专训2-求二次函数表达式的常见类型

阶段方法技巧训练（一）专训2求二次函数表达式

的常见类型习题课求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解题过程简便．1类型由函数的基本形式求表达式1.【2016·黔南州】已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图

象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标

是A(－2，0)．(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标；(2)将二次函数的图象沿x轴向

左平移

个单位长度，

当y<0时，求x的取值范围．方法1利用一般式求二次函数表达式(1)∵把C点坐标(0，－6)代入二次函数的表达式

得c＝－6，把A点坐标(－2，0)代入y＝x2＋bx－6得b＝－1，∴二次函数的表达式为y＝x2－x－6.

即y＝∴顶点D的坐标为解：(2)将二次函数的图象沿x轴向左

平移个单位长

度所得图象对应的函数表达式为

y＝(x＋2)2－

令y＝0，得(x＋2)2－

＝0，

解得x1＝

，x2＝－∵a＞0，∴当y<0时，x的取值范围是－

＜x＜

2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最

大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线

y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是(

)A．y＝－2x2－x＋3

B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8D．y＝－2x2＋4x＋6方法2利用顶点式求二次函数表达式D同类变式3．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在

直线y＝x＋1上，并且图象经过点(3，－6)．

求这个二次函数的表达式．4．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，

与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的

函数表达式．方法3利用交点式求二次函数表达式由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.又∵BC＝AB，∴BC＝5.在Rt△BCO中，OC＝∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝－解：将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝∴该抛物线对应的函数表达式为

y＝－(x－1)(x＋4)或y＝(x－1)(x＋4)，

即y＝－

x2－

x＋3或y＝

x2＋

x－3.若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．5．【2015·绥化】把二次函数y＝2x2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后

抛物线的表达式是______________．方法4利用平移式求二次函数表达式y＝2x2＋4x同类变式6．已知y＝x2＋bx＋c的图象向右平移2个单位长

度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的

表达式为y＝x2－2x－3.(1)b＝________，c＝________；(2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直

线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对

应的函数表达式是________________．方法5利用对称轴法求二次函数表达式y＝－x2＋2x＋3同类变式8．如图所示，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴

交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－(1)求抛物线的表达式；(2)M是线段AB上的任意一点，

当△MBC为等腰三角形时，

求点M的坐标．9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的

一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数

解析式．方法6灵活运用方法求二次函数的表达式方法一：设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意∴抛物线对应的函数表达式为y＝－x2－x＋解：方法二：设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x＋2)2＋4.∴即y＝－x2－x＋方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的

一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个

交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－∴抛物线对应的函数表达式为y＝－(x－1)(x＋5)，∴即y＝－x2－x＋本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．2由函数图象中的信息求表达式类型10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，

该二次函数的表达式是(

)A．y＝x2－x－2B．y＝－

x2－

x＋2C．y＝－

x2－

x＋1D．y＝－x2＋x＋2D同类变式11.

【中考·南京】某企业生产并销售某

种产品，假设销售量与产量相等．

下图中的折线ABD、线段CD分别表

示该产品每千克生产成本y1(单位：

元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系.(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是

多少？3由表格信息求表达式类型12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x

之间的函数关系式是(

)A.y＝x2－4x＋3

B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋8Ax－101ax2

1ax2＋bx＋c83

同类变式13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函

数值y的部分对应值如下表：

则该二次函数的表达式为______________．x…－－1－01…y…－－2－－2－0…4几何应用中求二次函数的表达式类型【2016·安顺】某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同.其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是(

)A14．先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数表达式．S△AEF＝

AE×AF＝

x2，S△DEG＝

DG×DE＝×1×(3－x)＝S五边形EFBCG＝S正方形ABCD－S△AEF－S△DEG

＝9－

x2－

＝－

x2＋

x＋则y＝4×＝－2x2＋2x＋30.∵0＜AE＜AD，∴0＜x＜3，∴y＝－2x2＋2x＋30(0＜x＜3)．故选A.5实际问题中求二次函数表达式类型15.在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角

墙角(两墙足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园

ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝xm，花园的面积

为Sm2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的

距离分别是15m和6m，要将这棵

树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积

的最大值．(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m.

于是易得