有理数知识详解和基本典型例题解析

有理数知识详解和基本典型例题解析(第一部分)

目录

一、有理数的意义

二、数轴与相反数

三、绝对值

四、有理数的加减法

五、有理数的乘除

六、有理数的乘方及混合运算

七、科学记数法与近似数

八、《有理数》全章复习与巩固

一、有理数的意义要点梳理+基本典型例题解析

【学习目标】

1.掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；

2.理解正数、负数、有理数的概念；

3.掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想.

【要点梳理】

要点一、正数与负数

像+3、+1.5、+-,+584等大于0的数，叫做正数；像一3、一1.5、—584等

22

在正数前面加“一”号的数，叫做负数.

要点诠释：

(1)一个数前面的“+”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.

(2)用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上

升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负.

(3)0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线.

要点二、有理数的分类

(1)按整数、分数的关系分类：(2)按正数、负数与0的关系分类：

正整数.正整数

正有理数＜

整数，0正分数

有理数＜〔负整数

有理数•0

.正分数

分数，顷整数

.负分数负有理数＜

贝分数

要点诠释：

(1)有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.

(2)分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数,

但无限不循环小数不是分数，例如万.

（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数.

【典型基础例题】

类型一、正数与负数

C1.（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方

程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么-80元

表示（）

A.支出20元B.收入20元C.支出80元D.收入80元

【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示.

【答案】C

【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，

贝!］-80表示支出80元.

故选：C.

【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对

具有相反意义的量.

举一反三：

【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为"（50±0.5）千克”，则下列各袋

大米中质量不合格的是（）

A.50.0千克B.50.3千克C.49.7千克D.49.1千克

【答案】D.

解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克.

【变式2］（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用表示，0元

表示•

（2）若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？

【答案】（1）-500元；既没有收入也没有支出.（2）不是一对具有相反意义的量，不能表示.

【变式3］如果60nl表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）.

A.-20mB.—40mC.20mD.40m

【答案】B

V2.体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过

的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2,T,0,3,-2,-3,

1,0

（1）这8名男生有百分之几达到标准？

（2）他们共做了多少引体向上？

【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，

而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：jxl00%-62.5%;

答：这8名男生有62.5%达到标准.

（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）

答：他们共做了引体向上56个.

【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.

类型二、有理数的分类

V3.下面说法中正确的是（）.

A.非负数一定是正数.

B.有最小的正整数，有最小的正有理数.

C.一4一定是负数.

D.正整数和正分数统称正有理数.

【答案】D

【解析】（A）不对，因为非负数还包括0；（B）最小的正整数为1,但没有最小的正有理数；

（C）不对，当。为负数或0时，则一。为正数或0,而不是负数；（D）对

【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表

示这个有理数.

举一反三：

【变式1】判断题：

（1）0是自然数，也是偶数.（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）

（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）

【答案】J,X,X,X

【变式2】下列四种说法，正确的是（）.

（A）所有的正数都是整数（B）不是正数的数一定是负数

（0正有理数包括整数和分数（D）0不是最小的有理数

【答案】D

V4.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.

7''

1,0.0708,-700,-3.88,0,3.14159265,——，0-23.

23

正整数集合：{…},负整数集合：{…},

整数集合：{…},正分数集合：{…},

负分数集合：{…},分数集合：{…},

非负数集合：{…},非正数集合：{…}.

【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1,0,-700；正分数：0.0708,3.14159265,

0.23.

7

负分数：-3.88,

23

,,7

分数：0.0708,3.14159265,0-23,-3.88,——

23

非负数：1,0.0708,3.14159265,0,023；

7

非正数:-700,-3.88,0,——

在整数

正有理数＜

【解析】.正分数

有理数0

【总结.负整数升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一

负有理数＜

进行填负分数写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出

属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括。和负数.

举一反三：

【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数-2、-5、3.14中，属于分数的个数共有个.

3

【答案】2.

类型三、探索规律

C5.某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1

组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第

n组应该有种子是粒.

【答案】（2n+l）

【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观

察到的粒数与组数之间有一定关系：3=2xl+l,5=2x2+l,7=2x3+l,

9=2x4+1,,按此规律，第n组应该有种子数（2〃+1）粒.

【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关.

举一反三：

【变式1】有一组数列：2,-3,2,-3,2,-3,，根据这个规律，那么第2010个数是:

【答案】-3

【变式2】观察下列有规律的数：昙4£4,…，根据其规律可知第9个数是:

【答案】上

90

二、数轴与相反数要点梳理+基本典型例题解析

【学习目标】

1.理解数轴的概念及三要素；

2.理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；

3.会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；

4.掌握多重符号的化简.

【要点梳理】

要点一、数轴

1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

要点诠释：

(1)原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.

(2)长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度

单位是为度量线段的长度而制定的单位.有km、m、dm、cm等.

(3)原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动.

2.数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都

表示有理数，还可以表示其他数，比如".

要点诠释：

(1)一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用

数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.

(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.

要点二、相反数

1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；。的相反数是0.

要点诠释：

(1)“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.

(2)“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.

(3)相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.

(4)求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.

2.性质：

(1)互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等(这两个点关于原

点对称).

(2)互为相反数的两数和为0.

要点三、多重符号的化简

多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，

如十『(-4)]}=4；若有奇数个时，化简结果为负,如-{+『(-4)]}=-4.

要点诠释：

(1)在一个数的前面添上一个“+”，仍然与原数相同，如+5=5,+(-5)=-5.

(2)在一个数的前面添上一个“一”，就成为原数的相反数.如一(-3)就是一3的相

反数，因此，一(-3)=3.

一、【典型基础例题】（1）

类型一、数轴的概念

@1.如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是（）

-2-161---J---------1---1-0123*

2-3-2-1-1-2012-0

(1)(2)（3）(4)

A.(1)(2)(3)B.⑵⑶⑷C.只有(2)D.⑴⑵⑶⑷

【答案】C

【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致;

（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.

【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位

长度缺一不可.

类型二、相反数的概念

^^2.（2015・宜宾）-1的相反数是（）

5

A.5B.AC.-AD.-5

55

【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将

原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.

【答案】B

【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.

举一反三：

【变式1】填空：

（1）—（—2.5）的相反数是；（2）—是-100的相反数；⑶-51是的相反数；

（4）的相反数是T.1；（5）8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数.

（7）的相反数比它本身大，的相反数等于它本身.

【答案】（1）—2.5；（2）100；（3）5：；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数，

0.

【变式2】下列说法中正确的有（）

①一3和+3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定

一个是正数，一个是负数；④万的相反数是一3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等.

A.0个B.1个C.2个D.3个或更多

【答案】B

▼3.（2016•泰安模拟）如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中表示2的相反数的点

是（）

ABCD

I.I.▲•II>

-4-3-2-10123456

A.点AB.点BC.点CD.点D

【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数.根据定义，结合数轴

进行分析.

【答案】A

【解析】解：•••表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2

分别位于原点的左右两侧，

...在A,B,C,D这四个点中满足以上条件的是A.

故选A.

【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两

侧，并且到原点的距离相等.

类型三、多重符号的化简

Qd.化简下列各数中的符号.

(1)(2)-(+5)(3)-(-0.25)

(5)-[-(+1)](6)-(-a)

【答案】⑴一1一2；]=2；(2)-(+5)=-5

(3)-(-0.25)=0.25

(4)+[-=(5)-[-(+1)]=-(-1)=1(6)-(-a)=a

【解析】

(1)—「一2,]表示—21的相反数，而—21的相反数是2!，所以—1—2」]=2,；

L3J333I3j3

(2)-(+5)表示+5的相反数，即-5,所以-(+5)=-5；

(3)-(-0.25)表示-0.25的相反数,而-0.25的相反数是0.25,所以-(-0.25)=0.25；

(4)负数前面的“+”号可以省略，所以+1—g]=—g；

(5)先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即T,因此-[-(+1)]=-(-1)而-(-1)表示-1的

相反数，即1,所以-「(+1)]=-(T)=1;(6)-(-a)表示-a的相反数，即a.

所以-(-a)=a

【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个

负号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.

类型四、利用数轴比较大小

Cb.在数轴上表示2.5,0,-1,-2.5,1-,3有理数，并用把它连接起

44

来.

3

【答案与解析】如图所示，点A、B、C、D、E、F、G分别表示有理数2.5,0,——,-1,

4

—2.5,1—，3.

4

EDCBFAG

-4-3-2-101234

由上图可得：

31

—2.5<-1<—<0<1-<2.5<3

44

【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在

数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小.

举一反三：

【变式1】有理数a、b在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（）

-------------1---------1_I------------->

a0h

A.b-a>0B.-b<0C.-a>-bD.-ab<0

【答案】D

【变式2】填空：

大于-3色且小于7g的整数有个；比3。小的非负整数是

7751

【答案】11；0,1,2,3

类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）

Ce.已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数a,b（a<b）并且A、B两点间

的距离是41，求a、b两数.

4

【思路点拨】因为a、b两数互为相反数（aVb）,所以表示a,b的两点A、B离原点的距离

相等，而A、B两点间的距离是41，所以A、B两点到原点的距离就是4工+2=2'.

448

【答案与解析】

解：由题意A、B两点到原点的距离都是：4工+2=21而a<b,所以a=—21，b=2-.

4888

0

【总结升华】（1）理解相反数的几何意义.（2）从相反数的意义入手，明确互为相反数的两

数关于原点对称.

举一反三：

【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是；（2）从数轴上

观察，-3与3之间的整数有个.

【答案】（1）±5,提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5,提示：画出数

轴，容易看出-3和3之间的整数是-2,-1,0,1,2共5个.

二、【典型基础例题】（2）

类型一、数轴的概念

.1.小明的家与他上学的学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，小明家位于学

校西边30米处，书店位于学校东边100米处，小明从学校沿这条大街向东走了40米，接着

又向西走了100米到达超市，试用数轴表示出小明的家、学校、书店、超市的位置.

【思路点拨】我们把小明行走的过程想象为点在数轴上移动的过程，使问题化难为易.用数

轴表示数时，要根据实际需要，每个单位表示的数可大可小，但整体要保持统一.

【答案与解析】以学校作为数轴的原点，向东的方向即学校的东边为正方向，把20米作为

单位长度，所以学校、家、书店和超市的位置如图所示.

超市小明家学校书店

----i---1J-------1----1--------1------«------1----1_

-60-40-20020406080100

【总结升华】原点，正方向，单位长度三者缺一不可.

举一反三：

【变式】如图为北京地铁的部分线路.假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长.现

以万寿路站为原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为,古城站表示的数

为；如果改以古城站为原点，那么木樨地站表示的数变为.

—■

XI

军□«

南

公

古

八

八玉

五

万

事

礼

主

宝泉

棵

寿

城

角

樨

博

士

坟

山

松

路

路

站

游

地

物

路

站

站

站

站

站

站

乐

馆

站

园

站

站

【答案】3,-5,8

类型二、相反数的概念

V2.（2016•哈尔滨模拟）在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的正数是（）

A.-2B.8C.-2或8D.5

【思路点拨】因为在数轴上与某一点距离相等的点有两个，分别在该点的两侧，本题正确选

项必须符合两个条件，所以借助数轴分析即可求解.

【答案】B

【解析】解：因为在数轴上到表示3的点距离为5个单位长度的点有两个:A和B,如下图所

示：

A八B

而点A表示的数为-2,点B表示的数为8,

又因为8为正数，

故正确答案选:B.

【总结升华】本题考查了正负数的概念以及数轴上的点与有理数的对应关系，借助数轴分析

求解比较好.

举一反三：

【变式1】

(1)如果a=-13,那么一a=；(2)如果一a=—5.4,那么a=；

(3)如果一x=-6,那么x=；(4)—x=9,那么x=.

【答案】(1)13；(2)5.4；(3)6；(4)-9

【变式2】一4的倒数的相反数是()

A.-4B.4C.--D.-

44

【答案】D

【变式3】填空：

(1)—(—2.5)的相反数是；(2)―是TOO的相反数；⑶—53是的相反数；

(4)的相反数是T.1；(5)8.2和互为相反数；(6)a和互为相反数.

(7)的相反数比它本身大，的相反数等于它本身.

【答案】(一2.5)；100；5(；1.1；-8.2；-a；负数；0

©^3.已知办“互为相反数，则2m+2〃+2-.

【答案】2

【解析】根据互为相反数的两个数的性质，可知加+〃=0,代入上式可得：0+2-0=2.

【总结升华】若加，〃互为相反数，则加+〃=。或加=-".

举一反三：

【变式】已知2加一1与7-工机互为相反数，求加的值.

2

【答案】因为互为相反数的两个数的和为0,所以(2机-1)+(7-g相)=0,解得：m=-4.

类型三、多重符号的化简

4.化简:

(1)-{+[-(+3)]}；

(2)-{-[-(-|-3|)}.

【解析】

解：⑴原式=-{+[-3]}=-{-3}=3；

(2)原式=-(-3)])=-{-[+3]}=-{-3}=3.

【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单.即数一下数字前面有多少个负

号.若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.

举一反三：

【变式】当+6前面有2011个正号时，化简结果为：；当+6前面有2011

个负号时，化简结果为：;当+6前面有2012个负号时，化简结果

为：.

【答案】6；-6；6

类型四：利用数轴比较大小

V5.若0,g两数在数轴上的位置如下图所示，请用或“＞”填空.

qop

®Pq；®-P0；®-p_g；®—pq；

【答案】＞；＜；＜；＞

【解析】根据相反数的几何意义，将Dq,-P,F均表示在数轴上，如下图：

"Q-poP-q-3

然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于o的正数，而原点左边

的点表示小于0的负数，可得上述答案.

【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.正数都大于0；负数都小

于0；正数大于一切负数.

举一反三：

【变式】(2015•东城区二模)如图，数轴上有A,B,C,D四个点，其中到原点距离相等的

两个点是()

AB,C,D

―•------*--------1~41-------f

-7-1017

A.点B与点DB.点A与点CC.点A与点DD.点B与点C

【答案】C.

类型五、数形结合的应用

V6.点A在数轴上，若将A向左移动4个单位长度，再向右移动2个单位长度，此时A

点所表示的数是原来A点所表示的数的相反数，原来A点表示的是什么数?把你的研究过程

在数轴上表示出来.

【思路点拨】根据数轴是以向右为正方向，故数的大小变化和平移变化之间的规律：左减右

加.

【答案与解析】

解：如图所示，B点表示A点移动后的位置.则AB=2.因为A、B表示一对相反数.所以原

点。是AB的中点，AO=OB,所以A点表示1.

_______►BA

—.1]I

-101—一.

【总结升华】先画出数轴，根据数轴理解题目中的数量关系，将有利于问题的解决.

三、绝对值要点梳理+基本典型例题解析

【学习目标】

1.掌握一个数的绝对值的求法和性质；

2.进一步学习使用数轴，借助数轴理解绝对值的几何意义；

3.会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较两个负有理数的大小；

4.理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题.

【要点梳理】

要点一、绝对值

1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|.

要点诠释：

(1)绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0

的绝对值是0.即对于任何有理数a都有：

a(a>0)

|a|=«0(a=0)

—a(a<0)

(2)绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距

离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小.

(3)一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的.

2.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0.

要点二、有理数的大小比较

1.数轴法：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小.如：a与b在数轴上

的位置如图所示，则a<b.।।

2.法则比较法：01

两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下:

同为正号：绝对值大的数大

两数同号

同为负号：绝对值大的反而小

两数异号正数大于负数

正数与0：正数大于0

一数为0

负数与0：负数小于0

要点诠释：

利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：(1)分别计算两数的绝对值；(2)比较绝

对值的大小；(3)判定两数的大小.

3.作差法：设a、b为任意数，若a-b>0,则a>b；若a-b=0,则a=b；若a-bVO,a<

b；反之成立.

4.求商法：设a、b为任意正数，若旦〉1,则a>b；若3=1,则a=6；若巴<1,则a<6；

bbb

反之也成立.若a、b为任意负数，则与上述结论相反.

5.倒数比较法：如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小.

一、【典型基础例题】（1）

类型一、绝对值的概念

1.求下列各数的绝对值.

【思路点拨】lg，-0.3,0,-[-3；]在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字

就是各数的绝对值.还可以用绝对值法则来求解.

【答案与解析】

解法一：因为-1工到原点距离是1工个单位长度，所以

2222

因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|=0.3.

因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|=0.

因为—到原点的距离是3^个单位长度，所以—1—3；）=3；.

解法二：因为—1』<0,所以一11

22

因为-0.3<0,所以|-0.3|=-（-0.3）=0.3.

因为0的绝对值是它本身，所以|0|=0.

11

因为所以

22

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解（如方法1）,

一种是利用绝对值的代数意义求解（如方法2）,后种方法的具体做法：首先判断这个数是正

数、负数还是0.再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反

数，还是0.从而求出该数的绝对值.

▼2.（2015•毕节市）下列说法正确的是（）

A.一个数的绝对值一定比0大

B.一个数的相反数一定比它本身小

C.绝对值等于它本身的数一定是正数

D.最小的正整数是1

【答案】D.

【解析】A、一个数的绝对值一定比0大，有可能等于0,故此选项错误；

B、一个数的相反数一定比它本身小，负数的相反数，比它本身大，故此选项错误；

C、绝对值等于它本身的数一定是正数，0的绝对值也等于其本身，故此选项错误；

D、最小的正整数是1,正确.

【总结升华】此题主要考查了绝对值以及有理数和相反数的定义，正确掌握它们的区别是解

题关键.

举一反三：

【变式1］求绝对值不大于3的所有整数.

【答案】绝对值不大于3的所有整数有-3、-2、-1、0、1、2、3.

【变式2】（2015•镇江）已知一个数的绝对值是4,则这个数是—.

【答案】±4.

【变式3】数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.

【答案】6或-6

类型二、比较大小

C3.（2016春•上海校级月考）比较大小：|-中-（-1.8）（填“>”、

或.

【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答.

【答案】<.

【解析】解：|-131=13=1.75,-（-1.8）=1.8,

44

VI.75<1,8,

|-1—|-（-1.8）,

4

故答案为：<.

【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复

号的化简方法.

举一反三：

【变式1】比大小：

-3-______-3-；-|-3.2|______-（+3.2）；0.0001_______-1000；

67

—1.38-1.384；—兀—3.14.

【答案】>;>;>;V

【变式2】下列各数中，比一1小的数是（）

A.0B.1C.-2D.2

【答案】C

【变式3】数a在数轴上对应点的位置如图所示，则a,-a,-1的大小关系是（）.

1」」A」.

<2-10

A.-aVaVTB.-IV-aVa

C.aV—lV—aD.aV-aVT

【答案】c

类型三、绝对值非负性的应用

6己知I2-m|+|n-31=0,试求m-2n的值.

【思路点拨】由IaI三0即绝对值的非负性可知，I2-m|20,In-3I20,而它们的和

为0.所以I2-m|=0,|n-3|=0.因此，2-m=0,n-3=0,所以m=2,n=3.

【答案与解析】因为|2-m|+|n-3|=0

且|2-m|N0,|n-3|20

所以|2-m|=0,|n-3|=0

即2-m=0,n-3=0

所以m=2,n=3

故m-2n=2-2*3=-4.

【总结升华】若几个数的绝对值的和为0,则每个数都等于0,即|a|+|b|+…+|m|=0时，

则a=b=・,=m=0.

类型四、绝对值的实际应用

V5.正式足球比赛对所用足球的质量有严格的规定，下面是6个足球的质量检测结果，

用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数.检测结果（单位：克）：-25,

+10,-20,+30,+15,-40.裁判员应该选择哪个足球用于这场比赛呢?请说明理由.

【答案】因为I+10I<I+15I<I-20I<I-25I<I+30I<I-40I,所以检测结果

为+10的足球的质量好一些.所以裁判员应该选第二个足球用于这场比赛.

【解析】根据实际问题可知，哪个足球的质量偏离规定质量越小，则足球的质量越好.这个

偏差可以用绝对值表示，即绝对值越小偏差也就越小，反之绝对值越大偏差也就越大.

【点评】绝对值越小，越接近标准.

举一反三：

【变式11某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（不含包装）可以有0.002L

的误差.现抽查6瓶食用调和油，超过规定净含量的升数记作正数，不足规定净含量的升数

记作负数.检查结果如下表：

+0.0018-0.0023+0.0025

-0.0015+0.0012+0.0010

请用绝对值知识说明：

（1）哪几瓶是合乎要求的（即在误差范围内的）?

（2）哪一瓶净含量最接近规定的净含量？

【答案】（1）绝对值不超过0.002的有4瓶,分别是检查结果为+0.0018,-0.0015,+0.0012,

+0.0010的这四瓶.

（2）第6瓶净含量与规定的净含量相差最少，最接近规定的净含量.

【变式2】一只可爱的小虫从点0出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正

数，向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程（单位：cm）依次记为：+5,-3,+10,

-8,-6,+12,-10,在爬行过程中，如果小虫每爬行1cm就奖励2粒芝麻，那么小虫一共可

以得到多少粒芝麻？

【答案】小虫爬行的总路程为：

+5+-3++10+-8+-6++12+-101=5+3+10+8+6+12+10=54（cm）.

小虫得到的芝麻数为54X2=108（粒）.

二、【典型基础例题】(2)

类型一、绝对值的概念

.计算：⑴⑵-4|+|3|+|0|(3)-|+(-8)

5

【答案与解析】运用绝对值意义先求出各个绝对值再计算结果.

解：⑴一旱=——(-4-1=-4--

5LI5JJ5

(2)-4|+|3|+|0|=4+3+0=7,

(3)-1+(-8)|=-[-(-8)]=-8.

【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解，一种是利

用绝对值的代数意义求解，后种方法的具体做法：首先判断这个数是正数、负数还是0.再

根据绝对值的代数意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是0.从

而求出该数的绝对值.

C^2.(2015•娄底)若1a-l1=a-1,则a的取值范围是()

A.a》lB.aWlC.a<lD.a>l

【思路点拨】根据|a|=a时，a20,因此|a-l|=a-l,则a-l20,即可求得a的取值范围.

【答案】A

【解析】

解：因为贝！|a-l20,

解得：a2l,

【总结升华】此题考查绝对值，只要熟知绝对值的性质即可解答.一个正数的绝对值是它本

身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

举一反三：

【变式1】(2015•重庆校级模拟)若a>3,则|6-2a|=(用含a的代数式表示).

【答案】2a-6

【变式2】如果数轴上的点A到原点的距离是6,则点A表示的数为.

如果Ix—2I=1,那么x=；

如果I">3,那么x的范围是.

【答案】6或-6；1或3；x>3或x〈-3

【变式3]已知|a|=3,|b|=4,若a,b同号，则|a+b|=；若a,b异

号，则Ia+b=.据此讨论|a+b]与|a+|b1的大小关系.

【答案】7,1；若a,b同号或至少有一个为零,则|a+b|=|a|+|b|；若a,b异号,则|a+b|

<1a1+1b1,

由此可得：|a+b|<|a|+|b|.

类型二、比大小

比较下列每组数的大小:

⑴一(-5)与T-5I；(2)-(+3)与0；

【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与0、负数与0、正数与负数、两

个正数还是两个负数”，然后比较.

【答案与解析】

解:(1)化简得:-(-5)=5,-|-5|=-5.

因为正数大于一切负数，所以

(2)化简得：-(+3)=-3.因为负数小于零，所以-(+3)<0.

⑶化简得：——士3=一3士.这是两个负数比较大小，因为—4伐=二4」1(，

44552(

(4)化简得：T-3.141=-3.14,这是两个负数比较大小，因为|-Jt|=n,|-3.14|=

3.14,而Ji>3.14,所以-n14|.

【总结升华】在比较两个负数的大小时，可按下列步骤进行：先求两个负数的绝对值，再比

较两个绝对值的大小，最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断.

举一反三：

【变式1】比大小：

(1)-0.3--(2)....-.

—319)10

【答案】>；>

【变式2】比大小：(1)一1.38-1.384；(2)一口―-3.14.

【答案】>；<

【变式3】若m>0,n<0,且用“〉”把m,-m,n,-n连接起来.

【答案】解法一：<m>0,n<0,

・・・m为正数，-in为负数，n为负数，-n为正数.

又•・,正数大于一切负数，且|m|>|n|,

解法二：因为ni>0,nVO且|m|>|n|,

把ni,n,-m,-n表示在数轴上，如图所示.

-mn0Ttm

・・,数轴上的数右边的数总比左边的数大,

m>-n>n>-m.

类型三、含有字母的绝对值的化简

▼4.(2016春•都匀市校级月考)若贝U1x+l1-x-4|=.

【思路点拨】根据绝对值的性质：当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有

理数时，a的绝对值是它的相反数-a,可得|x+l|=x+l,|x-4|=-x+4,然后再合并同类项

即可.

【答案】2x-3.

【解析】

解:原式=x+l-(-x+4),

=x+l+x-4,

=2x-3.

【总结升华】此题主要考查了绝对值，关键是掌握绝对值的性质，正确判断出x+1,X-4

的正负性.

举一反三：

【变式