新课标人教版小学数学五年级下册教学用书

目录《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级下册说明........1一、教学内容和教学目标........1

二、教材的编写特点........4

三、教学中需要准备的教具和学具........14

四、课时安排........15各单元的教材说明和教学建议........17一、图形的变换........17

〔一〕教学目标........17

〔二〕教材说明和教学建议........17

〔三〕具体内容的说明和教学建议........19二、因数与倍数........28

〔一〕教学目标........28

〔二〕教材说明和教学建议........28

〔三〕各小节的教材说明和教学建议........31

1.因数和倍数........31

2.2、5、3的倍数的特征........36

3.质数和合数........41

〔四〕参考资料........44

1.2、5、3的倍数的特征........44

2.质数表........45

3.筛法........46三、长方体和正方体........47

〔一〕教学目标........47

〔二〕教材说明和教学建议........47

〔三〕各小节的教材说明和教学建议........50

1.长方体和正方体的认识........50

2.长方体和正方体的外表积........56

3.长方体和正方体的体积........61

〔四〕参考教案........78

课题一：长方体的认识〔片断〕........78

课题二：体积和体积单位........81

综合应用：粉刷围墙........86四、分数的意义和性质........89

〔一〕教学目标........89

〔二〕教材说明和教学建议........89

〔三〕各小节的教材说明和教学建议........95

1.分数的意义........95

2.真分数和假分数........106

3.分数的根本性质........114

4.约分........120

5.通分........130

6.分数和小数的互化........144

〔四〕参考教案........152

课题一：分数的意义........152

课题二：最小公倍数........155

〔五〕参考资料........159

1.辗转相除法........159

2.利用最大公因数求最小公倍数........160

3.数的扩充........161

4.无限循环小数化成分数........162五、分数的加法和减法........164

〔一〕教学目标........164

〔二〕教材说明和教学建议........164

〔三〕各小节的教材说明和教学建议........169

1.同分母分数加、减法........169

2.异分母分数加、减法........178

3.分数加减混合运算........185

〔四〕参考教案........192

课题：异分母分数加减法........192六、统计........198

〔一〕教学目标........198

〔二〕教材说明和教学建议........198

〔三〕具体内容的说明和教学建议........200

综合应用：打........206七、数学广角........212

〔一〕教学目标........212

〔二〕教材说明和教学建议........212

〔三〕具体内容的说明和教学建议........214八、总复习........219

〔一〕教学目标........219

〔二〕教材说明........219

〔三〕教学建议........221全册教材分析《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级下册说明人民教育出版社小学数学室、课程教材研究所小学数学课程教材研究开发中心编写的《义务教育课程标准实验教科书数学》五年级下册，是以《全日制义务教育数学课程标准〔实验稿〕》〔以下简称《标准》〕的根本理念和所规定的教学内容为依据，在总结现行九年义务教育小学数学教材研究和使用经验的根底上编写的。编者一方面努力表达新的教材观、教学观和学习观，同时注意所采用措施的可行性，使实验教材具有创新、实用、开放的特点。另一方面注意处理好继承与开展的关系，既注意反映数学教育改革的新理念，又注意保持我国数学教育的优良传统，使教材具有根底性、丰富性和开展性。下面就这册教材中几个主要问题作一简要说明，以供教师参考。一、教学内容和教学目标这一册教材包括下面一些内容：图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计等是本册教材的重点教学内容。在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。因数与倍数，在前面学习整数及其四那么运算的根底上教学初等数论的一些根底知识，包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数。教材在三年级上册分数的初步认识的根底上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。在已有知识和经验的根底上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及外表积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步开展。在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。在学习平均数和中位数的根底上，本册教材教学众数。平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的特征数。平均数作为一组数据的代表，比拟稳定、可靠，但易受极端数据的影响；中位数作为一组数据的代表，可靠性比拟差，但不受极端数据的影响；众数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数或中位数来表示这组数据的集中趋势。在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加法和减法、长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。

这一册教材的教学目标是，使学生：1.理解分数的意义和根本性质，会比拟分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比拟熟练地进行约分和通分。

2.掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大公因数和最小公倍数。

3.理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算方法，比拟熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题。

4.知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积单位的实际意义。

5.结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和外表积的计算方法，探索某些实物体积的测量方法。

6.能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形，以及将简单图形旋转90°；欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案。

7.通过丰富的实例，理解众数的意义，会求一组数据的众数，并解释结果的实际意义；根据具体的问题，能选择适当的统计量表示数据的不同特征。

8.认识复式折线统计图，能根据需要选择适宜的统计图表示数据。

9.经历从实际生活中发现问题、提出问题、解决问题的过程，体会数学在日常生活中的作用，初步形成综合运用数学知识解决问题的能力。

10.体会解决问题策略的多样性及运用优化的数学思想方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。形成发现生活中的数学的意识，初步形成观察、分析及推理的能力。

11.体会学习数学的乐趣，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心。

12.养成认真作业、书写整洁的良好习惯。二、教材的编写特点本册教材对于教学内容的编排和处理，是以整套实验教材的编写思想、编写原那么等为指导，力求使教材的结构符合教育学、心理学的原理和学生的年龄特征，继续表达前几册实验教材中的风格与特点。本册教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、表达知识的形成过程、鼓励算法及解决问题的策略多样化、改变学生的学习方式，表达开放性的教学方法等特点。同时，由于教学内容的不同，本册教材还具有下面几个明显的特点。1.改良因数与倍数教学的编排，表达数学教学改革的新理念，培养学生的数学素养。在小学阶段，有关因数与倍数的知识是传统的教学内容，以往人们认为，它既是小学生应该掌握的重要的根底知识，又是开展小学生逻辑思维的良好素材。同时，人们普遍认为，这局部内容概念集中，比拟抽象，概念之间的联系紧密，学生理解起来比拟困难。也由于以往对这局部内容的编排，联系实际的素材不多，学习这局部内容，既需要学生理解并记忆一些概念，又要求能够运用这些概念进行一定的推理、判断。所以，学习过程显得比拟枯燥。因此，这局部内容向来是小学数学教学的难点内容。本套教材对这局部内容的处理，主要的依据是《标准》的要求和所提倡的理念。“在《标准》中这局部内容的要求有所降低，明确在1～100的自然数中认识有关的概念和性质，并且这局部内容不作为一个独立的领域出现，在教材的编排中可以将这局部内容分散到数的认识和计算中去。”〔刘兼孙晓天主编《全日制义务教育数学课程标准〔实验稿〕解读》第204页，北京师范大学出版社2002年5月第1版。〕本册教材的编排既注意表达《标准》中关于因数与倍数教学与教材编排的要求，同时注意表达近年来有关这局部内容教学改革的经验。首先，将以往教材“因数与倍数”的教学内容分散编排，安排在本册的两个单元里教学。第二单元“因数与倍数”包括因数和倍数的意义，2、5、3的倍数的特征，质数和合数的含义等，重点是让学生了解和掌握这些重要的概念；在第四单元“分数的意义和性质”中，结合约分教学最大公因数的概念和求法，结合通分教学最小公倍数的概念和求法。其次，注意所涉及的数的范围在1～100的自然数内，防止题目中的数目过大。此外，在例题的安排、素材的选取、习题的设计等方面都采取了新的措施，使得上述两单元中相关内容的编排与以往的教材相比有下面几个特点：〔1〕精简教学内容，突出根本概念教学。①不再以整除概念为根底引出因数与倍数，而是在直观的根底上，通过乘法算式得出因数与倍数的概念。由于学生已经积累了丰富的区分整除与有余数除法的知识和经验，对整除的含义能够清晰的理解，不出现整除的定义不会对学生理解其他概念产生影响。因此，本套教材中不再出现“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。②“分解质因数”和“用短除法分解质因数”不作为正式教学内容。在以往的教材中，“分解质因数”及“用短除法分解质因数”是作为求最大公因数、最小公倍数的根底知识和技能安排的，因此，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多种方法求最大公因数和最小公倍数，“分解质因数”失去了其根底知识的作用，因此不再作为正式教学内容，而只作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中介绍。〔2〕增加了直观和联系实际。以往人们普遍认为，这局部内容的教学过于形式化，一系列的概念引出，似乎都与现实生活无关；从概念到概念，似乎都难以直观。而小学数学的大多数教学内容的引出都注意从实际引入，注重提供直观支柱。因此，本套教材对这局部内容的编排，尽量联系实际，内容的呈现、展开注意贴近学生的认知特点。例如，2、5、3的倍数的特征的教学，例题和习题，都增加了联系学生生活实际的素材和插图；用铺地砖的问题情境引出最大公因数和最小公倍数的概念等。这样的处理便于揭示数学与现实世界的联系，有利于学生理解有关概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力。〔3〕增加探索性和开放性。例如，“3的倍数的特征”的得出，“做100以内的质数表”，找出最大公因数和最小公倍数的过程，等等，都表达了放手让学生探究，鼓励用多种方法解决问题，培养学生的探索意识和解决问题的能力。〔4〕加强了拓展性和知识性。内容精简之后，出于拓展学生知识面的考虑，教材在相关教学内容之后，利用“你知道吗？”“生活中的数学”等栏目，安排较多的拓展性知识作为阅读资料提供应学生。例如，介绍完全数〔第14页〕、互质数〔第83页〕的概念，奇数和偶数在日常生活中的应用，哥德巴赫猜测，以及怎样利用分解质因数的方法求两个数的最大公因数〔第81页〕等，以丰富学生的数论知识，激发继续探求的欲望，培养学生对学习数学、探索数学持久而稳定的兴趣。综上所述可以看出，这样的编排使因数与倍数教学的教育价值得到扩充与提高。通过这样的教学，不仅可以使学生很好的掌握与数论相关的最根底的知识，体会数学学习的乐趣和实际价值，同时可使学生获得逻辑思维的训练，自主探索意识和能力的培养，从而逐步提高数学素养。2.改良认识分数的编排，注重沟通知识间的相互联系，加强学生对分数意义的理解。从本学期开始，学生将要系统地学习分数的意义和性质、分数的四那么运算。同整数、小数知识一样，分数知识也是小学数学教学的重要内容，是进一步学习数学和其他学科所必需的根底知识。分数的概念比拟难理解，计算起来也比拟复杂。为了便于学生理解和掌握分数，本套教材仍然采用了以往教材的编排体系，把分数划分为两个阶段教学。第一段安排在三年级上册，借助操作直观，使学生对分数有初步的认识，虽然也出现了简单的分数大小比拟和同分母分数加、减法，目的是为了帮助学生更好地理解分数的初步概念，给学生积累一些感性知识。在系统认识了小数和初步认识了分数的根底上，本册将引导学生由感性认识上升到理性认识，概括出分数的意义，比拟完整地从分数的产生、分数与除法的关系等方面加深对分数意义的理解，进而学习并理解与分数有关的根本概念，掌握必要的约分、通分、分数与小数互化等技能，以及分数的加、减法计算。在具体安排上，本套教材一方面注意表达《标准》所提倡的教学理念，提供丰富的学习素材，在学生已有知识和经验的根底上阐述新的内容，给学生创设自主探索的空间，同时，还注意采取下面几个方面的措施：〔1〕加强直观，加深学生对分数意义的理解。在小学数学里，引进分数概念是小学生数概念的一次重要扩展。对于小学生而言，分数比拟抽象，学生在实际生活中遇到分数也比拟少，因此理解和掌握是比拟困难的。教材的编排比以往更重视用直观的手段帮助学生体会、理解有关知识。例如，“分数的产生”提供古人测量与孩子分物的两幅直观图，帮助学生感悟分数是怎样产生的，促进对分数意义的理解；“分数的意义”那么通过直观插图，从两个方面说明1/4的含义〔可以表示一个物体的1/4，也可以表示一些物体的1/4〕，在此根底上给出分数单位的概念，揭示分数表示局部与整体的关系，加深学生对分数概念的理解。〔2〕对局部教学内容作了适当的调整或精简。其一，分数大小比拟与通分结合在一起教学。其二，将以往“约数与倍数”的局部内容与分数的相关知识结合起来教学。即：将公因数、最大公因数与约分编为一节，同样，将公倍数、最小公倍数与通分编为一节。这样的调整，分散了教学的难点，充分利用学生已有知识的迁移，降低了学习的难度，有利于学生认识的螺旋上升。〔3〕加强开放性，培养学生灵活的思维和解决问题的能力。例如，教学求两个数的最大公因数或最小公倍数，不再采用唯一的、固定的短除法分解质因数的方法，而是引导学生采用多种方法“找”最大公因数和最小公倍数。教学分数化成小数的方法，改良了过去只介绍单一的一般算法的做法，还介绍了把分母不是10，100，1000，…的分数，利用分数的根本性质改写成分母是10，100，1000，…的分数，再改写成小数的方法。这样的编排表达了算法多样化、尊重学生个性化的选择，培养学生善于从不同的角度思考和解决问题的意识和能力。〔4〕加强联系实际，从现实问题情境引出数学问题，得出数学知识。如前所述，有关分数、整除的知识都比拟抽象，本套教材特别注意联系实际，从解决实际问题的角度入手探讨新知识。例如，无论是公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数的引入，还是约分、通分的给出，教材都创设了适当的现实问题情境，进而在解决实际问题中，抽象出数学概念，得出数学方法，揭示数学与现实世界的联系。这样编排既有利于学生理解公因数、最大公因数概念的现实意义，也有利于培养学生的数学抽象能力，还有利于培养学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。3.提供丰富的空间与图形的教学内容，注重动手实践与自主探索，促进学生空间观念的开展。小学阶段空间与图形教学的主要目标是开展学生的空间观念，与前几册一样，本册教材继续把促进学生空间观念的开展作为空间与图形内容编排的研究重点。在教学内容方面安排了“图形的变换”“长方体和正方体”两个单元。“图形的变换”的内容是在第一学段学习根底上的进一步扩展和提高。在以前的学习中，学生初步感知了生活中的对称、平移和旋转现象,初步认识了轴对称图形,能在方格纸上画简单的轴对称图形或画出一个简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。本册在此根底上,让学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和画出一个简单图形旋转90°后的图形,开展空间观念。教材的编排，首先注意利用学生已有知识引导学生探索新知识。例如，探索图形成轴对称的特征和性质，先让学生复习轴对称图形和画对称轴，再让学生观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半,从而使学生在已有知识的根底上加深对轴对称图形特征的认识。其次，加强直观教学图形的特征。例如，图形的旋转的教学,让学生观察钟表表针和风车旋转的过程,认识它们是怎样按照顺时针或逆时针方向旋转的，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质。第三，设计大量的活动，帮助学生理解图形的性质和变换，开展空间观念。不仅设计了画一画、剪一剪等操作活动，而且还设计了需要学生想像、猜测和推理进行的探究活动。例如，让学生判断某个图案分别是由哪种方法剪出来的，这就需要学生根据图案的特征，在头脑中对这个图案进行“折叠”和“剪开”，从而使学生的空间想像力和思维能力得到锻炼的时机。“长方体和正方体”单元，那么是学生系统认识立体图形特征的开始。从认识平面图形扩展到认识立体图形，是学生开展空间观念的一次飞跃。长方体和正方体是最根本的立体图形。通过教学不仅可以使学生掌握有关立体图形方面的最根底的知识，而且可以使学生对自己周围的空间和空间中的物体形成初步的观念，为进一步学习与开展打下根底。在以往的教材中，这些局部内容的编排往往侧重于理解和掌握立体图形的特征和外表积、体积的计算方法，而对于促进学生空间观念的开展在学习素材和实践操作方面都显不够。本套教材在编排上突出的变化是，加强动手实践、自主探索，让学生经历知识的形成过程，使学生得到较多的有关空间观念的训练时机。例如，每种图形的特征，均采用让学生动手实验，自主探索得到；通过“乌鸦喝水”的故事，石头放在盛水的杯子里的实验等，以形象、生动的方式，为学生感知物体占有空间，理解体积概念提供丰富的感性经验。又如，长方体体积的计算方法，先让学生用方木块拼摆长方体，通过对摆法不同的长方体的相关数据的观察、分析和归纳，自己发现长方体的体积与它的长、宽、高之间的内在联系，再总结出长方体体积的计算公式。教材编排还加强了联系实际。例如，从现实生活素材抽象出长方体和正方体的几何图形；在介绍了容积概念后，还介绍了用排水法求不规那么物体体积的方法；在练习中适当增加了解决实际问题的题目〔如第32页第6、7题〕；等等。这些新的变化使以往知识容量大且比拟抽象的这一单元，为学生的学习和教师的教学，都提供了更为丰富的学习素材和开放的教学空间。4.加强统计知识的教学，开展学生的统计观念，逐步形成从数学的角度进行思考问题的思维习惯。通过四年多的数学学习，在统计与概率方面，学生已经掌握了一定的知识，形成了一定的能力，积累了一定的经验。本册教材关于统计的教学主要有两局部，其一，教学新的统计知识——众数，了解众数的含义，学会找出数据的众数，在统计分析中能根据实际情况选择适当的统计量来描述数据的特征；其二，教学复式折线统计图，使学生更好地理解统计知识在解决问题中的作用，形成良好的统计观念。在教材的具体编排上，一是注意与先前学习过的统计知识的联系，帮助学生理解所学的新内容。例如，众数的含义是通过与平均数、中位数的比照得到的；复式折线统计图也是由单式折线统计图引出的。这样既有助于加深对前面所学统计知识的理解，也便于对新知识的领悟。二是注意提供丰富的现实生活素材，凸现统计知识和方法的价值。本册教材所选素材涉及到体育、气象、消费等方面，扩大了学生处理信息的范围，更好地体会统计知识和方法在实际生活中的作用，有利于开展学生的统计观念，形成从数学的角度思考问题的良好习惯。5.有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。数学学习不仅可以使学生获得参与社会生活必不可少的知识和能力，而且还能有效地提高学生的逻辑推理能力，进而奠定开展更高素质的根底。因此，培养学生良好的数学思维能力是数学教学要到达的重要目标之一。本套教材总体设想之一是：系统而有步骤地渗透数学思想方法，尝试把重要的数学思想方法通过学生可以理解的简单形式，采用生动有趣的事例呈现出来。通过教学使学生受到数学思想方法的熏陶，形成探索数学问题的兴趣与欲望，逐步开展数学思维能力。据此，在本册教材的“数学广角”单元，安排了“找次品”的教学，旨在通过“找次品”渗透优化思想，让学生充分感受到数学与日常生活的密切联系。优化是一种重要的数学思想方法，运用之可有效地分析和解决问题。教材以“找次品”这一探索性操作活动为载体，让学生通过观察、猜测、试验等方式感受解决问题策略的多样性，再通过归纳、推理的方法体会运用优化策略解决问题的有效性，感受数学的魅力，培养观察、分析、推理以及解决问题的能力。用数学解决问题能力的培养是义务教育阶段数学课程的重要目标之一，因此解决问题教学在数学教学中有着重要的作用。它既是开展学生数学思维的过程，又是培养学生应用意识、创新意识的重要途径。与前面几册教材一样，本册教材仍然注意将解决问题的教学融合于各局部内容的教学中，通过各局部内容的教学培养学生用数学解决问题的能力。同时在“数学广角”单元以及数学综合运用活动中，加强了综合运用知识解决问题和解决问题策略多样化的教学，使学生逐步提高数学思维能力和解决问题的能力。本册教材设计了“粉刷围墙”和“打”两个数学综合运用活动，让学生通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的数学知识和方法〔如简单的优化思想方法、通过画图的方式发现事物隐含的规律等〕，动手实践、解决问题，体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高学生的实践能力和解决问题的能力。6.情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激发学生的学习兴趣与内在动机。本次数学课程改革强调了对学生情感、态度和价值观的培养，全面提高学生的素质。小学高年级学生已经具有了一定的知识和生活经验，对自然与社会现象有了一定的探求欲望，此时需要教育者进行有目的的启发与引导。在数学教学中，就是要通过数学学习活动，使学生形成丰富的情感、积极的态度和正确的价值观，这同样是学生学习、生存和开展的重要根底。本册教材不仅内容涉及数学教学内容的各个领域，为学生探索奇妙的数学世界提供了丰富素材，而且注意结合教学内容安排了许多表达数学文化的阅读材料、数学史实等，使学生的数学学习活动丰富多彩、充满魅力。这些都有助于学生初步认识数学与人类生活的密切联系，了解数学的价值，激发学生学习数学的欲望。〔1〕提供丰富的培养学习数学兴趣爱好的素材。考虑到学生年龄的增长、视野的扩大等因素，本套教材注意选择知识内容深刻、内涵更丰富的教学素材，使学生在学习数学的同时，受到情感、态度、价值观的熏陶。例如，“图形的变换”单元,呈现了大量现实生活中利用对称、平移和旋转设计出的美丽的事物和图案；数学综合应用“打”、数学广角“找次品”等，都蕴涵了优化的思想方法，这些简洁、巧妙的解决问题策略表达的是数学方法。“数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美”。〔M.克莱因〕这些都有利于激发学生学习数学的兴趣，形成稳定的探索数学的爱好。〔2〕注意反映数学与人类生活的密切联系以及数学的文化价值。与前几册教材一样，本册教材仍然注意采用阅读材料的形式，结合教学内容编排一些有关的数学史料，丰富学生对数学开展的整体认识，培养学生探索数学、学习数学的兴趣与欲望。如安排了14个“你知道吗？”6个“生活中的数学”。介绍了现实生活中数学知识的应用、数学家的故事等等。这些内容不仅可以使学生对数学本身产生浓厚的兴趣，鼓励他们扩大知识面和进一步探索研究的欲望，而且对学生的情感、态度、价值观的形成与开展也能起到潜移默化的作用。〔3〕通过自主探索的活动，让学生获得学习成功的体验，增进学好数学的信心。结合学生的年龄特点和教学内容，本册教材设计了很多需要学生自主探索的活动。例如，教学质数与合数概念，教材设计了让学生自主探索1～20各数的因数个数有什么规律的活动，从而为理解质数与合数的概念获得丰富的感性经验；再如，找出100以内的质数，让学生自主探索，体验找质数的一般方法“筛法”。长方体体积计算公式的推出，让学生小组合作探索出长方体中所含体积单位的数量与它的长、宽、高的关系，再总结出长方体体积的计算公式。求最大公因数和最小公倍数的教学，教材展示了学生自主探索出多种方法，具有较强的自主性和开放性，等等。让学生有更多的时机应用数学知识，进行自主探索的实践，并通过这些活动获得自己成功、能力增强等良好体验，从而逐步增强学好数学、会用数学的信心。四、课时安排根据《义务教育阶段国家数学课程标准〔征求意见稿〕》中的“各学段课程内容参考教学时间一览表”，实验教材的编者为五年级下学期数学教学安排了60课时的教学内容。各局部教学内容教学课时大致安排如下，教师教学时可以根据本班具体情况适当灵活掌握。一、图形的变换〔4课时〕

二、因数与倍数〔6课时〕

1因数和倍数2课时左右

22、5、3的倍数的特征...............................................3课时左右

3质数和合数...............................................1课时左右

三、长方体和正方体〔12课时〕

1长方体和正方体的认识...............................................2课时左右

2长方体和正方体的外表积...............................................2课时左右

3长方体和正方体的体积...............................................7课时左右

整理和复习1课时

粉刷围墙1课时

四、分数的意义和性质〔20课时〕

1分数的意义...............................................4课时左右

2真分数和假分数...............................................3课时左右

3分数的根本性质...............................................2课时左右

4约分...............................................4课时左右

5通分...............................................4课时左右

6分数与小数的互化...............................................2课时左右

整理和复习1课时

五、分数的加法和减法〔7课时〕

1同分母分数加、减法...............................................2课时左右

2异分母分数加、减法...............................................3课时左右

3分数加减混合运算...............................................2课时左右

六、统计〔3课时〕

打...............................................1课时

七、数学广角〔2课时〕

八、总复习〔4课时〕一、图形的变换〔一〕教学目标1.使学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。

2.进一步认识图形的旋转,探索图形旋转的特征和性质，能在方格纸上把简单图形旋转90°。

3.初步学会运用对称、平移和旋转的方法在方格纸上设计图案,进一步增强空间观念。

4.让学生在上述活动中，欣赏图形变换所创造出的美,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。〔二〕教材说明和教学建议教材说明学生在二年级已经初步感知了生活中的对称、平移和旋转现象,初步认识了轴对称图形,能在方格纸上画简单的轴对称图形,也能在方格纸上画出一个简单图形沿水平或垂直方向平移后的图形。在此根底上,本单元让学生进一步认识图形的轴对称，探索图形成轴对称的特征和性质，学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形和画出一个简单图形旋转90°后的图形,开展空间观念。结合本单元的学习,还安排了数学游戏“设计镶嵌图案”。本单元教材在编排上有以下几个特点。1.重视学生已有的知识根底，探索两个图形成轴对称的特征和性质。在二年级学生已经认识了日常生活中的对称现象，有了轴对称图形的概念，并能画出一个轴对称图形的对称轴和它的另一半,这里是进一步认识两个图形成轴对称的概念，探索图形成轴对称的特征和性质，并学习在方格纸上画出一个图形的轴对称图形。本单元教材先设计了画对称轴，观察轴对称图形的特征和画出一个轴对称图形的另一半的活动,加深对轴对称图形特征的认识，从而让学生在已有的知识根底上探索新知识。2.注重联系生活实际，让学生在具体情境中认识图形的旋转。本单元联系具体情境,让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转，明确旋转的含义，探索图形的旋转的特征和性质,再让学生学会在方格纸上把简单图形旋转90°。3.通过大量的活动，帮助学生理解图形的对称和旋转变换，增强空间观念。本单元不仅设计了看一看、画一画、剪一剪等操作活动，而且注意设计需要学生进行想像、猜测和推理进行探究的活动，培养学生的空间想像力和思维能力。例如，让学生判断几个图案分别是由哪种方法剪出来的。这就要求学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”，并将最后的结果与下面的剪法对应起来。而且还让学生思考“还有什么剪法”，从而使学生的空间想像力和思维能力得到充分的锻炼。教学建议1.注意让学生真正地、充分地进行活动和探究。由于本单元知识是在学生已有的关于对称和旋转的知识根底上，并结合学生熟悉的生活情境进行安排的，学生完全可以通过观察、想像、分析和推理等过程，独立探究出来。因此，教师要切实组织好学生的课堂活动，为学生创造进行探究的时间和空间。不要让教师的演示或少数学生的活动和答复代替每一位学生的亲自动手、亲自体验和独立思考。这样学生的空间想像力和思维能力才能得以锻炼，空间观念才能得到开展。2.本单元内容可以用4课时进行教学。〔三〕具体内容的说明和教学建议〔第2～11页〕1.主题图。教科书第2页，呈现了现实生活中利用对称、平移和旋转设计出的许多美丽的事物和图案，引出本单元内容的学习。目的是从现实生活的事物引入，让学生在欣赏图形变换所创造出的美好事物的过程中,进一步感受对称、平移和旋转在生活中的应用，体会数学的价值。教学时，教师可以先让学生观察，说一说这些图形有什么特征。学生可能会根据图形的变换把这些图形分成几类，教师可从此处引出本单元内容的学习。到本单元内容学习结束后，还可以再让学生观察这幅主题图，用所学的图形变换的知识对这些图形的设计进行分析，体会所学知识的作用和价值。2.例1上面的内容及例1。教材通过例1上面的内容，让学生画对称轴的活动，帮助学生复习已有的关于轴对称图形的知识，在此根底上教学例1。在“例1”中，首先通过看一看、数一数的活动，使学生由观察“松树”这个轴对称图形，进一步观察两个“小草”图形成轴对称,从而引出两个图形成轴对称的概念，并引导学生从整体上概括出轴对称的特征。接下来，再引导学生观察轴对称图形〔松树〕及成轴对称的两个图形〔小草〕的对应点与对称轴之间有什么关系，使学生探索、发现图形成轴对称的性质，并为例2教学“在方格纸上画出一个图形的轴对称图形”做准备。

教学时，可以分三步进行。〔1〕复习旧知。让学生独立画出例1上面图形的对称轴，帮助学生回忆轴对称图形的知识，以便在此根底上教学例1。〔2〕进一步认识图形的轴对称。先让学生观察图中的“松树”和“小草”图案有什么特征。根据已有的知识，学生很容易判断出“松树”图案是轴对称图形，图中的虚线是它的对称轴〔教师也可以先不出示这条虚线，让学生画出它的对称轴。〕进一步学生会发现，如果沿虚线折叠，两个“小草”图案，也将完全重合。这时教师可以适时的引出两个图形成轴对称的概念，并引导学生从整体上概括出轴对称的特征。〔3〕探索图形成轴对称的根本性质。可以引导学生分别观察“小树”这个轴对称图形和成轴对称的两个“小草”图案的各对应点〔A与A′、B与B′、C与C′〕与对称轴之间有什么关系，使学生探索、发现图形成轴对称的根本性质。这一局部内容教学需要特殊注意的是，我们不要求学生说出准确的数学语言，只要学生能用自己的语言描述出他发现的特征和性质就可以了。例如，两个图形成轴对称的数学概念是“如果平面到其自身的一一变换的每对对应点A、A′，都垂直于同一直线l,且被直线l平分，那么这种变换叫做关于直线l的轴对称。直线l叫做对称轴，对应点A和A′叫做关于轴l的对称点，在直线反射下的对应图形叫做关于轴l的对称图形。”〔马忠林，《几何学》，吉林人民出版社，1984年4月第1版。〕在初中数学中，概括成“把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。”〔《义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册》，人民教育出版社，2004年12月第1版。〕在小学阶段，我们不要求学生说得这么准确，只要学生能用自己的语言把“折叠”“重合”这些根本特征概括出来就可以。再如，图形成轴对称的根本性质，在初中数学中概括成“如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。”〔《义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册》，人民教育出版社，2004年12月第1版。〕我们不要求学生概括出这样的结论，只要学生能像书上的学生那样直观描述就可以了，使学生知道“对应点到对称轴的距离相等”。3.例2及“做一做”。〔1〕例2。教材通过让学生画小房子的另一半的活动，借助学生已经掌握的关于轴对称的知识，使学生在能够画出轴对称图形另一半〔屋顶、房体及大门〕的根底上，进一步能在方格纸上画出一个图形〔窗户〕的轴对称图形。教材中的小精灵提问“怎样画得又好又快？”就是提示学生在动手之前，先思考好画的步骤和方法。教学时，完全可以放手让学生独立完成。如果学生有困难，教师可以提示学生只要找到左边图形的几个关键点的对称点，再连线就可以了；可以利用已经掌握的图形成轴对称的特征和性质方面的知识来找到关键点的对称点。〔2〕做一做。教材让学生判断把一张纸连续对折三次，画上一个图形，剪出的是什么图案。学生根据书上的折法，在头脑中将彩纸展开，对这个图形先做一次轴对称变换，再对得到的图形做一次轴对称变换，得出最后的结果。在这个活动中，要让学生进行空间想像，进一步体会轴对称变换的特点。如果学生想像对折四次后剪出的图案有困难，教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，帮助学生进行想像。4.例3及相应的“做一做”。〔1〕教材先通过让学生观察钟表的表针和风车旋转的过程,分别认识这些实物怎样按照顺时针和逆时针方向旋转90°，明确旋转的含义。再通过小精灵提问“风车旋转后，每个三角形有什么变化？”引导学生从图形到线段再到点的角度，来观察、探索图形旋转的特征和性质，并为例4教学“在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转90°”做准备。教学时，可以分两步进行。①明确旋转的含义。

由于学生已经对生活中的旋转现象有所认识，可以先让学生观察钟表的指针，独立思考如何描述出“指针从‘12’到‘1’是怎样旋转的”。然后再通过交流，使学生弄清顺时针旋转和逆时针旋转的含义，明确要想表述清楚指针的旋转，一定要说清“指针是绕哪个点旋转”“是向什么方向旋转”“转动了多少度”这几点。②探索图形旋转的特征和性质。

可以先让学生说一说，在风的吹动下，风车是如何旋转的。学生利用刚刚掌握的旋转的含义，可以说清楚风车发生了怎样的变换。

再让学生思考小精灵提出的问题“风车旋转后，每个三角形有什么变化”，探索图形旋转的特征和性质。学生会发现风车上的每个三角形都绕O点逆时针旋转了90°；旋转后的三角形的形状、大小都没有发生变化，只是位置变了。教师还可以引导学生进一步观察，学生可能会发现每个三角形的边都绕O点逆时针旋转了90°；每个顶点都绕O点逆时针旋转了90°；对应点到O点的距离都相等；对应点与O点所连线段的夹角都是90°等。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。

这一局部内容的教学与例1类似，不要求学生用准确的数学语言进行总结和概括。例如，旋转的概念是“如果平面到其自身的一一变换，使任意一对对应点A、A′与平面上一个定点O距离相等，∠AOA′等于指定的有向角α，而O和自身对应，那么这样的变换叫做关于点O的旋转。定点O叫做旋转中心，定角α叫做旋转角，相同的指定方向叫做旋转方向。”〔马忠林，《几何学》，吉林人民出版社，1984年4月第1版。〕在初中数学中概括成“把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转。点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。”〔《义务教育课程标准实验教科书数学九年级上册》，人民教育出版社。〕在小学阶段，我们不要求学生这样说，只要学生能概括出“绕一个点旋转”“向什么方向旋转”“转动多少度”这几点就可以了。像“旋转中心”“旋转角”这些名词也不必要求学生掌握。〔2〕第6页“做一做”第1题。教材呈现了几个图案，让学生判断分别是由哪一个图形旋转而成的。在判断的过程中，要让学生说清“是哪个图形绕哪个点旋转”“是向什么方向旋转”。并让学生感受数学的美，进一步理解图形旋转的性质，体会旋转变换的特点。5.例4及相应的“做一做”。〔1〕例4。

教材通过让学生画一画的活动，借助学生已经掌握的图形旋转的知识，使学生学会在方格纸上把一个图形按顺时针或逆时针方向旋转90°。

教学时，可以让学生小组合作完成。如果学生有困难，教师可以提示学生只要找到三角形AOB的几个顶点的对应点，再连线就可以了；在确定对应点的位置的时候，可以利用已经掌握的图形旋转的特征和性质方面的知识。如“对应点与O点所连线段的夹角都是90°；对应点到O点的距离都相等”等，再借助方格纸、三角板等，来确定顶点的对应点的位置。无论学生用哪种方法，只要能按要求画出旋转后的图形，都是可以的。必要时，可借助学具操作帮助学生理解。〔2〕第6页“做一做”第2题。

教材给出一个根本图形和旋转中心O，让学生利用旋转设计一朵小花。这时，学生已经掌握了在方格纸上把一个图形旋转90°的方法，虽然题中没有给出旋转的角度和方向，学生完全可以根据所设计图案的需要自行确定。

教学时，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中，进一步理解旋转的特点和性质，体会旋转所创造的美。6.欣赏设计。教材先让学生观察从主题中抽取出来的两幅美丽图案,感受图形变换创造的美,体会平移、旋转在图案设计中的应用。接着让学生应用对称、平移或旋转的方法设计图案并进行交流,使学生进一步感受数学美和数学方法的价值。

这是一个实践与综合应用数学知识与方法的活动，教学时可以分两步完成。〔1〕指导学生在欣赏美丽的图案的同时,分析对称、平移或旋转在其中的应用,从而加深对图形变换的根本特征和方法的理解,为接下来的自主设计做准备。

〔2〕通过前面的学习，学生已经掌握了在方格纸上将图形平移、对称和旋转的方法。此时，教师应鼓励独立完成设计图案的任务，再在全班展示交流。学生可能分别运用平移、对称和旋转变换设计图案；也可能综合运用不同方法设计图案。教师不必作统一要求，同时注意对学生的设计要多给予肯定和赞赏。7.有关练习一中一些习题的说明和教学建议。第1题，让学生利用轴对称设计美丽的图案。这时，学生已经掌握了画一个简单图形的轴对称图形。

作简单图形的轴对称图形的方法，可以放手让学生设计，再进行交流。在设计图案的过程中，要让学生在动手实践中进一步理解图形成轴对称的性质，体会轴对称变换的特点。第2题，教科书呈现了几个剪好的图案，让学生判断分别是由哪种方法剪出来的，进一步培养学生的空间想像力和思维能力。

学生要根据图案的特征，不断在头脑中对这个图案进行“折叠”“重合”，再将最后的结果与下面的剪法对应起来，而且还让学生思考“还有什么剪法”。这个活动比“判断两个图形是不是成轴对称”所要求的想像、猜测和推理等思维活动更多，在这个活动中学生的空间想像力和思维能力能够得以锻炼，空间观念会得到开展。

如果学生有困难，教师可以调整题目的设计，反过来，让学生根据剪法，选择剪出的结果。学生根据每一种剪法，在头脑中将彩纸展开，对“半棵小芽”这个图案连续做轴对称变换，得出结果，再与上面剪出的图案对照。如果学生还有困难，教师可以让学生按书上的方法实际折一折、剪一剪，再帮助学生进行想像。第3题，是让学生综合运用所学的有关对称、平移和旋转变换的知识进行判断。注意让学生感受数学的美，体会图形变换在现实生活中的应用。第4题，可仿照第6页“做一做”第2题进行教学。第5题，可仿照第4页的“做一做”和第2题进行教学。第6题，让学生通过实验发现另一类图形“旋转对称图形”的特点。这些图形绕它们的中心旋转一定的角度，还与原来图形重合。这里不必让学生了解“旋转对称图形”这个概念，只要学生能用自己的语言描述出图形的这一特征就可以了。在教学时，可以先让学生画出每个图形的两条对称轴，确定中心O，再让学生想像这个图形在旋转过程中会出现什么现象，发现这些“旋转对称图形”的特点。如果学生有困难，教师可以通过操作帮助学生直观的看到这些现象。可以事先为学生准备一张底卡〔印有这些图形的硬纸卡〕和这些图形卡片，让学生画或折出两条对称轴后确定这些图形的中心O，再用大头针穿过图形卡片和底卡上相应图形的中心O，再进行旋转。8.数学游戏：设计镶嵌图案。四年级学生初步了解了图形的密铺〔镶嵌〕现象，本单元在此根底上，通过数学游戏拓展镶嵌图形的范围，让学生用图形变换设计镶嵌图案，进一步感受图形变换带来的美感以及在生活中的应用。

本活动可放手让学生独立设计，再进行交流。分析交流丰富多彩的镶嵌图案时，不管运用了什么变换，其本质都是把可镶嵌的根本几何图形进行分割后再经过图形变换拼组而成的镶嵌图形。

教师小结时对科学性问题要纠正，同时以表扬为主。二、因数与倍数〔一〕教学目标1.使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。

2.使学生通过自主探索，掌握2、5、3的倍数的特征。

3.逐步培养学生的数学抽象能力。〔二〕教材说明和教学建议教材说明通过四年多的数学学习，学生已经掌握了大量的整数知识〔包括整数的认识、整数四那么运算〕，本单元让学生在前面所学的整数知识根底上，进一步探索整数的性质。本单元涉及到的因数、倍数、质数、合数以及第四单元中的最大公因数、最小公倍数都属于初等数论的根本内容。数论是一个历史悠久的数学分支，它是研究整数的性质的一门学问，以严格、简洁、抽象著称。数学一直被认为是“科学的皇后”，而数论那么更被誉为“数学的皇后”，可见数论在数学中的地位。本单元的知识作为数论知识的初步，一直是小学数学教材中的重要内容。通过这局部内容的学习，可以使学生获得一些有关整数的知识，另一方面，有助于开展他们的抽象思维。在数论中，数的整除性理论又是最为根本的理论，本单元的所有概念都是建立在数的整除性的根底之上。对于任意整数a、b，都存在整数n、r，使b＝na＋r〔其中r＜a〕，当r＝0时，我们就说b能被a整除〔或a能整除b〕，此时，b＝na。其他的一些概念，如因数、倍数等，都是以此为根底的。在以往的数学教材中，也一直把“数的整除”概念编排在这一单元的起始位置，再把因数〔以往的教材中称为约数〕，倍数，2、5、3的倍数的特征〔以往的教材称为能被2、5、3整除的数的特征〕，质数，合数，分解质因数，最大公因数〔以往的教材中称为最大公约数〕，最小公倍数等内容共同编排在后面，合为一个单元。这样编排，虽然突显了以上这些概念的紧密逻辑关系，但也形成了同一单元内概念多而集中、抽象程度过高的现象，学生在学习时经常出现概念混淆、理解困难的问题。因此，与以往教材相比，本套实验教材在编写时，对这局部内容进行了以下几方面的调整。1.我们在本单元研究的都是整除现象，因此，可以说整除概念是贯穿这局部教材的一条主线。但“整除”这一词汇是否必须出现呢？让学生大量表达“×能被×整除”“×能整除×”是否必要？签于学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识根底，对整除的含义已经有了比拟清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。因此，本套教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。2.在以往的教材中，由于求最大公因数、最小公倍数时，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解质因数的方法。因此，作为求最大公因数、最小公倍数的必要根底，“分解质因数”一直作为必学内容编排。而在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数也失去了其不可或缺的作用，同时，也是为了减少这一单元的理论概念，教材不再把它作为正式教学内容，而是作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍。3.公因数、最大公因数和公倍数、最小公倍数概念的建立是以因数、倍数的概念为根底的，也是为后面学习约分〔需要尽快找出分子、分母的公因数〕、通分〔需要尽快找出两个分数分母的公倍数〕做准备的，在整个知识链中起着承上启下的作用。这两个内容可以集中编排在本单元，也可以分散编排在约分、通分的前面。考虑到本单元概念较多，抽象程度高，本套教材把这两局部内容分散编排在第四单元，也更加突出了它们的应用性。教学建议1.由于这局部内容较为抽象，很难结合生活实例或具体情境来进行教学，学生理解起来有一定的难度。在过去的教学中，一些教师往往无视概念的本质，而是让学生死记硬背相关概念或结论，学生无法理清各概念间的前后承接关系，达不到融会贯穿的程度。再加上有些教师在考核时使用一些偏题、难题，导致学生在学习这局部知识时觉得枯燥乏味，体会不到初等数论的抽象性、严密性和逻辑性，感受不到数学的魅力。为了克服以上教学中出现的问题，应注意以下两点。〔1〕加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，防止死记硬背。本单元中因数和倍数是最根本的两个概念，理解了因数和倍数的含义，对于一个数的因数的个数是有限的、倍数的个数是无限的等结论自然也就掌握了，对于后面的公因数、公倍数等概念的理解也是水到渠成。要引导学生用联系的观点去掌握这些知识，而不是机械地记忆一堆支离破碎、毫无关联的概念和结论。〔2〕由于本单元知识特有的抽象性，教学时要注意培养学生的抽象思维能力。虽然我们强调从生活的角度引出数学知识，但数论本身就是研究整数性质的一门学科，有时不太容易与具体情境结合起来，如质数、合数等概念，很难从生活实际中引入。而学生到了五年级，抽象能力已经有了进一步开展，有意识地培养他们的抽象概括能力也是很有必要的，如让学生通过几个特殊的例子，自行总结出任何一个数的倍数个数都是无限的，逐步形成从特殊到一般的归纳推理能力，等等。2.这局部内容可以用6课时进行教学。〔三〕各小节的教材说明和教学建议1.因数和倍数

〔第12～16页〕教材说明

这局部教材首先介绍了因数和倍数的概念，然后在例1和例2分别介绍了求一个数的因数和倍数的方法。1.因数和倍数。编写意图本单元在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，如b÷a＝n表示b能被a整除，b÷n＝a表示b能被n整除。在此根底上再引出因数和倍数的概念。实际上，如前所述，由于乘除法本身就存在着互逆关系，用乘法算式〔如b＝na〕同样可以表示整除的含义。因此，本套教材中没有用数学化的语言给“整除”下定义，而是利用一个简单的实物图〔2行飞机，每行6架〕引出一个乘法算式2×6＝12，通过这个乘法算式直接给出因数和倍数的概念。这样，学生不必通过12÷2＝6得出12能被2整除，进而2是12的因数，12是2的倍数。再通过12÷6＝2得出12能被6整除，进而6是12的因数，12是6的倍数，大大简化了表达和记忆的过程。在这儿，用一个乘法算式2×6＝12可以同时说明“2和6都是12的因数，12是2的倍数，也是6的倍数。”接着，通过3×4＝12，进一步稳固因数和倍数的概念。在学生熟练掌握了因数和倍数的概念以后，教材让学生试着找出12的其他因数，引导学生写出两个数的积等于12的另一个乘法算式1×12＝12，从而得出1和12也是12的因数。最后，教材对整数0进行特殊说明，以明确本单元中数的研究范围。因为数论只研究整数的性质，所以，本单元中涉及到的数都是整数。由于学生还没有学习负整数，因此，本单元的整数与自然数同义。根据因数和倍数的定义，0是任何非零自然数的倍数，任何非零自然数都是0的因数。但是考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排除0，很多问题无从讨论，如讨论0和5的最大公因数既没有实际意义，也没有数学意义，再如，如果把0考虑在内，任意两个自然数的最小公倍数就是0，这样的研究没有任何价值。因此，教材指出本单元研究的内容一般不包括0，这样就防止了一些不必要的麻烦。教学建议教学因数和倍数概念时，可以结合教材上的直观图〔2行飞机，每行6架〕引导学生列出乘法算式2×6=12或6×2=12，再根据所列的乘法算式直接给出因数和倍数的概念。接下来，再结合直观图〔3行飞机，每行4架〕进一步稳固因数和倍数的概念。最后，让学生脱离情境图，想一想12还有哪些因数，引导学生列出乘法算式1×12=12或12×1=12，概括出“1和12都是12的因数，12是1和它本身的倍数”。在此根底上，教师可以引导学生利用一般的乘法算式a×b=c归纳出因数和倍数的概念：a、b都是c的因数，c是a和b的倍数。教学时，应注意以下四点：〔1〕虽然本套教材不是从过去的整除定义〔形式上是除法算式〕出发，而是通过一个乘法算式来引出因数和倍数概念，但在本质上仍是以“整除”为根底，只是略去了许多中间描述。因此，要注意，只有在这个乘法算式中的因数和积都是整数的情况下才能讨论因数和倍数的概念。教学时，教师也可以举出一些反例加以说明，如5×0.8＝4，虽然等式成立，但不能说5和0.8是4的因数，或4是5和0.8的倍数。〔2〕因数和倍数是一对相互依存的概念，不能单独存在。a是b的因数，反过来b就是a的倍数，因此，描述因数或倍数时必须说清楚谁是谁的因数〔或倍数〕，要引导学生使用比拟标准的语言，如“2是12的因数，12是2的倍数”而不是“2是因数，12是倍数”，在课堂上或练习中学生如果出现类似的错误要及时加以纠正。〔3〕要注意区分乘法算式各局部名称中的“因数”和本单元中的“因数”的联系和区别。在同一个乘法算式中，两者都是指乘号两边的整数，但前者是相对于“积”而言的，与“乘数”同义，可以是小数，而后者是相对于“倍数”而言的，与以前所说的“约数”同义，说“×是×的因数”时，两者都只能是整数。〔4〕要注意区分“倍数”与前面学过的“倍”的联系与区别。“倍”的概念比“倍数”要广，如我们可以说“15是3的5倍”，也可以说“1.5是0.3的5倍”，但我们只能说“15是3的倍数”，却不能说“1.5是0.3的倍数”。我们在求一个数的倍数时，运用的方法与“求一个数的几倍是多少”是相同的，只是这里的“几倍”都是指整数倍。2.例1。编写意图

例1是教学一个数的因数的求法。教材直接提出问题“18可以由哪两个数相乘得到？”引导学生利用因数的概念来求18的因数。在这里，每列出一个乘法算式，就可以求出18的一对因数，只要学生有序地写出两个数的乘积是18的所有乘法算式，就可以把因数找全。在此根底上，再用集合图表示出一个数的全部因数，为后面用交集形式表示两个数的公因数打下根底，使学生初步体会到一个数的因数的个数是有限的。

接下来，通过“做一做”进一步稳固求一个数的因数的方法。

最后，以例1和“做一做”为根底，引导学生抽象地概括出一个数的最小因数和最大因数分别是什么，总结出一个数的因数的个数是有限的结论，向学生渗透从个别到全体、从具体到一般的抽象归纳的思想方法。教学建议教学例1时，要引导学生从因数的概念出发去求18的因数，也就是想：哪两个整数相乘的积是18？从每个满足条件的乘法算式中可以找出18的一对因数。找的时候，要引导学生有序地思考。教学时，如果学生用除法思考，固定被除数18，改变除数，看除得的商是不是整数，如果是，那么除数和商都是被除数的因数，这样的思考方法也是应该鼓励的。等学生把18的所有因数都写出来，再让他们用集合的形式表示出来，为后面求两个数的公因数做准备。

然后，让学生做“做一做”的题目。通过例1和“做一做”的练习，引导学生观察到每个数的最小因数是1，而最大因数是它本身，因此，它的因数的个数是有限的。3.例2。编写意图例2是教学一个数的倍数的求法。根据一个数的倍数的定义，可知该数和任意非零自然数之积都是该数的倍数。因此，2的倍数也就是2和任意非零自然数的乘积，学生在列乘法算式时就会发现这样的算式是列不完的，因此，2的倍数的个数是无限的。接下来，也用集合图表示出2的倍数，为后面学习用交集表示两个数的公倍数打下根底。

“做一做”中分别安排了让学生求3、5的倍数的练习，一方面稳固了对倍数概念的理解，另一方面，结合例2中2的倍数，为后面学习2、3、5的倍数的特征做准备。

最后，与例1的编排相类似，教材通过求以上几个数的倍数，使学生总结出：一个数的倍数的个数是无限的，只有最小的倍数，没有最大的倍数，为后面学习最小公倍数打下根底。

教材还用“你知道吗？”介绍了完全数的概念，以丰富学生的数论知识，引导学生在课余时间探索完全数的性质，也可以先求出教材上提供的几个数的因数，然后验证是否符合完全数的定义。教学建议教学例2时，可以参照例1的方法进行教学。在找一个数的倍数时，要引导学生从“这个数的整数倍”考虑，因此，可以从最小的倍数找起。学生找出了几个2的倍数以后，教师可以提问2的倍数有多少个，引导学生通过想自然数的个数是无限的，进而想到2的自然数倍也是无限的，无法一一罗列，可以用省略号表示。在用集合图表示2的倍数时，也要注意提醒学生在集合圈里写出省略号。然后在完成“做一做”的根底上，引导学生观察并思考：一个数的最小倍数是几？有没有最大的倍数？引导学生自主得出结论。4.关于练习二中一些习题的说明和教学建议。第2题，让学生分别找出36和60的因数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的因数，这些共同因数中最大的是什么，为后面学习“公因数”和“最大公因数”做准备。

第3题，让学生分别找出8和9的倍数，在学生完成题目后，教师可以有意识地让学生观察一下有哪些数是这两个数共同的倍数，这些共同倍数中最小的是什么，为后面学习“公倍数”“最小公倍数”“互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积”等知识做准备。

第5题，帮助学生辨析某些概念。如说因数和倍数时，必须说清楚谁是谁的因数〔或倍数〕。再如，任何一个非零自然数的倍数的个数都是无限的，任何非零自然数都有因数1，等等。

第6题，通过猜数游戏稳固因数和倍数的概念，第〔1〕题，使学生认识到，随着限制条件的增多，符合条件的数越来越少。实际上，题目中共有四个限制条件，先看42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，其中只有7、14、21、42是7的倍数，这四个数中只有14和42是2的倍数，其中只有42才是3的倍数，所以，符合条件的数只有42。第〔2〕、〔3〕题，都使学生进一步理解一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。

第16页的思考题，是通过两个特殊的例子，引导学生通过不完全归纳，总结出以下的结论：如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和也是这个数的倍数。还可以引导学生用数学化的方式对这个结论加以证明：如果B是A的倍数，那么必然存在一个整数m，使B＝Am，如果C也是A的倍数，那么必然存在一个整数n，使C＝An，那么B＋C＝Am＋An＝A〔m＋n〕，因此，B＋C也是A的倍数。这个结论还可以进一步扩展：如果有n个数都是一个数的倍数，那么这n个数的和也是这个数的倍数。2.2、5、3的倍数的特征

〔第17～22页〕这局部内容是在因数、倍数的根底上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要根底，从而也是学习约分和通分的必要前提。学生的分数运算是否熟练，取决于约分和通分掌握得是否熟练，而约分和通分是否熟练，在很大程度上取决于能不能很快地根据分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因数，能不能很快地求出几个分数的分母的公倍数。因此，熟练掌握2、5、3的倍数的特征，具有十分重要的意义。教材先教学2、5的倍数的特征，再教学3的倍数的特征。因为2、5的倍数的特征仅仅表达在个位上的数，比拟明显，容易理解。而3的倍数的特征，不能只从个位上的数来判定，必须把其各位上的数相加，看所得的和是否为3的倍数来判定，学生理解起来有一定的困难，因此把它放在2、5的倍数的特征后面教学。1.2的倍数的特征。编写意图教材从学生已有的生活经验和知识根底出发，通过电影院里“双号”的概念，使学生利用因数和倍数的概念，判断出这些“双数”都是2的倍数。然后引导学生观察这些座位号的个位上的数的特点，进而概括出2的倍数的特征。

在学生总结了2的倍数的特征的根底上，教材又介绍了偶数和奇数的概念。教学建议

教学时，可以先让学生观察情境图，并联想在生活中哪儿还见过双数、单数，如街道或胡同一边的门牌号是双数，另一边是单数。接下来，让学生思考：为什么这些数称为双数？它们和2有什么联系？〔学生在生活中已经具备了“双”即为“2个”的经验。〕引导学生列出它们与2的倍数关系，说明这些数都是2的倍数。也可以让学生联系前面学过的2的倍数的求法，说出假设干个2的倍数。在此根底上，引导学生通过观察，发现这些数的个位上都是0、2、4、6、8，从而形成猜测：所有2的倍数的个位上都是0、2、4、6、8。因此，判断一个数是不是2的倍数，只要看这个数的个位上是什么数就可以了。接下来，可以让学生举出一些数〔包括比拟大的数，如1045、8394〕进行验证。由于2的倍数的个数是无限的，无法一一验证，在这儿，只要学生通过观察有限个2的倍数的特征，总结出所有2的倍数的特征就可以了，不要求严格的数学证明〔见参考资料〕。

接下来，介绍偶数和奇数的概念。我们在这个单元中一般不考虑0，在这儿需要作一个特殊说明，因为0也是2的倍数，因此0也是偶数。学生掌握了偶数和奇数的定义后，教师可以给出一些数，让学生判断它们是奇数还是偶数，也可以让学生再举出一些偶数和奇数。在此根底上，可以引导学生将2的倍数的特征表示为“个位上是偶数的都是2的倍数”。2.5的倍数的特征。编写意图

编排方式与2的倍数的特征相似，也是通过实际情境引入，让学生在观察5的倍数的个位上的数的特点根底上概括出5的倍数的特征。教学建议

教学时，可以参照2的倍数的特征的教法进行。完成“做一做”的题目时，可以使学生初步感受公倍数的概念，并引导学生总结出：如果一个数既是2的倍数又是5的倍数，那它必定是10的倍数，也就是末尾有0的数〔0除外〕。3.3的倍数的特征。编写意图

更加突出学生的自主探索，使学生在观察——猜测——推翻猜测——再观察——再猜测——验证的过程中，概括出3的倍数的特征。教材上通过逐步增加提示的方式，减缓学生在概括时的思考难度。教学建议教学时，要引导学生经历观察、猜测、验证的完整过程。由于学生在概括2和5的倍数的特征时，只注意到了个位数，因此，学生在概括3的倍数时，也会很自然地寻找个位上的数的特征。但通过观察，发现这些数的个位上的数有的是3的倍数，有的不是，于是产生认知冲突。接下来，经过进一步提示，引导学生观察各位上数的和，发现各位上数的和是3的倍数。于是，形成新的猜测：一个数如果是3的倍数，那么它各位上数的和也是3的倍数。为了验证这一猜测，可以补充一些其他的数，如49×3＝147，166×3＝498等，使学生进一步确认这一结论的正确性。还可以任意写一个数，利用这一结论来验证，如3697，3＋6＋9＋7＝25，25不是3的倍数，而3697÷3也不能得到整数商，因此，它不是3的倍数。通过这样的方式也使学生认识到：找出某个规律后，还要找出一些正面的、反面的例子进行检验，看是不是普遍适用。

为了使学生更好地掌握3的倍数的特征，进行课堂练习时，还可以把一些数各个数位上的数经过不同的排列，再让学生判断，以加深对“各位上数的和是3的倍数”的理解。如完成“做一做”第1题时，学生判断完45是3的倍数后，教师可以再让学生判断一下54是不是3的倍数。

完成“做一做”第2题时，要引导学生有序地思考问题。第18页的“做一做”已经有所铺垫，学生已经知道只有末尾是0的数才能同时是2和5的倍数，而此题中所求的数又是一个三位数，所以，就要从几百几十中找这样的数，这样，每增加一个条件，符合条件的数的范围就缩小一些，通过层层“筛选”，求出符合条件的数是120。

利用2、5、3的倍数的特征来判断一个数是不是2、5或3的倍数，其方法是比拟容易掌握的，但要形成较好的数感，到达熟练判断的程度，也不是一、两节课所能解决的，还需要进行较多的练习进行稳固。4.关于练习三中一些习题的说明和教学建议。第2题，是让学生寻找生活中的奇数和偶数，应鼓励学生尽量多地发现身边的数学信息，如住几号楼，公共汽车是几路的，全村有几户人家，全班有多少人，等等。有了这些数据后，还可以在后面的练习中进一步判断它们是不是2、5、3的倍数。

第5题，是一个解决实际问题的题目。由于妈妈买的是一些马蹄莲和郁金香，马蹄莲10元1枝，所以它的总价是10的倍数，也就是整十数，而郁金香是5元1枝，所以它的总价是5的倍数，个位上是0或5，两者合起来的总价一定是几十元或几十五元，因此，效劳员找的钱数不对。

第7题是开放题，要运用3的倍数的特征来解决。如想“□7是3的倍数”，就要想“□＋7是3的倍数”，□中符合条件的数有2、5、8。

第8题也是开放题，要找出一个偶数，同时又是3的倍数，可以先确定该数的个位上的数，再根据3的倍数的特征来确定其他位的数。而要找一个奇数，同时又是5的倍数，也是先确定个位上的数必须是5，其他数位上可以取任意数。

第10题，可以先把从4张卡片里取3张所能组成的所有三位数列出来：430、403、340、304，450、405、540、504，350、305、530、503，435、453、345、354、534、543。罗列的时候，要引导学生采用有序的思考方式，保证不重复、不遗漏。然后再分别看这些数属于下面的哪一类。也可以先根据下面各类数的特点确定范围，如这些数字能组成的偶数，个位数只能是0和4，那么相应的数就有430、340、350、530、450、540，304、504、354、534。再如，由于这4张卡片中的3个数相加之和是3的倍数的情况有4＋5＋0＝9，4+3+5=12，因此能组成的3的倍数有450、405、540、504；345、354、435、453、534、543。教学时，还可以把此题进一步拓展，如让学生思考用这4张卡片能组成的3的倍数中，一位数有哪些，两位数、四位数呢？

第11*题，是让学生进一步探索偶数和奇数的性质。练习时，可以让学生结合具体的数来理解。3.质数和