2024年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考数学一模试卷

2023-2024学年广东省江门市台山市新宁中学教育集团中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2的倒数是(

)A. B. C. D.22.一组数据：98、97、99、99、96，那么这组数据的众数为(

)A.98 B.96 C.97 D.993.下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.4.要使式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A. B. C. D.5.下列计算正确的是(

)A. B. C. D.6.一个多边形的内角和是，这个多边形的边数是(

)A.6 B.7 C.8 D.97.将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为(

)A. B. C. D.8.不等式组的解集是(

)A. B. C. D.无解9.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：：1，连接AE交BD于点F，则的面积与的面积之比为(

)

A.3：4 B.9：16 C.9：1 D.3：110.如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，给出以下结论：①；②；③；④若、为函数图象上的两点，则其中正确的是(

)A.①③④

B.①②④

C.①②③

D.②③④二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。11.分解因式：______.12.已知关于x一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为______.13.若实数a，b满足，则______.14.已知代数式的值是9，则代数式的值是______.15.如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的底面圆半径是，则圆锥的母线______.

16.如图，在菱形ABCD中，，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则BE的值为______.

17.如图，在矩形ABCD中，，，P为AD上一个动点，连接BP，线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对称，连接PQ，当点P从点A运动到点D时，线段PQ在平面内扫过的面积为__________.

三、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。18.本小题6分

先化简，再求值：，其中19.本小题6分

如图，，，，，AE与BD交于点

求证：；

求的度数．

20.本小题6分

如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？21.本小题8分

为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间.根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图图1，图，请根据统计图中的信息回答下列问题：

本次调查的学生人数是______人；

图2中是______度，并将图1条形统计图补充完整；

老师想从学习效果较好的4位同学分别记为A、B、C、D，其中A为小亮随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率.22.本小题8分

2020年1月份，为抗击新型冠状病毒，某药店计划购进一批甲、乙两种型号的口罩，已知一袋甲种口罩的进价与一袋乙种口罩的进价和为40元，用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同.

求每袋甲种、乙种口罩的进价分别是多少元？

该药店计划购进甲、乙两种口罩共480袋，其中甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，求商场进货用的资金最少方案？23.本小题8分

如图，AB为的直径，C为BA延长线上一点，D为上一点，连结AD，作于点E，交CD于点F，若

求证：CD是的切线；

若，，求EF的长.24.本小题10分

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数交于点，过B作轴，交反比例函数于点D，连接AD，

求b，k的值；

求的面积；

设E为直线AB上一点，过点E作轴，交反比例函数于点F，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，求点E的坐标．25.本小题10分

如图，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴交于点，点D是抛物线上一动点，联结OD交线段AC于点

求这条抛物线的解析式，并写出顶点坐标；

求的正切值；

当与相似时，求点D的坐标．

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：2的倒数是：

故选：

直接利用倒数的定义分析得出答案．

此题主要考查了倒数，正确把握定义是解题关键．2.【答案】D

【解析】解：这组数据中99出现2次，次数最多，

所以这组数据的众数为99，

故选：

根据众数的定义求解即可．

本题主要考查众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．3.【答案】A

【解析】【分析】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】

解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

B.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选4.【答案】A

【解析】解：由题意得：，

解得：，

故选：

根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可．

本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．5.【答案】C

【解析】解：2a和3b表示同类项，不能计算，因此选项A不符合题意；

，因此选项B不符合题意；

，因此选项C符合题意；

，因此选项D不符合题意；

故选：

根据单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则进行计算即可．

本题考查单项式乘以多项式、积的乘方与幂的乘方，整式的除法以及整式加减的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．6.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了多边形的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为解答．

设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和定理得到，然后解方程即可．

【解答】

解：设这个多边形的边数为n，则

，

解得，

故这个多边形为六边形．

故选：7.【答案】C

【解析】解：将抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位得到抛物线的解析式为：，即

故选：

直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】

解：由得：，

由得：，

则不等式组的解集为

故选：9.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，

注意：相似三角形的面积之比等于相似比的平方.

可证明∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案.

【解答】

解：四边形ABCD为平行四边形，

，，

∽，

：：1，

：：4，

：：4，

：：

故选10.【答案】C

【解析】解：①由图象可知：，，

由对称轴可知：，

，

，故①正确；

②由对称轴可知：，

，

抛物线过点，

，

，

，故②正确；

③当时，y取最大值，y的最大值为，

当x取全体实数时，，

即，故③正确；

④关于对称轴的对称点为：

，故④错误；

故选：

①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点即可判断；

②根据对称轴可知抛物线与x轴的另一个交点坐标，再求当时y的值即可判断；

③根据抛物线的顶点的纵坐标最大即可判断．

本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．11.【答案】

【解析】解：，

，

故答案为：

观察原式，找到公因式3，提出公因式后发现符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．

本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．12.【答案】

【解析】解：一元二次方程有两个相等的实数根，

，即，

故答案为：

根据题意得出关于k的方程，求出k的值即可．

本题考查了根的判别式，熟知一元二次方程的根与的关系是解题的关键．13.【答案】

【解析】解：，

，，

，

故答案为：

根据非负数的性质求出a、b，从而求出的值．

本题考查了非负数的性质，掌握非负数的性质的应用是解题关键．14.【答案】10

【解析】解：由题意得，

整理，得，

，

故答案为：

先求得，再将变形后整体代入求解．

此题考查了运用整体思想进行代数式化简求值的能力，关键是能将代数式准确变形并整体代入计算．15.【答案】

【解析】【分析】本题考查了弧长的计算.利用弧长公式，结合圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长计算得结论.【解答】解：

圆锥的底面周长，

设圆锥的母线长为R，则：，

解得

故答案为16.【答案】

【解析】解：由作法得MN垂直平分CD，即，，

四边形ABCD为菱形，

，，

，，

在中，，

在中，

故答案为

利用基本作法得到得MN垂直平分CD，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出AE，然后计算出

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线17.【答案】

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

由矩形的性质求出，由矩形的性质和轴对称性可知，≌，根据可求出答案．

【解答】

解：当点P从点A运动到点D时，线段BQ的长度不变，

点Q运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段PQ在平面内扫过的面积，

矩形ABCD中，，，

在中，，

，

，

，

由矩形的性质和轴对称性可知，≌，

，

，

故答案为：18.【答案】解：，

，

，

当时，原式

【解析】根据完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．19.【答案】解：，，

，，

即，

在和中，

，

≌，

；

如图，，

，

≌，

，

，

，

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

先证明，再证明≌便可得；

由全等三角形的性质得，由，推出，可得20.【答案】解：过点C作，垂足为如图所示：

根据题意可知，，

，

，

，

在中，，，，

则，，

这艘船继续向东航行安全．

【解析】过C作于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出，根据等角对等边得出，然后在中求出CD即可．

本题考查了勾股定理的应用以及等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定和勾股定理是解题的关键．21.【答案】4054

【解析】解：本次调查的学生人数是人，

故答案为：40；

，

自主学习的时间是小时的人数有：人，

故答案为：54；

补全统计图如下：

根据题意画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中同时选中A的有4种，

同时选中A，B的概率是

由自主学习的时间是1小时的有12人，占求解即可得出答案；

用乘以小时人数所占比例，总人数乘以小时人数所占比例即可；

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、条形统计图的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，依题意有

，

解得，

经检验是原方程的解，

则

故甲种口罩进价15元/袋，则乙种口罩进价为25元/袋；

设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，依题意有

，

解得

因为y是整数，甲种口罩的袋数少于乙种口罩袋数，

所以y取200，201，202，203，204共有5种方案．

【解析】可设甲种口罩进价x元/袋，则乙种口罩进价为元/袋，根据用90元购进甲种口罩的袋数与用150元购进乙种口罩的袋数相同，得出方程求出即可；

可设购进甲种口罩y袋，则购进乙种口罩袋，根据甲种口罩的袋数不大于乙种口罩袋数的，药店决定此次进货的总资金不超过10000元，得出不等式组求出即可．

本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用及解法，在解答过程中寻找能够反映整个题意的等量关系是解答本题的关键．23.【答案】证明：连接OD，如图，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

为的半径，

是的切线；

解：，在中，，

，

设，则，

，

为的直径，

，

，

，

∽，

，

，

，

，

为的中位线，

，

【解析】连接OD，利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质与已知条件得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可；

利用直角三角形的边角关系定理得到，设，则，，；利用圆周角定理和平行线的判定与性质得到，再利用相似三角形的判定与性质，列出比例式求得相等OF，利用垂径定理和三角形的中位线定理求出线段OE，则

本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，三角形的中位线定理，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．24.【答案】解：直线经过点，

，

，

直线AB的解析式为，

点在直线上，

，

，

，

把代入得，；

直线与y轴交于点B，

，

轴，

把代入中得，，

，

的面积；

以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，，

，

设点，

①当点E位于点F的左侧时，

点，

则，

，

，

，

；

②当点E位于点F的右侧时，

点，

则，

解得：，

，

，

，

综上所述，若以点A，O，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E的坐标为或

【解析】根据题意列方程即可