(完整版)高中数学新定义问题分类探究

专题：学习能力型问题1学习能力型问题常见的有以下几种类型：(1)概念学习型；(2)公式学习型；(3)方法学习型．2学习能力型问题的特点

(1)内容新

学习能力型习题中常常出现过去没有学习过的新的概念、定理、公式或方法，要求通过自己学习以后，理解这些概念、定理、公式或方法，并且能运用它们解决有关的问题.

(2)抽象性

这里新的概念、定理、公式或方法的叙述通常比较简略，比较抽象，没有解释性和说明性的语言，需要自己去仔细揣摩、领会和理解.与平时在课堂里教师指导下学习新知识有很大的区别，没有教师的讲解、举例和解说，没有许多感性的内容，比较抽象和概括，对独立学习能力和抽象思维能力要求较高.因此解这类问题往往感到很困难.

(3)学了就用

这里学习新知识的时间很短，要求通过阅读很快就能理解新的概念、定理、公式和方法，并能立即运用它们解决有关的问题，不举例题，没有模仿的过程.因此对思维的敏捷性和独创性要求较高.

3解学习能力型习题的步骤

(1)阅读理解

首先通过阅读理解题意，理解题目所包含的新的概念、定理、公式或方法的本质：这里分为两步：1、字面理解：要求读懂其中每一个句子的含义.2、深层理解：要求深入理解新的概念的本质属性，分清新的定理和条件和结论，理解新的方法的关键等。

(2)运用

在理解新的概念、定理、公式或方法的基础上，运用它们解决有关的问题。4新定义运算问题4.1定义数对运算

例1(1)对于任意的两个实数对和，规定：，当且仅当；运算“”为：；运算“”为：，设，若，则A.B.C.D.(2)(10山东)定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b=(p,q)，令a⊙b=mq–np，下面说法错误的是()A.若a与b共线，则a⊙b=0B.a⊙b=b⊙aC.对任意的λ∈R，有(λa)⊙b=λ(a⊙b)D.(a⊙b)2+(a·b)2=|a|2|b|24.2定义集合运算例2对于集合，定义=,设，则_____.4.3定义函数运算例3(1)定义运算：ab=已知函数那么函数的大致图像是_________________.(2)(11天津)对实数a和b，定义运算“”：设函数f(x)=(x2–2)(x–1)，x∈R．若函数y=f(x)–c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是A.(–1,1]∪(2,+∞)B.(–2,–1]∪(1,2]C.(–∞,–2)∪(1,2]D.[–2,–1]5新定义概念问题5.1与集合有关的新定义例4若则称是“伙伴关系集”，在集合M={，1,2,3}的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集”的概率为________.变式：定义平面点集，对于集合，若对，则称集合为开集，给出下列命题：①集合②集合是开集；③开集在全集上的补集仍然是开集；④两个开集的并集是开集；其中正确的所有的命题的序号是_____.（析：类比开区间，此题很容易求解）5.2与数列有关的新定义例5若数列满足（为正常数，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件(评：关键是掌握新定义数列的本质，应遵循新定义法则，借助新数列的性质，向已有的熟悉的知识转化，即可求解，考查考生的阅读理解能力和学习的潜能.)变式：如果有穷数列（为正整数）满足条件，，…，，即（），我们称其为“对称数列”．(Ⅰ)设是7项的“对称数列”，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；(Ⅱ)设是项的“对称数列”，其中是首项为，公比为的等比数列，求各项的和；(评：本题关键在于准确把握“对称数列”的定义，考查的还是课本中数列的基本知识.)5.3函数有关新定义例6(1)在平面直角坐标系中，若点A,B同时满足：=1\*GB3①点A,B都在函数图像上；=2\*GB3②点A,B关于原点对称，则称点对(A,B)是函数的一个“姐妹点对”（规定(A,B)与(B,A)是同一个“姐妹点对”）.那么函数的“姐妹点对”的个数是_____.变式：在直角坐标系中，两个不同的点A(a,b),B(-a,-b)都在函数的图像上，则称[A,B]为函数的一组“友好点”（[A,B]与[B,A]看作一组），已知定义在的函数满足且当时，，则函数的“友好点”的个数为______.(2)（02上海）对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点．已知函数（）．(Ⅰ)当，时，求函数的不动点；(Ⅱ)若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围内；(Ⅲ)在（Ⅱ）的条件下，若图像上、两点的横坐标是函数的不动点，且、两点关于直线对称，求的最小值．5.4与几何有关新定义例7对于直角坐标平面内的任意两点A(x,y)、B(x，y)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=︱x－x︱+︱y－y︱.给出下列三个命题：=1\*GB3①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖;=2\*GB3②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；=3\*GB3③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖.其中真命题的个数为_____.（本题给出了一个距离的概念，有别于平时所接触的距离概念，解题关键是弄懂新定义距离的概念.本题重在考察学生的知识迁移和探究能力.）变式：（10广东）设A(x,y)、B(x，y)时直角坐标平面内的任意两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为=︱x－x︱+︱y－y︱.对于平面上给定的不同的两点A(x,y)、B(x，y).(Ⅰ)若点是平面上的点，试证明;(Ⅱ)在平面上是否存在点同时满足：=1\*GB3①;=2\*GB3②.若存在，写出符合条件的点，并予以证明，若不存在说明理由.5.5解析几何有关新定义例8已知两定点若某直线上存在点P，使|PM|+|PN|=4,则该直线为“A型直线”，给出下列直线：=1\*GB3①y=x+1;=2\*GB3②y=2;=3\*GB3③y=-x+3;④y=-2x+3.其中是“A型直线”的是_____.变式：在平面直角坐标系中，已知两定点若某直线上有且只有一点P，使|PM|+|PN|=10，则称直线l为“黄金直线”，点P为“黄金点”.(Ⅰ)当a=时，点能否成为“黄金点”？若能求出“黄金直线”的方程，若不能说明理由.(Ⅱ)当a满足什么条件时，“黄金点”P的轨迹是圆？此时“黄金直线”具有什么特征？6总结学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识.应引起广大师生的关注我国著名的数学家华罗庚先生认为，一个是，一个是厚到薄”.前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃.在这里正是应用到了“从厚到薄”.能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多.【课后训练】1.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的令，下列说法错误的是（）若共线，则B.C.对任意的有D.给定集合A，若对于任意，有，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：①集合A={-4，-2,0,2,4}为