质点动力学功和能

质点动力学功和能2.力的空间累积效应:质点动能定理hm

质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。

功率

例：重力对m的功:

地面参考系：A=mgh

物体m参考系：A=0dA=f.dr(1)功是标量,且有正负。(2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。第2页,共54页，2024年2月25日，星期天

(3)在直角坐标系中

功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。

(4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功也只能在同一惯性系中计算。

学习要点：变力的功。第3页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。

解将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？x(原长)xomF

外力:F=kx

，这是一个变力。

物体m脱离地面的条件是什么？

kxo

mg所以外力作的功为第4页,共54页，2024年2月25日，星期天完成积分得：

=10(m/s)。

解

因力是坐标的函数，应用动能定理

例题2质量m=4kg的物体在力F=(2x+5)i(SI)的作用下,沿x轴作直线运动,初速

o

=5i(m/s);求物体从x=0到x=10(m)时的速度。第5页,共54页，2024年2月25日，星期天

解

因:x=acost,y=bsint

当t=0时，x=a,

y=0;

当t=/(2)时，x=0,y=b。合外力的功为合外力:=-m2(xi+yj)

例题一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量为(SI),式中a、b、

是正值常数，且a>b。求：t=0到t=/(2)时间内合外力的功及分力Fx、Fy的功。分力：Fx=-m2x,Fy=-m2y第6页,共54页，2024年2月25日，星期天

分力Fx、Fy的功为

(1)显然合外力的功等于分力的功之和：

(2)合外力的功也可由动能定理直接求出。Fx=-m2xFy=-m2y第7页,共54页，2024年2月25日，星期天由动能定理得合外力的功为当t=0时，

o=bj,大小:

o=b;当t=/(2)时,

=-ai,大小

=a

。第8页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题在光滑的水平桌面上，平放着如图所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度

0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为µ。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。

解滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N,如图所示。

法向：(1)

切向：(2)

将式(1)代入式(2),有在自然坐标系中，o

0

Nfr第9页,共54页，2024年2月25日，星期天化简后得：d=-µ

d

由于支持力N不作功，由动能定理得摩擦力的功为o

0图3-3

Nfr第10页,共54页，2024年2月25日，星期天o

0图3-3

Nfr求滑块滑过屏障的过程中，运动时间为

第11页,共54页，2024年2月25日，星期天求滑块滑过屏障的过程中，运动时间为

用角动量定理求

o

0图3-3

Nfr第12页,共54页，2024年2月25日，星期天

质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力对质点m作的功为

重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。CLabmghbhaoyx图3-4

二.保守力场中的势能1.保守力作功的特点重力的功

第13页,共54页，2024年2月25日，星期天

小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为

由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。弹性力的功xa

(原长)oxbabx第14页,共54页，2024年2月25日，星期天

质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为

由上式可见,万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。万有引力的功注意：dscos(-)=dr。mrarbabMrfdr

ds第15页,共54页，2024年2月25日，星期天

如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。

因为保守力作的功只与质点的始末位置有关，而与路径无关,故保守力F保沿任意闭合路径L所作的功总为零,亦即上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义和数学判据。2.保守力和非保守力

第16页,共54页，2024年2月25日，星期天根据高等数学中的斯托克斯公式在直角坐标系中，第17页,共54页，2024年2月25日，星期天这是力为保守力的判据。如果给出了力的表达式，对保守力而言，第18页,共54页，2024年2月25日，星期天滑动摩擦力的功ab

设一质点在粗糙的台面上运动，其滑动摩擦力与质点的运动方向相反,可表示为：当质点从a处运动到b处，摩擦力做功：结论：摩擦力做功不仅与始末位置有关，而且与路径有关。摩擦力是非保守力。第19页,共54页，2024年2月25日，星期天重力的功弹性力的功引力的功

定义：Epa是系统在位置a的势能;

Epb是系统在位置b的势能。可见，保守力的功可写为3.势能的定义第20页,共54页，2024年2月25日，星期天

式的意义是:保守力的功等于势能增量的负值。含义：系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。若取b点为零势点，则由上式我们得到系统在位置a的势能为第21页,共54页，2024年2月25日，星期天

重力势能

(1)零势面可任意选择,由问题的方便而定。

(2)重力势能为Ep=±mgh(3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。(3)弹性势能总是正值。弹性势能(1)通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势能为零。xx

(原长)aok4.势能零点的选择(2)弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为第22页,共54页，2024年2月25日，星期天xo

(原长)oxabx

如选x=xo处为势能零点，则弹性势能第23页,共54页，2024年2月25日，星期天

(1)通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零)的势能为零。

(3)引力势能总是负值。应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。引力势能

(2)两物体M、m相距r时的引力势能,按定义式为

Ep=±mghrfM图3-8drm第24页,共54页，2024年2月25日，星期天这一对内力所作的元功之和为三.系统动能定理f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn2.内力的功外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。1.质点系内力和外力质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。内力—系统内各质点间的相互作用力。

系统内质点j对质点i相互作用力。

系统内质点i对质点j相互作用力。

第25页,共54页，2024年2月25日，星期天这一对内力所作的元功之和为(1)通常,故一对内力所作的功之和一般也不为零。(2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。drij是第i个质点对第j个质点的相对元位移。可见，一对内力的元功之和转化为其中一个力的功。o图3-9质点i质点j人在船上行，船在静水中退。o’第26页,共54页，2024年2月25日，星期天人在船上行，船在静水中退。一对内力做功转化为一个力的功第27页,共54页，2024年2月25日，星期天VoLmM

Tmg车对球的拉力和球对车的拉力是一对内力(M和m)做功为：第28页,共54页，2024年2月25日，星期天质点之间有相互作用力，但是没有相互运动，一对内力的功也为零。刚体就是这样。Zoij第29页,共54页，2024年2月25日，星期天

设系统由n个质点组成,对mi应用动能定理,有

这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。写成：A内

+

A外=

Ek

—

Ek0式中：i=1,2,3,……。对上式求和得f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn3.系统动能定理表述第30页,共54页，2024年2月25日，星期天注意：1对系统而言，，人在船上行，船在静水中退。m1m22系统所受外力的矢量和为零，但A内

+

A外=

Ek

—

Ek0系统动能定理：第31页,共54页，2024年2月25日，星期天

将上述结果代入动能定理:A内+A外=

Ek-

Ek0二.功能原理内力的功A内也可以写成

A内=A保守内力+A非保守内力

式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。上式表明:系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。A外+A非保守内力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)第32页,共54页，2024年2月25日，星期天A外+A非保守内力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)注意：1、用功能原理时，只须计及所有外力和非保守内力的功。无须计算保守内力的功。因为保守内力的功已经用势能表示了。2、功能原理只适用于惯性系。第33页,共54页，2024年2月25日，星期天

A外+A非保守内力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时,则

Ep+Ek=Ep0+Ek0

这一结论称为机械能守恒定律。三.机械能守恒定律应当指出，机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0,这当然是对惯性系而言的。还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关,但A外却取决定于参考系的选择。第34页,共54页，2024年2月25日，星期天机械能守恒定律的条件：A外+A非保守内力=0讨论机械能守恒的条件a系统受内力，系统受外力，但均不做功。b有两种情况：2对系统而言，，1对系统而言，，再次强调：第35页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题如图所示，一辆质量为M的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物体以水平速度

o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？人在车上走，摩擦力的方向如何？为什么人的摩擦力可以做正功。

M

0m

解

(M+m):水平方向不受外力，故动量守恒：

m

o=(M+m)

式中

是相对静止时的速度。

(1)对物体m应用动量定理，有

-mg.t=m

-m

o解得第36页,共54页，2024年2月25日，星期天M

m

解：由于一对内力(摩擦力)的功与参考系无关,可取车为参考系来计算摩擦力的功,由系统动能定理得

要物体不滑下车顶,车的最小长度为m

o=(M+m)

第37页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题如图所示，一链条总长为L、质量为m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为µ,令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。

解链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。L-xxox建立如图所示的坐标ox,先求摩擦力(变力)的功：第38页,共54页，2024年2月25日，星期天

取桌面为零势面，由功能原理:解得A外+A非保守内力=(Ep+Ek)-(Ep0+Ek0)

对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。L-aa图3-11ox第39页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题如图所示，光滑地面上有一辆质量为M的静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球m悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球运动到最低点时的速率。

解小球受两个力：绳的张力T，重力mg。解得：这个解法对吗？oLmM

Tmg

因为小球绕o点作圆运动，张力T与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力(保守力)作功，所以小球机械能守恒：第40页,共54页，2024年2月25日，星期天

说小球绕o点作圆运动，张力T不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两个错误:错!错在那里？

对系统(小车、小球):

一对内力(张力T)作功之和为零，只有保守力—重力作功，则该系统机械能守恒。VoLmM

Tmg一是小车是非惯性系(有加速度)，机械能守恒定律是不成立！二是机械能守恒条件中的功，应该在惯性系中计算。在惯性系(地面)上看,张力T要作功,小球的机械能是不守恒的。但一对张力(内力）做功为零。第41页,共54页，2024年2月25日，星期天(1)

竖直方向的动量显然不守恒，只有在水平方向(根本不受外力)动量守恒

0=MV-m

(2)

解式(1)、(2)得小球运动到最低点时的速率为(M+m)：VoLmM

Tmg系统动量守恒吗？第42页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题半径为R、质量为M且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的

角位置处，开始脱离球面，试求：

(1)

角满足的关系式；

(2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos

的取值。

解

(1)小物体脱离球面的条件是：N=0。(1)

小物体离开球面的瞬间相对球面作圆运动，而此时球面是惯性系，于是沿法向有RM

mmVx

rmgN为m相对于M的速度第43页,共54页，2024年2月25日，星期天

取地面为惯性系,以m、M和地球为系统，机械能守恒,于是有(2)

取地面为惯性系,以m、M和地球为系统,水平方向动量守恒:(3)

应当注意：式(2)、(3)中的

x、

是m相对地面的速度。RM

mmVx

rmgN第44页,共54页，2024年2月25日，星期天

由速度合成定理:xy(5)解上述式子得:(2)(3)(1)RM

mmVx

rmgN(4)第45页,共54页，2024年2月25日，星期天

(2)当m/M<<1，即M>>m时,cos=2/3这相当于M不动的情况。当m/M>>1,即m>>M时,有

cos3-3cos+2=0分解因式得

(cos-1)2(cos+2)=0cos=1,=0°这表明m竖直下落。RM

mmVx

rmgN第46页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题若从地面以一定初速度

o发射一质量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气阻力，则

o=？

解

圆轨道：机械能守恒：第47页,共54页，2024年2月25日，星期天讨论：(1)当r=Re时,=7.9km/s,称为第一宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。

称为第二宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。(2)当r

时，第48页,共54页，2024年2月25日，星期天一质点在平方反比引力作用下做圆周运动,证明：平方反比引力是保守力第49页,共54页，2024年2月25日，星期天

例题一质点在方向指向圆心的力