定的自激

振荡。(由不稳定区—稳定区)

(2)由---~r—G(jTw))得

N(X)八，19=*序口-?

第20页共36页

自激振荡的频率

自振振幅

将振幅X折算到输出端,考虑到X=-5丫，所以

Y

输出振幅为y=—=0.2

5

输出频率为co=6.4

五、解：⑴

261714.877

G1(z)=(l-z-')Z

ss(s+297.456)(s+879.844)

11.50.5

7-7+297456s+879.844

1.5z0.5z

CCT+O"?n0,1XT

0.15z+0.03

(z-0.7Xz-04)

开环脉冲传递函数

G(z)=D(z)G|(z)=O.15z+O.O3

(z-0.7\z-0.4)

0.17(z+0.2)

(z-lXz-0.4)

闭环脉冲传递函数

(2)由z?—123z+0.434=0nz=0.615±0.235j

可见，闭环特征方程的根都在单位圆内部，所以整个控制系统稳定。

(3)当为为单位阶跃函数时，输入/?(%)=工"

z-1

0.17(z+0.2)0.17z(z+0.2)

C(z)=*R(z)=z

z2-1.23z+0.434*2

z-1(Z-1XZ-1.23Z+0.434)

0.17Z2+0.034Z

=0.17z-'+0.41z-2+0.64z-3+0.46z-4+…

z3-2.23z2+1.664z-0.434

第21页共36页

c(f)=0.17g-T)+0.4lb(f-27j+0.646(/-3T)+0.46必-4T)+…

0.17(z+0.2)

(4)由于G(z)=

dz-04)'除有一个极点在单位圆上外，所以零极点都在单位圆内部，故

可取6々)=三则①(z)=，(满足2〃-m)

ZZ

①(z)_1_5.88(Z-0.4)

则

G(z"(z)-G(zXz-1)-z+0.2

C(z)=/儒Mz)=占e+二"

可见输出cR)在1拍以后就完全跟踪输入。

2

六、解：(i)x+x+x-1-0令M=Xx2=x,贝II

X\-x

状态方程为:2

Xi———X；—X2+1

修=0,得%2=。X]=-1

(ii)由,C=>

X2=0一玉~—%2+1=0.=0

所以系统所有的平衡点为(1,0)\(-1,0)\

(iii)①在平衡态%=(1,0)，处:

%=再一1

做偏差置换，令%=乃

力=一才一2月一乃

中第

620101

将其线性化，得A现

明明一2乃一2->,1=0-2-1

)'2=0

01Sy2.H=O

力=0

_-1-jyfl

|A7—A|=0=>Aj=~4

2

两个特征值均具有负的实部，，平衡点心处是渐近稳定的。

②在平衡态％=(-L0)，处:

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M=占+1

做偏差置换，令=><%=为

%=%2)2=7+2%一为

第

0101

将其线性化，得4=为

明一2兄+2-1X=o2-1

丫2=°

,如>,1=0

>,2=0

=o=4=1，4=-2

有一个特征值具有正的实部,,平衡点也处是不稳定的。

2007年真题解析

一、1.d2.b3.c

4解：单位阶跃输入r(t)=l是单位斜坡输入r(t)=t的导数，

则单位阶跃响应是单位斜坡响应的导数，即单位阶跃响应为

/:(/)=)/(/)=/

对其做拉氏变换得,

H（5）=-------------1---r

sS+Ls（4s+l）

4

传递函数为

。(小照高

G（S）=7§+

5解：由图可得，开环传递函数

（y=l时，L（（y）=201gK'

卜=>K=10

MD=20.

G（S）=4

则

速度误差系数K、,=limsG（s）=8

s->0

加速度误差系数K4=lims2G（s）=10

5->0

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二、解：(1)系统的开环传递函数G0(s)=华±4

心一〃)

根据分离点、汇合点的计算公式

]_1_1

dd-ad+b

依题意，得分离点4=1,汇合点4=-3,代入上式

得a=3,b=l

则开环传递函数G0(s)=纯土?

-3)

绘制根轨迹的步骤如下：

①开环极点Pi=O，P2=3数目n=2；开环零点Z=-1,数目m=l

系统有两条根轨迹。

②实轴上根轨迹段为(-8,-巾0,3)；

③渐近线与实轴夹角为以=±万；

④分离点4=1,汇合点a=-3

由以上计算得到的参数，得根轨迹如图所示：