逻辑数据基础

逻辑数据基础1数制与编码1.1数制1.2数制转换1.3编码第2页,共115页，2024年2月25日，星期天1.1.1概念(1)进位制的含义：

在表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。(2)基数进位制中多位数码每一位的构成数字的个数。(3)

位权进位制中从低位到高位的进位规则，即在某一进位制的数中，每一位的大小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数就是这一位的权数。1.1数制第3页,共115页，2024年2月25日，星期天1.1.2十进制数码为：0～9；基数是10。运算规律：逢十进一，即：9＋1＝10。十进制数的权展开式：4５6.74×１０2＝4００５×１０1＝５０6×１０0＝6

7×１０-1＝０.

7

＝4

５6.7102、101、100、10-1称为十进制的权。各数位的权是10的幂。同样的数码在不同的数位上代表的数值不同。＋任意一个十进制数都可以表示为各个数位上的数码与其对应的权的乘积之和，称权展开式。又如：(209.04)D＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2第4页,共115页，2024年2月25日，星期天◆一般表达式位权系数

在数字电路中，计数的基本思想是要把电路的状态与数码一一对应起来。显然，采用十进制是十分不方便的。它需要十种电路状态，要想严格区分这十种状态是很困难的。第5页,共115页，2024年2月25日，星期天1.1.3二进制数码为：0、1；基数是2。运算规律：逢二进一，即：1＋1＝10。二进制数的权展开式：例如(101.01)B＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)D各数位的权是２的幂加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法规则：0

0=0，0

1=0，1

0=0，1

1=1运算规则第6页,共115页，2024年2月25日，星期天1、易于电路实现---每一位数只有两个值，可以用管子的导通或截止，灯泡的亮或灭、继电器触点的闭合或断开来表示。

2、基本运算规则简单二进制的优点：二进制的缺点：

位数太多，不符合人的习惯，不能在头脑中立即反映出数值的大小，一般要将其转换成十进制后，才能反映。◆一般表达式第7页,共115页，2024年2月25日，星期天1.1.4八进制数码为：0～7；基数是8。运算规律：逢八进一，即：7＋1＝10。八进制数的权展开式：例如(27.04)O＝2×81

＋7×80＋0×8－1＋4×8－2=(23.0625)D各数位的权是8的幂◆一般表达式第8页,共115页，2024年2月25日，星期天1.1.5十六进制数码为：0-9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

；基数是16。运算规律：逢十六进一，即：F＋1＝10。十六进制数的权展开式：例如(D8.A)H＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)D各数位的权是16的幂◆一般表达式第9页,共115页，2024年2月25日，星期天

十六进制在数字电路中，尤其在计算机中得到广泛的应用，因为：

1、与二进制之间的转换容易；

2、计数容量较其它进制都大。假如同样采用四位数码，二进制最多可计至1111B=15D；八进制可计至7777O=14095D；十进制可计至9999D；十六进制可计至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。

3、计算机系统中，大量的寄存器、计数器等往往按四位一组排列。故使十六进制的使用独具优越性。十六进制的优点：第10页,共115页，2024年2月25日，星期天第11页,共115页，2024年2月25日，星期天1.2数制转换1.2.1各种数转换为十进制

二进制、八进制、十六进制转换为十进制只需要按权值展开，求出各加权系数的和，就可以转换为十进制。

例如：

(172.01)O=(1×82＋7×81＋2×80＋0×8－1＋1×8－2)D=(122.015625)D(4C2)H＝(4×162＋12×161＋2×160)D=(1218)D1.2.2十进制转换为二进制

方法：将整数部分和小数部分分别进行转换。整数部分采用除2取余法，小数部分采用乘2取整法。转换后再合并。举例：(44.375)D＝(？)B第12页,共115页，2024年2月25日，星期天(1)整数部分采用除2取余法，先得到的余数为低位，后得到的余数为高位。所以：(44)D＝(101100)B(2)小数部分采用乘2取整法，先得到的整数为高位，后得到的整数为低位。所以：(0.375)D＝(0.011)B(3)综合所得：(44.375)D＝(101100.011)B第13页,共115页，2024年2月25日，星期天例如:(63)D=(?)B故(63)D=(111111)B

若十进制数较大时，不必逐位去除2，可算出2的幂与十进制对比，如：

（261)D=(?)B∵28=256，261–256=5，(5)D=(101)B,∴(261)D=(100000101)B6321131531711112222余数201第14页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习请将(10.706)D转换为二进制数，要求其误差不大于2-10。

解答：若要求误差不大于2-10则要求转换后的小数点后10位都是精确数字，因为我们可以证明在满足此条件后的最大误差为：

2-11+2-12+2-13+….=2-10(2-1+2-2+2-3+…)≤2-10×2-1/(1-2-1)=2-10

因此我们只要转换到第10位即可。答案：1010.1011010010思考问题:如何保证其误差不大于2-10？第15页,共115页，2024年2月25日，星期天1.2.3二进制与八进制的相互转换(1)二进制数转换为八进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进制数便是一位八进制数。(2)八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进制数表示。1101010.01000＝(152.2)O=

011111100.010110(374.26)O第16页,共115页，2024年2月25日，星期天1.2.4二进制与十六进制的相互转换(1)二进制数转换为十六进制数：将二进制数由小数点开始，整数部分向左，小数部分向右，每4位分成一组，不够4位补零，则每组二进制数便是一位十六进制数。(2)十六进制数转换为二进制数：将每位十六进制数用4位二进制数表示。1101010.01000＝(6A.4)H(AF4.76)H=101011110100.01110110第17页,共115页，2024年2月25日，星期天1.3二进制数的运算一、真值与机器数

真值：直接用正号“+”和负号“-”表示带符号的二进制数，叫做符号数的真值。

（原始形式，机器不能识别）

机器数：符号数值化后的二进制数。0表示正数，1表示负数。（数字系统中所有的算术都用机器数进行）二、机器数的三种形式：原码、反码、补码算术运算：二进制数的0/1可以表示数量，进行 加，减，乘，除…等运算加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10减法规则：0-0=0，1-0=1，1-1=0，

0-1=-1运算规则第18页,共115页，2024年2月25日，星期天2.反码：首位为符号位，对于正数，符号位为0数值位不变；对于负数，符号位为1，数值位求反。N1=+1001[N2]反=10110[N1]反=01001N2=-10013.补码：首位为符号位，对于正数，符号位为0数值位不变；对于负数，符号位为1，数值位求反后加1。N1=+1001[N2]补=10111N2=-1001[N1]补=01001[N1]原=01001

N1=+1001

[N2]原=11001N2=-10011.原码：将真值的符号数值化，数值位保持不变所构成的数码已知[N]补=10110，求[N]原，[N]反和NN=-1010[N]原=11010[N]反=10101第19页,共115页，2024年2月25日，星期天三、机器数的加、减运算补码运算：符号位参加运算，如果符号位产生进位，丢弃。补码运算规则：

[N1+N2]补=[N1]补+[N2]补

[N1-N2]补=[N1]补+[-N2]补[N1]补=10100[N2]补=11101[-N2]补=0001110100

+1110110001∴

[N1+N2]补=1000110100

+0001110111∴[N1-N2]补=101111n1+n2=-1111(-15)n1-n2=-1001(-9)例如：n1=-12，n2=-3，利用二进制补码计算n1+n2，n1-n2解：N1=-1100N2=-0011先求[N1+N2]补和[N1-N2]补第20页,共115页，2024年2月25日，星期天补码运算的溢出及判别：

（1）12+3=+15

01100

+00011

01111

0

（2）12+5=17

01100

+00101

10001

（3）-12-3=-15

10100

+11101

10001

10

（4）-12-5=-17

10100

+11011

01111

1+15-15-15+15溢出当符号位和进位符号不同时，则出现溢出解决方法：增加位数即可001100+000101

010001+17第21页,共115页，2024年2月25日，星期天1.4编码(1)代码：数字不仅可以表示数量的大小，而且还能表示不同的事物。当这些数码不再表示数量的大小的差别，只是事务的代号时，我们称这些数码为代码。

(2)码制：为了便于记忆和查找，编制代码时总要遵循一定的规律，这些规则叫做码制。

(3)编码：建立二进制代码与十进制数值、字母、符号等的一一对应的关系称为编码。

需要编码的信息为N项，则需要二进制数码的位数n应满足：

数字系统中的信息分两类：数值码代码(研究数值表示的方法)1.4.1概念

用二进制数码对事物进行表示，称为二进制代码。

第22页,共115页，2024年2月25日，星期天◆常见的代码有：

也称自然权码，其排列简单，完全符合二～十进制数之间的转换规律。当用四位二进制码时，有0000～1111十六种组合，分别代表0～15的十进制数。当用五位二进制码时，有00000～11111三十二种组合，分别代表0～31的十进制数。（1）自然二进制码例如：7011119100112010100第23页,共115页，2024年2月25日，星期天（2）BCD码BCD码又称二～十进制码，通常用四位二进制码表示一位十进制数，只取十个状态，而且每四个二进制码之间是“逢十进一”。

有多种可能，故而便产生了多种BCD码，其中使用最多的是8421BCD码(简称8421码)。

四位二进制码可产生16个数0000～1111，而表示十进制数只需要十个代码，其余六个成为多余。选择哪十个，丢弃哪六个？8421码是按顺序取四位二进制码中的前十种状态，即0000～1001，代表十进制的0～9，而1010～1111弃之不用。例如：7011119000110012000100000第24页,共115页，2024年2月25日，星期天

除此之外，还可取四位二进制码的前五种和后五种状态，代表十进制的0～9，中间六个状态不用，这就构成了2421码，它也是一种有权码，其权依次为2、4、2、1。例如：0011=0+0+2+1=31110=2+4+2+0=88421码是一种有权码，从高位到低位的权依次为8、4、2、1，按权相加，即可得到所代表的十进制数，如：例如：1001＝8+0+0+1=90110＝0+4+2+0=6

另外还有5421码和余3码等（余3码为无权码，它是8421码加0011得来的）。第25页,共115页，2024年2月25日，星期天b3b2b1b023222120代码对应的十进制数自然二进制码二～十进制数8421码2421码余3码00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456789101112131415012345678901234567890123456789表1.4.1几种常见的码（P26）第26页,共115页，2024年2月25日，星期天（3）格雷码

格雷码是一种无权码，其编码如表所示。二进制码b3b2b1b0格雷码G3G2G1G000000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

编码特点是：任何两个相邻代码之间仅有一位不同。

该特点是其它所有码不具备的,常用于模拟量的转换。当模拟量发生微小变化，而可能引起数字量发生变化时，格雷码仅仅改变一位，这与其它码同时改变2位或更多的情况相比，更加可靠。例如，8421码中的0111和1000是相邻码，当7变到8时，四位均变了。若采用格雷码，0100和1100是相邻码，仅最高一位变了。第27页,共115页，2024年2月25日，星期天补充：如何用自然二进制码转换为格雷码某二进制数为：其对应的格雷码为：其中：最高位保留——其他各位——i=0，1，2，…，n-2例：二进制数为

10110格雷码为异或运算：相同为0相异为111101第28页,共115页，2024年2月25日，星期天

（4）ASCII码ASCII码是美国标准信息交换码，它是用七位二进制码表示。它共有128个代码，可以表示大、小写英文字母、十进制数、标点符号、运算符号、控制符号等，普遍用于计算机、键盘输入指令和数据等。请分别用自然二进制码，8421BCD码、余3码、格雷码表示（138）D（1100110）B第29页,共115页，2024年2月25日，星期天课后作业P37

1.2.2(3)1.2.3(2)1.2.5(2)

1.3.3(3)1.4.1(3)1.4.2(4)

第30页,共115页，2024年2月25日，星期天1.机器数及其运算：原码、反码、补码补码的运算：复习

[N1+N2]补=[N1]补+[N2]补

[N1-N2]补=[N1]补+[-N2]补当符号位和进位符号不同时，则出现溢出2.代码（1）自然二进制码（2）BCD码:8421码，2421码，余3码（3）格雷码第31页,共115页，2024年2月25日，星期天请分别用自然二进制码，8421BCD码、余3码、格雷码表示（138）D（1100110）B(138)D=(128+10)D=(10001010)B=(000100111000)8421BCD=(010001101011)余3码(10001010)B=(11001111)GRAY(1100110)B=(102)D=(000100000010)8421BCD=(010000110101)余3码(1100110)B=(1010101)GRAY约定：格雷码由自然二进制码转换；

BCD码由十进制数转换。第32页,共115页，2024年2月25日，星期天2逻辑代数的概念、公式、定理及规则

2.1逻辑代数的基本概念2.2逻辑代数的基本公式、定理和规则第33页,共115页，2024年2月25日，星期天

逻辑代数——

研究逻辑电路的数学工具。

由英国数学家George·Boole提出的，所以又称布尔代数。

逻辑，指的是条件和结果的关系，电路的输入信号即条件，输出信号即结果。

条件满足和结果发生用“1”表示，反之用“0”表示。此时的“1”和“0”，只表示两个对立的逻辑状态，而不表示数值的大小。第34页,共115页，2024年2月25日，星期天2.1.1概念(1)逻辑代数可以表示为：(2)逻辑常量与逻辑变量逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。2.1逻辑代数的基本概念L={A；0，1；与，或，非}逻辑变量逻辑常量逻辑基本运算0矛盾的否定面、反面

1矛盾的肯定面、正面第35页,共115页，2024年2月25日，星期天

“与运算”、“或运算”、“非运算”1.真值表---描述逻辑关系的表格

2.逻辑表达式---输入信号为自变量，输出为函数的数学表达方式

3.逻辑符号---在画电路时使用的符号这三种基本的逻辑运算可用“真值表”、“逻辑表达式”和“逻辑符号”来描述2.1.2逻辑基本运算第36页,共115页，2024年2月25日，星期天－用开关串联电路实现图1.5.1与逻辑运算开关A、B控制灯泡L，只有当A和B同时闭合时，灯泡才能点亮1.与运算AB

灯不通不通通通不通通不通通不亮不亮不亮亮ABL&ABL=A·BABL000ABL001101010001=A·B定义：某事件有若干个条件，只有当所有条件全部满足时，这件事才发生。

第37页,共115页，2024年2月25日，星期天－用开关并联电路实现只要开关A和B中有一个闭合，或两个都闭合，灯泡就会亮。图1.5.2或逻辑运算定义：某事件有若干个条件，只要其中一个或一个以上的条件得到满足，这件事就发生。

2.或运算第38页,共115页，2024年2月25日，星期天图1.5.3非逻辑运算

下图表示一个简单的非逻辑电路，当开关闭合，灯泡熄灭；开关断开，灯泡点亮。定义：一某事件的产生取决于条件的否定，这种关系称为非逻辑。

图1.5.3非逻辑运算3.非运算第39页,共115页，2024年2月25日，星期天图1.5.4非逻辑门电路的符号非运算的其它逻辑符号：第40页,共115页，2024年2月25日，星期天2.1.3常用逻辑运算由逻辑基本运算构成的其他逻辑运算。(1)与非运算：逻辑表达式为：(2)或非运算：逻辑表达式为：第41页,共115页，2024年2月25日，星期天(3)异或运算：逻辑表达式为：(4)同或运算：逻辑表达式为：第42页,共115页，2024年2月25日，星期天(5)与或非运算：逻辑表达式为：第43页,共115页，2024年2月25日，星期天2.2逻辑代数的基本公式、定理和规则2.2.1逻辑代数的公式、定理(1)常量之间的关系(2)基本公式分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。第44页,共115页，2024年2月25日，星期天(3)基本定理如何证明?第45页,共115页，2024年2月25日，星期天举例：证明等式由于该等式两边的真值表完全相同，所以等式成立。第46页,共115页，2024年2月25日，星期天证明等式成立也可以利用其它的定理来证明第47页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习证明第48页,共115页，2024年2月25日，星期天序号公式序号公式基本公式0+A=A0*A=0吸收律A+AB=A1+A=11*A=AA(A+B)=AA+A=AA*A=AA+AB=A+BA+A=1A*A=0(A+B)(A+C)=A+BC分配律A+B=B+AAB=BA冗余律AB+AC+BC=AB+AC结合律A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)CAB+AC+BCD=AB+AC分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)反演律AB=A+BA+B=AB逻辑代数定律和恒等式第49页,共115页，2024年2月25日，星期天(1)代入规则任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑式代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。举例1：

A+BC

=(A+B)(A+C)

A+B(CD)=(A+B)(A+CD)

2.2.2逻辑代数的基本规则举例2：由代入规则可证明，摩根定理可以扩展到多变量的情况。第50页,共115页，2024年2月25日，星期天(2)反演规则注意：

(1)应保留原来的运算优先级；

(2)除反变量的非号发生变化外，其余的非号保持不变。对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规则称为反演规则。第51页,共115页，2024年2月25日，星期天(3)对偶规则对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，那么所得到的表达式就是函数Y的对偶式，记为Y´。这个规则称为对偶规则。注意：

(1)对偶规则告诉我们如果一个式子成立，其对偶式也成立；

(2)对偶规则与反演规则的区别在于原变量与反变量不发生变化。我们也不能改变其本身的优先级。第52页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习求的反函数和对偶式。

答案：除了变量正好互补外，表达式的结构完全相同。第53页,共115页，2024年2月25日，星期天课后作业P642.1.1(1)2.1.3(3)

第54页,共115页，2024年2月25日，星期天3逻辑函数的表示方法及其相互转换3.1逻辑函数的概念3.2逻辑函数与逻辑问题的描述3.3逻辑函数表示方法及相互转换第55页,共115页，2024年2月25日，星期天3.1逻辑函数的概念逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为：在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。第56页,共115页，2024年2月25日，星期天3.2.2举例如何运用逻辑函数来描述逻辑问题运用逻辑变量表示不同的事件，规定0，1代表该事件的两种相反状态。列举真值表。把逻辑函数值为1对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。3.2逻辑函数与逻辑问题的描述3.2.1概念

逻辑问题：运用逻辑变量构成的逻辑函数来描述实际的工程问题，称为逻辑问题。第57页,共115页，2024年2月25日，星期天举例

图1.6.1是一个控制楼梯照明灯的电路。为了省电，人在楼下开灯，上楼后可关灯；反之亦然。A、B是两个单刀双掷开关，A装在楼上，B装在楼下。只有当两个开关同时向上或向下时，灯才被点亮。试用一个逻辑函数来描述开关A、B与照明灯之间的关系。

第58页,共115页，2024年2月25日，星期天(1)设开关A、B为输入变量：开关接上面为“1”，开关接下面为“0”设电灯L为输出变量，灯亮L=1，灯灭L=0。(2)列出A、B所有状态及对应输出L的状态，获得真值表。(3)根据真值表，写出逻辑表达式：ABL001

010101101解：

把对应函数值为“1”的变量组合挑出（即第1、4）组合，写成一个乘积项；凡取值为“1”的写成原变量A，取值为“0”的写成反变量A；最后，将上述乘积项相加，即为所求函数：第59页,共115页，2024年2月25日，星期天

该式表明：A、B两变量取值相同的所有组合，使函数为“1”，也就是说，当开关A、B都向上或都向下时，灯亮，否则不亮。该函数还称为同或函数。其逻辑符号为：ABL第60页,共115页，2024年2月25日，星期天2.逻辑代数的基本定理复习

“与运算”、“或运算”、“非运算”1.逻辑基本运算3.逻辑代数的3大规则：代入规则反演规则对偶规则4.逻辑问题的逻辑函数的描述：运用逻辑变量表示不同的事件，规定0，1代表该事件的两种相反状态。列举真值表。把逻辑函数值为1对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。第61页,共115页，2024年2月25日，星期天(1)真值表这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表。输入变量ABC….输出Y1Y2….遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值(2)逻辑表达式将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。3.3.1逻辑函数的表示方法(1)真值表(2)逻辑式(3)逻辑图(4)波形图(5)卡诺图3.3逻辑函数表示方法及相互转换第62页,共115页，2024年2月25日，星期天(4)波形图将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。(3)逻辑图用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。第63页,共115页，2024年2月25日，星期天3.3.2真值表与逻辑函数表达式的相互转换真值表逻辑式：把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出对应的函数值，列表后即可得真值表真值表逻辑式：(1)找出真值表中使函数值等于1的输入变量取值组合；(2)每组输入变量取值对应一个乘积项，其中取值为1的写原变量，取值为0的写反变量；(3)将乘积项相加即得逻辑式。第64页,共115页，2024年2月25日，星期天逻辑式逻辑图：用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符，即可得逻辑图。11&&≥1ABL举例：画出逻辑函数对应的逻辑图。第65页,共115页，2024年2月25日，星期天

逻辑式逻辑图(1)用逻辑运算符号代替逻辑图中的图形符号；(2)从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑函数表达式。

第66页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习将下列逻辑函数式分别用真值表、逻辑图表示

答：（1）将A、B、C的各种取值组合对应的函数值全部填在对应的表格中即得到真值表00000000010011010010101100111001001101100111001011110000第67页,共115页，2024年2月25日，星期天（2）逻辑图即用逻辑符号代替逻辑运算符后，所得到的电路图11&&≥1ABLC1&第68页,共115页，2024年2月25日，星期天课后作业P652.1.8

第69页,共115页，2024年2月25日，星期天4逻辑函数的公式法化简与卡诺图化简4.1逻辑函数的公式法化简4.2逻辑函数的卡诺图化简4.3含有无关项的卡诺图化简第70页,共115页，2024年2月25日，星期天4.1逻辑函数的公式法化简4.1.1逻辑函数的多种表现形式说明同一个逻辑函数表达式存在多个的逻辑图。即实现方式为多种多样的。“与或”

“或与”

“与非—与非”

“或非—或非”

“与或非”

第71页,共115页，2024年2月25日，星期天4.1.2最简与或表达式采用最简与或表达式的原因：第一：可以由真值表直接写出；第二：转换为逻辑图时，我们较常用与非门，而与或表达式转换为与非门只需要一步即可，也就是运用反演律进行变换。(2)最简与或逻辑表达式的特点：第一：包括的与项(乘积项)的个数最少；第二：每个乘积项中变量的个数最少。

注意：在没有特别注明化简成什么形式的时候，我们通常将逻辑函数表达式化简为最简与或表达式。第72页,共115页，2024年2月25日，星期天4.1.3逻辑函数的公式法化简方法：反复应用基本公式和定理，消去多余的乘积项和多余的因子。化简后电路简单、可靠性高第73页,共115页，2024年2月25日，星期天例1：请将Y化简为最简与或表达式第74页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习化简解答：第75页,共115页，2024年2月25日，星期天课后作业P642.1.4(4)(6)(8)第76页,共115页，2024年2月25日，星期天代数法化简在使用中遇到的困难1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；2.代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。所以，介绍另一种方法---卡诺图化简法。第77页,共115页，2024年2月25日，星期天4.2逻辑函数的卡诺图化简4.2.1最小项的定义及性质最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。举例：两变量A，B的最小项：三个变量A，B，C他的最小项有哪些？最小项中只能是每个变量单个的以原变量或反变量的形式进行与运算第78页,共115页，2024年2月25日，星期天三个变量的所有最小项的真值表

m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用mi表示最小项，m表示最小项,下标i为最小项编号。

0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001第79页,共115页，2024年2月25日，星期天举例：一个四变量的逻辑函数，变量分别为：A，B，C，D它对应的最小项为m10，请写出最小项表达式。解答：10对应的二进制数为1010，所以对应的最小项表达式为：第80页,共115页，2024年2月25日，星期天ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001

对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1；不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同；对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0；对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。(2)最小项的性质若两个的最小项只有一个因子不同，它们的和可以合并，消去一对因子，留下公共因子。例如：逻辑相临第81页,共115页，2024年2月25日，星期天4.2.2逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式：把逻辑函数化简成最小项之和的形式。方法：利用来补充不存在的变量，将所有的乘积项都转换为最小项的形式。举例：第82页,共115页，2024年2月25日，星期天4.2.3逻辑函数的卡诺图化简(1)卡诺图的实质与特点实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。将逻辑函数用卡诺图表示的目的，即几何位置的相邻也是逻辑的相邻的目的在于可以方便的利用公式合并。利用卡诺图我们可以遵循一定的规律获得最简与或表达式。卡诺图化简是最常用逻辑函数表达式化简方法之一第83页,共115页，2024年2月25日，星期天2变量卡诺图(2)最小项与卡诺图的对应关系3变量卡诺图4变量卡诺图这样排列就可以使位置相邻的逻辑也相邻每一小方格代表一个最小项如果通过最小项编号记忆卡诺图，需要注意此顺序为高位在前低位在后的条件下的顺序。第84页,共115页，2024年2月25日，星期天(3)逻辑函数的卡诺图表示方法将函数表示为最小项之和的形式在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添0。举例：用卡诺图表示逻辑函数解：对应最小项编号为1，4，6，8，9，10，11，15的方格中填1；其余的方格中填0。第85页,共115页，2024年2月25日，星期天课堂练习解答：举例：用卡诺图表示逻辑函数11100000第86页,共115页，2024年2月25日，星期天2.逻辑函数的化简：公式法卡诺图法复习真值表逻辑式逻辑图波形图卡诺图1.逻辑函数的表示方法及相互转换第87页,共115页，2024年2月25日，星期天卡诺图化简方法(最简与或式)将逻辑函数转换为最小项形式，用卡诺图表示运用画圈原则，将所有的1用圈包围根据合并最小项的特点，写出乘积项：乘积项可根据圈中对应的相同因子直接写出。将乘积项相加，得到化简结果第88页,共115页，2024年2月25日，星期天4.一个包围圈的方格数要尽可能多,包围圈的数目要可能少。3.同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。画包围圈时应遵循的原则X第89页,共115页，2024年2月25日，星期天举例1：请运用卡诺图化简

解：第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式第二步：将逻辑函数表达式用卡诺图表示1010110100ABC第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈11111100第90页,共115页，2024年2月25日，星期天101111110010110100ABC画圈方案一：第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：画圈方案二：101111110010110100ABC同样满足化简原则，结果为：注意：只要满足化简原则，结果可以不一样！根据合并最小项的特点，写出乘积项乘积项可根据圈中对应的相同因子直接写出。第91页,共115页，2024年2月25日，星期天思考101111110010110100ABC这样圈对吗？举例2：请运用卡诺图化简：

第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式解：第二步：将逻辑函数表达式用卡诺图表示第92页,共115页，2024年2月25日，星期天0010110100ABCD011110第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：1111111111110000第93页,共115页，2024年2月25日，星期天思考本题若用例1的方法将逻辑函数化简为最小项和的形式非常麻烦，如何能够减少麻烦呢？我们可以直接在卡诺图中表示逻辑函数。100110010010110100ABCD11111111011110第94页,共115页，2024年2月25日，星期天例3用卡诺图化简逻辑函数11111111111111111111第95页,共115页，2024年2月25日，星期天

用卡诺图化简逻辑函数1111111111课堂练习第96页,共115页，2024年2月25日，星期天化简依据：

合并最小项的特点：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子回顾思考，加深印象第97页,共115页，2024年2月25日，星期天相邻的含义

对于两个变量，相邻指左右相邻，上下相邻；于三个变量，除了以上情况最左边与最右边同行的也算相邻；101111101010110100ABC对于四个变量，除了以上情况，四角也算相邻。101111010010110100ABCD10111101011110注意第98页,共115页，2024年2月25日，星期天卡诺图化简最简与或非式用卡诺图表示逻辑函数运用画圈原则，将所有的0用圈包围写出与项：找到圈中相同因子或后即可得到，1对应原变量，0对应反变量。将与项相或非后，得到最简与或非表达式

实质上是圈0后得到反函数的最简与或式，取非后得到原变量即得到最简与或非式

第99页,共115页，2024年2月25日，星期天例：化简为最简与或非表达式

0010110100ABCD0111101111111111110000∵

∴

第100页,共115页，2024年2月25日，星期天卡诺图化简最简或与式用卡诺图表示逻辑函数运用画圈原则，将所有的0用圈包围写出或项：找到圈中相同因子或后即可得到，0对应原变量，1对应反变量。将或项相与，得到最简或与表达式第101页,共115页，2024年2月25日，星期天例用卡诺图化简逻辑函数成最简或与表达式000001011101110010110100ABCD01111011第102页,共115页，2024年2月25日，星期天一、无关项的概念某些最小项取0或取1并不影响逻辑电路的概念功能，或者根本不可能出现，这些最小项称为任意项，也称为无关项，约束项。它们通常用“d”或“×”或“Φ”表示。举例：用8421BCD码表示十进制数中的0~9这10个数字。

8421BCD码十进制数00000000110010200113010048421BCD码十进制数01015011060111710008100198421BCD码十进制数101010111100110111101111无关项4.3具有无关项的逻辑函数及其化简dddddd第103页,共115页，2024年2月25日，星期天例:要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电路输出为0。

1111

1110

1101

1100

1011

101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解:(1)列出真值表(2)画出卡诺图(3)卡诺图化简第104页,共115页，2024年2月25日，星期天化简方法基本上与学过的方法一样；区别在于无关项的处