高中数学阶段提升课第二课推理与证明课件新人教A版选修1

阶段提升课第二课推理与证明思维导图·构建网络考点整合·素养提升

题组训练一合情推理的应用

【典例1】自然数按下表的规律排列那么上起第2014行,左起第2015列的数为 ()A.20142B.20152C.2013×2014D.2014×2015【解析】选D.经观察可得这个自然数表的排列特点:①第一列的每个数都是完全平方数,并且恰好等于它所在行数的平方,即第n行的第1个数为n2;②第一行第n个数为(n-1)2+1;③第n行从第1个数至第n个数依次递减1;④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.故上起第2014行,左起第2015列的数,应是第2015列的第2014个数,即为[(2015-1)2+1]+2013=2014×2015.【方法技巧】1.归纳推理的特点及一般步骤2.类比推理的特点及一般步骤题组训练二演绎推理的应用

【典例2】在平面直角坐标系xOy中,点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD.(1)假设AC=4,求直线CD的方程.(2)证明:△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O).【解析】(1)假设AC=4,那么BD=4,因为B(9,0),故D(5,0),由于A(-3,4),故|AO|=5,那么|OC|=1,直线OA:y=-x,设点C(3a,-4a)(-1<a<0),那么|OC|=5|a|=-5a=1,解得a=-,那么C,故直线CD:x+7y-5=0.(2)设C(3a,-4a)(-1<a<0),那么|AC|=5|a+1|=5(a+1),于是D(4-5a,0),设△OCD外接圆的一般方程为x2+y2+Gx+Ey+F=0,那么圆的方程满足:即那么圆的方程为:x2+y2+(5a-4)x+(10a-3)y=0,即x2+y2-4x-3y+5a(x+2y)=0,故解得或

即△OCD的外接圆恒过定点(2,-1).【方法技巧】演绎推理的特点及应用(1)特点:演绎推理是由一般到特殊的推理,一般模式为“三段论〞,包括:大前提——的一般原理.小前提——所研究的特殊情况.结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断.(2)应用:演绎推理只要前提正确,推理的形式正确,那么推理所得的结论就一定正确.注意,错误的前提和推理形式会导致错误的结论.特别提醒:寻找出演绎推理的大前提是解题的关键.【补偿训练】在锐角三角形中,求证:sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.【证明】因为在锐角三角形中,A+B>,所以A>-B,所以0<-B<A<.又因为在内正弦函数是单调递增函数,所以sinA>sin=cosB.即sinA>cosB,同理可得sinB>cosC,sinC>cosA,所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.题组训练三综合法与分析法

【典例3】a>b>0,求证<<.【证明】欲证<<,只需证因为a>b>0,所以只需证即欲证只需证该式显然成立.欲证只需证该式显然成立.所以成立.所以成立.【方法技巧】综合法和分析法的特点(1)综合法和分析法是直接证明中最根本的两种证明方法,也是解决数学问题的常用的方法,综合法是由因导果的思维方式,而分析法的思路恰恰相反,它是执果索因的思维方式.(2)分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条理清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑根底是充分条件与必要条件.题组训练四反证法

【典例4】等差数列{an}中,首项a1>0,公差d>0.(1)假设a1=1,d=2,且成等比数列,求正整数m的值.(2)求证对任意正整数n,都不成等差数列.【解析】(1)因为{an}是等差数列,a1=1,d=2,所以a4=7,am=2m-1.因为成等比数列,所以,即2m-1=49,所以m=25.(2)假设存在n∈N*,使成等差数列,即所以化简得d2=3.(*)又因为a1>0,d>0,所以=a1+nd>d,所以3>3d2>d2,与(*)式矛盾,因此假设不成立,故命题得证.【方法技巧】1.反证法的证题思想反证法是一种间接证明命题的