双曲线标准方程1

双曲线及其标准方程2023/5/241一、复习与问题1，椭圆的第一定义是什么？平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|

）的点的轨迹叫做椭圆。F1F2MM2023/5/242定义图象标准方程焦点a,b,c的关系|MF1|+|MF2|=2a（2a>|F1F2|）xyoF1F2···MyoxF1F2·M·a2=b2+c2(－c,0),(c,0)(0,－c),(0,c)（a>b>0）（a>b>0）2023/5/243平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆。平面内与两定点F1，F2的距离的为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？F1F2思考差一、复习与问题2023/5/244定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫双曲线的焦距.思考：平面内与两定点F1，F2的距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？2023/5/245A1A2OF1F2M此时点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线。

平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值为常数(小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫双曲线。则|MF1|=|MF2|F1F2M2.定义中这个常数2a能否为0？(|F1F2|记为2c；常数记为2a)∵若常数2a=|MF1|－|MF2|=0（1）2a<2c；（2）2a>0

；注意2023/5/246试说明在下列条件下动点M的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点,|F1F2|=2c(a,c为正常数)

当|MF1|-|MF2|=2a时，点M的轨迹

；当|MF2|-|MF1|=2a时，点M的轨迹

；当a=c时，动点M的轨迹

；当a>c时，动点M的轨迹

.

因此，在应用定义时，首先要考查

.双曲线的右支双曲线的左支以F1、F2为端点的两条射线不存在2a与2c的大小线段F1F2的垂直平分线F1F2MF1F2M|MF1|－|MF2|=2a,当a=0时，动点M的是轨迹_______________________.2023/5/247xyo如图建立坐标系，使x轴经过F1、F2，并且原点O与线段F1F2的中点重合。设M(x,y)为双曲线上任一点,双曲线焦距为2c(c>0),则F1(－c,0),F2(c,0)F1F2M二、双曲线的标准方程：P={M

||MF1

|-|MF2|

=+2a}

_cx-a2=±a

(x-c)2+y2

移项平方整理得再次平方，得：(c2-a2)

x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知，2c>2a,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入整理得：=x2a2-y2b21(a>0,b>0)2023/5/248xyoF1F2MyxxyoF1F2二、双曲线的标准方程：=x2a2-y2b21(a>0,b>0)方程叫做双曲线的标准方程

它表示的双曲线焦点在x轴上，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxxyoF1F2MyxyxyxF2F1MyxoyxyxF2F1Myoxy-x=x2a2-y2b21(a>0,b>0)(-x)2x2y2方程叫做双曲线的标准方程它表示的双曲线焦点在y轴上，焦点为F1(0,-c),F2(0,c),且c2=a2+b22023/5/249（1）双曲线的标准方程用减号“-”连接；（2）双曲线方程中a>0,b>0,但a不一定大于b说明：（3）如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上；（4）双曲线标准方程中，a，b，c的关系是c2=a2+b2；（5）双曲线的标准方程可统一写成Ax2-By2=1（AB>0)F(±c,0)F(0,±c)2023/5/2410位置焦点在X轴上焦点在Y轴上图形方程共性1、两种方程中，总有a>0b>02、a、b、c满足关系式a2+b2=c23、二次项系数为正,焦点在相应的轴上F2F1MxOyOMF2F1xy2023/5/2411定义

方程

焦点a.b.c的关系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系||MF1|－|MF2||=2a|MF1|+|MF2|=2a椭圆双曲线F（0，±c）F（0，±c）2023/5/2412练习1：写出以下曲线的焦点坐标及a,b：2023/5/2413练习2.直接写出适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)a=4，b=3，焦点在x轴上；

(2)a=2，经过点A(2，-5)，焦点在y轴上.2023/5/2414一、巩固练习1.

焦点在x轴上的双曲线的标准方程是___________,焦点为_______.焦点在y轴上的双曲线的标准方程是

,焦点为_______,其中_________.c2=a2+b24.

过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为

.3382.

双曲线的焦点坐标是

.3.方程Ax2+By2=1表示双曲线的充要条件是__________.AB<0(

c,0)(0,

c)2023/5/2415例1已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，若双曲线上有一点Ｐ，且|ＰF1|=10,则|ＰF2|=_________。若|ＰF1|=7，则|ＰF2|=_________。

4或16132023/5/24162023/5/24172023/5/2418例2:证明椭圆与双曲线x2-15y2=15的焦点相同.上题的椭圆与双曲线的一个交点为P，焦点为F1,F2,求|PF1|.变式:|PF1|+|PF2|=10,分析:2023/5/2419例3:如果方程表示双曲线， 求m的取值范围.或变式二:表示焦点在y轴的双曲线时，求m的范围。变式一:双曲线时，求m的范围。2023/5/2420例4:化简使结果不含根式.答案：2023/5/2421例4.已知A、B两地相距800m，在A处听到炮弹爆炸声的时间比在B处晚2s,且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程思考：如果A，B两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？

2023/5/2422例5.已知F1、F2为双曲线的焦点，弦MN过F1且M,N在同一支上，若|MN|=7,求△MF2N的周长.•F2•F1MNxyo2023/5/2423例6.已知双曲线16x2-9y2=144①求焦点的坐标；②设P为双曲线上一点，且|PF1|

|PF2|=32，求；③设P为双曲线上一点，且

F